Интегрирование рациональных дробей кратко
Обновлено: 06.07.2024
Алгоритм интегрирования рациональных функций
Рациональная функция - это дробь вида , числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.
Из урока "Интегрирование некоторых рациональных дробей и иррациональностей" известно, что рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В том же уроке говорилось о том, как представить неправильную дробь в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.
На этом уроке будем учиться интегрировать такие рациональные функции, которые представлены в виде правильных дробей. Для этого существует метод неопределённых коэффициентов, основанный на теореме, которая гласит, что всякая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простых дробей.
Приведённый ниже алгоритм интегирования рациональных функций будет пошагово проиллюстрирован в примерах.
Алгоритм интегрирования рациональных функций
- Шаг 1. Определить вид многочлена в знаменателе дроби (он может иметь действительные, кратные действительные, комплексные и кратные комплексные корни) и в зависимости от вида разложить дробь на простые дроби, в числителях которых - неопределённые коэффициенты, число которых равно степени знаменателя.
- Шаг 2. Определить значения неопределённых коэффициентов. Для этого потребуется решить систему уравнений, сводящуюся к системе линейных уравнений.
- Шаг 3. Найти интеграл исходной рациональной функции (дроби) как сумму интегралов полученных простых дробей, к которым применяются табличные интегралы.
Переходим к первому шагу алгоритма
Шаг 1: разложение исходной дроби
Многочлен в знаменателе имеет действительные корни. То есть, в знаменателе имеет место цепочка сомножителей вида , в которой каждый из сомножителей находится в первой степени. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:
Пример 1. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .
От нас требуется разложить подынтегральное выражение - правильную дробь на простые дроби.
Решение. Дискриминант уравнения положительный, поэтому многочлен в знаменателе имеет действительные корни. Получаем следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей:
Пример 2. Шаг 1.Дан интеграл от рациональной функции
Решение. Разложим знаменатель подынтегрального выражения на множители. Сначала можно вынести за скобки x. (На сайте есть урок о вынесении общего множителя за скобки.) Получаем следующую дробь:
Для разложения квадратного трёхчлена в скобках решаем квадратное уравнение:
Получаем разложение знаменателя на множители в подынтегральном выражении:
Дискриминант решённого выше квадратного уравнения положительный, то есть имеем дело со случаем, когда многочлен в знаменателе имеет действительные корни. Разложение исходной дроби подынтегрального выражения будет следующим:
Как и в первом примере, числа, обозначенные большими буквами, пока неизвестны. Отсюда и название - метод неопределённых коэффициентов.
Многочлен в знаменателе имеет кратные действительные корни. Этот случай имеет место, когда в цепочке сомножителей в знаменателе присутствует выражение вида , то есть один из многочленов в степени 2 и больше. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:
Пример 3. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .
Решение. Представляем разность квадратов в виде произведения суммы и разности .
Тогда подынтегральное выражение запишется в виде
все уравнения с многочленами которого имеют действительные корни. Это случай кратных действительных корней, так как последний сомножитель находится во второй степени. Получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
Как видим, в этом случае нужно понижать степень кратного многочлена с исходной до первой и записывать простую дробь с каждой из этих степеней в знаменатель.
Пример 4. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .
Решение. Уравнения с многочленами в знаменателе имеют действительные корни, а сами многочлены присутствуют в степенях больше первой. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
Многочлен в знаменателе имеет комплексные корни: дискриминант квадратного уравнения , присутствующего в цепочке сомножителей в знаменателе, меньше нуля. В этом случае при разложении дроби в простой дроби, соответствующей описанному выше сомножителю, в числителе нужно записывать линейное выражение с переменной x (это выражение - последнее в следующей записи):
Пример 5. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .
Решение. Уравнение в скобках имеет комплексные корни, а оба сомножителя присутствуют в знаменателе в первой степени. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
Пример 6. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .
Решение. Представим знаменатель дроби в подынтегральном выражении в виде следующего произведения сомножителей:
Решение. Уравнение с последним сомножителем имеет комплексные корни, а все сомножители присутствуют в знаменателе в первой степени. Поэтому получаем следующее разложение исходной дроби на простые дроби:
Многочлен в знаменателе имеет кратные комплексные корни: дискриминант квадратного уравнения , присутствующего в цепочке сомножителей в знаменателе, меньше нуля и этот сомножитель присутствует в степени 2 или больше. В этом случае разложение дроби с использованием метода неопределённых коэффициентов будет следующим:
То есть в сумме простых дробей число простых дробей с линейным выражением в числителе должно быть равно степени сомножителя, имеющего комплексные корни.
Пример 7. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .
Решение. Квадратный трёхчлен имеет комплексные корни и присутствует в знаменателе подынтегральной дроби во второй степени. Поэтому получаем следующее разложение дробного выражения:
Пример 8. Шаг 1. Дан интеграл от рациональной функции .
Решение. Квадратный трёхчлен в знаменателе имеет комплексные корни и присутствует в подынтегральной дроби во второй степени. Поэтому получаем следующее разложение дробного выражения:
Шаг 2: нахождение неопределённых коэффициентов
На первом шаге мы представили подынтегральные дроби в виде суммы дробей с неопределёнными коэффициентами. В начале этого шага потребуется привести полученную сумму дробей к общему знаменателю. После этого в их числителях будут произведения неопределённых коэффициентов на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях.
Полученное таким образом выражение приравнивается к числителю исходной дроби. Затем составляется система из уравнений, в которых степени икса одинаковы. Путём решения системы и находятся неопределённые коэффициенты. Для решения достаточно знать, как системы уравнений решаются методом подстановки и методом сложения.
Пример 1. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Умножаем неопределённые коэффициенты на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях:
Раскрываем скобки и приравниваем полученое к полученному выражению числитель исходной подынтегральной дроби:
В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений:
Сокращаем все иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Таким образом, окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Пример 2. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:
Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:
Решаем полученную систему:
Итак, , отсюда получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Пример 3. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:
Как и в предыдущих примерах составляем систему уравнений:
Сокращаем иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Пример 4. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Как приравнивать числитель исходной дроби к выражению в числителе, полученному после разложения дроби на сумму простых дробей и приведения этой суммы к общему знаменателю, мы уже знаем из предыдуших примеров. Поэтому лишь для контроля приведём получившуюся систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Пример 5. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Самостоятельно приводим к общему знаменателю эту сумму, приравнивать числитель этого выражения к числителю исходной дроби. В результате должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Пример 6. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Производим с этой суммой те же действия, что и в предыдущих примерах. В результате должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Пример 7. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
После известных действий с полученной суммой должна получиться следующая система уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Пример 8. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:
Внесём некоторые изменения в уже доведённые до автоматизма действия для получения системы уравнений. Есть искусственный приём, который в некоторых случаях помогает избежать лишних вычислений. Приводя сумму дробей к общему знаменателю получаем и приравнивая числитель этого выражения к числителю исходной дроби, получаем:
Можно заметить, что если принять за значение икса единицу, то второе и третье слагаемые в правой части равенства обратятся в нули и нет необходимости их вычислять. Тогда получаем, что . Далее по уже отработанной схеме получаем систему уравнений:
Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:
Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Шаг 3: нахождение интеграла исходной функции (дроби)
Полученные простые дроби и интегировать проще. К исходной сумме дробей применяется правило интеграла суммы (интеграл суммы равен сумме интегралов) и табличные интегралы. Чаще всего требуется применять табличные интегралы, приводящие к натуральному логарифму и арктангенсу.
Пример 1. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Интегрируем изначальную рациональную функцию как сумму дробей и используем табличный интеграл 10, приводящий к натуральному логарифму:
Последнее действие с натуральным логарифмом - приведение к единому выражению под логарифмом - может требоваться при выполнении работ, но требуется не всегда.
Пример 2. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Вновь применяем табличный интеграл, приводящий к натуральному логарифму:
Пример 3. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
В результате интегрирования получаем сумму натуральных логарифмов и одной простой дроби, на случай, если требуется преобразование к единому логарифму, делаем и это:
Пример 4. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
В результате интегрирования получаем сумму натуральных логарифмов и одной дроби, на случай, если требуется преобразование к единому логарифму, делаем и это:
Пример 5. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Интегрируем и получаем сумму натурального логарифма и арктангенса:
Пример 6. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Опять получаем сумму натурального логарифма и арктангенса:
Пример 7. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Интегрируя, получаем натуральные логарифмы и дробь:
Приведение к единому логарифму попробуйте выполнить самостоятельно.
Пример 8. Шаг 3. На шаге 2 получили окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:
Материал, изложенный в этой теме, опирается на сведения, представленные в теме "Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на элементарные (простейшие) дроби". Очень советую хотя бы бегло просмотреть эту тему перед тем, как переходить к чтению данного материала. Кроме того, нам будет нужна таблица неопределенных интегралов.
Напомню пару терминов. О их шла речь в соответствующей теме, посему тут ограничусь краткой формулировкой.
Примеры рациональных дробей (правильных и неправильных), а также примеры разложения рациональной дроби на элементарные можно найти тут. Здесь нас будут интересовать лишь вопросы их интегрирования. Начнём с интегрирования элементарных дробей. Итак, каждый из четырёх типов указанных выше элементарных дробей несложно проинтегрировать, используя формулы, указанные ниже. Напомню, что при интегрировании дробей типа (2) и (4) предполагается $n=2,3,4,\ldots$. Формулы (3) и (4) требуют выполнение условия $p^2-4q 0$. Можно рассудить и по-иному, не привлекая выделение полного квадрата. Так как $10^2-4\cdot 34=-16 0$ при любом $x\in R$ (если эта логическая цепочка вызывает удивление, советую посмотреть графический метод решения квадратных неравенств). В любом случае, так как $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. вместо модуля можно использовать обычные скобки.
Все пункты примера №1 решены, осталось лишь записать ответ.
- $\int\frac=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac=-\frac+C$;
- $\int\fracdx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac\arctg\frac+C.$
На первый взгляд подынтегральая дробь $\frac$ очень похожа на элементарную дробь третьего типа, т.е. на $\frac$. Кажется, что единcтвенное отличие – это коэффициент $3$ перед $x^2$, но ведь коэффициент и убрать недолго (за скобки вынести). Однако это сходство кажущееся. Для дроби $\frac$ обязательным является условие $p^2-4q 0$, посему выражение $3x^2-5x-2$ можно разложить на множители. А это означает, что дробь $\frac$ не является элементаной дробью третьего типа, и применять к интегралу $\int\fracdx$ формулу (3) нельзя.
Ну что же, если заданная рациональная дробь не является элементарной, то её нужно представить в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать. Короче говоря, след воспользоваться схемой интегрирования рациональных дробей. Как разложить рациональную дробь на элементарные подробно написано тут. Начнём с того, что разложим на множители знаменатель:
Подынтеральную дробь представим в таком виде:
Теперь разложим дробь $\fracx+4><\left(x+\frac<1>\right)(x-2)>$ на элементарные:
Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$ есть два стандартных пути: метод неопределённых коэффициентов и метод подстановки частных значений. Применим метод подстановки частных значений, подставляя $x=2$, а затем $x=-\frac$:
Так как коэффициенты найдены, осталось лишь записать готовое разложение:
В принципе, можно такую запись оставить, но мне по душе более аккуратный вариант:
Возвращаясь к исходному интегралу, подставим в него полученное разложение. Затем разобьём интеграл на два, и к каждому применим формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:
Нам останется только разбить заданный интеграл на три, и к каждому применить формулу (1). Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:
Приводится вывод формул для вычисления интегралов от простейших, элементарных, дробей четырех типов. Более сложные интегралы, от дробей четвертого типа, вычисляются с помощью формулы приведения. Рассмотрен пример интегрирования дроби четвертого типа.
Как известно, любую рациональную функцию от некоторой переменной x можно разложить на многочлен и простейшие, элементарные, дроби. Имеется четыре типа простейших дробей:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Здесь a, A, B, b, c – действительные числа. Уравнение x 2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.
Интегрирование дробей первых двух типов
Интегрирование первых двух дробей выполняется с помощью следующих формул из таблицы интегралов:
,
, n ≠ – 1 .
1. Интегрирование дроби первого типа
Дробь первого типа подстановкой t = x – a приводится к табличному интегралу:
.
2. Интегрирование дроби второго типа
Дробь второго типа приводится к табличному интегралу той же подстановкой t = x – a :
.
3. Интегрирование дроби третьего типа
Рассмотрим интеграл от дроби третьего типа:
.
Будем вычислять его в два приема.
3.1. Шаг 1. Выделим в числителе производную знаменателя
Выделим в числителе дроби производную от знаменателя. Обозначим: u = x 2 + bx + c . Дифференцируем: u′ = 2 x + b . Тогда
;
.
Но
.
Мы опустили знак модуля, поскольку .
3.2. Шаг 2. Вычисляем интеграл с A = 0, B=1
Теперь вычисляем оставшийся интеграл:
.
Приводим знаменатель дроби к сумме квадратов:
,
где .
Мы считаем, что уравнение x 2 + bx + c = 0 не имеет корней. Поэтому .
Тем самым мы нашли интеграл от дроби третьего типа:
,
где .
4. Интегрирование дроби четвертого типа
И наконец, рассмотрим интеграл от дроби четвертого типа:
.
Вычисляем его в три приема.
4.1) Выделяем в числителе производную знаменателя:
.
4.2) Вычисляем интеграл
.
4.3) Вычисляем интегралы
,
используя формулу приведения:
.
Далее мы приводим вывод этих формул, и пример вычисления интеграла от элементарной дроби четвертого типа.
4.1. Шаг 1. Выделение в числителе производной знаменателя
Выделим в числителе производную знаменателя, как мы это делали в разделе 3.1 ⇑. Обозначим u = x 2 + bx + c . Дифференцируем: u′ = 2 x + b . Тогда
.
4.2. Шаг 2. Вычисление интеграла с n = 1
Вычисляем интеграл
.
Его вычисление изложено в разделе 3.2 ⇑.
4.3. Шаг 3. Вывод формулы приведения
Теперь рассмотрим интеграл
.
Приводим квадратный трехчлен к сумме квадратов:
.
Здесь .
Делаем подстановку.
.
.
Выполняем преобразования и интегрируем по частям.
.
Итак, для In мы получили формулу приведения:
.
Последовательно применяя эту формулу, мы сведем интеграл In к I 1 .
Пример
1. Выделим в числителе производную знаменателя.
;
;
.
Здесь
.
2. Вычисляем интеграл от самой простой дроби.
.
3. Применяем формулу приведения:
для интеграла .
В нашем случае b = 1 , c = 1 , 4 c – b 2 = 3 . Выписываем эту формулу для n = 2 и n = 3 :
;
.
Отсюда
.
Окончательно имеем:
.
Находим коэффициент при .
.
Напомним, что дробно-рациональными называют функции вида $$ f(x) = \frac, $$ в общем случае являющиеся отношением двух многочленов %%P_n(x)%% и %%Q_m(x)%%.
Если %%m > n \geq 0%%, то рациональную дробь называют правильной, в противном случае — неправильной. Используя правило деления многочленов, неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена %%P_%% степени %%n - m%% и некоторой правильной дроби, т.е. $$ \frac = P_(x) + \frac, $$ где степень %%l%% многочлена %%P_l(x)%% меньше степени %%n%% многочлена %%Q_n(x)%%.
Таким образом, неопределенный интеграл от рациональной функции можно представить суммой неопределенных интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби.
Интегралы от простейших рациональных дробей
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят к простейшим рациональным дробям:
где %%k > 1%% — целое и %%p^2 - 4q 0%%, которое обозначим как %%a^2%%. Заменив также %%t = x + p/2, \mathrmt = \mathrmx%%, преобразуем знаменатель и запишем интеграл от дроби третьего типа в форме $$ \begin \int \frac \mathrmx &= \int \frac <(x + p/2)^2 + q - p^2/4>\mathrmx = \\ &= \int \frac
Вычисление интеграла 4 типа сложно, поэтому в этом курсе не рассматривается.
Читайте также: