Интегрирование по частям в определенном интеграле кратко

Обновлено: 04.07.2024

Следующая формула называется формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле:

Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение нужно разбить на два множителя. Один из них обозначается через u, а остальная часть относится ко второму множителю и обозначается через dv. Затем дифференцированием находится du и интегрированием - функция v. При этом за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv - такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется.

Когда выгодно применять метод интегрирования по частям? Тогда, когда подынтегральная функция содержит:

1) - логарифмические функции, а также обратные тригонометрические функции (с приставкой "arc"), тогда на основании продолжительного опыта интегрирования по частям эти функции обозначаются через u;

2) , , - синус, косинус и экспоненту, умноженные на P(x) - произвольный многочлен от икса, тогда эти функции обозначают через dv, а многочлен - через u;

3) , , , , в этом случае интегрирование по частям применяется дважды.

Поясним ценность метода интегрирования по частям на примере первого случая. Пусть выражение под знаком интеграла содержит логарифмическую функцию (таким будет пример 1). Применением интегрирования по частям такой интеграл сводится вычислению интеграла только алгебраических функций (чаще всего многочлена), то есть не содержащих логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. Применяя данную в самом начале урока формулу интегрирования по частям

получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) - функцию, не содержащую логарифма. Интеграл алгебраической функции намного проще интеграла, под знаком которого находятся отдельно или вместе с алгебраическим множителем логарифмическая или обратная тригонометрическая функция.

Таким образом, с помощью формулы интегрирования по частям интегрирование не выполняется сразу: нахождение данного интеграла сводится к нахождению другого. Смысл формулы интегрирования по частям состоит в том, чтобы в результате её применения новый интеграл оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального.

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций:

то её можно записать в виде

который и был приведён в самом начале урока.

При нахождении интегрированием функции v для неё получается бесконечное множество первообразных функций. Чтобы применить формулу интегрирования по частям, можно взять любую из них, а значит, и ту, которая соответствует произвольной постоянной С, равной нулю. Поэтому при нахождении функции v произвольную постоянную С вводить не следует.

Есть у метода интегрирования по частям совершенно особенное применение: с его помощью можно выводить рекуррентные формулы для нахождения первообразных функций, когда требуется понизить степень функций под знаком интеграла. Понижение степени необходимо, когда не существует табличных интегралов для таких, например, функций, как синусы и косинусы в степени более второй и их произведения. Рекуррентная формула - это формула для нахождения очередного члена последовательности через предыдущий член. Для обозначенных случаев цель достигается последовательным понижением степени. Так, если подынтегральная функция - синус в четвёртой степени от икса, то методом интегрирования по частям можно найти формулу для интеграла синуса в третьей степени и так далее. Описанной задаче посвящен последний параграф этого урока.

Применяем интегрирование по частям вместе

Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Решение. В подынтегральном выражении - логарифм, который, как мы уже знаем, разумно обозначить через u. Полагаем, что , .

Находим (как уже говорилось в пояснении к теоретической справке, сразу же получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) - функцию, не содержащую логарифма, сводящуюся к табличному интегралу (8)):

И снова логарифм.

Пример 2. Найти неопределённый интеграл:

Логарифм присутствует в квадрате. Это значит, что его нужно дифференцировать как сложную функцию. Находим, пользуясь производной 6 в таблице производных сложных функций:
,
.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Второй интеграл вновь находим по частям и получаем уже упомянутое преимущество (в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) - функцию, не содержащую логарифма, сводящуюся к табличному интегралу 9).

Находим изначальный интеграл:

Пример 3. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Решение. Арктангенс, как и логарифм, лучше обозначить через u. Итак, пусть , .

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Возвращаясь к переменной x, получаем

Находим изначальный интеграл:

Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:


Решение. Экспоненту лучше обозначить через dv. Разбиваем подынтегральное выражение на два множителя. Полагая, что

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Используя формулу интегрирования по частям (1), находим:

Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Решение. Синус, как и экспоненту, удобно обозначить через dv. Пусть , .

По формуле интегрирования по частям находим:

Применить интегрирование по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Пример 8. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Пример 9. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Снова применяем интегрирование по частям вместе

Пример 10. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Решение. Как и во всех подобных случаях, косинус удобно обозначить через dv. Обозначаем , (производная 7 в таблице производных сложной функции).

По формуле интегрирования по частям получаем:

Ко второму слагаемому также применяем интегрирование по частям. Обозначаем , .

Применив эти обозначения, интегрируем упомянутое слагаемое:

Теперь находим требуемый интеграл:

Среди интегралов, которые можно решить методом интегрирования по частям, есть и такие, которые не входят ни в одну из трёх упомянутых в теоретической части групп, относительно которых из практики известно, что лучше обозначать через u, а что через dv. Поэтому в этих случаях нужно пользоваться соображением удобства, также приведённым в параграфе "Суть метода интегрирования по частям": за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv - такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется. Последний пример этого урока - решение именно такого интеграла.

Пример 11. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Решение. Примем как руководство к действию общее соображение относительно обозначений. Обозначаем , (табличная производная 8).

По формуле интегрирования по частям получаем:

Интегрирование по частям для вывода рекуррентных формул

Случаев, когда требуется понижения степени подынтегральной функции, мы уже коснулись во вводной части урока. Теперь - практика использования для этой цели метода интегрирования по частям.

Пример 12. Используя интегрирование по частям, вывести рекуррентную формулу для

Решение. Для удобства приведём исходный интеграл к такому выражению, в котором присутствовали бы и синус, и косинус. Используя тригонометрические тождества, получаем

Ко второму слагаемому - интегралу - применяем метод интегрирования по частям. Для этого обозначим

Здесь новизны еще меньше. Всё, что справедливо для неопределенного интеграла, в полной мере справедливы и для определенного интеграла. Плюсом идёт то, что в формуле интегрирования по частям добавляются пределы интегрирования:

Пример я подобрал не самый простой, но очень и очень познавательный:

Пример 8
Вычислить определенный интеграл

Интеграл от квадрата тангенса я разбирал в 1-й части курса, но на чистовике, естественно, всё расписываем подробно, вспоминая заодно насущные тригонометрические формулы:

Далее открываем решение и на первом шаге

(1) расписываем правую часть формулы :

(2) Для произведения применяем формулу Ньютона-Лейбница. Для оставшегося интеграла используем свойство линейности, разделяя его на два интеграла. Не путаемся в знаках!

(3) Берем два оставшихся интеграла. Интеграл также разобран ранее, однако, не поленюсь:

(4) Применяем формулу Ньютона-Лейбница для двух найденных первообразных.

Если честно, я недолюбливаю формулу и, по возможности, … обхожусь вообще без нее! Рассмотрим второй способ решения, который, с моей точки зрения, более рационален:

На первом этапе находим неопределенный интеграл:

Интегрируем по частям:

Первообразная функция найдена. …Кстати, все ли поняли, почему в определённом интеграле не имеет смысла приплюсовывать константу ?

На втором этапе проводим проверку (обычно на черновике).

Тоже логично. Ведь если неправильно найден неопределённый интеграл, то… правильно! И это лучше выяснить немедленно, дифференцируем ответ:

– получена исходная подынтегральная функция, значит, первообразная найдена верно.

И третий этап – применение формулы Ньютона-Лейбница:

Здесь тоже есть существенная выгода! – это гораздо меньший риск запутаться в подстановках и вычислениях, т.к. формула Ньютона-Лейбница применяется всего лишь один раз.

Рассмотренный алгоритм решения
можно применить для любого определенного интеграла!

Уважаемый студент, распечатай и наклей рядом с формулой Ньютона-Лейбница:

1) Сначала находим неопределенный интеграл (первообразную функцию). Если не получилось, повышаем свои навыки интегрирования.

2) Проверяем найденную первообразную дифференцированием. Здесь, кстати, может статься, позабылись производные – и тогда самое время подтянуть свои навыки!

3) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления проводим ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНО – тут самое слабое звено задания. Царь тут!

И на холодную закуску интеграл для самостоятельного решения.

Пример 9
Вычислить определенный интеграл

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

Пусть - две функции, непрерывные со своими первыми производными на сегменте [а, b]

Возьмем дифференциал от их произведения:

Интегрируя это тождество в пределах от а до b, получим

Но по формуле Ньютона—Лейбница

Таким образом, равенство (32) примет следующий вид:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Так как то формулу (33) можно записать в следующем более компактном виде:

При этом следует иметь в виду, что границы интегрирования относятся к независимой переменной

Пример 1. Вычислить

Решение. Положим Тогда Применяя формулу интегрирования по частям, найдем

Решейие. Положим откуда Следовательно, по формуле интегрирования по частям.

И снова, здравствуйте. Сегодня на уроке мы научимся интегрировать по частям. Метод интегрирования по частям – это один из краеугольных камней интегрального исчисления. На зачете, экзамене студенту почти всегда предлагают решить интегралы следующих типов: простейший интеграл (см. статью Неопределенный интеграл. Примеры решений) либо интеграл на замену переменной (см. статью Метод замены переменной в неопределенном интеграле) либо интеграл как раз на метод интегрирования по частям.

Для эффективного изучения темы необходимо хорошо ориентироваться в материалах двух вышеуказанных уроков. Если Вы чайник, и только-только начинаете погружение в удивительный мир интегралов, то читать далее не имеет особого смысла – следует начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений.

Как всегда, под рукой должны быть: Таблица интегралов и Таблица производных. Если у Вас до сих пор их нет, то, пожалуйста, посетите кладовку моего сайта: Математические формулы и таблицы. Не устану повторять – лучше всё распечатать. Весь материал я постараюсь изложить последовательно, просто и доступно, в интегрировании по частям нет особых трудностей.


Какую задачу решает метод интегрирования по частям? Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное. Как мы помним, нет удобной формулы:. Зато есть такая: – формула интегрирования по частям собственной персоной. Знаю, знаю, ты одна такая – с ней мы и будем работать весь урок (уже легче).

И сразу список в студию. По частям берутся интегралы следующих видов:

1) , , – логарифм, логарифм, умноженный на какой-нибудь многочлен.

3) , , – тригонометрические функции, умноженные на какой-нибудь многочлен.

Также по частям берутся некоторые дроби, соответствующие примеры мы тоже подробно рассмотрим.

Интегралы от логарифмов

Найти неопределенный интеграл.

Классика. Время от времени данный интеграл можно встретить в таблицах, но пользоваться готовым ответом нежелательно, так как у преподавателя весенний авитаминоз и он сильно заругается. Потому что рассматриваемый интеграл отнюдь не табличный – он берётся по частям. Решаем:

Прерываем решение на промежуточные объяснения.

Используем формулу интегрирования по частям:

Формула применяется слева направо

Смотрим на левую часть: . Очевидно, что в нашем примере (и во всех остальных, которые мы рассмотрим) что-то нужно обозначить за , а что-то за .

В интегралах рассматриваемого типа за всегда обозначается логарифм.

Технически оформление решения реализуется следующим образом, в столбик записываем:

То есть, за мы обозначили логарифм, а за – оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Следующий этап: находим дифференциал :

Дифференциал – это почти то же самое, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках.

Теперь находим функцию . Для того чтобы найти функцию необходимо проинтегрировать правую часть нижнего равенства :

Теперь открываем наше решение и конструируем правую часть формулы: .
Вот кстати, и образец чистового решения с небольшими пометками:



Единственный момент, в произведении я сразу переставил местами и , так как множитель принято записывать перед логарифмом.

Как видите, применение формулы интегрирования по частям, по сути дела, свело наше решение к двум простым интегралам.

Выполним проверку. Для этого нужно взять производную от ответа:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл решён правильно.

В ходе проверки мы использовали правило дифференцирования произведения: . И это не случайно.

Формула интегрирования по частям и формула – это два взаимно обратных правила.

Найти неопределенный интеграл.

Подынтегральная функция представляет собой произведение логарифма на многочлен.
Решаем.

Я еще один раз подробно распишу порядок применения правила, в дальнейшем примеры будут оформляться более кратко, и, если у Вас возникнут трудности в самостоятельном решении, нужно вернуться обратно к первым двум примерам урока.

Как уже говорилось, за необходимо обозначить логарифм (то, что он в степени – значения не имеет). За обозначаем оставшуюся часть подынтегрального выражения.

Записываем в столбик:

Сначала находим дифференциал :

Теперь находим функцию , для этого интегрируем правую часть нижнего равенства :

Для интегрирования мы применили простейшую табличную формулу

Под интегралом у нас снова многочлен на логарифм! Поэтому решение опять прерывается и правило интегрирования по частям применяется второй раз. Не забываем, что за в похожих ситуациях всегда обозначается логарифм.

Хорошо бы, если к данному моменту простейшие интегралы и производные Вы умели находить устно.

(1) Не путаемся в знаках! Очень часто здесь теряют минус, также обратите внимание, что минус относится ко всей скобке , и эти скобки нужно корректно раскрыть.

(2) Раскрываем скобки. Последний интеграл упрощаем.

(3) Берем последний интеграл.

Необходимость дважды (а то и трижды) применять правило интегрирования по частям возникает не так уж и редко.

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл.

Этот пример решается методом замены переменной (или подведением под знак дифференциала)! А почему бы и нет – можете попробовать взять его по частям, получится забавная вещь.

Найти неопределенный интеграл.

А вот этот интеграл интегрируется по частям (обещанная дробь).

Это примеры для самостоятельного решения, решения и ответы в конце урока.

Вроде бы в примерах 3, 4 подынтегральные функции похожи, а вот методы решения – разные! В этом-то и состоит основная трудность освоения интегралов – если неправильно подобрать метод решения интеграла, то возиться с ним можно часами, как с самой настоящей головоломкой. Поэтому чем больше вы прорешаете различных интегралов – тем лучше, тем легче пройдут зачет и экзамен. Кроме того, на втором курсе будут дифференциальные уравнения, а без опыта решения интегралов и производных делать там нечего.

По логарифмам, пожалуй, более чем достаточно. На закуску могу еще вспомнить, что студенты-технари логарифмами называют женскую грудь =). Кстати, полезно знать назубок графики основных элементарных функций: синуса, косинуса, арктангенса, экспоненты, многочленов третьей, четвертой степени и т.д. Нет, конечно, презерватив на глобус
я натягивать не буду, но теперь вы многое запомните из раздела Графики и функции =).

Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен

Общее правило: за всегда обозначается многочлен

Найти неопределенный интеграл.

Используя знакомый алгоритм, интегрируем по частям:

Если возникли трудности с интегралом , то следует вернуться к статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Но если Ваша техника вычислений не очень хороша, то самый выгодный вариант оставить ответом или даже

То есть, пример считается решенным, когда взят последний интеграл. Ошибкой не будет, другое дело, что преподаватель может попросить упростить ответ.

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения. Данный интеграл дважды интегрируется по частям. Особое внимание следует обратить на знаки – здесь легко в них запутаться, также помним, что – сложная функция.

Больше про экспоненту рассказывать особо нечего. Могу только добавить, что экспонента и натуральный логарифм взаимно-обратные функции, это я к теме занимательных графиков высшей математики =) Стоп-стоп, не волнуемся, лектор трезв.

Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен

Общее правило: за всегда обозначается многочлен

Найти неопределенный интеграл.

Интегрируем по частям:

Хммм, …и комментировать нечего.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения

Найти неопределенный интеграл

Еще один пример с дробью. Как и в двух предыдущих примерах за обозначается многочлен.

Интегрируем по частям:

Если возникли трудности или недопонимание с нахождением интеграла , то рекомендую посетить урок Интегралы от тригонометрических функций.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения.

Подсказка: перед использованием метода интегрирования по частям следует применить некоторую тригонометрическую формулу, которая превращает произведение двух тригонометрических функций в одну функцию. Формулу также можно использовать и в ходе применения метода интегрирования по частям, кому как удобнее.

Интегралы от обратных тригонометрических функций.
Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен

Общее правило: за всегда обозначается обратная тригонометрическая функция.

Найти неопределенный интеграл.

Интегрируем по частям:

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения.

Найти неопределенный интеграл.

А сейчас, как любила говорить моя учительница по математике, пора кончать.

Пример 3: Решение:

Пример 4: Решение:

Интегрируем по частям:

Пример 6: Решение:

Дважды интегрируем по частям:

Пример 8: Решение:

Интегрируем по частям:

Пример 10: Решение:

Примечание: Здесь мы использовали известную тригонометрическую формулу двойного угла . Её можно было использовать и сразу: , а потом интегрировать по частям.

Похожим способом также решаются интегралы вроде , – в них необходимо (сразу или в ходе решения) понизить степень синуса (косинуса) с помощью соответствующих формул. Более подробно – см. Интегралы от тригонометрических функций.

Пример 12: Решение:

Интегрируем по частям:

Пример 13: Решение:

Интегрируем по частям:

Примечание: Если возникли трудности с интегралом , то следует посетить урок Интегрирование некоторых дробей.

Вы выполнили проверку? Может я и ошибся где… ;)

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Метод интегрирования по частям используется тогда, когда нужно упростить имеющийся неопределенный интеграл или свести его к табличному значению. Чаще всего он применяется в случае наличия показательных, логарифмических, прямых и обратных тригонометрических формул и их сочетаний в подынтегральном выражении.

Основная формула, необходимая для использования этого метода, выглядит так:

∫ f ( x ) d x = ∫ u ( x ) d ( v ( x ) ) = u ( x ) v ( x ) - ∫ v ( x ) d ( u ( x ) )

Она означает, что нам нужно сначала представить выражение под интегралом в качестве произведения функции u ( x ) и дифференциала функции v ( x ) . После этого мы вычисляем значение функции v ( x ) каким-либо методом (чаще всего применяется метод непосредственного интегрирования), а полученные выражения подставляем в указанную формулу, сводя исходный интеграл к разности u ( x ) v ( x ) - ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) . Полученный в итоге интеграл также можно взять, используя любой метод интегрирования.

Рассмотрим задачу, в которой нужно найти множество первообразных функции логарифма.

Вычислите неопределенный интеграл ∫ ln ( x ) d x .

Решение

Используем метод интегрирования по частям. Для этого берем ln ( x ) как функцию u ( x ) , а остаток подынтегрального выражения – как d ( v ( x ) ) . В итоге получаем, что ln ( x ) d x = u ( x ) d ( v ( x ) ) , где u ( x ) = ln ( x ) , d ( v ( x ) ) = d x .

Дифференциалом функции u ( x ) является d ( u ( x ) ) - u ' ( x ) d x = d x x , а функция v ( x ) может быть представлена как v ( x ) = ∫ d ( v ( x ) ) = ∫ d x = x

Важно: константа C при вычислении функции v ( x ) будет считаться равной 0 .

Подставим то, что у нас получилось, в формулу интегрирования по частям:

∫ ln ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) - ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = ln ( x ) · x - ∫ x · d x x = ln ( x ) · x - ∫ d x = ln ( x ) · x - x + C 1 = = x ( ln ( x ) - 1 ) + C

Ответ: ∫ ln ( x ) d x = x ( ln ( x ) - 1 ) + C .

Наиболее сложным в применении данного метода является выбор, какую именно часть исходного выражения под интегралом взять в качестве u ( x ) , а какую – d ( v ( x ) ) .

Разберем несколько стандартных случаев.

Если у нас в условии стоят интегралы вида ∫ P n ( x ) · e a x d x , ∫ P n ( x ) · sin ( a x ) d x либо ∫ P n ( x ) · cos ( a x ) d x , где a является коэффициентом, а P n ( x ) – многочленом степени n , то в качестве функции u ( x ) нужно взять именно P n ( x ) .

Найдите множество первообразных функции f ( x ) = ( x + 1 ) · sin ( 2 x ) .

Решение

Мы можем взять по частям неопределенный интеграл ∫ ( x + 1 ) · sin ( 2 x ) d x . Берем x + 1 в качестве u ( x ) и sin ( 2 x ) d x в качестве d ( v ( x ) ) , то есть d ( u ( x ) ) = d ( x + 1 ) = d x .

Используя непосредственное интегрирование, получим:

v ( x ) = ∫ sin ( 2 x ) d x = - 1 2 cos ( 2 x )

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

∫ ( x + 1 ) · sin ( 2 x ) d x = u ( x ) v ( x ) - ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = ( x + 1 ) · - 1 2 cos ( 2 x ) - ∫ - 1 2 cos ( 2 x ) d x = = - 1 2 ( x + 1 ) · cos ( 2 x ) + 1 2 ∫ cos ( 2 x ) · d ( x ) = = - 1 2 ( x + 1 ) · cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) + C

Ответ: ∫ ( x + 1 ) · sin ( 2 x ) d x = - 1 2 ( x + 1 ) · cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) + C .

Вычислите неопределенный интеграл ∫ ( x 2 + 2 x ) e x d x .

Решение

Берем многочлен второго порядка x 2 + 2 x в качестве u ( x ) и d ( v ( x ) ) - e x d x .

∫ x 2 + 2 x e x d x = u ( x ) = x 2 + 2 x , d ( v ( x ) ) = e x d x d ( u ( x ) ) = ( 2 x + 2 ) d x , v ( x ) = ∫ e x d x = e x = = u ( x ) v ( x ) - ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = ( x 2 + 2 x ) e x - ∫ ( 2 x + 2 ) e x d x

К тому, что у нас получилось, надо опять применить метод интегрирования по частям:

∫ ( 2 x + 2 ) e x d x = ( x 2 + 2 x ) e x - ∫ 2 x + 2 e x d x = = u ( x ) = ( 2 x + 2 ) , d ( v ( x ) ) = e x d x d ( u ( x ) ) = 2 d x , v ( x ) = ∫ e x d x = e x = = ( x 2 + 2 x ) e x - ( 2 x + 2 ) e x - ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = ( x 2 + 2 x ) e x - ( 2 x + 2 ) e x - ∫ 2 e x d x = = ( x 2 + 2 x - 2 x - 2 ) e x + 2 ∫ e x d x = ( x 2 - 2 ) e x + 2 e x + C = x 2 e x + C

Ответ: ∫ ( x 2 + 2 x ) e x d x = x 2 e x + C .

Вычислите интеграл ∫ x 3 cos 1 3 x d x .

Решение

Согласно методу интегрирования по частям, берем u ( x ) = x 3 и d ( v ( x ) ) = cos 1 3 x d x .

В таком случае d ( u ( x ) ) = 3 x 2 d x и v ( x ) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x .

Теперь подставим полученные выражения в формулу:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = u ( x ) v ( x ) - ∫ v ( x ) d ( u ) ) = = x 3 3 sin 1 3 x - ∫ 3 x 2 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x

У нас получился неопределенный интеграл, который опять же нужно взять по частям:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 ∫ x 2 sin 1 3 x d x = = u ( x ) = x 2 , d ( v ( x ) ) = sin 1 3 x d x d ( u ( x ) ) = 2 x d x , v ( x ) = ∫ sin 1 3 x d x = - 3 cos 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x - 9 - 3 x 2 cos 1 3 x - ∫ - 3 cos 1 3 x · 2 x d x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 · cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x

Выполняем частичное интегрирование еще раз:

∫ x 3 cos 1 3 x d x = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 · cos 1 3 x - 54 ∫ x cos 1 3 x d x = = u ( x ) = x , d ( v ( x ) ) = cos 1 3 x d x d ( u ( x ) ) = d x , v ( x ) = ∫ cos 1 3 x d x = 3 sin 1 3 x = = 3 x 3 sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 54 3 x sin 1 3 x - ∫ 3 sin 1 3 x d x = = 3 x 3 - 162 x sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x + 162 ∫ sin 1 3 x d x = = ( 3 x 3 - 162 x ) sin 1 3 x + 27 x 2 cos 1 3 x - 486 cos 1 3 x + C = = ( 3 x 3 - 162 x ) sin 1 3 x + ( 27 x 2 - 486 ) cos 1 3 x + C

Ответ: ∫ x 3 cos 1 3 x d x = ( 3 x 3 - 162 x ) sin 1 3 x + ( 27 x 2 - 486 ) cos 1 3 x + C .

Если же у нас в условии стоят интегралы вида ∫ P n ( x ) · ln ( a x ) d x , ∫ P n ( x ) · a r c sin ( a x ) d x , ∫ P n ( x ) · a r c cos ( a x ) d x , ∫ P n ( x ) · a r c t g ( a x ) d x , ∫ P n ( x ) · a r c c t g ( a x ) d x

то нам следует брать в качестве u ( x ) функции a r c t g ( a x ) , a r c c t g ( x ) , ln ( a x ) , a r c sin ( a x ) , a r cos ( a x ) .

Вычислите множество первообразных функции ( x + 1 ) ln ( 2 x ) .

Решение

Принимаем ln ( 2 x ) в качестве u ( x ) , а ( x + 1 ) d x – в качестве d ( v ( x ) ) . Получаем:

d ( u ( x ) ) = ( ln ( 2 x ) ) ' d x = 1 2 x ( 2 x ) ' d x = d x x v ( x ) = ∫ ( x + 1 ) d x = x 2 2 + x

Подставим эти выражения в формулу:

∫ ( x + 1 ) ln ( 2 x ) d x = u ( x ) v ( x ) - ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = x 2 2 + x ln 2 x - ∫ x 2 2 + x d x x = = x 2 2 + x ln ( 2 x ) - ∫ x 2 + 1 d x = x 2 2 + x ln 2 x - 1 2 ∫ x d x - ∫ d x = = x 2 2 + x ln ( 2 x ) - x 2 4 - x + C

Ответ: ∫ ( x + 1 ) ln ( 2 x ) d x = x 2 2 + x ln ( 2 x ) - x 2 4 - x + C .

Вычислите неопределенный интеграл ∫ x · a r c sin ( 2 x ) d x .

Решение

Решаем, какую часть взять за u ( x ) , а какую – за d ( v ( x ) ) . Согласно правилу, приведенному выше, в качестве первой функции нужно взять a r c sin ( 2 x ) , а d ( v ( x ) ) = x d x . Получим:

d ( u ( x ) ) = ( a r c sin ( 2 x ) ' d x = 2 x ' d x 1 - ( 2 x ) 2 = 2 d x 1 - ( 2 x ) 2 , v ( x ) = ∫ x d x = x 2 2

Подставляем значения в формулу:

∫ x · a r c sin ( 2 x ) d x = u ( x ) v ( x ) - ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = = x 2 2 a r c sin ( 2 x ) - ∫ x 2 2 - 2 d x 1 - ( 2 x ) 2 = x 2 2 a r c sin ( 2 x ) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

В итоге мы пришли к следующему равенству:

∫ x · a r c sin ( 2 x ) d x = x 2 2 a r c sin ( 2 x ) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2

Теперь вычислим получившийся в итоге интеграл ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 :

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = ∫ x 2 d x 4 1 4 - x 2 = 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 = - 1 2 ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 - 1 4 1 4 - x 2 d x = - 1 2 1 4 - x 2 d x + 1 8 ∫ d x 1 4 - x 2 = = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin ( 2 x )

Здесь можно применить метод интегрирования по частям и получить:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 ∫ 1 4 - x 2 d x + 1 8 a r c sin ( 2 x ) = = u ( x ) = 1 4 - x 2 , d ( v ( x ) ) = d x d ( u ( x ) ) = 1 4 - x 2 ' d x 2 1 4 - x 2 = - x d x 1 4 - x 2 , v ( x ) = ∫ d x = x = = - 1 2 u ( x ) v ( x ) - ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) + 1 8 a r c sin ( 2 x ) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ - x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin ( 2 x ) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - 1 2 ∫ x 2 d x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin ( 2 x ) = = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin ( 2 x )

Теперь наше равенство выглядит так:

∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 + 1 8 a r c sin ( 2 x )

Мы видим, что интеграл справа аналогичен тому, что получился слева. Переносим его в другую часть и получаем:

2 ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 2 x 1 4 - x 2 + 1 8 a r c sin ( 2 x ) + C 1 ⇒ x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 4 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin ( 2 x ) + C 2 x 2 d x 1 - 4 x 2 = - 1 8 x 1 4 - x 2 + 1 16 a r c sin ( 2 x ) + C 2

Вернемся к исходным переменным:

∫ x · a r c sin ( 2 x ) d x = x 2 2 a r c sin ( 2 x ) - ∫ x 2 d x 1 - 4 x 2 = = x 2 2 a r c sin ( 2 x ) - - 1 8 x 1 - 4 x 2 + 1 16 a r c sin ( 2 x ) + C 2 = = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin ( 2 x ) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C

Ответ: ∫ x · a r c sin ( 2 x ) d x = 1 2 x 2 - 1 8 a r c sin ( 2 x ) + 1 8 x 1 - 4 x 2 + C .

Если же у нас в задаче стоит интеграл вида ∫ e a · x · sin ( b x ) d x либо ∫ e a · x · cos ( b x ) d x , то в качестве u ( x ) может быть выбрана любая функция.

Вычислите неопределенный интеграл ∫ e x · sin ( 2 x ) d x .

Решение

∫ e x sin ( 2 x ) d x = u ( x ) = sin ( 2 x ) , d ( v ( x ) ) = e x d x d ( u ( x ) ) = 2 cos ( 2 x ) d x , v ( x ) = ∫ e x d x = e x = = u ( x ) v ( x ) - ∫ v ( x ) d ( u ( x ) ) = sin ( 2 x ) e x - ∫ e x · 2 cos 2 x d x = = sin ( 2 x ) e x - 2 ∫ e x cos ( 2 x ) d x = u ( x ) = cos ( 2 x ) , d ( v ( x ) ) = e x d x d ( u ( x ) ) = - 2 sin ( 2 x ) d x , v ( x ) = ∫ e x d x = e x = = sin ( 2 x ) e x - 2 cos ( 2 x ) e x - ∫ ( e x ( - 2 sin ( 2 x ) d x ) ) = = sin ( 2 x ) e x = 2 cos ( 2 x ) e x - 4 ∫ e x sin ( 2 x ) d x

В итоге у нас получится:

∫ e x sin ( 2 x ) d x = sin ( 2 x ) e x - 2 cos ( 2 x ) e x - 4 ∫ e x sin ( 2 x ) d x

Мы видим одинаковые интегралы слева и справа, значит, можем привести подобные слагаемые:

5 ∫ e x sin ( 2 x ) d x = sin ( 2 x ) e x - 2 cos ( 2 x ) e x ⇒ ∫ e x sin ( 2 x ) d x = 1 5 sin ( 2 x ) e x - 2 5 cos ( 2 x ) e x + C

Ответ: ∫ e x sin ( 2 x ) d x = 1 5 sin ( 2 x ) e x - 2 5 cos ( 2 x ) e x + C

Этот способ решения является стандартным, и справа нередко получается интеграл, который идентичен исходному.

Мы рассмотрели наиболее типовые задачи, в которых можно точно определить, какую часть выражения взять за d ( v ( x ) ) , а какую за u ( x ) . В остальных случаях это приходится определять самостоятельно.

Также советуем вам ознакомиться с материалом, посвященным основным методам интегрирования.

Читайте также: