Классическая теория ланжевена кратко

Обновлено: 05.07.2024

ЛАНЖЕВЕН Поль (Langevin Paul) (23.I.1872 - 19.XII.1946) — французский физик, член Парижской АН (1934). Р. в Париже, в семье коммунара. Окончил Школу физики и химии (1891) и Нормальную школу (1897), после чего в течение года работал в Кавендишской лаборатории у Дж. Дж. Томсона. В 1902 получил степень доктора в Парижском ун-те. В 1900 там же получил место лаборанта, а в 1902 начал работать в Коллеж де Франс (с 1909 — профессор). Одновременно с 1903 стал профессором Школы физики и химии, заменив на этом посту П. Кюри, а с 1925 и до последних лет жизни был ее директором.

В 1905 разработал термодинамическую и статистическую теории диа- и парамагнетизма. Доказал универсальность диамагнетизма и его связь с эффектом Зеемана, теоретически обосновал независимость диамагнетизма от температуры. Статистическая теория парамагнетизма Ланжевена дала ясную молекулярную картину явления и возможность вычислить значения парамагнитного момента и магнитного момента атомов молекул вещества. Развитый статистический метод Ланжевен использовал для построения теории эффекта Керра.

Разработал (1916) методы получения ультракоротких упругих волн при помощи пьезокварца. Заставляя кварц колебаться под действием переменного электрического поля, получил ультразвуковые волны. Свой метод получения ультразвуковых волн первый применил в подводной сигнализации, ультраакустическом эхолоте, для обнаружения подводных лодок. В 1925 построил мощный излучатель высокочастотных акустических колебаний, впервые осуществив возбуждение кварца переменным током высокого напряжения, сконструировал подводный ультразвуковой кварцевый передатчик. Является пионером ультраакустики.

Исследования посвящены также электродинамике, электронной и квантовой теории.
Принимал активное участие в развитии специальной теории относительности.
Независимо от А. Эйнштейна установил в 1906 взаимосвязь между массой и энергией и первый пришел в 1913 к понятию дефекта массы.
В 1911, исходя из идеи А. Зоммерфельда о квантовании механического действия, показал, что оно приводит к кванту магнитного момента — магнетону и вычислил его величину.

Был блестящим популяризатором и комментатором новых идей в физике. В 1911 сформулировал эффект релятивистского замедления времени в форме парадокса близнецов (участников космического путешествия). Его лекции оказали немалое влияние на французских физиков.
В философских вопросах стоял на позициях материализма.

Член Академии наук СССР (1929), Лондонского королевского об-ва и др. Создал школу физиков (Л. де Бройль, М. де Бройль, Ф. Жолио-Кюри, Э. Боэр, П. Бикар, Р. Люка, Ф. Перрен, Ж. Соломон и др).

"Его жажда помочь людям достичь более счастливого существования была, может быть, еще сильнее, чем его страсть к чистому интеллектуальному познанию. Я могу лишь выразить благодарность судьбе за то, что знал этого человека, этого чистого и лучезарного человека. "

В основе классической теории парамагнетизма, созданной Ланжевеном[8] в 1905г., лежит представление, что атомы парамагнетиков обладают постоянным магнитным моментом, но взаимодействие между атомами пренебрежимо мало. В отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты ориентируются случайным образом и результирующая намагниченность равна нулю. Во внешнем магнитном поле диполи будут стремиться расположиться вдоль поля, и система приобретает результирующую намагниченность, величину которой можно вычислить, пользуясь распределением Больцмана . Энергия определяется величиной и ориентацией магнитного момента во внешнем поле

где – угол между направлением магнитного момента и внешнего поля (см. рис.5.15). В этом случае функция распределения приобретает вид

Результирующий магнитный момент определяется усреднением по всем возможным состояниям проекции момента на направление внешнего магнитного поля

Здесь есть функция Ланжевена.

Рис. 5.15. К расчету парамагнитной восприимчивости

Умножая (5.46) на концентрацию атомов (магнитных моментов), получаем намагниченность парамагнетика

Для слабых полей и не слишком низких температур выполняется условие . Тогда функция Ланжевена и для намагниченности и восприимчивости парамагнетика получаем соответственно выражения

Соотношение (5.49) называется законом Кюри-Вейсса[9]. Величина является постоянной Кюри.

Введение в классическую теорию Ланжевена принципа пространственного квантования (магнитные моменты атомов во внешнем поле могут ориентироваться только под вполне определенными углами) не изменяет окончательного результата. Только в качестве необходимо использовать выражение (5.35).

Здесь есть функция Ланжевена.

Рис. 5.15. К расчету парамагнитной восприимчивости

Умножая (5.46) на концентрацию атомов (магнитных моментов), получаем намагниченность парамагнетика

Соотношение (5.49) называется законом Кюри-Вейсса[9]. Величина является постоянной Кюри.

Парамагнитные свойства вещества объясняют имеющимся у атомов магнитным моментом. Если внешнее магнитное поле отсутствует, то у парамагнетиков магнитные моменты атомов ($<\overline

>_m$) ориентированы хаотично в результате теплового движения молекул. В результате магнитный момент тела в целом почти равен нулю.

При наличии внешнего магнитного поля на каждый атом оказывает действие пара сил, которая пытается установить магнитные моменты атомов параллельно полю. При этом в парамагнетике появляется упорядоченное расположение атомов, намагниченность тела в целом отличается от нуля. Направление вектора намагниченности параллельно вектору магнитной индукции поля ($\overline$).

С повышением температуры парамагнетика его магнитная восприимчивость уменьшается.

Теория парамагнетизма была создана П. Ланжевеном в 1905 г. Эта теория хорошо применима к газам, у которых взаимодействие между молекулами мало.

Механизм намагничивания

Рассмотрим теорию Ланжевена, если магнитные поля не очень сильные, а температуры и не очень низкие. Энергия атома во внешнем магнитном поле равна:

Минимум энергии получается, когда векторы $<\overline

>_mи\ \overline$ сонаправлены. Благодаря этому, когда парамагнетик вносят в магнитное поле, в соответствии с распределением Больцмана появляется преимущественная ориентация магнитных моментов атомов вещества в направлении вектора $\overline$ и возникает намагничивание. Индукция дополнительного магнитного поля, появляющаяся в результате намагничивания, совпадает с направлением внешнего поля, происходит усиление внешнего поля.

Угол между направлением магнитного момента атома и индукцией поля при намагничивании не изменяется, магнитный момент совершает прецессионное движение вокруг направления вектора $\overline$. Изменение ориентации магнитных моментов в соответствии с распределением Больцмана происходит в результате столкновений и взаимодействия атомов друг с другом.

Механизм намагничивание парамагнетиков схож с явлением поляризации полярных диэлектриков.

Связь парамагнитной восприимчивости и температуры

Обозначим среднее значение проекции магнитного момента атома $<(\overline

>_m$) на направление внешнего магнитного поля как $\left\langle p_\right\rangle $:

\[\left\langle p_\right\rangle =\frac^2><\mu >_0H'\left(2\right),\]

где $H'$ - напряженность магнитного поля, которая действует на атом; $T$ - термодинамическая температура; $k$ - постоянная Больцмана. Пусть в единице объема рассматриваемого вещества $n$ атомов, тогда намагниченность вещества ($J$) равна:

\[J=n\left\langle p_\right\rangle =n\frac^2>м_0H'\left(3\right).\]

Магнитный момент единицы объема вещества можно найти как:

где $\varkappa $ - магнитная восприимчивость вещества; $H$ - напряженность внешнего магнитного поля. Так как парамагнетики намагничиваются слабо, то можно считать, что:

Принимая во внимание (5) сравнивая правые части, получим:

где $C=n\frac^2><\mu >_0.$ Формула (6) выражает известный закон Кюри, который получает в теории Ланжевена теоретическое объяснение.

Теория Ланжевена для диамагнетиков

Характерным свойством диамагнетиков является то, что вектор намагниченности ($\overline$) направлен в них против внешнего поля. Такое положение дел нельзя объяснить при помощи формальной теории магнетизма, предположив, что внутри магнетика имеются магнитные диполи. Существование диамагнетиков объясняется существованием молекулярных токов.

В атомах всех тел имеется большое число перемещающихся электронов. Каждый из этих электронов можно уподобить элементарному круговому току. В отсутствии внешнего магнитного поля магнитные действия рассматриваемых элементарных токов взаимно компенсируют друг друга, так, что атом не является элементарным магнитом. Если вещество внести в магнитное поле, то на каждый движущийся электрон начинает действовать сила Лоренца. Совокупное действие этих сил приводит к тому, что в атоме индуцируется некоторый ток (атом становится элементарным магнитом). Так как возникающие токи являются индукционными, то в соответствии с правилом Ленца, их направление должно быть таково, что магнитный поток индукционных токов должен ослаблять поток внешнего поля. Теория Ланжевена объяснила диамагнетизм не только качественно, но с ее помощью получают величину магнитной восприимчивости.

Примеры задач с решением

Задание. Почему одни вещества являются парамагнетиками, а другие диамагнетиками, если прецессию Лармора в магнитном поле испытывают все электроны любого атома, следовательно, атомы всех веществ являются носителями диамагнитных свойств?

Решение. То, что атомы всех веществ являются носителями диамагнитных свойств, не означает, что вещество в целом является диамагнетиком, поскольку атомы обладают и постоянным суммарным магнитным моментом, который определяет парамагнитные свойства вещества. Если магнитный момент атома большой, то парамагнитные свойства преобладают, значит, вещество является парамагнетиком. Если магнитный момент небольшой, преобладающими оказываются диамагнитные свойства и вещество является диамагнетиком. Так, атомы всех инертных газов обладают полным магнитным моментом равным нулю. Следовательно, инертные газы диамагнитны, для них имеется только один диамагнитный эффект.

Задание. Объясните, почему, говорят, что теория диамагнетизма Ланжевена объясняет диамагнетизм прецессией Лармора?

Решение. Основную идею теории диамагнетизма по Ланжевену можно объяснить, рассматривая рис.1., на котором изображен магнитный диполь, соответствующий изменению магнитного момента электронной орбиты в результате ларморовой прецессии.

Рассмотрим движение электрона внутри атома (рис.1). Если в некоторый момент времени возникает магнитное поле, то движение электрона изменяется, а именно появляется прецессия Лармора. Так как заряд электрона отрицательный $\overline<\omega >\uparrow \uparrow \overline$. На рис.1 это соответствует дополнительному вращению электрона против часовой стрелки, при рассмотрении рисунка сверху. Вращение частицы, несущей отрицательный заряд против часовой стрелки - это то же самое, что ток, который течет по часовой стрелке. При этом дополнительное магнитное поле направлено против внешнего поля $\overline$. Так, существование диамагнетизма можно объяснить наличием прецессии Лармора.

В физике уравнение Ланжевена (названное в честь Поля Ланжевена ) представляет собой стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее временную эволюцию подмножества степеней свободы. Эти степени свободы обычно представляют собой коллективные (макроскопические) переменные, изменяющиеся очень медленно по сравнению с другими (микроскопическими) переменными системы. Быстрые (микроскопические) переменные ответственны за стохастический характер уравнения Ланжевена. Одно из приложений - это броуновское движение , вычисление статистики случайного движения маленькой частицы в жидкости из-за столкновений с окружающими молекулами при тепловом движении.

СОДЕРЖАНИЕ

Исходное уравнение Ланжевена [1] описывает броуновское движение , очевидно случайное движение частицы в жидкости из-за столкновений с молекулами жидкости,

Интересующие нас степени свободы - это скорость частицы, обозначающая массу частицы. Сила, действующая на частицу, записывается как сумма вязкой силы, пропорциональной скорости частицы ( закон Стокса ), и шумового члена (название, данное в физическом контексте терминам в стохастических дифференциальных уравнениях, которые являются случайными процессами ), представляющими собой эффект столкновений с молекулами жидкости. Сила имеет гауссовское распределение вероятностей с корреляционной функцией v > м η ( т ) > \ влево (т \ вправо)> η ( т ) > \ влево (т \ вправо)>

Другой характерной чертой уравнения Ланжевена является наличие коэффициента затухания в корреляционной функции случайной силы, факт, также известный как соотношение Эйнштейна . λ

Другая математическая неоднозначность возникает для (довольно специфических) уравнений Ланжевена с мультипликативным шумом, то есть с членами, такими как правая сторона. Такие уравнения можно интерпретировать согласно схеме Стратоновича или Ито, и если вывод уравнения Ланжевена не говорит, какое из них использовать, это в любом случае вызывает сомнения. См. Исчисление Ито . [2] | v ( т ) | η ( т ) > (t) | > (t)>

Существует формальный вывод типичного уравнения Ланжевена из классической механики. [3] [4] Это типичное уравнение играет центральную роль в теории критической динамики , [5] и других областях неравновесной статистической механики. Вышеприведенное уравнение броуновского движения является частным случаем.

Существенным условием вывода является критерий разделения степеней свободы на категории медленных и быстрых. Например, локальное термодинамическое равновесие в жидкости достигается за несколько времен столкновения. Но требуется гораздо больше времени, чтобы плотности сохраняющихся величин, таких как масса и энергия, релаксировали до равновесия. Таким образом, плотности сохраняемых величин и, в частности, их длинноволновые компоненты являются кандидатами для медленной переменной. Технически это разделение осуществляется с оператором проекции Цванцига , [6] важным инструментом при выводе. Вывод не является полностью строгим, потому что он опирается на (правдоподобные) предположения, аналогичные предположениям, требуемым где-либо еще в базовой статистической механике.

Обозначим через медленные переменные. Тогда общее уравнение Ланжевена выглядит следующим образом: А знак равно < А я > \>>

Читайте также: