История возникновения фракталов кратко

Обновлено: 03.07.2024

Математика открывает свои тайны

только тому, кто занимается ею

ради её собственной красоты

В связи с этим, по-моему мнению, данная наука молода и велик простор её изучения. Все, что существует в реальном мире, является фракталом – это и есть гипотеза.

Объект исследования: фракталы в математике и в реальном мире.

Предмет исследования: фрактальная геометрия.

Цель исследования: изучение новой ветви математики – фракталы, как основы применения её в реальной жизни.

v изучение литературы по теме исследования;

v познакомиться с понятием, историей возникновения и исследованиями Б.Мандельброта, Г. Коха, В. Серпинского и др.;

v найти подтверждение теории фрактальности в окружающем нас мире;

v определить области применения фракталов;

v провести анкетирование для выяснения значимости теории фракталов;

v проведение эксперимента по созданию собственных фрактальных изображений.

Краткая история возникновения фракталов.

Фрактал — термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Для математических объектов, к которым оно относится, характерны чрезвычайно интересные свойства. В обычной геометрии линия имеет одно измерение, поверхность — два измерения, а пространственная фигура трехмерна. Фракталы же — это не линии и не поверхности, а, если можно это себе представить, нечто среднее. Это величина не целая, а дробная, а потому граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру. Такая геометрическая регулярность называется масштабной инвариантностью или самоподобием. Она-то и определяет дробную размерность фрактальных фигур. Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Георг Кантор (Cantor, 1845-1918) – немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек. Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Получалась, так называемая, Пыль Кантора (рис. 1).

Рис.1. Пыль Кантора

Рис. 2. Кривая Пеано

В основном фракталы классифицируют по трём группам:

1. Алгебраические фракталы

2. Стохастические фракталы

3. Геометрические фракталы

Рассмотрим подробнее каждую из них.

Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают своё название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых. К ним можно отнести фрактал Мандельброта (рис. 3), фрактал Ньютона (рис.4) и многие другие [4].

Рис. 3. Фрактал Мандельброта Рис.4. Фрактал Ньютона

Интересный факт, некоторые алгебраические фракталы поразительным образом напоминают изображения животных растений и других биологических объектов, вследствие чего получили название биморфов.

Фракталы этого класса самые наглядные. Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал. Примерами геометрических фракталов могут служить:

1) Кривая Коха. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую

бесконечной длины, называемую снежинкой Коха. Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т.д.

2) Кривая Леви — фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви (рис. 5).

Рис. 5. Кривая Леви

3) Кривая Минковского — классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломаная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга).

4) приведем пример кривой Пеано, для которой область, которую она заполняет на плоскости, имеет весьма причудливую форму. Это так называемый дракон Хартера-Хейтуэя.

Также ещё одним несложным представителем геометрического фрактала является квадрат Серпинского. Строится он довольно таки просто: Квадрат делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата удаляется центральный квадрат. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов "первого ранга". Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множесто, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность или квадрат Серпинского.

Третьей крупной разновидностью фракталов являются стохастические фракталы, которые образуются путем многократных повторений случайных изменений каких-либо параметров. Термин "стохастичность" происходит от греческого слова, обозначающего "предположение".

В результате итерационного процесса получаются объекты очень похожие на природные фракталы — несимметричные деревья, изрезанные лагунами береговые линии островов и многое другое. Двумерные стохастические фракталы используются преимущественно при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Эта группа фракталов получила широкое распространение благодаря работам Майкла Барнсли из технологического института штата Джорджия.

Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив.

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:

Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Это фрактальное сжатие изображений.

В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью. Также фрактальную геометрию используют для устройств проектировании антенных. Впервые это было применено американским инженером Натаном Коэном, который жил тогда в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. [6]

Данная работа является введением в мир фракталов. Мы рассмотрели только самую малую часть того, какие бывают фракталы, на основе каких принципов они строятся.

В будущем планируем научиться строить алгебраические фракталы, когда более подробно изучим комплексные числа. Мы попробовали построить свои фрактальные изображения в программе Apophysis, также сделали несколько фракталов из бумаги и выполнили свои рисунки.

В нашей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Следует отметить, что со времени возникновения теории прошло чуть более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков. При подготовке данной работы нам было очень интересно находить пxрименения теории на практике. Потому что очень часто возникает такое ощущение, что теоретические знания стоят в стороне от жизненной реальности.

Нам удалось показать, все, что существует в реальном мире, является фракталом. Мы убедились, что тому, кто занимается фракталами, открывается прекрасный, удивительный мир, в котором царят математика, природа и искусство. Очень надеемся, что после знакомства с нашей работой, вы, как и мы, убедитесь в том, что математика прекрасна и удивительна!

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

I .Введение

«Математика открывает свои тайны только тому, кто занимается ею

Любопытную мысль приводит в своей книге "Фрактальная геометрия природы" американский математик Бенуа Мандельброт (рис.1): "Почему геометрию часто называют

холодной и сухой? Одна

Рис.1 из причин заключается в том, что

В связи с этим, по-моему, мнению, данная наука молода и велик простор её изучения. Все, что существует в реальном мире, является фракталом – это и есть гипотеза.

Объект исследования: фракталы в математике и в реальном мире.

Предмет исследования: фрактальная геометрия.

Цель исследования: изучение новой ветви математики – фракталы, как основы применения её в реальной жизни.

Задачи исследования:

изучение литературы по теме исследования;

познакомиться с понятием, историей возникновения и исследованиями Б.Мандельброта, Г. Коха, В. Серпинского и др.;

найти подтверждение теории фрактальности в окружающем нас мире;

определить области применения фракталов;

провести анкетирование для выяснения значимости теории фракталов;

проведение эксперимента по созданию собственных фрактальных изображений.

Ожидаемые результаты: В ходе работы, я смогу расширить свои знания в области математики, увидеть красоту фрактальной геометрии, начать работу по созданию своих фракталов.

II .Основная часть

2.1. Основные теоретические сведения.

2.1.1. Краткая история возникновения фракталов.

Фрактал — термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. Для математических объектов, к которым оно относится, характерны чрезвычайно интересные свойства. В обычной геометрии линия имеет одно измерение, поверхность — два измерения, а пространственная фигура трехмерна. Фракталы же — это не линии и не поверхности, а, если можно это себе представить, нечто среднее. Это величина не целая, а дробная, а потому граница фрактальной фигуры не линия: при большом увеличении становится видно, что она размыта и состоит из спиралей и завитков, повторяющих в малом масштабе саму фигуру. Такая геометрическая регулярность называется масштабной инвариантностью или самоподобием. Она-то и определяет дробную размерность фрактальных фигур.[3] Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Георг Кантор (Cantor, 1845-1918) – немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек. Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Получалась, так называемая, Пыль Кантора. (Рис.2) [3]

Рис.3, Кривая Пеано

2.1.2. Классификация фракталов.

В основном фракталы классифицируют по трём группам:

Рассмотрим подробнее каждую из них.

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Они оправдывают своё название, так как строятся на основе алгебраических формул, иногда довольно простых. К ним можно отнести фрактал Мандельброта (рис.4), фрактал Ньютона (рис.5), множество Жюлиа (рис.6) и многие другие.[4]

Рис.4, фрактал Мандельброта рис.5, Фрактал Ньютона

Рис. 6,множества Жюли Интересный факт, некоторые алгебраические фракталы поразительным образом напоминают изображения животных растений и других биологических объектов, вследствие чего получили название биморфов. [4] \

Геометрические фракталы [5]

1)Кривая Коха. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую

бесконечной длины, называемую снежинкой Коха (рис. 7). Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три

части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д. [5]

2) Кривая Леви — фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви (Рис.8).

Рис.8, Кривая Леви П.Леви (1886-1971)

3) Кривая Минковского — классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломаная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга) (Рис. 9) [1]

Рис.9 Г.Минковский (1864-1909)

4 ) приведем пример кривой Пеано, для которой область, которую она заполняет на плоскости, имеет весьма причудливую форму. Это так называемый дракон Хартера-Хейтуэя. Первые 4 шага его построения изображены на рис.10.

Как следует из рисунка, каждый из отрезков прямой на следующем шаге заменяется на два отрезка, образующих боковые стороны равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого

Рис.10 исходный отрезок являлся бы гипотенузой. В результате отрезок как бы прогибается под прямым углом. Направление прогиба чередуется. Первый отрезок прогибается вправо (по ходу движения слева направо), второй - влево, третий - опять вправо и т.д. [1]

Рис.11, А. Е. Босман Дерево Пифагора

Рис.12 В. Серпинский (1882 -1969),

Стохастические фракталы [5]

Третьей крупной разновидностью фракталов являются стохастические фракталы , к оторые образуются путем многократных повторений случайных изменений каких-либо параметров. Рис.13 Термин "стохастичность" происходит от греческого слова, обозначающего "предположение".

Рис.14, папоротник Барнсли М.Барнсли (род. 1946 г)

Он пытался кодировать изображения с помощью фракталов. Запатентовав несколько идей по кодированию изображений с помощью фракталов, он основал фирму "Iterated Systems", которая через некоторое время выпустила первый продукт "Images Incorporated", в котором можно было изображения переводить из растровой формы во фрактальную FIF. Это позволяло добиться высоких степеней сжатия. При низких степенях сжатия качество рисунков уступало качеству формата JPEG, но при высоких картинки получались более качественными.

Типичный представитель данного класса фракталов " Плазма" . (Рис.15)

Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла Рис.15, плазма определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста, фотореалистичные горы готовы. (Рис.16) [6]

Рис.16, фон для рабочего стола

2.1.3. Фракталы в природе. [5]

Папоротник, цветок подсолнуха и хойи так же являются хорошим примером фрактала среди флоры.

П авлины всем известны своим красочным опереньем, в котором спрятаны сплошные фракталы.

Л ёд, морозные узоры на окнах это тоже фракталы. От увеличенного изображения листочка, до ветвей дерева - во всём можно обнаружить фракталы. Фракталы есть везде и всюду в окружающей нас природе. Вся Вселенная построена по удивительно гармоничным законам с математической точностью. Разве можно после этого думать, что наша планета это случайное сцепление частиц? Едва ли.

2.1.4. Доказательство того, что части фрактала в каком-то смысле подобны целому на примере бесконечно убывающей геометрической прогрессии. (Смотреть приложение 1)

2.2. Применение фракталов

О дни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Это фрактальное сжатие изображений.

Фракталы в естественных науках. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбации, пламя, облака и т.д. фракталы применяются для моделирования пористых материалов, например, в нефтехимии. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше п онять динамику сложных потоков. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов. На данное время фракталы находят, и вероятно будут находить применение в медицине. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фрактально подобных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи и т.д.

2.3. Результаты анкетирования. (Смотреть приложение 2)

2.4. Создание своих фракталов. Практическая работа. (Смотреть приложение 3)

III. Заключение

Данная работа является введением в мир фракталов. Я рассмотрел только самую малую часть того, какие бывают фракталы, на основе каких принципов они строятся.

Фрактальная графика - это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Вся окружающая нас природа состоит из них. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, с помощью фракталов создаются множество спецэффектов, различных сказочных и невероятных картинок и т.д. Также с помощью фрактальной геометрии рисуются деревья, облака, берега и вся другая природа. Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день.[1]

В будущем планирую научиться строить алгебраические фракталы, когда более подробно изучим комплексные числа. Я попробовал построить свои фрактальные изображения в программе Apophysis , также сделал несколько фракталов из бумаги и выполнил свои рисунки.

В моей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Следует отметить, что со времени возникновения теории прошло чуть более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков. При подготовке данной работы нам было очень интересно находить применения теории на практике. Потому что очень часто возникает такое ощущение, что теоретические знания стоят в стороне от жизненной реальности.

Мне удалось показать, все, что существует в реальном мире, является фракталом. Я убедился, что тому, кто занимается фракталами, открывается прекрасный, удивительный мир, в котором царят математика, природа и искусство. Очень надеюсь, что после знакомства с моей работой, вы, как и я, убедитесь в том, что математика прекрасна и удивительна!

IV. Список источников информации

С.В. Божокин, Д.А.Паршин . Фракталы и мультифракталы. РХД 2001 г.

V. Приложения.

Приложение 1

2.1.4. Доказательство того, что части фрактала в каком-то смысле подобны целому на примере бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

В 9 классе изучается только геометрическая прогрессия, но мне учитель помог разобраться, в том, что если сложить части фракталов, то получиться единица. Это подтверждает само определение фракталов, данное самим Мандельбротом. Рассмотрим Пыль Кантора, треугольник, квадрат и снежинку Серпинского, а также формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии: ,где b₁ –первый член, q – знаменатель.

Приложение 2

Анализ результатов анкетирования.

В анкетировании приняли участие:

1.Известно ли вам, что такое фрактал?

Ответы на первый вопрос

2.Встречались ли вы с фракталами и в чем это проявлялось?

Ответы на второй вопрос

3.Хотели бы вы узнать подробнее, что такое фрактал?

Выводы: анкетирование учащихся показало, что потребность в исследовании действительно есть. Из представленных диаграмм наглядно видно, что подавляющее большинство опрошенных учащихся не знают о фракталах ничего и хотят узнать, что это такое и где находят применение.

Приложение 3

Геометрические фракталы

Фрактальные рисунки с закрытыми глазами, а раскрашивание с открытыми глазами.

Это динамическая медитация! Это реальный способ остановить бесконечный бег мыслей в твоей голове. Когда останавливаются мысли, отдыхает сердце и душа! Это прекрасно!

Раскрашивая, мы развиваем мелкую моторику (это никогда не поздно), и расслабляем лицевые мышцы, что ведет к уменьшению морщин. Представляете!

Фракталы своими руками

Фрактальные изображения в программе Apophysis ,с помощью перемещения треугольников в пространстве.

Что такое фрактал? Как устроен мир вокруг нас? Что лежит в основе всего? Почему наша Галактика по форме похожа на раковину Наутилуса, человеческий глаз на космическую туманность, а клетки мозга на всю нашу Вселенную?

Кому из вас не доводилось видеть похожие формы в живых и неживых объектах? Будто одна и та же формула, пронизывает всё вокруг.

Рис. 1. Фотография Вселенной, клетки мозга, рождение звезды, деление клетки, глаз человека и туманности

Схожие формы встречаются повсюду, от микро- до макромира: в минералах, растениях и животном мире, в структуре ДНК, в природных явлениях (циклоны, молнии, береговые линии), планетарных системах и звёздных скоплениях. Они присутствуют и в живых организмах.

Каковы закономерности и в чём причина такого сходства? Объяснением этому является фрактал. Фрактальность также прослеживается как в самом человеке, так и во взаимоотношениях в семье, коллективе и обществе в целом.

Рис. 2. Пример фракталов: клетки лука и эзоосмическая решётка

Можно сказать, что фрактал – это узор, который повторяет сам себя в разных масштабах до бесконечно малого или/и бесконечно большого. Он рождается не просто повторением форм, а скорее повторением процесса, который применяется к форме. Бесконечная цепочка самопостроения.

Она имеет сложное строение. Если мы возьмем нож, отрежем один бутончик и присмотримся, то увидим – это та же капуста только меньшего размера. Можно продолжить эксперимент и резать дальше – получаются более мелкие образцы капусты.

История открытия фракталов

Опираясь на найденные интересные артефакты, мы видим, что знаниями о фракталах располагали люди ещё в древности. Их изображение мы находим на керамике Трипольской культуры (с 5450 по 2700 год. до н. э.), в очертаниях построения селений и городищ, архитектуре зданий. Более подробно об этом будет рассказано во второй части статьи.

К примеру, выдающемуся зодчему Древнего Египта Имхотепу удалось возвести первую в той стране ступенчатую пирамиду – грандиозное фрактальное сооружение с чёткими математическими пропорциями. К слову сказать, группа близких Имхотепу людей называли Бога не иначе как Великим Зодчим Мироздания. А во времена существования ордена Тамплиеров по всей Европе получил широкое распространение готический стиль архитектуры – воплощение сакральной геометрии и фрактальных узоров в камне.

Однако, со временем учёные выбрали другой, материалистический путь развития науки, который увёл нас далеко от этих знаний, и божественные законы были забыты.

В области изучения фракталов ещё в конце ХIX – начале ХХ веков работали многие учёные: Пьер Фату, Жюль Анри Пуанкаре, Георг Кантор, Феликс Хаусдорф, Гастон Жюлиа. Они и заложили математическую базу для появления теории фракталов.

Появление вычислительных устройств позволило ускоренно проводить итерации (многократно повторяющийся процесс вычисления) и визуализировать формулы. А сама идея ввести формулу Гастона Жюлиа в компьютер и с его помощью произвести громоздкие расчеты пришла в голову Мандельброту приблизительно в 1977 году. Раз за разом, меняя переменную C, он получал новые удивительные изображения. Таким образом, множества Жюлиа приобрели геометрические формы. (см. Множества Жюлиа). В 1980 г. программа отпечатала нечто похожее на кляксу. (см. фрактал Мандельброта). Это простое на первый взгляд изображение при приближении выявляет в себе новые и новые отображения множеств Жюлиа, которым нет предела.

Рис. 4. Изображения фракталов. Фрактал Мандельброта. Множество Жюлиа

Много современных учёных успешно работали в данном направлении. Заслуга Бенуа заключается в том, что он первым визуализировал уже имеющиеся формулы, показав всему миру их невероятную красоту, и дал ныне существующее название этому явлению.

Виды фракталов

Фракталы бывают разных видов, рассмотрим некоторые из них:

геометрические;
алгебраические;
стохастические;
концептуальные (социокультурные, непространственные и т.д.)

Геометрические виды фракталов являются самыми наглядными и простыми в строении. Увидеть их может любой человек. Множество таких фракталов можно нарисовать на обычном листке бумаги в клетку. Примером являются: Треугольник Серпинского, Снежинка Коха, Н-фрактал, Т-фрактал, Дракон, Кривая Леви, Дерево Пифагора.

Рис. 5. Примеры геометрических фракталов

Он строится путём многократного разделения отрезка линии на 3 равные части и замены средней части на 2 новых отрезка той же длины. Число сторон каждый раз учетверяется, вследствие чего становится бесконечно великим. Периметр снежинки имеет бесконечную длину, но площадь при этом конечна, так как фигура является замкнутой.

Рис. 7. Примеры фрактальных антенн

Возьмём равносторонний треугольник, отметим середины его сторон.

Соединим срединные точки прямыми линиями. Образовались 4 треугольника.

Теперь повторим эту операцию с каждым из вновь образовавшихся треугольников. И так до бесконечности.

Рис. 8. Построение треугольника Серпинского

Из этого примера легко увидеть, что количество треугольников увеличивается, и сумма их периметров (сумма сторон треугольников) стремится к бесконечности, а сумма площадей – к нулю.

Это самая крупная группа фракталов, которая базируется на основе разных алгебраических формул. Ярким примером является фрактал Мандельброта. В настоящее время их принято отображать в цвете. Получаются красивейшие необычные орнаменты, которые используют, например, в дизайне одежды.

Рис. 9. Изображения алгебраических фракталов

Не менее популярным является способ построения, основанный на комплексной динамике. В результате образуются фракталы, напоминающие живые организмы – биоморфы. (рис.10).

Молния
Ионосфера
Северное сияние
Пламя

Рис. 11. Стохастические фракталы

Концептуальные (социокультурные, непространственные) фракталы

Дедка, бабка, внучка.

Дедка, бабка, внучка, Жучка и т.д.

Фрактальность наблюдается в организации человеческих поселений (страна – город – квартал); в распределении общества на группы (народ – социокультурная группа – семья – человек). Сюда же отнесём фрактальность взаимоотношений, которые начинаются с самого человека. Меняется человек, его восприятие, внутреннее состояние – изменяется взаимоотношение в семье, коллективе, в итоге преобразуется всё общество. Прослеживается фрактальность в иерархических системах управления.

ФРАКТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ПРИРОДЕ

Рис. 12. Фракталы в природе

Один из наглядных примеров фрактальной формы – береговые линии, которые отличаются друг от друга степенью своей изрезанности. Нет абсолютно одинаковых протоков, но их общие очертания как будто нарисованы одним лекалом. Эти очертания независимо от размера очень похожи. Маленький проток – это уменьшенная копия большого. Если увеличить верхний правый угол картинки, то она будет аналогична всей картине, изображенной на рисунке.

Рис. 13. Береговые линии

Растительный мир нашей зелёной планеты богат и разнообразен. На первый взгляд кажется, что в нём нет никакой закономерности: растения в лесу расположены беспорядочно, ветки с листьями на растениях тоже. Но возьмём, к примеру, дерево. Если рассматривать дерево поднимаясь от основания к вершине, то видно, как от ствола отходят большие ветви, на больших ветвях идёт такое же разветвление меньших веток, и дальше форма разветвления в любой части дерева будет повторяться, лишь уменьшаясь в размере к вершине. И зная принципы построения фракталов, изучив все закономерности расположения веток на вершине дерева, нетрудно догадаться, как выглядит это же дерево у своего основания.

Крона – это видимая часть дерева, которая является отражением корневой системы. А корни, в свою очередь, тоже имеют ярко выраженное фрактальное строение. (рис.14, б).

Рис. 14. Фракталы в природе на примере дерева

Самое интересное, что прожилки на листьях тоже образуют фрактальный рисунок, очень похожий на плоское миниатюрное дерево (рис.15). Нет листьев с одинаковым рисунком, так же как нет людей с одинаковым отпечатком пальца. Рисунок на каждом листе уникален.

Рис. 15. Фрактальность в листьях

Комнатное растение (королевская бегония) – яркий пример проявления фракталов в рисунке листьев. Маленькие листочки по форме и сочетанию цветов аналогичны большим, хотя и не являются их точной копией (рис.16).

Рис. 16. Листья королевской бегонии

Один из самых старых видов наземных растений – папоротники. Учёные полагают, что они существуют более 350 млн. лет. Строение листа этого растения очень похоже на компьютерный фрактал (рис.17). Именно это растение является ярким доказательством того, что чем древнее биологическая форма, тем чётче в ней прослеживается фрактал, то есть форма организма строится по простым правилам.

Рис. 17. Листья папоротников

Съедобные растения тоже несут в себе формы самоподобия. Красная капуста в продольном срезе имеет фрактальный рисунок. (рис.18)

Рис. 18. Фото разных сортов капусты

Казалось бы, тугой кочан капусты, а его красота может вдохновить даже художника. Белые утолщения центральных черенков плотно прижатых листьев образуют волшебный фрактальный лабиринт.

Лишайники так же как папоротники и мхи – это самые древние представители растительного мира, поэтому фракталы в них выражены особенно ярко. В их узлах содержатся те же фрактальные формы, что и по краям.

Фрактальность мироустройства, энергии.
Спираль как фрактал

Мир вокруг нас разнообразен. Многие объекты, существующие в природе, являются фракталами. В их основе лежит Божественная пропорция (число Фи) – это Золотое сечение и золотая спираль, благодаря которой мы воспринимаем красоту и гармонию природы, пропорциональность строения человека, древней архитектуры, классических произведений искусства.

Золотая спираль строится фрактальным способом: прямоугольник с золотой пропорцией. 1,618 (число Фи) разбивают на малые квадраты и проводят дугу. То есть в спиралях большая дуга переходит в подобную меньшую и т.д.

Рис. 20. Золотое сечение

Спираль сама по себе является фракталом, в котором каждый новый виток копирует предыдущие, но в новом масштабе. Прямая взаимосвязь между мироустройством микро- и макромира и формой спирали свидетельствует о фрактальном устройстве Вселенной.

Здесь же мы читаем, что в мифологии древних народов основные моменты о сотворении мира схожи. Говорится, что из мира Бога появился Первичный Звук, который породил Вселенную в форме шара. А на его поверхности под действием сил Аллата (первичной энергии, порождающей жизненное движение) стала образовываться материя, которая благодаря тем же силам начала взаимодействовать между собой.

Весь мир создан по математическим пропорциям, и древние об этом знали и отразили своё знание в мифах о сотворении мира. Спираль и последовательность Фибоначчи – это тоже фракталы.

Понятие о двух противодействующих силах Вселенной запечатлены на артефактах разных культур и эпох символом спиралей, закрученных в разные стороны.

Рис. 20. Артефакты с символом спираль в культурах мира

Науке уже известно о спиральных структурах и спиралевидном движении энергии. В этом движении также обнаруживаются фрактальные свойства. Их можно увидеть в космосе, в теле человека, в растениях и природных явлениях (облака, циклоны, водовороты).

Физики наблюдали, как в турбулентных потоках большие вихри порождают вихри поменьше, а те ещё меньше, и такое деление спиралевидных энергий наблюдалось до тех видимых пределов, которые технически были доступны учёным.

Фрактальные свойства присутствуют в структуре и движении энергии электрического разряда, воды, в росте растений и т.д.

Чем полезны знания о фракталах

Понимание фрактального устройства упростило многие сферы научных исследований. Удивительная особенность фракталов – повторение аналогичного паттерна в разных масштабах – позволяет нам, изучив малую часть какого-либо события или явления, предполагать об устройстве целого.

Это свойство позволило более точно рассчитывать площади неровных изломанных поверхностей. Например географических, таких как береговые линии, облака, или биологических – внутренняя поверхность лёгких или нервных волокон.

Рис. 21. Изображение структуры лёгких

Фрактальное строение ландшафта позволило создавать 3D модели гор, облаков, берега, что широко используется в компьютерной графике кинематографа, программ обучения водителей, лётчиков, а также в компьютерных играх. По факту, это есть создание иллюзорной копии нашего мира (иллюзии внутри иллюзии).

В технической сфере мы научились производить фрактальные антенны, которые позволяют значительно уменьшить размеры конструкции, и расширить диапазон принимаемых частот без увеличения объёма и громоздкости.

Применение фрактального свойства в архитектуре привело к появлению новых необычных форм с увеличением прочности строений.

Знания о фракталах нашли применение во всех сферах жизни человека – в физике, экономике, культуре, биологии, геологии и т.д.

Но главное – это реальный шанс по-новому взглянуть на мироустройство, которое пронизано фракталами вдоль, поперёк и насквозь. Например, изучение галактики, позволило учёным приблизиться к пониманию о строении Вселенной и о параллельных мирах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как видим, фракталы – это не нечто обособленное и непонятное. Они наполняют нашу жизнь. Знания о фрактальном построении мира имелись у людей издревле. Мы провели небольшое исследование и нашли интересные факты, связанные с древностью фракталов, способами их применения в архитектуре и проявлений как в самом человеке, так и в обществе.

Во второй части нас ждёт захватывающее путешествие в историю, архитектуру, музыку. У нас будет возможность понять, как изменения в неизмеримо малом могут привести к глобальным трансформациям. И что может сделать человек как единица общества, чтобы наступило золотое тысячелетие, о котором люди мечтают с давних пор.

Конец первой части

Список литературы:

Смирнова А. С., Готический стиль в архитектуре и психология. (Научные труды Института Непрерывного Профессионального Образования. №4/2014.

Cтатья из Вестника Брестского гос. техн. унив-та. 2015 №1: Колосовская А.Н. Архитектурные сооружения духовно-рыцарский орденов.

Г.М. Вдовин Г.М., Трубецков Д.И., Столетие фрактальной геометрии: От Жюлиа и Фату через Хаусдорфа и Безиковича к Мандельброту. Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. Россия. 2020.

Елена Владимировна Чернова — ведущий программист Института общей физики им. А. М. Прохорова РАН. Область научных интересов — рост кристаллов, базы данных, обработка изображений.

Хаос — это порядок, который нужно расшифровать.

Новое — это хорошо забытое старое

Позволю себе еще одну цитату из Глейка:

Ретроспективу подобных воззрений можно обратить гораздо дальше в глубь истории. Один из основных принципов магии — неотъемлемой ступени развития любого общества — состоит в постулате: часть подобна целому. Он проявлялся в таких действиях, как захоронение черепа животного вместо всего животного, модели колесницы вместо самой колесницы и т. д. Сохраняя череп предка, родственники считали, что он продолжает жить рядом с ними и принимать участие в их делах.

А наш современник, американский кибернетик Рон Эглэш, исследуя культуру африканских племен и южноамериканских индейцев, сделал открытие: с древних времен некоторые из них использовали фрактальные принципы построения в орнаментах, узорах, наносимых на одежду и предметы быта, в украшениях, ритуальных обрядах и даже в архитектуре. Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги — дома, внутри которых еще более мелкие круги — дома духов. У иных племен вместо кругов элементами архитектуры служат другие фигуры, но они также повторяются в разных масштабах, подчиненных единой структуре. Причем эти принципы построения не были простым подражанием природе, но согласовывались с бытующим мировоззрением и социальной организацией [3].

Наша цивилизация, казалось бы, ушла далеко от первобытного существования. Однако мы продолжаем жить в том же мире, нас по-прежнему окружает природа, живущая по своим законам, несмотря на все попытки человека приспособить ее к своим нуждам. Да и сам человек (не будем забывать об этом) остается частью этой природы.

Герт Эйленбергер, немецкий физик, занявшийся изучением нелинейности, как-то заметил:

У истоков теории хаоса

Что мы понимаем под хаосом? Невозможность предсказать поведение системы, беспорядочные скачки в разных направлениях, которые никогда не превратятся в упорядоченную последовательность.

Первым исследователем хаоса считается французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре. Еще в конце XIX в. при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются от конкретной точки, и не приближаются к ней.

Рис. 1. Аттрактор Лоренца — набор траекторий в фазовом пространстве [5]

В 1972 г. математик из Мэрилендского университета Джеймс Йорк прочитал вышеупомянутую статью Лоренца, которая поразила его. Йорк увидел в статье живую физическую модель и посчитал своей святой обязанностью донести до физиков то, чего они не разглядели в работах Лоренца и Смэйла. Он направил копию статьи Лоренца Смэйлу. Тот изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог (Лоренц) десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной, и разослал копии всем своим коллегам.

Биолог Роберт Мэй, друг Йорка, занимался изучением изменений численности популяций животных. Мэй шел по стопам Пьера Ферхлюста, который еще в 1845 г. обратил внимание на непредсказуемость изменения численности животных и пришел к выводу, что коэффициент прироста популяции — величина непостоянная. Иными словами, процесс оказывается нелинейным. Мэй пытался уловить, что случается с популяцией в момент приближения колебаний коэффициента роста к некоторой критической точке (точке бифуркации). Варьируя значения этого нелинейного параметра, он обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего. При определенных условиях периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали.

К середине 80-х годов ситуация сильно изменилась. Идеи фрактальной геометрии объединили ученых, озадаченных собственными наблюдениями и не знавшими, как их интерпретировать. Для исследователей хаоса математика стала экспериментальной наукой, компьютеры заменили собой лаборатории. Графические изображения приобрели первостепенную важность. Новая наука дала миру особый язык, новые понятия: фазовый портрет, аттрактор, бифуркация, сечение фазового пространства, фрактал.

Бенуа Мандельброт, опираясь на идеи и работы предшественников и современников, показал, что такими сложными процессами, как рост дерева, образование облаков, вариации экономических характеристик или численности популяций животных управляют сходные, по сути, законы природы. Это определенные закономерности, по которым живет хаос. С точки зрения природной самоорганизации они намного проще, чем искусственные формы, привычные цивилизованному человеку. Сложными их можно признать лишь в контексте евклидовой геометрии, поскольку фракталы определяются посредством задания алгоритма, и, следовательно, могут быть описаны с помощью небольшого объема информации.

Фрактальная геометрия природы

Капуста Романеско, родственница хорошо всем знакомой цветной капусты. Фото В. Ц. Бонджоловой

Слово фрактал происходит от латинского fractus — дробленый, сломанный, разбитый на куски. Под фракталом подразумевается математическое множество, обладающее свойством самоподобия, т. е. масштабной инвариантности.

Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации. Конечно, различные ветви дерева, например, не могут быть точно совмещены друг с другом, но их можно считать подобными в статистическом смысле. Точно так же формы облаков, очертания гор, линия морского берега, рисунок пламени, сосудистая система, овраги, молния, рассматриваемые при различных масштабах, выглядят подобными. Хотя эта идеализация и может оказаться упрощением действительности, она существенно увеличивает глубину математического описания природы.

Рис. 3. Множество Мандельброта для процесса х → х 2 + C . Изображенная фигура показывает соответствие различным значениям параметра C различных типов множеств Жюлиа. Оттенки цвета соответствуют линиям, отражающим динамику критической точки x = 0 [5]

Интересно проследить путь, которым Мандельброт шел к своим открытиям. Бенуа родился в Варшаве в 1924 г., в 1936 семья эмигрировала в Париж. Окончив Политехническую школу, а затем и университет в Париже, Мандельброт переехал в США, где отучился еще и в Калифорнийском технологическом институте. В 1958 г. он устроился в научно-исследовательский центр IBM в Йорктауне. Несмотря на чисто прикладную деятельность компании, занимаемая должность позволяла ему вести исследования в самых разных областях. Работая в области экономики, молодой специалист занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более 100 лет). Анализируя симметрию длительных и кратковременных колебаний цен, он заметил, что эти колебания в течение дня казались случайными и непредсказуемыми, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Для решения этой задачи он впервые использовал свои разработки будущей фрактальной теории и графическое отображение исследуемых процессов.

Для описания подобных явлений Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности. Фрактальная размерность объекта служит количественной характеристикой одной из его особенностей, а именно — заполнения им пространства.

Лес, нарисованный на оконном стекле художником-морозом (дендриты кристаллов льда)

Итак, с математической точки зрения, фракталом называется множество, для которого размерность Хаусдорфа — Безиковича строго больше его топологической размерности и может быть (а чаще всего и является) дробной.

Необходимо особо подчеркнуть, что фрактальная размерность объекта не описывает его форму, и объекты, имеющие одинаковую размерность, но порожденные различными механизмами образования, зачастую совершенно не похожи друг на друга. Физические фракталы обладают скорее статистическим самоподобием.

Дробное измерение позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости, шероховатости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее длины, обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных измерений объектов окружающей действительности. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, которые встречаются в природе. Закон гласил: степень нестабильности постоянна при различных масштабах.

Хаотические явления, такие как турбулентность атмосферы, подвижность земной коры и т. д., демонстрируют сходное поведение в различных временных масштабах подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, обнаруживают сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах.

Микрофотографии различных веществ, сделанные с помощью электронного микроскопа: фторид иттрия (а), алюмоиттриевый гранат (б), окись магния (в), фторид бария (г). Фото С. В. Лаврищева

Поскольку фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур, понятно, что такая область математики стала развиваться семимильными шагами вместе с появлением и развитием мощных компьютеров. Хаос, в свою очередь, вызвал к жизни новые компьютерные технологии, специальную графическую технику, которая способна воспроизводить удивительные структуры невероятной сложности, порождаемые теми или иными видами беспорядка. В век Интернета и персональных компьютеров то, что представляло значительную сложность во времена Мандельброта, стало легко доступным любому желающему. Но самым важным в его теории стало, разумеется, не создание красивых картинок, а вывод, что данный математический аппарат пригоден для описания сложных природных явлений и процессов, которые раньше не рассматривались в науке вообще. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем.

В заключение позвольте представить вашему вниманию набор фотографий, иллюстрирующих этот вывод, и фракталов, построенных с помощью компьютерной программы Fractal Explorer. А проблеме использования фракталов в физике кристаллов будет посвящена наша следующая статья.

Фотографии природных объектов, демонстрирующих фрактальное строение, и фракталы, построенные с помощью компьютерной программы Fractal Explorer: вид на Землю с самолета (а, участки земли, расчерченные на многоугольники, береговая линия протоков и рукавов рек, так же, как и облака, демонстрируют статистическое самоподобие); переплетение древесных ветвей (б); завихрения водного потока (в); морозные узоры на стекле (г); колонии водорослей и моллюсков (д); типичные дендриты, часто встречающиеся в природе, здесь — гриб Hericium coralloides (е). Фото автора

Post Scriptum

* Диффеоморфизмы Аносова — введенный Д. В. Аносовым класс отображений с хаотической динамикой, устойчивой относительно малых возмущений.

Относительно молодой и оригинальный вид искусства, создаваемый математическими формулами, завоевывает все больше поклонников. Для его создания не нужны ни рисунки ни фотографии, все проще и сложнее одновременно.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"

Читайте также: