История пропорции в математике кратко

Обновлено: 06.07.2024

Тип урока: урок обобщения

Оборудование: компьютер, интерактивная доска.

I. Организационный момент:

Что называют отношением двух чисел?
Что показывает отношение двух чисел?
Что такое пропорция?
Как называются члены этой пропорции?
Каким основным свойством обладают члены пропорции?
Какие две величины называют прямо пропорциональными? (привести примеры прямо пропорциональных величин).
Какие две величины называют обратно пропорциональными? (примеры).

III. Из истории пропорции. (слайды 2-5)

Слово “пропорция” происходит от латинского слова proportio, означающего соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Пропорции используют с древности при решении разных задач в математике.

Ещё в древней Греции математики использовали такой аппарат, как ПРОПОРЦИЯ.

Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин.

В Вавилоне с помощью пропорций рисовали планы древних городов. На рисунке изображен найденный при раскопках план древнего вавилонского города Ниппура. Когда ученые сравнили результаты раскопок города с этим планом, оказалось, что он сделан с большой точностью.

IV. Практическое применение пропорций. (слайд 6-7)

Математика применяется практически во всех сферах жизни человека. И в повседневной жизни мы используем математические навыки, в том числе и пропорцию.

При постройке храма в честь богини Дианы римляне взяли пропорцию, которой отличаются стройные женщины: толщина колоны составила лишь 1/8 ее высоты. Благодаря этому колонны казалась выше, чем она была на самом деле,как раз за счет уменьшения толщины. В архитектуру вошли оба вида колонн, сохраняющие одна мужскую, другая женскую пропорции в отношениях между основанием и высотой.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамонасвидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

1. На строительство дома идет 4 тыс. штук кирпича. Сколько тысяч штук кирпича необходимо для строительства 15 таких же домов.

2. Для перевозки песка при строительстве потребовалось 14 автомашин грузоподъемностью 4,5 т. Сколько потребуется автомашин грузоподъемностью 7 т для перевозки этого же песка?

2. Кулинария (слайды 12-13)

Понятие пропорции используется в кулинарии. Когда мы готовим какое-либо блюдо, мы стараемся использовать то количество продуктов, которое указано в поварской книге. Это делается для того, чтобы не испортить блюдо. Если мы возьмём больше соли, то пересолим, а если меньше, то будет не вкусно. Ещё пропорция позволяет рассчитать количество продуктов для приготовления одного и того же блюда для разного числа гостей.

3. Для приготовления варенья из 2 кг крыжовника необходимо 3 кг сахара. Сколько кг сахара необходимо для приготовления варенья из 4,4 кг крыжовника.

4. При сушке масса яблок изменилась с 20 кг до 18,2 кг. На сколько % уменьшилась масса яблок при сушке?

3. Медицина(слайды 14-16)

В медицинской практике врачи следят за тем, сколько и когда надо давать лекарства больному. В правильных дозах лекарство даёт лечебный эффект, в меньших – оно бесполезно, а в больших – приносит вред. При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд.Отношения и пропорции используется также в аптеках при изготовлении лекарств и лечебных напитков. Чтобы изготовить лекарственный препарат надо точно знать, сколько частей приходится на какую-либо часть.

5. Для лекарственного отвара ромашки на 100 г кипятка необходимо 20 г сухой ромашки. Сколько г ромашки необходимо для 500г отвара.

6. Больному прописан курс лекарства, которое нужно принимать по 250 мг два раза в день в течение 7 дней. В одной упаковке лекарства содержится 10 таблеток по 125 мг. Какое наименьшее количество упаковок понадобится на весь курс лечения.

4. Химия (слайды 17-19)

Заслуженное место заняла теория пропорций при решении задач по химии.

Например. Какова процентная концентрация раствора, полученного растворением 5 г поваренной соли в 45 г воды?

7. В 2,4 л воды растворили 100 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

8. Имеется 90 г 80% уксусной эссенции. Какое наибольшее количество 9% столового уксуса из нее можно получить?

5. Технология (слайды 20-23)

На уроках технологии мы также используем пропорцию. Когда мы хотим сшить какую-либо вещь меньшего или большего размера, мы уменьшаем или увеличиваем выкройку до нужного нам размера. Например, выкройка фартука на себя и на куклу. Размеры элементов кукольного фартука отличаются от соответствующих размеров моего фартука в одно и тоже число раз.

9. Краеобметочная машина 0,6 м ткани обрабатывает за 2,16 мин. Сколько метров можно обметать за 1,44 мин?

10. На изготовление детского платья идет 1,2 м. Сколько необходимо ткани на платье для взрослых, если расход на него на 40 % больше.

6. Физика.(слайды 24-25)

С глубокой древности люди пользовались различными рычагами. Весло, лом, весы, ножницы, качели, тачка и т.д. – примеры рычагов. Выигрыш, который дает рычаг в прилагаемом усилии, определяется пропорцией, где M и m – массы грузов, а L и l – “плечи” рычага.

Решите задачи

11. По правилу рычаганайти М, если l=2 м, L=8 м, m=4 кг.

12. В городе Жуковском на авиа-шоу МАКС проходят показательные полёты самолётов. Такому самолёту-истребителю, как МИГ-29 на 3 часа полётов требуется около 7,5 тонн керосина. Сколько тонн керосина потребуется МИГ-29 на 7 часов полётов?

7. Моделирование.(слайды 26-27)

13. Длина модели автомашины 42см.Какова длина автомобиля, если размеры его уменьшены в 10000 раз.

14. На модель парусника идет 60 см ткани. Сколько м ткани необходимо для изготовления трех таких же парусника.

В географии также применяют пропорцию – масштаб. Масштабом называют отношение длины отрезка на карте или плане к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб показывает во сколько раз расстояние на плане меньше, чем указанное расстояние на самом деле.

15. Найдите расстояние от Москвы до Северного полюса, если на карте это расстояние – 3,5 см, а М 1:100000000.

16. Найти расстояние на карте между городами Ростов –на –Дону и Москвой, если расстояние между ними 1200 км, а М 1:50000000.

9. Изобразительное искусство. (слайды 30-37)

11. Музыка.(слайды 40-41)

12. Литература.(слайды 42-44)

VI. Заключение .(слайд 45)

С глубокой древности люди используют математический аппарат в повседневной жизни. Одним из них является пропорция. Она используется, начиная с приготовления пищи и заканчивая произведениями искусства, такими как скульптура, живопись, архитектура, а также в живой природе.

Удивительный мир пропорций

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Пропорция обретается не только в числах и мерах,

но также в звуках, тяжестях, временах и положениях

Леонардо да Винчи

В древности люди осознавали, что окружающий их мир пребывает в гармонии и равновесии. Они прибегали к помощи мифов и религии, чтобы больше узнать о порядке, которому подчинена природа. Сегодня мы обращаемся главным образом к ученым и математикам, чтобы они помогли нам объяснить то, что происходит в окружающем нас мире.

Актуальность проекта:

Практическая значимость:

Заключается в том, что данный материал можно использовать на уроках математики, на внеурочных занятиях. Он развивает воображение, мышление, смекалку.

Цель исследования:

Сформировать представление о пропорции через анализ имеющихся уже знаний, а также анализ деятельности человека и явлений живой природы.

изучение свойства пропорции в окружающем нас мире ;

выяснить, в каких науках, кроме геометрии, мы можем встретиться с пропорцией.

Объект исследования: пропорция

Предмет изучения: применение пропорции в жизни человека.

Методология исследования:

Изучение определения пропорции;

Знакомство с историей возникновения пропорции;

Исследование роли пропорции в нашей жизни;

Моя исследовательская работа посвящена изучению практического применения пропорциональности в науке и жизни человека. В этой работе, я попыталась найти тесную связь существования пропорций в разных областях науки, а так же в реальной жизни человека. Оказывается, что в повседневной жизни нередко возникают ситуации, когда пропорции помогают решать различные задачи.

Для начала я изучила различные источники информации, проанализировала и систематизировала материал, интернет-ресурсы, изучила уровень математической культуры одноклассников методом опроса (анкетирование) и анализа (статистической обработки данных).

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Теоретическая часть

История возникновения пропорции

Пропорции начали изучать еще в древности. В IV в. до н. э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы.

Пифагор – выдающийся древнегреческий философ и математик был убежден в том, что в природе существует органическая гармония, которая может быть выражена посредством чисел и пропорции, а также в то, что эти пропорции можно применять для строительства домов или других зданий.

Что такое пропорция?

Практическая часть

Пропорция в биологии, медицине

В медицинской практике врачи следят за тем, сколько и когда надо давать лекарства больному. В правильных дозах лекарство даёт лечебный эффект, в меньших – оно бесполезно, в больших – приносит вред. При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд. Отношения и пропорции используются также в аптеках при изготовлении лекарств и лечебных напитков. Чтобы изготовить лекарственный препарат надо точно знать, сколько частей приходится на какую-либо часть.

Биологи на своих уроках, когда рассматривают, допустим, клетки кожицы луковицы, увеличивают с помощью микроскопа её размеры. Микроскопом также пользуются лаборанты, определяющие состав крови, мочи и т.д.

Пропорция в географии

Пропорции в искусстве, живописи

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Все говорили о том глубоком знании Леонардо да Винчи о строении человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту загадочную улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.

Пропорции в геометрии

Отрезок прямой AB можно разделить на две части следующими способами:

1. На две равные части – AB: AC = AB: BC;

2. На две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

3. На две части, когда AB: AC = AC: BC

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение –это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей.

a: b=b: c или c: b=b: a

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Пропорции в черчении

На уроках черчения при выполнении чертежей тоже нужно соблюдать масштаб, значит, и здесь присутствует пропорция.

Пропорции в химии

Больше всего сталкиваются на уроках химии с пропорциями при решении задач на концентрации растворов (процентное содержание вещества в растворе). Точные весовые пропорции различных веществ при соединении дают возможность получения нового вещества.

Пропорции в физике

Пропорции в математике

Отношения 3:2 и 12:8 равны, т. к. 3:2=1,5 и 12:8=1,5.

Получаем равенство 3:2=12:8, или 3/2=12/8.

Равенство двух отношений называют пропорцией:

m/k = n/t, или m:k = n:t .

Все члены пропорции отличны от нуля: m≠0, k≠0, n≠0, t≠0.

Обрати внимание!

Числа m и t называют крайними членами пропорции, а числа k и n — средними.

Основное свойство пропорции:

произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Если m/k = n/t, или m:k = n:t , то m⋅t = k⋅n.

Действительно, в пропорции 3/2=12/8 произведение крайних членов 3⋅8=24 и произведение средних членов2⋅12=24 равны.

Верно и обратное утверждение. Если m, k, n и t — не равные нулю числа, и m⋅t=k⋅n, то m/k=n/t

если 3⋅8=2⋅12, то3/2=12/8.

В пропорции 3/2=12/8 поменяем местами средние члены или крайние члены, тогда получим снова верные равенства:

Пропорции в архитектуре

Пропорция в архитектуре – отношение подобных отрезков или фигур, составляющих архитектурное сооружение и придающих ему целостность и гармоничность. Архитектурные пропорции определяются как художественным замыслом, так и конструктивно-техническими требованиями.

Существует несколько теорий архитектурных пропорций, относящихся к различным историческим периодам. В своей основе они имеют понятие симметрии.

При постройке храма в честь богини Дианы римляне взяли такую пропорцию, которой отличаются стройные женщины: толщина колоны составила лишь 1/8 ее высоты. Благодаря этому колонны казалась выше, чем она была на самом деле, как раз за счет уменьшения толщины. В архитектуру вошли оба вида колонн, сохраняющие одна мужскую, другая женскую пропорции в отношениях между основанием и высотой.

Храм богини Дианы Храм Василия Блаженного в Москве

Пропорции в быту

А летом, в период заготовки продуктов впрок, ваши мамы тоже пользуются пропорциональными соотношениями. Например, в магазине часто продается 80% уксусная эссенция, а в рецептах заготовки продуктов используется столовый 9% столовый уксус. Как решить эту проблему?

В результате получится 90 + 710 = 800 г столового уксуса

• без пропорций не удастся приготовить суп или компот,

• нельзя по своему размеру связать свитер

• невозможно точно рассчитать количество корма

• или лекарства для своего питомца.

Из 1 кг крупы получается 2,1 кг гречневой каши. Сколько нужно взять крупы, чтобы получить 1600 г каши?

Мы имеем отношение

1 кг крупы = 2, 1 кг каши

х кг крупы = 1,6 кг каши
x * 2,1 = 1,6 * 1
х = 16 : 21

х = 0,762 кг.

В школе две уборщицы могут сделать уборку за 3 ч. Сколько нужно времени, чтобы три уборщицы выполнили ту же работу?

Мы имеем отношение

2 уборщицы - 3 часа

3 уборщицы - х часов

обратно пропорциональная зависимость
2 : 3 = х : 3
х = 6 : 3

х = 2 часа

Определите процент всхожести семян гороха, если из 200 горошин взошло 170 штук?

Мы имеем отношение

200 горошин = 100 %

170 горошин = х %
200 * x = 170 * 100
х = 17000 : 200

х = 85 %

Заведующая пришкольным участком сообщила, что на 3 сотки у нее ушло 9 ведер картофеля. А огород у нее 15 соток. Сколько ведер картофеля нужно, чтобы засадить весь огород?

Мы имеем отношение

3 сотки = 9 ведер

15 соток = х ведер
3 * x = 15 * 9
х = 135 : 3

х = 45 ведер

В школьном коридоре длиной 33 м нужно покрасить пол. Покрасив 11 м, израсходовали 4,125 кг краски. Сколько нужно краски, чтобы выкрасить остальной пол?

Мы имеем отношение

11 м = 4,125 кг краски

22 м = х кг краски
11 * x = 22 * 4,125
х = 90,75 : 11

х = 8,25 кг краски

Повар школы решил сварить варенье из смородины. По рецепту на 2 кг ягод расходуют 3 кг сахара. Сколько нужно сахара, чтобы сварить варенье из 2,5 кг смородины?

Мы имеем отношение

2 кг ягод = 3 кг сахара

2,5 кг ягод = х кг сахара
2 * x = 2,5 * 3
х = 7,5 : 2

х = 3,75 кг сахара

Решите задачи:

Для лекарственного отвара ромашки на 100г кипятка необходимо 20 г сухой ромашки. Сколько г ромашки необходимо для 500г отвара.

Больному прописан курс лекарства, которое нужно принимать по 250 мг два раза в день в течение 7 дней. В одной упаковке лекарства содержится 10 таблеток по 125 мг. Какое наименьшее количество упаковок понадобится на весь курс лечения.

Найдите расстояние от Москвы до Северного полюса, если на карте это расстояние – 3,5 см, а М 1:100000000.

На строительство дома идет 4 тыс. штук кирпича. Сколько тысяч штук кирпича необходимо для строительства 15 таких же домов.

Для перевозки песка при строительстве потребовалось 14 автомашин грузоподъемностью 4,5 т. Сколько потребуется автомашин грузоподъемностью 7 т для перевозки этого же песка?

- Исследования показали, что в окружающем мире есть величины, которые связаны между собой пропорциональными зависимостями и эти зависимости люди используют в повседневной жизни.

- Пропорция играет огромную роль в биологии и медицине, географии, живописи, геометрии, черчении, химии, физике, математике и в быту.

- Пропорция широко используется в архитектуре. Симметрия форм зданий, отдельных их элементов придает им красоту. Использование симметрии в конструкции зданий, симметричных элементов в отделке, а также симметрично расположенные строения создают красоту и гармонию.

В своем проекте по математике "Удивительный мир пропорций" мною была изучена теория пропорции. Пропорции сопровождают нас повсюду и являются неотъемлемой частью нашей жизни.

Совершенные конструкции в космическом пространстве, завитки самого древнего существа на Земле – улитки Наутилус и расположение визуальных элементов на полотнах великих мастеров живописи находятся в соотношении 0,618 или 1,618. Сплавы металлов обладают лучшими свойствами, если атомарные веса составляющих их элементов находятся в данной пропорции. Совсем недавно было обнаружено, что существует наномир, подчиняющийся золотой пропорции. Окислы урана и других металлов образуются в соответствии с числами Фибоначчи. Можно предполагать, что золотая пропорция является основополагающим принципом образования химических соединений.

Исследовательская работа по математике на тему "Удивительный мир пропорций" будет интересна учащимся всех классов.

В процессе своей работы я расширила знания о пропорциях, убедилась, что они присутствуют во многих областях жизни, с пропорцией мы сталкиваемся в живой и не живой природе, при изучении различных предметов. Пропорция действительно создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.

Над темой я работала с ноября месяца. В дальнейшем я планирую расширять свой кругозор, пополнять знания по этой теме.

Я выбрала эту тему потому, что люблю математику.

Надеюсь на то, что моя исследовательская и практическая работа вам была понятна, интересна и познавательна.

Спасибо за внимание!

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

И.Агеева “Занимательные материалы по информатике и математике” –М.: Творческий центр, 2005.

CD-ROM “От плуга до лазера 2.0”, Новый диск, 1998 г.

Математика: наглядная геометрия: учеб. Для учащихся 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Т.Г. Ходот, А.Ю. Ходот. – М.: Просвещение, 2007. – 143с.

Математика 5 класс Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, Учебник для образовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2013 г.

Математика. Школьная энциклопедия. С.М. Никольский.- М: Большая Российская энциклопедия: Дрофа 1997-527с.

Понятие пропорции как равенства двух отношений чисел для целых чисел было дано в глубокой древности. Еще древние вавилоняне из рассмотрения подобных треугольников пришли к понятию пропорциональности сторон, выраженных в целых числах.

Первыми арифметическую теорию пропорций разработали древнегреческий ученый Пифагор (около 580-500 гг до н.э.) и его ученики. Они рассматривали три вида пропорций:

Арифметическую: а-в = с-d

Геометрическую: a: b = c: d

Им же принадлежит введение понятия непрерывной пропорции и среднего пропорционального из рассмотрения пропорции, у которой средние члены одинаковы.

В 4 веке до н.э. древнегреческий ученый Евдокс (около 408 – 355 гг. до н.э.) дал систематическое учение о пропорциях применительно не только к целым, но и к дробным числам. Интересно отметить, Евдокс был энциклопедистом своего времени. Он владел многими профессиями, был астрономом и механиком, математиком и авторитетным врачом.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ титульный лист пропорции.docx

Комитет Администрации Змеиногорского района

Алтайского края по образованию и делам молодежи

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Змеиногорского района

Алтайского края

Учебно-исследовательская работа по теме:

Выполнила: Дударева Маргарита,

ученица 6 класса

Руководитель: Демидова Н.А.

учитель математики первой

Наименование

Из истории возникновения пропорции. Определение пропорции

Применение пропорций в различных сферах жизнедеятельность людей

Выбранный для просмотра документ удивительный мир пропорции.docx

1. Введение

О, сколько нам открытий чудных

Готовит просвещения дух,

И опыт – сын ошибок трудных,

И гений – парадоксов друг. (А.С. Пушкин)

На уроках математики в этом учебном году я познакомилась с понятиями: отношение, пропорция , прямая и обратная пропорциональные зависимости . Решая задачи, я задалась вопросом: где в реальной жизни можно встретиться с этой математической моделью.

Людям различных профессий приходится решать практические задачи на пропорции. Соблюдение пропорций столь велико и значимо, что без них практически невозможно обойтись не только в изобразительном искусстве и архитектуре, но и в науке, технике, медицине и многих других сферах жизнедеятельности человека. В повседневной жизни мы используем математические навыки, в том числе и пропорцию. Без неё не обойтись во многих задачах по таким учебным предметам как математика, технология, география и т.д.

Моя исследовательская работа посвящена изучению практического применения пропорциональности в науке и жизни человека.

Цель: исследовать и выяснить, где применяются пропорции в жизни человека.
Задачи:
1)Найти информацию о пропорции в различных источниках.

2)Оформить изученную информацию в структуру учебно– исследовательской работы.

Гипотеза: Пропорция: математический объект или основа красоты в жизни. Человек применяет пропорции в различных сферах жизни.

Объект исследования: пропорциональная зависимость величин.

Предмет исследования: практическое значение пропорций, широкое использование их в различных областях жизни.

Проблемные вопросы:

1.Что такое пропорция?

2. Провести опрос одноклассников по выяснению их знаний о пропорции, и её применение в жизни людей.

3. Какую роль играет пропорция в нашей жизни?

4. Где можно использовать знания о пропорциональных величинах?

Практическая ценность .

Я считаю, что моя работа будет полезна моим сверстникам, желающим расширить свои знания о пропорциональных зависимостях и их приложениях.

Методы работы: поисковый метод с использованием учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет; практический метод выполнения вычислений при решении различных задач на применение пропорций в жизни людей; анализ полученных в ходе исследования данных.

2. Опрос одноклассников

Вывод: и сходя из этого, считаю необходимым провести исследования по этой теме, а после этого провести в классе информационное занятие по данной теме.

3. Из истории возникновения пропорции. Определение пропорции

Первыми арифметическую теорию пропорций разработали древнегреческий ученый Пифагор (около 580-500 гг до н.э.) и его ученики.

Что такое пропорция?

Пропорция — это равенство двух отношения.

Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.

Пропорция всегда содержит равные коэффициенты.

Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:

a : b = c : d

Пропорциями называются размерные соотношения элементов или частей формы между собой, а также между различными объектами.

Пропорция — это гармонизация формы художественного произведения, пропорциональность — ее эстетическое качество.

Пропорция в архитектуре – отношение подобных отрезков или фигур, составляющих архитектурное сооружение и придающих ему целостность и гармоничность.
Существует несколько теорий архитектурных пропорций, относящихся к различным историческим периодам. В своей основе они имеют понятие симметрии.

Существует прямая и обратная пропорциональная зависимость.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей. Другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

4. Применение пропорций в различных сферах жизнедеятельность людей

Кулинария: Понятие пропорции используется в кулинарии. Когда мы готовим какое-либо блюдо, мы стараемся использовать то количество продуктов, которое указано в поварской книге. Это делается для того, чтобы не испортить блюдо. Если мы возьмём больше соли, то пересолим, а если меньше, то будет не вкусно. Ещё пропорция позволяет рассчитать количество продуктов для приготовления одного и того же блюда для разного числа гостей.

Наглядный пример для понимания: у нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.

Запишем эту непростую ситуацию в виде отношения 8 кусочков к 4 голодным друзьям: 8 : 4

Далее преобразовываем это отношение в дробь: 8/4

Выполняем деление: 8/4 = 2

Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!

Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным .

Медицина: в медицинской практике врачи следят за тем, сколько и когда надо давать лекарства больному. В правильных дозах лекарство даёт лечебный эффект, в меньших – оно бесполезно, а в больших – приносит вред. При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд.

Задача из народных рецептов: для приготовления настойки прополиса нужно залить измельченный прополис водой в отношении 2 : 5. Сколько потребуется воды для 150 г . прополиса?

Решение: 2:5=150:х х = 150·5:2=375 г.- потребуется воды. Ответ: 375 г.

Технология: На уроках технологии мы также используем пропорцию. Когда мы хотим сшить какую-либо вещь меньшего или большего размера, мы уменьшаем или увеличиваем выкройку до нужного нам размера. Например, выкройка фартука на себя и на куклу. Размеры элементов кукольного фартука отличаются от соответствующих размеров моего фартука в одно и тоже число раз.

Для того, чтобы зашить боковой шов на штанах 10-ти сантиметров мы берём иголку с нитью большей длины чем боковой шов и зашиваем петельным швом. Если не соблюдать пропорции в шитье, мы можем взять меньше нити и из-за этого у нас не получиться зашить шов.

В искусстве: в произведениях изобразительного искусства художники и скульпторы осознанно или подсознательно, доверяя своему тренированному глазу, часто применяют соотношение размеров в золотой пропорции.

На огороде: пропорции необходимо соблюдать: при приготовлении растворов для обработки различных культур от вредителей, при приготовлении подкормки для растений и т.д.

Для приготовления средства для избавления от колоратского жука можно воспользоваться народным методом. Для этого нарезают дольками картофель и на сутки помещают в раствор мочевины (1 : 3) .приманку разбрасывают по огороду, особенно там, где посажен картофель.

Пропорции в быту: летом, в период заготовки продуктов впрок, ваши мамы тоже пользуются пропорциональными соотношениями. Например, в магазине часто продается 80% уксусная эссенция, а в рецептах заготовки продуктов используется столовый 9% столовый уксус. Как решить эту проблему?

Пропорции в профессии часовщика : часовщики в ремонтных мастерских пользуются лупой. Ее действие аналогично действию микроскопа, только это отношение выражается неправильной дробью.

Пропорции в профессии закройщика:

с помощью правильных пропорций можно получать гармоничные образы, скорректировать недостатки фигуры, а это важно в профессии закройщика .

Пропорции в физике: и зучение данного предмета нам только предстоит в 7 классе, но в учебнике 6 класса по математике о применении пропорции в физике уже говорится. С глубокой древности люди пользовались различными рычагами. Весло, лом, весы, ножницы, качели, тачка и т.д. – Примеры рычагов. Выигрыш, который дает рычаг в прилагаемом усилии, определяется пропорцией.

5. Практическая часть

Успеваемость в моем классе за вторую четверть. В классе 29 человек из них: 1/29 - отличников, 15/29 – ударников,12/29 – удовлетворительно закончили, 1/29 – отстающих. На диаграмме это выглядит так.

6. Заключение

Леонардо да Винчи

Приобрела навыки исследования, опыт работы в поисковой системе Интернет и с источниками литературы. Мной был сделан вывод о том, что п ропорции применяются в архитектуре, в технологии, в кулинарии, искусстве, физике, географии и медицине. Пропорции сопровождают нас повсюду и являются неотъемлемой частью нашей жизни. В своей работе я привела только не большой перечень сфер, где встречается с пропорциями, но и как их применить на практике в жизни. Ведь пропорции появились одновременно с природой, даже до появления человека. Таким образом, моя гипотеза подтвердилась и поставленная цель, узнать, где применяются пропорции, выполнена.

Данный проект представляется мне ценным, потому что развивает интерес к математике, вызывает стремление глубже изучать эту науку.
Знания, полученные мной при работе над темой, позволят мне выступить в перед одноклассниками, поделится с ними полученными знаниями.
Практическая значимость исследования заключается в том, что с помощью примера пропорций можно привлечь внимание учеников к изучению математики, технологии, изобразительного искусства и других предметов школьного курса, расширить свой кругозор.

причем величины называют крайними членами пропорции, а величины и c — средними.

Сегодня, когда известны рациональные и иррациональные числа, это определение кажется тривиальным, ибо всякое отношение двух величин может быть представлено рациональным или иррациональным числом. Сегодня, когда законы арифметических операций, установленные для натуральных чисел, распространены и на другие множества чисел вплоть до иррациональных, нет никакой необходимости создавать специальные правила действия с отношениями, а само равенство отношений легко перевести в равенство произведений, именуемое основным свойством пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов:

Совсем в иной ситуации находился древнегреческий математик. Как следовало ему понимать отношение величин ? Хорошо, если меньшая величина b целое число раз m укладывалась в большей a, т. е. . Тогда отношением величин можно было бы назвать число m, т. е. . Однако так было далеко не всегда, и вот тут-то для греческого математика, знавшего только натуральные числа, возникали серьезные трудности.

(в частности, при ). Тогда пары целых чисел разбивались на непересекающиеся классы пар, имеющих одинаковые отношения:

В основе большей части доказательств теории отношений лежал универсальный способ нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. Этот способ и сегодня с успехом применяется в теории чисел и называется алгоритмом Евклида. Суть алгоритма Евклида состоит в том, что a делят на b с остатком, затем b делят на этот остаток и т. д.

Евклид доказал, что:

1) если , то , т.е. числа a и b взаимно простые;

2) если , то . Записывая систему равенства (1.4.3) в виде

и подставляя последующие равенства в предыдущие, получим

Дробь (1.4.4) называется непрерывной. Из самого принципа построения непрерывной дроби видно, что если она конечна, то, значит, числа a и b имеют общую меру, т. е. число является рациональным. Бесконечная непрерывная дробь будет получаться в случае, если a и b несоизмеримы, т. е. когда число иррациональное. Таким образом, непрерывная дробь является прекрасным критерием рациональности или иррациональности числа. Однако переход от алгоритма Евклида к непрерывным дробям был осуществлен только через 2000 лет, в эпоху Возрождения.

Стремясь обобщить теорию отношений на несоизмеримые величины, Евдокс вводит новое определение величины. Это определение включало в себя как числа, так и любые непрерывные величины (отрезки, площади), в том числе и несоизмеримые. Понятие величины определялось с помощью аксиом равенства и неравенства, и в частности двумя знаменитыми аксиомами.

Истинная же глубина теории Евдокса была до конца осознана лишь во второй половине XIX в., после того как немецкий математик Рихард Дедекинд (1831 — 1916) построил теорию действительного числа как сечения во множестве рациональных чисел. Вторая аксиома Евдокса, по существу, стала отправным пунктом теории Дедекинда, которая настолько близко следовала ходу мыслей Евдокса, что это дало повод его соотечественнику Р. Липшицу в одном из писем спросить Дедекинда, что же он сделал нового по сравнению с Евдоксом. В это же время еще один выдающийся немецкий математик Феликс Клейн (1849 — 1925) назвал теорию отношений Евдокса одним из перлов античной математической мысли.

Но вернемся к пропорциям. Традиция утверждает, что древние пифагорейцы знали три вида пропорций:

Полагая в (1.4.5) и переобозначая d через c, получим следующие выражения для средних:

геометрическое среднее: (1.4.6)

Арифметическое среднее понималось пифагорейцами арифметически: как отрезок b, меньший большего отрезка a и больший меньшего c на одну и ту же величину . Геометрическое среднее ( ) — геометрически: как площадь квадрата со стороной b, равновеликого прямоугольнику со сторонами a и c. Наконец, гармоническое среднее — как арифметическое среднее для обратных величин. Гармоническое среднее играло большую роль в пифагорейской теории музыки — гармонии, откуда и происходит его название.

Среди бесчисленного множества геометрических средних уникальными свойствами обладает одно, делящее данный отрезок a на две части x и в геометрической пропорции, т. е. так, что отношение целого отрезка a к его большей части x равняется отношению большей части x к меньшей :

Эта геометрическая пропорция приводит к уравнению

которое имеет один положительный корень:

Заметим, что , т. е. , причем

φ = 0,618033988. ;

Найдем разложение φ в непрерывную дробь. Рассмотрим бесконечную непрерывную дробь:

в знаменателе которой нетрудно обнаружить выражение , т. е.

Отсюда находим уравнение

и его положительный корень . Следовательно, дробь (1.4.8) и есть искомое разложение для φ.

А сейчас мы ограничимся лишь оценкой золотого сечения, данной более 300 лет назад выдающимся немецким математиком и астрономам Иоганном Кеплером: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а другое — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.

т. е. . Кроме того, легко видеть, что

т. е. выполняется основное свойство пропорции (1.4.2), и, следовательно, среднее арифметическое и среднее гармоническое двух величин a и d образуют с ними геометрическую пропорцию:

Эта пропорция играла значительную роль в пифагорейской теории музыки, отчего ее часто называют музыкальной.

причем величины называют крайними членами пропорции, а величины и c — средними.

Евклид доказал, что:

1) если , то , т.е. числа a и b взаимно простые;

2) если , то . Записывая систему равенства (1.4.3) в виде

и подставляя последующие равенства в предыдущие, получим

Но вернемся к пропорциям. Традиция утверждает, что древние пифагорейцы знали три вида пропорций:

Полагая в (1.4.5) и переобозначая d через c, получим следующие выражения для средних:

геометрическое среднее: (1.4.6)

Эта геометрическая пропорция приводит к уравнению

которое имеет один положительный корень:

Заметим, что , т. е. , причем

φ = 0,618033988. ;

Найдем разложение φ в непрерывную дробь. Рассмотрим бесконечную непрерывную дробь:

в знаменателе которой нетрудно обнаружить выражение , т. е.

Отсюда находим уравнение

и его положительный корень . Следовательно, дробь (1.4.8) и есть искомое разложение для φ.

т. е. . Кроме того, легко видеть, что

Эта пропорция играла значительную роль в пифагорейской теории музыки, отчего ее часто называют музыкальной.

Читайте также: