История создания неевклидовой геометрии кратко

Обновлено: 05.07.2024

В первой половине XIX века по пути, проложенному Саккери, пошли сразу три математика: К.Ф. Гаусс, Н.И. Лобачевский и Я. Бойяи. Но цель у них была уже иная – не разоблачить неевклидову геометрию как невозможную, а, наоборот, построить альтернативную геометрию и выяснить её возможную роль в реальном мире. На тот момент это была совершенно еретическая идея; никто из учёных ранее не сомневался, что физическое пространство евклидово. Интересно, что Гаусса и Лобачевского учил в молодости один и тот же учитель – Мартин Бартельс (который, впрочем сам неевклидовой геометрией не занимался).

Допущение, что сумма трёх углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, совершенно отличной от нашей (евклидовой) геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил ее для себя совершенно удовлетворительно; я имею возможность решить в этой геометрии любую задачу, за исключением определения некоторой постоянной [кривизны], значение которой a priori установлено быть не может. Чем большее значение мы придадим этой постоянной, тем ближе мы подойдем к евклидовой геометрии, а бесконечно большое её значение приводит обе системы к совпадению.

Предложения этой геометрии отчасти кажутся парадоксальными и непривычному человеку даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного. Так, например, все три угла треугольника можно сделать сколь угодно малыми, если только взять достаточно большие стороны; площадь же треугольника не может превысить, даже не может достичь некоторого предела, как бы велики ни были его стороны. Все мои старания найти в этой неевклидовой геометрии противоречие или непоследовательность остались бесплодными, и единственное, что в этой системе противится нашему разуму, это то, что в пространстве, если бы эта система была справедлива, должна была бы существовать некоторая сама по себе определенная (хотя нам и неизвестная) линейная величина. Но мне кажется, что мы, кроме ничего не выражающей словесной мудрости метафизиков, знаем очень мало или даже не знаем ничего о сущности пространства. (Из письма к Тауринусу, 1824)

В 1818 году в письме к австрийскому астроному Герлингу Гаусс выразил свои опасения:

Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову.

Лобачевский и Бойяи проявили бо́льшую смелость, чем Гаусс, и почти одновременно (Лобачевский – в докладе 1826 года и публикации 1829 года; Бойяи – в письме 1831 года и публикации 1832 года), независимо друг от друга, опубликовали изложение того, что сейчас называется геометрией Лобачевского. Лобачевский продвинулся в исследовании новой геометрии дальше всех, и она в настоящий момент носит его имя. Но главная его заслуга не в этом, а в том, что он поверил в новую геометрию и имел мужество отстаивать своё убеждение (он даже предложил экспериментально проверить V постулат, измерив сумму углов треугольника).

Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времён Евклида, в продолжении двух тысяч лет, заставили меня подозревать, что в самых понятиях ещё не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. Главное заключение допускает существование геометрии в более обширном смысле, нежели как ее представил нам первый Евклид. В этом пространном виде дал я науке название Воображаемой Геометрии, где как частный случай входит Употребительная Геометрия.

Трагическая судьба Лобачевского, подвергнутого остракизму в научном мире и служебном окружении за слишком смелые мысли, показала, что опасения Гаусса были не напрасны. Но и его борьба была не напрасна. По иронии судьбы торжество смелых идей Лобачевского обеспечил (посмертно) осторожный Гаусс. В 1860-е годы была опубликована переписка Гаусса, в том числе несколько восторженных отзывов о геометрии Лобачевского, и это привлекло внимание к трудам русского математика. В 1868 году выходит статья Э. Бельтрами, который показал, что плоскость Лобачевского имеет постоянную отрицательную кривизну (у евклидовой плоскости кривизна нулевая, усферы – положительная); очень быстро неевклидова геометрия приобретает легальный научный статус, хотя всё ещё рассматривается как чисто умозрительная.

В конце XIX-начале XX века сначала математики (Бернхард Риман, Уильям Кингдон Клиффорд), а затем и физики (Общая теория относительности, Эйнштейн), окончательно покончили с догматом о евклидовой геометрии физического пространства.

Модели неевклидовой геометрии.

Доказать непротиворечивость новой геометрии ни Лобачевский, ни Бойяи не сумели – тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами. Только спустя 40 лет появились модель Клейна (1871) и модель Пуанкаре (1882), реализующие аксиоматику геометрии Лобачевского на базе евклидовой геометрии. Эти модели убедительно доказывают, что отрицание V постулата не противоречит остальным аксиомам геометрии; отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом и доказать его невозможно.

Список литературы

В 1818 году в письме к австрийскому астроному Герлингу Гаусс выразил свои опасения:

Модели неевклидовой геометрии.

Вложение	Размер
Неевклидова геометрия	775.58 КБ

Предварительный просмотр:

МКОУ ВАШУТИНСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

История возникновения и значение неевклидовой геометрии в современной науке

Работу по геометрии выполнила:

ученица 9 класса

Седых Елена Валерьевна

2.История создания новой геометрии………………………………. 4

3. Неевклидова геометрия…………………………………………… 8

4.Отзывы и доказательства …………………………………………. 11

4. Значение Неевклидовой геометрии……………………………… 15

6.Используемая литература…………………………………………. 18

Тот путь, на который впервые стал Лобачевский, в значительной степени определил лицо современной науки, произвёл настоящую революцию в математике.

Открытие неевклидовой геометрии произвело переворот не только в геометрии и даже не только в математике, но можно сказать, в развитии человеческого мышления вообще. И то , что евклидова геометрия не является единственно возможной, сделанное в начале прошлого века Гауссом, Лобачевским и Больяи, оказало влияние на мировоззрение человечества. Однако мало кому известно, что начиная с конца прошлого века неевклидова геометрия, наряду с евклидовой, является одним из рабочих инструментов математики, несмотря на то что "пространство, в котором мы живем", в доступных нашему пониманию пределах является скорее евклидовым, чем неевклидовым [ 2].

Характер математических теорий таков, что различным образом представляя основные понятия этих теорий, в геометрии, например, это точки, прямые, движения и т.д., мы можем применять их к объектам различного рода. Поэтому, и геометрия может применяться не только к пространству, в котором мы живем, но и к другим пространствам, возникающим в математических и физических теориях. Геометрии этих пространств оказываются различными; в частности, они могут не быть евклидовыми.

Цель работы : установить, что послужило созданию неевклидовой геометрии. Гипотеза : развитие науки было на таком этапе, что невозможно было не прийти к созданию неевклидовой геометрии.

I.История создания новой геометрии

Рисунок 1. Евклид

Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи (рис.2), а Карл Фридрих Гаусс (рис.3) пришёл к таким выводам ещё раньше.

Рисунок 2. Янош Бойяи

Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям.

Рисунок 3 . Карл Фридрих Гаусс

Из Академии наук пришел уничтожающий отзыв, появляются статьи, где Лобачевского называют провинциальным шарлатаном, невежественным самодовольным ничтожеством. Авторы этих отзывов опирались на то, что все, что изложено господином Лобачевским (рис.4) в своих трудах не имеет места в природе и, поэтому, совершенно для разума непонятно и абсурдно. Лобачевского никто не поддержал, но у него хватило мужества отстаивать свои идеи до конца.

Рисунок 4. Лобачевский Николай Иванович

Пятый постулат Евклида стал своего рода толчком к созданию другой геометрии, или продолжением геометрии Евклида. Одновременно учёные многих стран пришли к одним и тем же выводам. Однако одних учёных не поняли, как Лобачевского, другие боялись опубликовать свои труды.

Создателями неевклидовой геометрии стали такие яркие учёные, как сам Евклид, Гаусс, Бойяи, Лобачевский. У некоторых учёных открытия в неевклидовой геометрии происходили одновременно, независимо друг от друга.

Лобачевский считал аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства, и поэтому в создании неевклидовой геометрии он использовал плоскостные постулаты Евклида как частный, предельный случай и отказался от V постулата, приняв независимость аксиомы о параллельных прямых Евклида от остальных аксиом.

Через точку С, лежащую вне прямой АВ, можно, предположил Лобачевский, провести хотя бы две прямые а и b, которые не пересекутся с прямой АВ (рис.5). Точно так же не пересекают прямую АВ и прямые m, n, p, проходящие через точку С. [4].

Рисунок 5. Предложение, противоположное V постулату Евклида.

Рисунок 6. Треугольник в геометрии Лобачевского.

В плоскости Лобачевского не существует никакого подобия. Ведь все теоремы о подобии выводятся только с помощью аксиомы Евклида о параллельности. Н.И. Лобачевский установил, что на предельной поверхности, называемой орисферой, внутренняя геометрия является евклидовой.

Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из неё получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна. Уже в первой публикации Лобачевский детально разработал тригонометрию неевклидова пространства, дифференциальную геометрию (включая вычисление длин, площадей и объёмов) и смежные аналитические вопросы.

В пространстве Лобачевского были выделены криволинейные геометрические образы, подчинённые геометрии Евклида. Этот замечательный результат Лобачевский использовал для вывода тригонометрических соотношений между элементами прямолинейных треугольников в его пространстве. Но итоговые соотношения гораздо сложнее евклидовых. Эти соотношения имеют не только тригонометрические функции углов, не просто длины сторон, а некоторые функции от них [ 4] .

Сделав свое знаменитое открытие, Н. И. Лобачевский не опроверг евклидову геометрию, а лишь раздвинул границы науки, существовавшей в Древнем мире. Любые факты планиметрии Лобачевского не противоречат геометрии Евклида. Однако созданная геометрия существенно отличается от прежней. Лобачевский, очевидно, хотел подчеркнуть противоречие V постулату: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную. И тем самым заменил евклидов постулат более общей аксиомой параллельности и сохранил все рассуждения геометрии Евклида.

III. Отзывы и доказательства

В последние годы жизни Лобачевский безуспешно пытался доказать непротиворечивость своей геометрии.

Чтобы получить такое доказательство, надо было построить модель геометрии. В 1868 году (через 12 лет после смерти Лобачевского) итальянский ученый Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность называемую псевдосферой и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского (рис.7). [ 5].

В 1868г. Итальянский математик Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность, называемую псевдосферой, и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского.

Рисунок 7. Псевдосфера

А через 2 года немецкий математик Клейн предлагает другую модель плоскости Лобачевского (рис.8).

Рисунок 8. Модель Клейна.

Рисунок 9 . Модель Пуанкаре.

В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел (точнее, арифметикой неопределенных квадратичных форм). С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики. В последние 15 лет значение геометрии Лобачевского еще более возросло благодаря работам американского математика Тёрстона (лауреата Филдсовской медали 1983 г.), установившего ее связь с топологией трехмерных многообразий (рис.10). Десятки работ ежегодно публикуются в этой области. В связи с этим можно говорить о конце романтического периода в истории геометрии Лобачевского, когда основное внимание исследователей было обращено на ее осмысление с точки зрения оснований геометрии вообще. Современные исследования все больше требуют делового владения геометрией Лобачевского [ 2].

Рисунок 10. Вильям Паул Тёрстон

Важное замечание, касающееся чертежей, изображающих поведение прямых на плоскости Лобачевского. Как показывают опыты, наше физическое пространство по свойствам или евклидово, или очень мало от него отличается. Оперируя с чертежом, вынуждены ограничиться его малым размером, а отклонение от евклидовости, если оно существует, будет наблюдаться только при очень больших протяжениях. Поэтому для наглядности обычно принято изображать прямые, слегка их искривляя, чтобы отчётливее выразить характер их сближения или расхождения на плоскости Лобачевского. Однако Лобачевский такие вольности себе не разрешал[ 4].

Сколько времени нужно было учёным, чтобы проверить на различных моделях: псевдосфере Клейна, модель Пуанкаре, трёхмерные многообразия математика Тёрстона, что геометрия Лобачевского действует? Какие сомнения возникали у самого Лобачевского в правильности его идей?! Но именно элементы геометрии Лобачевского стали основой таких разделов математики, как теория чисел и теория функций комплексной переменной и многих других.

IV. Значение Неевклидовой геометрии

Открытие новой геометрии стало началом многочисленных исследований выдающихся математиков 19 века. Геометрия послужила толчком к развитию науки, а значит и пониманию мира, который на окружает.

А в начале 20-говека было обнаружено, что геометрия Лобачевского совершенно необходима в современной физике. Например, в теории относительности Эйнштейна, в расчетах современных синхрофазотронов, в космонавтике.

Создателями неевклидовой геометрии стали такие яркие учёные, как сам Евклид, Гаусс, Бойяи, Лобачевский. Евклид делал попытки доказать пятый постулат, но у него не получалось. У некоторых учёных открытия в неевклидовой геометрии происходили одновременно, независимо друг от друга.

Н. И. Лобачевский раздвинул границы науки, существовавшей на тот момент. Любые факты планиметрии Лобачевского не противоречат геометрии Евклида. Однако созданная геометрия существенно отличается от прежней. Лобачевский, очевидно, хотел подчеркнуть противоречие V постулату: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную. И тем самым заменил евклидов постулат более общей аксиомой параллельности и сохранил все рассуждения геометрии Евклида.

Много времени понадобилось учёным, чтобы проверить на различных моделях: псевдосфере Клейна, модель Пуанкаре, трёхмерные многообразия математика Тёрстона, что геометрия Лобачевского действует? Какие сомнения возникали у самого Лобачевского в правильности его идей?! Но именно элементы геометрии Лобачевского стали основой таких разделов математики, как теория чисел и теория функций комплексной переменной и многих других.

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ, геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов (1825) явилось значительным событием в истории мысли, ибо послужило первым шагом на пути к теории относительности.

Из этих пересмотренных постулатов следовало, что сумма углов треугольника, равная 180 ° в евклидовой геометрии, больше 180 ° в эллиптической геометрии и меньше 180 ° в гиперболической геометрии.

История.

В 1854 Б.Риман (1826–1866) заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок (если отвлечься от небольшой детали, связанной с тем, что свет, отраженный от затылка, достиг бы глаза астронома через тысячи миллионов лет). В своем доказательстве того, что внешний угол при любой вершине треугольника больше внутреннего угла при любой из двух остальных вершин, Евклид неявно использовал бесконечную длину прямой. Из этой теоремы тотчас же следует теорема о том, что сумма любых двух углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Если отказаться от бесконечной длины прямой, то гипотеза Саккери о тупом угле становиться верной и из нее следует, что сумма углов треугольника больше суммы двух прямых. Такое положение дел было давно известно в сферической тригонометрии, где стороны треугольника являются дугами больших кругов. Риман внес эпохальный вклад, распространив представление о конечном, но неограниченном пространстве с двух на три и большее число измерений.

Эллиптическая плоскость.

Геометрия порядка.

Абсолютная геометрия.

Гиперболическая плоскость.

П(x) = 2arctg e –x .

Евклидовы модели неевклидовых геометрий.

А.Пуанкаре (1854–1912) открыл представление гиперболического пространства с помощью конформной модели, в которой геометрическое место концов имеет вид плоскости W в евклидовом пространстве, а сферам с центрами в W соответствуют плоскости гиперболического пространства. Заменив сферы полусферами, Пуанкаре получил возможность представить все гиперболическое пространство с помощью половины евклидова пространства, а именно всеми точками, лежащими по одну сторону от W . Один пучок концентрических орисфер представлен плоскостями, параллельными W ; можно доказать, что евклидовы расстояния в такой плоскости пропорциональны соответствующим геодезическим на орисфере, что полностью согласуется с наблюдением Вахтера.

Рассматривая сечение трехмерной модели Пуанкаре плоскостью, перпендикулярной W , мы получим модель аналогичную модели Пуанкаре для гиперболической плоскости. В этой модели геометрическое место концов имеет вид евклидовой прямой. В другой модели геометрическое место концов имеет вид окружности w , а прямые на гиперболической плоскости – дуг окружностей, ортогональных w . Две параллельные дуге r, проходящие через точку B, – просто дуги, проходящие через точку B и касающиеся дуги r в ее концах, как на рис. 5.

В математике , мы называем неевклидов геометрии геометрической теорией , которая использует все аксиомы и постулаты , создаваемые Евклид в элементах , кроме постулата параллелей .

Прямо из единственной линии , проходящий через точку М и параллельная к правой D . Любая другая линия , проходящий через М (например , прямые линии , проведенные пунктирные) является пересекающейся с D .

Различные неевклидовы геометрии из желания доказать пятый постулат ( постулат Евклида) , который , казался неудовлетворительным слишком сложным, и , возможно , излишним.

В Евклида Элементов , то постулат напоминает вывод о виде теоремы , но не будет включать доказательство :

Если линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной и той же стороне меньше двух правых , эти права, продолженные бесконечно , будут встречаться со стороной, где углы меньше двух правых.

что можно понимать как:

Через точку вне линии всегда проходит параллель этой линии, и только одна.

В течение нескольких столетий евклидова геометрия использовалась, не ставя под сомнение ее достоверность. Его долгое время даже считали архетипом логико-дедуктивного мышления . У него было преимущество определения интуитивных свойств геометрических объектов в строгой математической конструкции.

Резюме

Интуитивный подход к неевклидовой геометрии

Эта статья или раздел содержит слишком много цитат или слишком длинные цитаты до такой степени, что они могут, в зависимости от случая, нарушить баланс статьи , придавая слишком большое значение определенным точкам зрения, или противоречить одной из точек зрения. . Основополагающие принципы Википедии ( февраль 2020 ).

Чтобы улучшить эту статью, рекомендуется, если эти цитаты представляют энциклопедический интерес и правильно составлены , интегрировать их в основной текст, уменьшив их до более разумной длины.

В 1902 году Анри Пуанкаре предложил простую модель, в которой пятый постулат Евклида не действовал. Линия здесь определяется продолжением как кривая кратчайшего пути, соединяющая две точки рассматриваемого пространства.

Этьен Гиз комментирует этот текст следующим образом:

«Существа, населяющие этот мир, не могут знать, что они становятся меньше, потому что, если они измеряют себя рулеткой, рулетка также становится меньше. Мы знаем, что они становятся все меньше, но у них нормальная и стабильная жизнь. Если они хотят перейти из одной точки в другую по кратчайшему маршруту, мы думаем, что они будут стремиться приблизиться к центру, потому что их шаги гораздо больше к центру.

Тогда мы можем показать, что кратчайший путь от одной точки до другой в этой воображаемой геометрии - это дуга окружности, перпендикулярная предельной окружности. Их права - это наши круги. И вы видите, что в их геометрии аксиома Евклида не выполняется. Красная линия параллельна зеленой линии, но синяя линия также параллельна (две линии, которые не пересекаются, действительно параллельны).

Через точку проходит бесконечное количество параллелей. И эти люди разумны, они не знают, что становятся меньше. Но они так же разумны, как и мы, которые, вероятно, игнорируют многие другие вещи.

Мораль этой небольшой истории о Пуанкаре состоит в том, что мы можем очень хорошо представить себе множество чрезвычайно разумных миров, каждый из которых имеет свою собственную геометрию, каждый имеет свою собственную логику и каждый из которых может дать нам видение нашего конкретного мира […].

Сегодняшний математик, чтобы решить проблему, изучить вопрос, будет использовать геометрию, возьмет свой набор инструментов и выберет наиболее подходящую геометрию для понимания изучаемой проблемы.

Вот предложение Пуанкаре: одна геометрия не может быть вернее другой, она просто может быть удобнее. "

История неевклидовых геометрий

В n- мерных геометрий и неевклидовы геометрия две отдельные ветви геометрии, которые могут быть объединены, но не обязательно. В популярной литературе возникла путаница в отношении этих двух геометрий. Поскольку евклидова геометрия была двухмерной или трехмерной, был сделан ошибочный вывод, что неевклидова геометрия обязательно должна иметь более высокие измерения.

древность

XVII - го века

Взявшись за работу Саккери в 1766 году, Иоганн Генрих Ламберт принимает гипотезу об остром угле, но не приходит к выводу о противоречии. Он осознает, по крайней мере в самые последние годы своей жизни, что должно быть возможно строить когерентные геометрии либо на основе гипотезы острого угла (гиперболическая геометрия), либо на основе гипотезы тупого угла (эллиптическая геометрия).

Ламберт, в частности, получает формулу , где C - константа, которая дает площадь Δ треугольника, три угла которого равны α , β и γ, в геометрии, основанной на остром угле (в настоящее время это называется гиперболической геометрией ). π - ( α + β + γ ) знак равно ПРОТИВ Δ

XIX - го века

Мы различаем геометрии с отрицательной кривизной, такие как геометрия Лобачевского (1829 г.) и Бойяи (1832 г.) (сумма углов треугольника меньше 180 °, бесконечное количество возможных параллелей прямой через точку, например, гиперболическая геометрия) , геометрии положительной кривизны, подобные геометрии Римана (1867) (сумма углов треугольника больше 180 °, параллельных полюсам, например эллиптическая геометрия).

Различные типы неевклидовой геометрии

Есть бесконечное число линий , которые, как и в 1, д 2 и d 3, проходят через точку М , и которые параллельны линии D .

Гиперболическая геометрия

Лобачевский , Клейн и Пуанкаре создали геометрические модели, в которых мы можем провести бесконечное количество параллелей данной прямой и проходящих через одну и ту же точку.

Примечательно, что был отменен только пятый постулат Евклида; неевклидовы геометрии также уважают все другие евклидовы определения. В частности, линия всегда определяется как линия кратчайшего пути, соединяющая две точки на поверхности. Есть несколько моделей двумерной гиперболической геометрии: диск Пуанкаре , то Пуанкаре полуплоскость, и т.д.

Эллиптическая геометрия

Риман представил другую модель неевклидовой геометрии, сферическую геометрию (иногда называемую сферической эллиптической геометрией ). В этом случае по точке за пределами линии мы не можем провести никакой параллели (другими словами, все линии, проходящие через точку за пределами данной линии, пересекаются с этой линией, или даже все линии в пространстве пересекают друг друга) . Модель очень простая:

точки - это пары точек-антиподов сферы;
линии - большие круги (то есть круги, имеющие тот же центр, что и сфера).

Эта геометрия дает положительную кривизну пространства (сумма углов треугольника больше двух правых, или сумма двух последовательных углов четырехугольника больше двух правых, или существует треугольник, у которого все углы прямые. ).

Примечания и ссылки

Заметки

Смотрите также

Библиография

Исторические аспекты

Лучано Бои, Математическая проблема пространства - поиски понятного , Springer-Verlag (1995).

Философская история математической концепции пространства, от евклидовой геометрии до развития современной неевклидовой геометрии, риманова версия которой важна для формулировки общей теории относительности; минимальный уровень бакалавриата.

Книги по математике

Вокруг изобретателей новых ценностей вращается мир — неслышно вращается он.

История неевклидовой геометрии — самый замечательный пример развития Математической Идеи. Для нас эта история интересна вдвойне, т. к. ее главный участник — гениальный русский математик Николай Иванович Лобачевский.

Каким же образом Евклид сумел изложить геометрию так просто и с таким изяществом, что покорил целые поколения, а по числу изданий и читаемости его книга сравнима только с Библией?

Аксиомы должны быть достаточно простыми и соответствовать нашему опыту. А дальнейшее развитие теории состоит в доказательстве теорем, вытекающих только из заданных аксиом.

Система аксиом Евклида на протяжении более 2000 лет совершенствовалась многими авторами. В настоящее время существует много различных редакций системы аксиом евклидовой геометрии. Вот одна из них.

Аксиомы евклидовой геометрии на плоскости

Первая группа: аксиомы связи

1. Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

2. На каждой прямой имеются по крайней мере две различные точки.

3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Вторая группа: аксиомы порядка

1. Если точка В лежит между точками А и С, то В лежит между С и А.

2. Из трех различных точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Всякая прямая разбивает плоскость на две части таким образом, что для любого отрезка на плоскости выполняется следующее: если концы отрезка принадлежат одной и той же части, то прямая не пересекает этот отрезок; если же концы отрезка принадлежат разным частям, то прямая его пересекает.

Третья группа: аксиомы движения

1. Каждое движение сохраняет принадлежность точки прямой.

2. Каждое движение сохраняет порядок точек на прямой.

3. Композиция двух движений также является движением.

4. Для каждого движения существует обратное движение.

5. Если некоторое движение оставляет на месте луч и его начало, то оно оставляет на месте каждую точку этого луча.

6. Какую бы пару точек мы ни взяли, существует движение, которое переставляет их местами.

7. Какую бы пару лучей с общим началом мы ни взяли, существует движение, которое переставляет их местами.

Четвертая группа: аксиома непрерывности (Дедекинда)

Пусть все точки прямой разбиты на два непустых класса так, что каждая точка первого класса предшествует каждой точке второго класса. Тогда либо в первом классе существует точка, следующая за всеми остальными точками первого класса, либо во втором классе существует точка, предшествующая всем точкам второго класса.

Пятая группа: аксиома параллельности (пятый постулат Евклида)

На плоскости через точку М, не лежащую на прямой А, можно провести одну и только одну прямую, параллельную прямой А.

Аксиома параллельности — самое знаменитое математическое предложение в истории. Ее обсуждение на протяжении 2000 лет завершилось гениальным открытием Лобачевского и привело к открытию неевклидовых геометрий, возникновению новых областей в математике и новым взглядам на пространство и время.

Почему же так получилось? Дело в том, что, начиная со времен Евклида, многие математики не воспринимали аксиому параллельности именно как аксиому, а стремились ее доказать, потому что она казалась сложнее остальных аксиом. Позже появился другой мотив. Утверждение, содержащееся в пятом постулате, стало казаться настолько соответствующим действительности и человеческому опыту, что никто из математиков до Лобачевского (кроме великого Гаусса) не сомневался в существовании доказательства.

На плоскости через точку М, не лежащую на прямой а, проходит более одной прямой, параллельной данной прямой а,

Оставив остальные аксиомы Евклида без изменения. Затем он стал доказывать с помощью новой системы аксиом различные теоремы в надежде получить противоречие. Если бы на некотором этапе рассуждений таковое оказалось, то это означало бы, что аксиома параллельности Лобачевского неверна, а следовательно, верна только аксиома Евклида. Но, доказав несколько десятков теорем, Лобачевский никакого противоречия не получил. И тогда он понял, что с математической точки зрения его система аксиом имеет такое же право на существование как и система аксиом Евклида. Так родилась неевклидова геометрия. Датой рождения считается 1826 год, когда Лобачевский доложил результаты своих исследований на заседании математического факультета Казанского университета.

Изменение всего лишь одной аксиомы привело к удивительным фактам. В новой, неевклидовой геометрии

Сумма углов любого треугольника оказалась меньше 180°, причем эта сумма зависела от площади S треугольника:

Здесь K — некоторая постоянная, определяемая выбором масштаба. Из этой формулы видно, что площадь любого треугольника не может быть более K2.

Далее, оказалось, что в геометрии Лобачевского нет подобных фигур! Например, получалась такая теорема: если у двух треугольников углы равны, то эти треугольники равны. Этот удивительный факт объясняется тем, что теория подобия основана на понятии параллельности. Отменяя аксиому параллельности Евклида, мы отменяем и подобие.

Кроме параллельных и пересекающихся прямых, на плоскости Лобачевского существуют Расходящиеся или Сверхпараллельные прямые; помимо обычных окружностей, есть окружности, центр которых находится в бесконечности, и т. д.

Лобачевский понимал, что, открыв новую геометрию, он должен найти ответ на некоторые вопросы. Важнейший из них такой: как новая геометрия соотносится с реальным миром? Лобачевский был убежден, что его геометрия — не абстрактная математическая теория, не только плод его ума, а что она отражает свойства реального пространства. Он считал, что во Вселенной действует именно его геометрия, но люди этого не замечают, т. к. различие между евклидовой и новой геометрией проявляется только при измерении очень больших расстояний. Если же измерять небольшие фигуры, то результаты, полученные с помощью формул старой и новой геометрии, отличаются настолько мало, что это различие заметить практически невозможно. Точнее: чем меньше измеряемые фигуры, тем геометрия Лобачевского ближе к геометрии Евклида.

Чтобы проверить эту гипотезу, Лобачевский решил найти сумму углов треугольника, две вершины которого находятся в противоположных концах земной орбиты, а третья — на звезде Сириус. Если бы сумма углов оказалась меньше 180°, то гипотеза Лобачевского получила бы подтверждение.

Проведя предварительные вычисления, Лобачевский установил, что если сумма углов в этом треугольнике и окажется меньше чем 180°, то не более чем на 4 миллионных секунды! (Секунда — 1/3600 часть градуса.) Поэтому практические измерения выполнить невозможно, т. к. ни один из астрономических приборов не обладал (и до сих пор не обладает) требуемой точностью.

Другая важная проблема заключалась в необходимости выяснить, не содержит ли система аксиом новой геометрии каких-либо внутренних противоречий? Ведь никто не может доказать Все теоремы, поэтому нужно как-то гарантировать, что пользуясь аксиомами, мы никогда не получим взаимоисключающих результатов. Лобачевский много работал над этой проблемой, но она оказалась настолько глубокой и сложной, что завершить ее удалось только через несколько десятилетий усилиями многих замечательных математиков.

Расстояние (в смысле геометрии Лобачевского) между точками A И В вычисляется по следующей формуле

Аналогичную формулу можно записать и для углов.

Расстояние (в смысле геометрии Лобачевского) между точками А и В вычисляется по формуле

Для вычисления углов специальная формула не нужна: на модели Пуанкаре углы в смысле геометрии Лобачевского — это обычные углы.

Есть и другие модели геометрии Лобачевского.

Существование моделей доказывает, что система аксиом Лобачевского является Непротиворечивой. Так решается одна из важнейших проблем, над которой в последние годы жизни работал сам Лобачевский.

С другой стороны, наличие моделей, или как еще говорят, Реализации геометрий Евклида и Лобачевского, закрывает проблему 2000-летней давности: можно ли Доказать аксиому параллельности, т. е. вывести ее из других аксиом? Теперь ясно, что нельзя, потому что эта аксиома Не зависит от остальных аксиом. Независимость вытекает из того факта, что после замены аксиомы параллельности Евклида на аксиому параллельности Лобачевского мы вновь получаем непротиворечивую систему аксиом.

Переоценить значение открытия Лобачевского невозможно. Никакой другой математический результат не имел столько значительных последствий. Благодаря открытию геометрии Лобачевского возникли новые важнейшие области математики: основания геометрии, основания математики, математическая логика. Математики поняли силу аксиоматического метода и стали его широко применять во всех разделах математики и даже в физике. Далее, поскольку возник новый математический объект — система аксиом — появились и специальные методы его исследования, так называемая метаматематика. Бурно развилась теория алгоритмов, тесно связанная с математическими основами функционирования электронно-вычислительных устройств. В итоге было подвергнуто анализу все здание математики.

История пятого постулата показывает, как конкретная математическая идея, пройдя тысячелетия, как бы связала различные эпохи и стала одним из тех стержней, около которых вращается мир. Гениальные умы и великие мастера вращают наш мир, создавая настоящие ценности, и среди них математика — одна из звезд первой величины.

Ни одно из замечательных открытий в математике не остается без приложений. Совершенную теорию конических сечений* создал еще греческий математик Аполлоний за 200 лет до н. э. Первое же практическое приложение этой теории было дано только в начале XVII в. величайшим астрономом Кеплером, который сформулировал один из своих законов так: Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.**

* Это эллипсы, гиперболы и параболы, которые получаются как линии пересечения кругового конуса с различными плоскостями.

** Напомним, что Эллипсом называется кривая, все точки которой обладают одним и тем же свойством: сумма расстояний от каждой точки эллипса до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, т. е. одна и та же для всех точек эллипса.

Таким образом, теория конических сечений ждала своего приложения 1800 лет.

Когда Лобачевский открыл свою геометрию, многие его современники, в том числе даже такой выдающийся математик, как Остроградский, считали неевклидову геометрию не более чем подозрительной забавой. Но уже через 50 лет появилось много неевклидовых геометрий, а через 75 лет Эйнштейн сформулировал принципы теории относительности, и с этого момента неевклидовы геометрии стали рабочим инструментом физиков.

Еще меньше времени прошло от рождения математической логики, которая вначале считалась сугубо формальной наукой, до того момента, когда вдруг выяснилось, что развитые ею методы — основа для создания будущих ЭВМ.

И таких примеров немало. Все они показывают, что на великом дереве математики зреет может быть и не так много плодов, но каждый из них, созрев, продвигает человечество на шаг вперед.

Читайте также: