История виета создания теорема кратко

Обновлено: 02.07.2024

Франсуа Виет (1540-1603) или, как его еще называют, Франциск Виета, - не просто очередной представитель Французской математической школы, Виет – основоположник того, что сегодня называется символической алгеброй.

Франсуа родился в 1540 году в провинции Пуату-Шарант, а в возрасте 20 лет получил степень бакалавра, как ни странно, юриспруденции. Франсуа занимался адвокатской практикой с 1959 года, а в 1567 перешел на государственную службу, все это время математика была его хобби – Виет любил засесть за трудами ученых после основной работы.

В 1571 году Франсуа, увлеченный математикой окончательно и бесповоротно, бросает службу и переезжает в Париж, где, благодаря связям, строит себе блестящую карьеру и становится советником короля Генриха III, а затем, с 1589 года, и Генриха IV.

Во времена правления Генриха IV отношения Франции и Испании были крайне натянутыми, Париж был переполнен испанскими агентами, шифр которых не удавалось раскрыть никому. Однако Виет смог расшифровать всю переписку, за что впоследствии был обвинен испанцами в использовании чёрной магии .

А еще Виет придумал просто "космический" решения кубических уравнений с использованием тригонометрии! Такое пропускать нельзя, расскажу в одном из следующих материалов!

Именно Виет отделил алгебру от геометрии, начал активно использовать неизвестные коэффициенты в своих записях. Впрочем, его символика так же не была лишена недостатков. Например, для возведения в третью степень он писал "A cubus", а вместо скобок использовал непрерывную черту над выражением.

С именем Виета связывают еще одну замечательную историю. Один из серьезных математиков 16 века Адриан ван Ромен как-то объявил конкурс на решение уравнения 45 степени. Самое интересное в том, что во Францию задание изначально так и не было отправлено: голландец считал, что в этой стране достойных математиков просто нет. Однако французский король всё-таки сумел повлиять на соседей и получить конкурсное уравнение, с которым всего за 2 (. ) дня справился Виет, получив целых 23 решения!

Ученый скончался в 1603 году, если верить слухам, то умер он не своей смертью, хотя официальные источники эту информацию не подтвердили. Сборник сочинений Виета, не ставший трактатом, был издан посмертно – в 1646 году – математиком ван. Схотеном.

Объекты проекта: целые рациональные уравнения и многочлены различных степеней.

Предмет проекта: теорема Виета как инструмент для решения уравнений и вычисления значений многочленов различных степеней.

Цель работы: создание электронного пособия, которое может быть использовано как при классно – урочной, так при дистанционной системе обучения, расширит знания и возможности учащихся по данной теме за пределы страниц школьного учебника, путём обобщения теоремы Виета для уравнений высших степеней и применения специальных методов решения задач.

Задачи:

1. На примере биографии великого ученого показать движущие силы научной мысли.

2. Сформулировать, доказать и научить использовать теорему Виета в стандартных математических задачах.

3. Исследовать возможность обобщения теоремы для уравнений высших степеней.

4. Рассмотреть нестандартные методы решения математических задач, используя теорему Виета.

5. Экспериментально убедиться в рациональности применения теоремы.

6. Предложить материалы проверки как для теоретической, так и для практической подготовленности учащихся.

7. Вызвать активный познавательный интерес, который позволит глубже изучить проблему.

Теорема Франсуа Виета и её значение в математике

Франсуа Виет – выдающийся французский математик XVI в., положивший начало алгебре как науке. По образованию и основной профессии – юрист, по склонности души – математик.Франсуа Виет родился в 1540 г. на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт, что находится в 60 км от Ла Рошели, бывшей в то время оплотом французских протестантов-гугенотов. Большую часть жизни он прожил рядом с виднейшими руководителями этого движения, хотя сам оставался католиком. Отец Виета был юристом, а мать (Маргарита Дюпон) происходила из знатной семьи, что облегчило дальнейшую карьеру её сына.По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей, а переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы.

Жизненный путь. На государственной службе

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.В ночь на 24 августа 1572 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь. В ту ночь вместе со многими гугенотами погибли муж Екатерины де Партене и математик Рамус. Во Франции началась гражданская война.

Через несколько лет Екатерина де Партене снова вышла замуж. На сей раз, ее избранником стал один из видных руководителей гугенотов – принц де Роган. По его ходатайству в 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. К этому времени относятся свидетельства современников Виета о его огромной трудоспособности. В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Именно на этот период приходится пик его творчества. Обретя неожиданный покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи… И он справился со своей задачей…

Интересные факты из жизни и деятельности ученого

Франсуа Виет, вычисляя периметры вписанного и описанного 322 216–угольников, получил 9 точных десятичных знаков.

Впервые обозначать десятичные дроби с помощью запятой предложил Франсуа Виет. До него изображение дробей было весьма сложным. Так, например, дробь 0,3469 писалась так: 3(1)4(2)6(3)9(4).

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым он внедрил в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т.е. ввести понятие математической формулы.

Ученый мог работать по трое суток без сна!

Теорему Виета можно обобщить на многочлены любой степени.

Непосредственно применение трудов Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор.

Г.Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно.

Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом.

Теорема: Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так:

Это выражение можно переписать в привычном для нас виде:

Во время затяжной войны между Францией и Испанией, испанские инквизиторы, воюя против протестантской церкви, использовали шпионскую связь. Они считали, что придуманный ими шифр для шпионских донесений, состоящий из 600 знаков не доступен для разгадывания. Но вдруг инквизиторы узнали, что шифр расшифрован и в этом причина их неудач. Разгадал тайну шифра Франсуа Виет. Испанские инквизиторы заявили о том, что простой человек не мог разгадать шифр, обвинили Виета в заговоре с нечистой силой, которая якобы помогла ему. Заочно Виет был приговорен к смерти. Возможно, что приговор и был со временем исполнен.

Некоторые отучившиеся в школе помнят Франсуа Виета по его знаменитой теореме о свойствах корней приведённого квадратного уравнения. Остальные и это благополучно забыли. А между тем жизнь Франсуа Виета весьма интересна.

Франсуа Виет родился в 1540 году в небольшом городке Фонтене-ле-Конт. Отец Франсуа служил прокурором, и сын намеревался пойти по стопам отца. Учился он сначала в школе при местном монастыре, а затем в университете Пуатье, основанном в 1431 году Карлом VII. По окончании университета в 1560 году получил степень бакалавра, а свою адвокатскую практику начал ещё за год до этого, в 19 лет.

Спустя три года Виет нанялся секретарём к весьма состоятельному господину де Партене. А у господина де Партене была дочь Катрин, которой трудно давалась математика, и Франсуа стал её репетитором. Именно преподавание пробудило в нём интерес к математике, которой он ранее не увлекался. Эта девочка ещё сыграет немаловажную роль в судьбе Франсуа Виета, когда подрастёт, конечно.

Катрин де Партене (1554–1631)

При Карле IX Виет был назначен советником парламента Бретани, а при Генрихе III стал уже частным советником короля. После убийства в 1589 году Генриха III перешёл на службу к Генриху Наваррскому, будущему королю Генриху IV. И конечно, всё это время Виет занимался математикой.

Нечистая сила

Король Франции Генрих III. 1551–1589

Шифр был сложным, он состоял из 600 различных знаков, которые иногда менялись. Тогда король обратился к Виету. Много времени провёл Виет за разгадкой шифра и наконец подобрал к нему ключ. И тут же Испания начала терпеть поражения. Испанцы никак не могли понять, в чём дело, пока не узнали, что их шифр разгадал математик Франсуа Виет. Испанские инквизиторы немедленно обвинили Виета в сговоре с нечистой силой: по их мнению, только дьявол мог разгадать такой хитроумный шифр.

Эта история ещё раз доказывает, что для победы нужны не столько пушки и мушкеты, сколько умные образованные люди.

Не было бы счастья

Вернёмся назад. С 23 на 24 августа 1572 года во Франции произошла печально известная во всём мире Варфоломеевская ночь. По разным оценкам, в Париже тогда погибло около 3000 человек, а по всей Франции в погромах было убито около 30 тысяч гугенотов.

Пётр Рамус (Пьер де ла Раме). 1515–1572

В ту ночь погибли муж Катрин де Партене, а также выдающийся математик Рамус (Пьер де ла Раме). Спустя несколько лет Катрин вышла замуж во второй раз. Она отдала руку и сердце принцу де Рогану. Благодаря содействию своей ученицы, Виет в 1580 году получил должность рекетмейстера — докладчика короля по ходатайствам. Он мог от имени короля контролировать выполнение приказов по всей стране! Должность впечатляющая.

В Европе тогда было несколько знатных родов, которые соперничали если не за трон, то за место у трона. И вот в 1584 году представители одного из этих родов Гизы постарались, чтобы Виета отстранили от государственной службы и выслали из Парижа.

Ну что ж, не было бы счастья, да несчастье помогло. Обретя покой и отдых от дворцовой суеты, Франсуа Виет теперь всё своё время мог посвятить математике. Он был убеждён, что существует общая, неизвестная ранее наука, которая могла бы объединить достижения более ранних учёных. И оказался прав!

Именно в этот период учёный изобрёл новую алгебру. Точнее, способ решения алгебраических задач.

Новая алгебра

Огромный вклад в алгебру сделал Диофант ещё в III веке до н. э., используя буквенную символику. Например, уравнение

x 3 + 8x − (13x 2 + 202) = x

Диофант записал бы так 1 :

Но у него не было последователей ни среди современников, ни долгое время после. Лишь в конце XV века люди активно занялись разработкой алгебраической символики, а завершили её Виет и Декарт.

До Виета решение каждого уравнения выполнялось по своим отдельным правилам в виде длинных словесных рассуждений и довольно громоздких действий. Даже для записи уравнения требовалось довольно длинное и сложное словесное описание. А на овладение приёмами решений уходили годы.

x 3 + 3b 2 x = 2z 3

Виет записывает как

A cubus + B plano 3 in A aequari Z solido 2.

(Степени чисел Виет иногда обозначал иначе, чем степени переменной.) Для уравнений с числовыми коэффициентами обозначения были чуть другими: так, уравнение

x 3 − 3x = 1

Виет записывает как

1C − 3N aequatur 1.

Теперь уравнения можно было решать в общем виде, что мы сейчас и делаем.

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счёл нужным придать ему совершенно новый вид.

Франсуа Виет

Знаменитая теорема

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1615 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал её так:

Если В + D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно или В, или D.

Доказывается она довольно просто: перепишем данное в условии равенство (B + D)A − A 2 = BD в виде BA − A 2 + DA − BD = 0, откуда (B − A)A − D(B − A) = 0. Осталось вынести B − A за скобки: (B − A)(A − D) = 0. Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из сомножителей, то есть как раз при A = B и при A = D.

Сейчас теорему Виета формулируют иначе:

Сумма корней уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Предшественники

Никколо Тарталья. Ок. 1499–1557

Как это ни странно, но теоремой Виета пользовались ещё до его рождения. Свойства корней приведённого квадратного уравнения понадобились профессору математики из Болонского университета Сципиону дель Ферро и гениальному математику-самоучке Никколо Тарталье. Они первыми в мире, независимо друг от друга, решили в общем виде уравнение третьей степени. Решили, воспользовавшись именно этими свойствами.

Так почему же теорема носит имя Виета? Дело в том, что и дель Ферро, и Тарталья знали её только для квадратного уравнения, а Виет обобщил её на уравнения больших степеней. Он показал, что подобные свойства есть у корней приведённого алгебраического уравнения любой степени

x n + a_n _{− 1}x n − 1 + a_n _{− 2}x n − 2 + . + a₁x + a₀ = 0.

Действительно, если х₁, . x_n — различные корни этого уравнения, его можно переписать в виде

Геометрия и тригонометрия

Геометрия была первой наукой, применявшейся на практике. Провести границы между земельными участками (геометрия по-древнегречески — ‘измерение земли’), построить храм или просто дом, перекинуть мост через реку — далеко не все случаи, где требуется геометрия. С ней переплетается тригонометрия (по-древнегречески — ‘измерение треугольников’). И геометрия, и тригонометрия применяются практически во всех областях деятельности человека.

Виет вывел формулы синусов и косинусов кратных дуг, полезные в алгебре и геометрии. С их помощью он, например, связал задачу трисекции угла (а также деление угла на 5 равных частей) с решением соответствующего алгебраического уравнения.

А ещё с помощью тригонометрии Виет получил замечательную формулу, выражающую число π через бесконечное произведение:

Гордость Франции

45x − 3 795x 3 + 95 634x 5 − 1 138 500x 7 + 7 811 375x 9 − 34 512 075x 11 + 105 306 075x 13 − 232 676 280x 15 + 384 942 375x 17 − 488 494 125x 19 + 483 841 800x 21 − 378 658 800x 23 + 236 030 652x 25 − 117 679 100x 27 + 46 955 700x 29 − 14 945 040x 31 + 3 764 565x 33 − 740 259x 35 + 111 150x 37 − 12 300x 39 + 945x 41 − 45x 43 + x 45 = а,

предлагая решить его, к примеру, для

Король Франции и Наварры Генрих IV (1553–1610)

Но во Францию он это уравнение не послал, считая, что там нет математиков, способных его решить. Действительно, Декарт родится только через три года, а Пьера Рамуса не было уже 21 год. Больше всего было ущемлено самолюбие короля Франции Генриха IV. Ему рассказал о вызове голландский посланник, кстати, имевший с собой письмо ван Роумена.

— И всё же у меня есть математик! — воскликнул король. — Позовите Виета!

Франсуа Виет тут же, в присутствии короля, министров и гостей, нашёл один корень уравнения. Король ликовал, все поздравляли придворного советника. На следующий день Виет нашёл ещё 22 корня уравнения. Остальные 22 корня были отрицательными, а таких корней Виет не признавал 2 . Кстати, Виет решил это уравнение первым из получивших.

А ещё в ответ он задал задачу Ван Роумену: для трёх данных окружностей построить циркулем и линейкой касающуюся их окружность (задача Аполлония). Сам Виет её решил, а ван Роумен не справился, но с тех пор стал большим почитателем Виета.

Наследие

Математики понимали, что под алгеброй таятся скрытые сокровища, но не сумели их найти. Задачи, которые они считали трудными, можно с лёгкостью решать, пользуясь нашим искусством.

Из письма Виета к Катрин де Партене

1 Подробнее см. книгу: Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. М.: Наука, 1974.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт, что находится в 60 км от Ла-Рошели, бывшей в то время оплотом французских протестантов-гугенотов. Большую часть жизни он прожил рядом с виднейшими руководителями этого движения, хотя сам оставался католиком. По-видимому, религиозные разногласия ученого не волновали.

Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей, и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С некоторыми учеными Виет познакомился лично. Так, он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В ночь на 24 августа 1672 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь. В ту ночь вместе со многими гугенотами погибли муж Екатерины де Партене и математик Рамус. Во Франции началась гражданская война. Через несколько лет Екатерина де Партене снова вышла замуж. На сей раз, ее избранником стал один из видных руководителей гугенотов — принц де Роган. По его ходатайству в 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников. Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись. Испанцы не могли поверить, что его расшифровали, и обвинили французского короля в связях с нечистой силой.

К этому времени относятся свидетельства современников Виета о его огромной трудоспособности. Будучи чем-то увлечен, ученый мог работать по трое суток без сна.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры стало возможным буквенное исчисление.

История жизни Франсуа Виет

Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

Математиков в течение столетий интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. У Виета применявшиеся ранее методы решения треугольников приобрели более законченный вид. Так он первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виста исчерпывающий разбор. Было ясно сказано, что в этом случае решение не всегда возможно. Если же решение есть, то может быть одно или два.

В 1589 году, после убийства Генриха Гиза по приказу короля, Виет возвратился в Париж. Но в том же году Генрих III был убит монахом — приверженцем Гизов. Формально французская корона перешла к Генриху Наваррскому — главе гугенотов. Но лишь после того, как в 1593 году этот правитель принял католичество, в Париже его признали королем Генрихом IV. Так был положен конец кровавой и истребительной религиозной войне, долгое время оказывавшей влияние на жизнь каждого француза, даже вовсе не интересовавшегося ни политикой, ни религией.

Подробности жизни Виета в тот период неизвестны, что само по себе говорит о его желании оставаться в стороне от кровавых дворцовых событий. Известно только, что он перешел на службу к Генриху IV, находился при дворе, был ответственным правительственным чиновником и пользовался огромным уважением как математик.

По преданию, посол Нидерландов сказал на приеме у короля Франции Генриха IV, что их математик ван Роомен задал математикам мира задачу. Но во Франции, видимо, нет математиков, так как среди тех, кому особо адресовался вызов, нет ни одного француза. Генрих IV ответил, что во Франции есть математик, и пригласил Виета. Знание синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное нидерландским ученым.

В последние годы жизни Виет ушел с государственной службы, но продолжал интересоваться наукой. Известно, например, что он вступил в полемику по поводу введения нового, григорианского календаря в Европе. И даже хотел создать свой календарь.

Читайте также: