Изображение гармонических колебаний с помощью векторных диаграмм кратко

Обновлено: 02.07.2024

Большинство физических процессов имеют динамический характер, когда измеряемые параметры (напряжение электрического поля, сила тока, отклонения маятника или струны) изменяются во времени с определённой частотой повторения. Математический аппарат, применяемый для описания таких колебательных явлений, базируется на использовании гармонических функций, имеющих синусоидальный (или косинусоидальный) вид.

Оказалось, что гармонические колебания можно наглядно описывать в графическом виде с помощью векторных диаграмм (ВД). Колебательный процесс представляется в виде проекции вращающегося вектора на координатную ось (обычно на ось абсцисс Х в прямоугольной системе координат).

Разновидности векторных диаграмм

Основные понятия и обозначения

Колебания — это повторяющийся процесс изменения какой-либо системы (механической, электрической, акустической, тепловой, оптической) вблизи точки равновесия. Типичные примеры:

колебания механического маятника;
повторяющиеся изменения тока и напряжения в электрическом колебательном контуре;
звук, издаваемый музыкальным камертоном.

В общем виде гармоническое колебание описывается формулой:

A(t) — физическая величина, изменяющаяся во времени.
A₀ — амплитуда данной величины.
ω — угловая (циклическая) частота колебаний.
t — время.
φ₀ — начальная фаза.

Когда возникает задача сложения нескольких колебаний, то аналитическое (в виде формул) представление не позволяет судить о действующих соотношениях величин, так как они являются функциями времени. Изображение колебаний (величин A(t)) в виде векторов на плоскости, позволяет добиться наглядности и упрощает анализ количественных параметров системы. При этом колебания совершает проекция на ось абсцисс радиуса-вектора величины A(t) в данный момент времени.

Пускай имеется система, в которой есть два гармонических колебания B₁(t), B₂(t) с равными частотами ω₀. Например, это могут быть токи в электрической цепи или колебания грузиков на пружинках в механической системе. Чтобы получить суммарное колебание, необходимо сложить два выражения: B₁(t) = B₁ * cos(ω₀ * t + φ₁) и B₂(t) = B₂ * cos(ω₀ * t + φ₂)

Отложим на плоскости вектора B₁ и B₂ (см. Рис.2). Сумма этих векторов равна:

Видно, что проекция вектора В на ось X равняется сумме проекций на эту ось векторов B₁ и B₂. Значит, проекция вектора B есть ни что иное, как результирующее колебание. Суммарный вектор вращается с угловой частотой ω₀, значит, в результате получаем гармоническое колебание с амплитудой B и начальной фазой φ₀ = φ₂ - φ₁. Пользуясь теоремой косинусов, получаем:

Видно, что векторное представление позволяет суммировать несколько колебаний с помощью наглядной процедуры сложения векторов.

Типы ВД

Существует два основных типа диаграмм: точные и качественные.

Точные формируются на базе полученных результатов, задающих реальные величины и направления векторов. В итоге можно геометрически получить значение сдвигов фаз и амплитуды искомых величин.
Качественные ВД позволяют сделать начальные оценки о соотношении сравниваемых величин (например, токов в разных ветвях) без учёта числовых значений.

Качественные ВД являются одним из основных инструментов при анализе электрических цепей, наглядно иллюстрирующие положение искомого вектора.

ВД в комплексном представлении

Для построения ВД может также применяться математический аппарат, базирующийся на понятии о комплексных числах. Напомним, что комплексным числом Z называется выражение: Z = a + b*i, где a и b – действительная и мнимая части комплексного числа, i – мнимая единица (i 2 = -1). Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Кроме алгебраической формы, применяется ещё два варианта записи: Z =|Z| * cos⁡(φ)+ i * sin⁡(φ) — тригонометрический, Z = |Z| * e iφ — показательный.

Последний вариант называется формулой Эйлера в честь великого математика, который предложил и обосновал эту формулу в XVIII веке. Комплексное представление гармонических колебаний позволяет упростить сложные тригонометрические вычисления наглядными и менее громоздкими действиями с показательными функциями. Графические ВД, рассмотренные ранее, можно считать аналогом (вариантом) представления гармонических колебаний с помощью комплексных чисел.

Примеры применения

Гармонический осциллятор в механике

Механическая система, будучи выведенная из равновесия, при определённых условиях начинает совершать гармонические колебания под действием возвращающей силы. Такая система называется гармоническим осциллятором. Классические примеры механического осциллятора:

Груз на пружинке, лежащий на горизонтальной поверхности без трения.
Груз на пружинке, подвешенный вертикально в поле силы тяжести.
Математический маятник.
Физический маятник.
Торсионный (крутильный) маятник.

Системы, в которых происходят гармонические колебания, имеют два основных признака:

После выведения из равновесного состояния возникает возвращающая сила (внутренняя), способствующая возврату системы в равновесие.
Величина возвращающей силы F должна быть прямо пропорциональна смещению от точки равновесия x.

F = m*a = -k * x, где: a — ускорение, m — масса, k — константа (модуль упругости).

Поскольку ускорение — это вторая производная координаты точки по времени x ̈ , то дифференциальное уравнение, описывающее поведение гармонического осциллятора будет: x ̈ + ω 2 ₀ * x = 0, где: ω 2 ₀ = k/m.

С помощью универсального уравнения удаётся описать не только механические явления, но и акустические колебания, и электрические (переменный ток, напряжение), а также колебания электронов внутри атомов. Решения данного уравнения представляют собой выражения аналогичные: X(t) = X₀ * sin⁡(ω * t +φ₀) или X(t) = X₀ * cos⁡(ω * t + φ₀)

Свободные гармонические колебания без затухания

Из выражений следует, что гармонический осциллятор совершает свободные гармонические колебания с частотой: ω₀ = √(k/m). Период колебаний: T = 2*π* √(m/k), где π=3,14. Свободные гармонические колебания в графическом представлении с помощью ВД изображаются вращающимся с частотой ω₀ вектором А (Рис.4).

Гармонический осциллятор с затуханием и внешней вынуждающей силой

Гораздо чаще требуется решать задачи, в которых на осциллятор накладывается действие внешней силы, а также имеет место затухание колебаний в связи с наличием силы трения.

m * x ̈ = - k * x - β * x ̇ + f(t), где в правой части уравнения:

первый член — возвращающая сила упругости;
второй член — сила, обусловленная вязким трением, пропорциональная мгновенной скорости тела x ̇;
третий член — сила внешнего воздействия на систему, которая зависит только от времени t и не зависит от координаты x.

Из высшей математики известно, что любую функцию можно представить (разложить) в виде ряда или интеграла Фурье. Значит, решение уравнения может быть сведено к решению с синусоидальной силой:

Метод ВД в данном случае применяется в следующей последовательности:

Одномерные, зависящие от времени величины (x, x ̇; x ̈, f) формально заменяются на двумерные векторы. Векторы должны быть подобраны так, чтобы двумерное движение было исключительно вращательным.
Для выполнения этого условия необходимо, чтобы сумма сил, оказывающая воздействие на осциллятор, была устремлена к одной точке (центр вращения), а количественно равнялась произведению массы осциллятора на центростремительное ускорение.
Далее составляются уравнения для модулей векторов (амплитуды колебаний) и на углы векторов, то есть фазы.
Вращение должно проистекать вокруг точки равновесия, которую следует поместить в начало координат.

Чтобы ускорение было направлено к точке равновесия, необходимо выполнение двух условий для выполнения составляющих (радиальной f_r и перпендикулярной f_p) сил и ускорения по оси вдоль радиуса-вектора по оси ей перпендикулярной. Два условия дают два уравнения:

m * ω 2 * r = k * r - f_r

В результате решения данных уравнений получают выражение для амплитуды колебания при заданной величине вынуждающей силы f:

Из отношения компонент силы f_r и f_p можно найти тангенс угла, под которым вектор силы на ВД наклонён к радиусу-вектору. Таким образом, будет найден сдвиг фазы колебаний x относительно фазы колебаний внешней силы f.

Метод ВД для расчёта электрических цепей

Чаще всего метод ВД применяется при расчётах электрических цепей. В принципе использование комплексного представления для гармонических колебаний более эффективно, чем классическое построение ВД, так как позволяет анализировать схемы любой сложности, состоящие из резисторов, индуктивностей и конденсаторов. К достоинствам ВД следует отнести доступность в приобретении навыков расчёта, в то время как математический аппарат комплексных чисел требует дополнительных знаний.

Самые распространённые случаи использования ВД для анализа — электрические схемы, в которых применяются пассивные элементы: резисторы, конденсаторы, индуктивности. С помощью ВД получается расчётная формула, при этом сама ВД выполняет роль чертежа-схемы, геометрическим способом иллюстрирующего поведение токов в цепи.

Для того чтобы не использовать комплексное представление, было введено понятие реактивного сопротивления конденсаторов и катушек индуктивностей. Это связано с физическими особенностями протекания переменного тока через эти схемные элементы. Основные формулы, связывающие токи и падения напряжений на элементах:

Падение напряжения на обычном (пассивном) сопротивлении: U_R = I * R, где: I — ток, R — сопротивление.
Для конденсатора: C*U_C = ∫Idt, где: C — ёмкость, U_C — падение напряжения на ёмкости. U_L = -L * dI/dt , где: L — индуктивность, U_L — напряжение на индуктивности.
Синусоидальный ток: I(t) = I₀ * cos⁡(ω * t + φ₀) , где: ω — угловая частота, φ₀ — начальная фаза. Тогда напряжение на конденсаторе будет:

Напряжение на индуктивности будет:

Формулы для вычисления напряжений на конденсаторе и индуктивности напоминают классический закон Ома за исключением двух отличий:

пассивное сопротивление R не вызывает сдвига фазы относительно тока;
напряжение на конденсаторе UC отстаёт по фазе на 900;
напряжение на индуктивности UL опережает ток на 900.

На основании последних двух формул вводится понятие реактивного сопротивления Z:

Z_C = 1/ωC — реактивное емкостное сопротивление.

Z_C = ωL — реактивное индуктивное сопротивление.

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье — это математическая операция, позволяющая разложить функцию с вещественной переменной на отдельные составляющие — гармонические колебания с разными частотами. Хорошей аналогией в данном случае служит аккорд на музыкальном инструменте, который состоит из нескольких отдельных звуков (нот) определённой частоты. На выходе преобразования получается набор частот (спектр), присутствующих в сигнале и пропорции амплитудных величин.

Преобразование Фурье вещественной функции u(t) задаётся следующей формулой:

где: u(t) — исходный сигнал, U(f) — изображение по Фурье, параметром которого выступает частота.

Эта математическая операция разлагает исходный сигнал на гармонические составляющие (гармоники). При исследованиях частотных спектров применение ВД в некоторых случаях позволяет получить результаты с хорошей точностью простыми средствами. Помимо этого, ВД полезны в иллюстративном плане для качественного понимания формальных вычислений.

Дифракция

Дифракцией в физике называют отклонение световых (электромагнитных) волн от распространения по законам геометрической оптики. При определённых соотношениях длины волны и параметров среды наблюдаются отклонения от прямолинейного распространения, возникает огибание препятствий и проникновение света в область геометрической тени.

Частным случаем является дифракция Фраунгофера (дифракция в параллельных лучах), когда световой источник и точка, где проводятся измерения (наблюдения), бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию. Как и в предыдущих случаях возникает задача суммирования синусоидальных волн с равными амплитудами, но сдвинутых по фазе на одинаковую величину (предыдущая с последующей). Фазовые сдвиги пропорциональны синусу угла.

Значит, может использоваться метод ВД, в котором каждая синусоида будет представлена вектором. В результате образуется ломаная линия, вписанная в окружность. Переходя к пределу, получится дуга окружности. Суммирующий вектор — это хорда полученной дуги, длина которой рассчитывается по известным геометрическим формулам.

С помощью ВД возможно качественно изучить переход от чисто фраунгоферового случая к более реальному, когда точка наблюдения приближается к щели. Длины векторов становятся неравными, но примерно можно оценить, как изменяется картина, пока расстояние уменьшилось не очень сильно.

Построение ВД напряжений и токов

В качестве примера построения ВД рассмотрим последовательную цепочку из сопротивления R, индуктивности L и конденсатора C. Схема приведена на рисунке ниже.

Напряжения на элементах схемы — U_R, U_L, U_C. Ток в цепи — i.

Пускай в цепи протекает синусоидальный ток с частотой ω и с нулевым сдвигом фазы. Для ненулевого сдвига фазы ВД просто повернётся на этот начальный угол, а общий её вид не изменится. Амплитуды напряжений на каждом элементе в форме закона Ома:

Соответствующие этим амплитудам длины векторов наносятся на ВД. При этом каждый вектор наносится с учетом своего фазового сдвига. Суммарный вектор оказался равен U = U_R + U_L + U_C, но это теперь доказано геометрически на диаграмме.

Модуль суммарного вектора равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике со сторонами |U|_R, (|U|_L - |U|_С). Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно вычислить |U|:

Применив формулы, указанные выше, получим:

Можно вынести за скобки i₀ (амплитуда тока — длина вектора i), тогда:

|U| 2 = i₀ 2 * (R 2 + (ωL - 1/ ωC) 2

Пользуясь последней формулой, можно вычислять амплитуду синусоидального напряжения. Полученные формулы справедливы для случая обратной задачи, когда требуется найти ток в цепи с известным источником напряжения.

Заключение

Приведённые примеры демонстрируют универсальность применения метода ВД для решения разных физических и технических задач. Синусоидальные, повторяющиеся процессы происходят и в других областях знаний (химических и биологических системах). Наглядность и простота использования хорошо сочетаются на начальном этапе обучения, позволяя в дальнейшем перейти к освоению более сложного аппарата комплексного представления гармонических сигналов.

Сложение нескольких колебаний одинакового направления (или, что то же самое, сложение нескольких гармонических функций) значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости.

Возьмем ось, которую обозначим “x”. Из точки О, взятой на оси, под углом a, равным начальной фазе колебаний, отложим вектор длины A (рис. 8.3). Спроектируем вектор A на ось x, получим x₀=Acosa – начальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия. Приведем этот вектор во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью w₀. Положение этого вектора в любые моменты времени будет характеризоваться углами, равными:

Следовательно, проекция конца вектора на некоторую произвольную ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой равной длине вектора, круговой частотой равной угловой скорости вращения вектора и начальной фазой равной углу, образованному вектором с осью в начальный момент времени.

Итак, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью “x” угол равный начальной фазе колебания.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение колеблющегося тела “x” будет суммой смещений x₁ и x₂, которые запишутся следующим образом:

Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Этот способ отличается большей простотой и наглядностью, чем использование тригонометрических преобразований.

Проанализируем выражение для амплитуды. Если разность фаз обоих колебаний a₂ - a₁ = 0, то амплитуда результирующего колебания равна сумме (а₂ + а₁). Если разность фаз a₂ - a₁ = +p или -p, т.е. колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна .

Если частоты колебаний x₁ и x₂ неодинаковы, векторы и будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью, Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не просто гармоническое колебании, а некоторый сложный колебательный процесс.

Гармонические колебания (1.7) допускают наглядную графическую интерпретацию. Ее смысл состоит в том, что каждому гармоническому колебанию с частотой можно поставить в соответствие вращающийся с угловой скоростью вектор, длина которого равна амплитуде а его начальное (стартовое) положение задается углом совпадающим с начальной фазой (рис. 1.5).

Вертикальная проекция вектора изменяется со временем: Мгновенное положение вектора определяется углом который называется фазой и равен:

При угловой скорости (круговой частоте) вектор совершает оборотов (циклов) в секунду, а продолжительность одного оборота (период) равна отношению угла к угловой скорости

С помощью векторных диаграмм легко осуществить сложение гармонических колебаний. Так, если необходимо сложить два гармонических колебания с одинаковыми частотами

то амплитуду и начальную фазу суммарного колебания с той же частотой можно легко рассчитать из рис. 1.6а, на котором графически изображена операция сложения векторов в момент времени

Ясно, что вертикальная проекция вектора будет также изменяться по гармоническому закону с частотой поскольку взаимное расположение векторов и не изменяется с течением времени.

Из этой диаграммы наглядно видно, что суммарное колебание опережает по фазе колебание и отстает по фазе от колебания Полная фаза для каждого из трех колебаний в произвольный момент времени отличается от их начальных фаз на одну и ту же величину которую при построении векторных диаграмм не учитывают. При этом колебание изображается неподвижным вектором (рис. 1.6б), а частота колебания предполагается известной.

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим колебательную систему, состоящую из точечного груза массы и четырех связанных с ним пружин (рис. 1.7) - усложненный вариант рассмотренного выше пружинного маятника.

Если масса движется по гладкой горизонтальной поверхности (на рисунке показан вид сверху), то ее мгновенное расположение описывается двумя смещениями из положения равновесия - точки О: и Такая система обладает двумя степенями свободы. Будем считать смещения малыми, чтобы, во-первых, выполнялся закон Гука, а, во-вторых, при смещении вдоль направления деформации пружин с жесткостью не приводили к сколько-нибудь заметному вкладу в возвращающую силу Аналогично, при смещении в перпендикулярном направлении возвращающая сила При таких условиях колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях происходят независимо друг от друга:

Здесь собственные частоты гармонических колебаний равны

а амплитуды и начальные фазы определяются начальными условиями.

При возбуждении колебаний в такой системе при произвольном соотношении собственных частот и траектория колеблющегося груза может быть чрезвычайно сложной. Ее, в принципе, можно проанализировать, принимая во внимание тот факт, что результирующее движение груза является суперпозицией двух взаимно-перпендикулярных независимых колебаний.

Рассмотрим вначале движение груза, если (жесткости всех пружин одинаковы). Чтобы получить траекторию движения, исключим из (1.19) текущее время. Для этого перепишем (1.19) в виде:

Умножим первое уравнение (1.21) на а второе - на и вычтем второе уравнение из первого. В результате получим

Теперь умножим первое уравнение на а второе - на повторим вычитание и получим

Наконец, возведем в квадрат каждое из равенств (1.22) и сложим их. В результате время будет исключено, а уравнение траектории движущегося груза будет уравнением эллипса:

Таким образом, в общем случае груз будет совершать периодические движения по эллиптической траектории. Направление движения вдоль траектории и ориентация эллипса относительно осей Os₁ и Os₂ зависят от начальной разности фаз На рис. 1.8 изображены траектории движения груза при различных значениях

Все траектории заключены в прямоугольник со сторонами и При и груз движется по прямой линии. При и полуоси эллипса совпадают с Os₁ и Os₂ (при эллипс вырождается в окружность). При разности фаз груз движется по часовой стрелке, а при - против часовой стрелки.

Типичным примером двумерного осциллятора (маятника) является электрон в атоме , который движется вокруг ядра по эллиптической орбите с периодом обращения Можно считать, что такой электрон одновременно совершает два взаимно-перпендикулярных колебания с частотой

Если частоты двух взаимно-перпендикулярных колебаний не совпадают, но являются кратными: где и - целые числа, то траектории движения представляют собой замкнутые кривые, называемые фигурами Лиссажу (рис. 1.9). Отметим, что отношение частот колебаний равно отношению чисел точек касания фигуры Лиссажу к сторонам прямоугольника, в который она вписана.

Если кратность между частотами отсутствует, то траектории не являются замкнутыми и постепенно заполняют весь прямоугольник, напоминая нить в клубке.

На плоскости выбирают произвольно направленную координатную ось Ох. Из начала координат под углом , равным начальной фазе колебаний, проводят вектор , модуль которого равен амплитуде гармонического колебания A (рис. 3). Если вектор вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью против часовой стрелки, то угол между вращающимся вектором и осью Ох в любой момент времени определится выражением . Проекция конца вектора будет перемещаться по оси Ох и принимать значения от —А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону .

Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды , отложенного от произвольной точки оси под углом , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью вокруг этой точки.

Читайте также: