Гипотеза пуанкаре простыми словами кратко

Обновлено: 02.07.2024

Еще в XIX веке было известно, что если любую замкнутую петлю, лежащую на двумерной поверхности, можно стянуть в одну точку, то такую поверхность легко превратить в сферу. Так, поверхность воздушного шарика удастся трансформировать в сферу, а поверхность бублика – нет (легко вообразить себе петлю, которая в случае с бубликом не стянется в одну точку). Гипотеза, высказанная французским математиком Анри Пуанкаре в 1904 году, гласит, что аналогичное утверждение верно и для трехмерных многообразий.

Доказать гипотезу Пуанкаре удалось только в 2003 году. Доказательство принадлежит нашему соотечественнику Григорию Перельману. Эта лекция проливает свет на объекты, необходимые для формулировки гипотезы, историю поиска доказательства и его основные идеи.

Читают лекцию доценты механико-математического факультета МГУ к. ф-м. н. Александр Жеглов и к. ф.-м. н. Федор Попеленский.

Если не вдаваться в математические подробности, то вопрос, поднимаемый гипотезой Пуанкаре можно следующим образом: как охарактеризовать (трехмерную) сферу? Чтобы правильно понять этот вопрос, нужно познакомиться с одним из важнейших понятий в топологии – гомеоморфизмом. Разобравшись с ним, мы сможем точно сформулировать гипотезу Пуанкаре.

Чтобы совсем уж не залезать в математические подробности формального определения, мы скажем, что две фигуры считаются гомеоморфными, если можно установить такое взаимно-однозначно соответствие между точками этих фигур, при котором близким точкам одной фигуры соответствуют близкие точки другой фигуры и наоборот. Пропущенные нами подробности состоят как раз в адекватной формализации близости точек.

Например, чтобы получить из диска полусферу, как показано на картинке выше, нам потребуется просто нажать сверху в его центр, придерживая внешний обод. Можно представлять себе, что поверхности сделаны из идеальной резины, так что все фигуры могут сжиматься и растягиваться как угодно. Нельзя делать только две вещи: разрывать и склеивать.

Более точное (но все же не окончательное с точки зрения строгости) представление о гомеоморфных фигурах мы будем иметь, если разрешим еще одну операцию: можно сделать на фигуре разрез, перекрутить, завязать, развязать и т.п., но потом обязательно заклеить разрез как было.

Приведем еще один пример. Представим себе яблоко, в котором червяк прогрыз ход в виде узла и небольшую пещеру.

С точки зрения топологии поверхность этого яблока все равно останется сферой, т.к. если стянуть все это определенным образом, мы получим поверхность яблока в том же виде, как было до того, как червяк начал его есть.

Для закрепления попробуйте классифицировать буквы латинского алфавита с точностью до гомеоморфизма (т.е. выясните, какие буквы гомеоморфны, а какие — нет). Ответ зависит начертания букв (от типа шрифта или от гарнитуры), и для простейшего варианта начертания он приведен на следующем рисунке:

Из 26 букв у нас получается всего 8 классов.

На следующей картинке изображены гиря, кофейная чашка, бублик, сушка и кренделек. С топологической точки зрения поверхности гири, кофейной чашки, бублика и сушки одинаковы, т.е. гомеоморфны. Что касается кренделька, то он приведен здесь для сравнения с поверхностью, которую в топологии часто называют кренделем (он изображен в правом нижнем углу рисунка). Как вы, наверное, уже понимаете, и топологический крендель, и съедобный крендель отличаются от тора.

Формальная постановка вопроса

Пусть M – замкнутое связное многообразие размерности 3. Пусть на нем любая петля может быть стянута в точку. Тогда M гомеоморфно трехмерной сфере.

Гипотеза Пуанкаре для поверхностей

Пусть M – замкнутая связная поверхность (многообразие размерности 2). Пусть на ней любая петля может быть стянута в точку. Тогда поверхность M гомеоморфна двумерной сфере.

Сначала определим, что такое поверхность. Возьмем конечный набор многоугольников, разбиваем все их стороны (ребра) на пары (т.е. всего сторон у всех многоугольников должно быть четное число), в каждой паре выбираем, каким из двух возможных способов будем их склеивать. Склеиваем. В результате поучается замкнутая поверхность.

Если полученная поверхность состоит из одного куска, а не из нескольких отдельных, то говорят, что поверхность связна. С формальной точки зрения это значит, что после склейки из любой вершины любого многоугольника можно по ребрам пройти в любую другую вершину.

Вот простой пример: если считать, что на картинке выше все треугольники правильные, то после склеивания у нас должен получиться правильный тетраэдр, поверхность которого также гомеоморфна сфере.

Формально нужно требовать, чтобы из любой вершины любого многоугольника после склейки можно было пройти в любую вершину любого многоугольника (по ребрам).

Нетрудно сообразить, что связную поверхность можно склеить и из одного многоугольника. На рисунке видна идея, как это обосновывается:

Рассмотрим примеры простейших склеек:

В первом случае у нас получится сфера:

Во втором случае у нас получится тор (поверхность бублика, мы встречались с ним раньше):

В третьем случае получится так называемая бутылка Клейна:

Если склеивать не все стороны многоугольника, то получится поверхность с краем:

Две поверхности считаются гомеоморфными, если схемы склейки каждой из них можно так разрезать на схемы склейки из более мелких многоугольников, что схемы склейки станут одинаковыми.

Разберем это утверждение на примере разбиения поверхности куба на части, из которых можно сложить развертку тетраэдра:

Верен и более общий факт: поверхности всех выпуклых многогранников – это сферы.

Теперь подробнее остановимся на понятии петли. Петял — это замкнутая кривая на рассматриваемой поверхности. Две петли называются гомотопными, если одну из них можно продеформировать в другую без разрывов и склеек, оставаясь на поверхности. Ниже приведен простейший случай стягивания петли на плоскости или сфере:

Даже если петля на плоскости или сфере имеет самопересечения, ее все равно можно стянуть:

На плоскости можно стянуть любую петлю:

А вот какие петли бывают на торе:

Стянуть такие петли невозможно. (К сожалению, доказательство выходит довольно далеко за рамки нашего рассказа.) Более того, показанные петли на торе не гомотопны. Предлагаем слушателям или читателям найти еще одну петлю на торе, не гомотопную этим двум — это очень простой вопрос. После этого попробуйте найти на торе четвертую петлю, не гомотопную этим трем — это будет несколько сложнее.

Эйлерова характеристика

Теперь, когда мы познакомились со всеми основными понятиями из формулировки гипотезы Пуанкаре, попробуем приступить к доказательству двумерного случая (лишний раз отметим, что это многократно проще трехмерного случая). А поможет нам в этом эйлерова характеристика.

Эйлеровой характеристикой поверхности M назовем число B−P+Г. Здесь Г — число многоугольников, Р — это число ребер после склейки (в случае рассматриваемых поверхностей это половина числа сторон всех многоугольников), B — это число вершин, которое получается после склейки после склейки.

Если две схемы склейки задают гомеоморфные поверхности, то у этих схем числа B−P+Г одинаковы, т. е. B−P+Г является инвариантом поверхности.

Если поверхность уже как-то задана, то надо нарисовать на ней какой-нибудь граф, чтобы после разрезания по нему поверхность распалась на куски гомеоморфные дискам (например, кольца запрещены). Затем подсчитываем величину B−P+Г — это и есть эйлерова характеристика поверхности.

Будут ли гомеоморфны поверхности с одинаковыми эйлеровыми характеристиками, мы узнаем позже. Но совершенно точно можно утверждать, что если эйлеровы характеристики у поверхностей разные, то поверхности не гомеоморфны.

Знаменитое соотношение B−P+Г=2 для выпуклых многоугольников (теорема Эйлера) является частным случаем этой теоремы. В данном случае речь идет о конкретной поверхности — о сфере. Замечание Обозначение: Эйлерову характеристику поверхности M будем обозначать через χ(M): χ(M) = B − P + Γ

Если поверхность M связна, то χ(M) ≤ 2, причем χ(M) = 2 тогда и только тогда, когда M гомеоморфна сфере.

Посмотрев лекцию до конца, вы узнаете, как же все-таки доказывается гипотеза Пуанкаре в размерности 2, и как Григорию Перельману удалось доказать ее в размерности 3.

Что такое

Над нею безуспешно ломали голову ученые – геометры и физики со всего мира. Так продолжалось около 100 лет. Раскрытие секрета утверждения в 2006 году стало настоящей сенсацией. И самое главное – доказательство теоремы было представлено российским математиком Григорием Перельманом.

Математик Григорий Перельман — лауреат медали Филдса

Представленная российским ученым теория имела множество недочетов, требовала ряда доработок. В связи с этим ученые взялись за поиски доказательств объяснения. Некоторые из них потратили на это всю свою жизнь.

Гипотеза Пуанкаре простым языком

Вкратце теорию можно расшифровать в нескольких предложениях. Вообразите немного спущенный воздушный шарик. Согласитесь, это совсем не сложно. Ему очень легко придать необходимую форму – куба или овальной сферы, человека или животного. Доступное разнообразие форм просто впечатляет. При этом существует форма, являющаяся универсальной, – шар. При этом формой, которую невозможно придать шарику, не прибегая к разрывам, является бублик – форма с дыркой. Согласно определению, даваемому гипотезой, предметы, в форме которые не предусмотрено отверстие сквозного типа, отличаются одинаковой основой. Наглядный пример – шар. При этом тела с отверстиями, на в математике им дано определение – тор, отличаются свойством совместимости друг с другом, но при этом не со сплошными объектами.

Гипотеза Пуанкаре применение

Понимание значения гипотезы Пуанкаре наряду с определением открытия, сделанного Григорием Перельманом, позволит намного быстрее разобраться с данным утверждением. Гипотеза может быть использована ко всем материальным объектам нашей Вселенной. При этом вполне допустимо ее верность и применимость положений и непосредственно ко Вселенной.

Можно предположить, что началом появления материи послужила незначительная точка одномерного типа, которая прямо сейчас формируется в многомерную сферу. Соответственно возникает множество вопросов – возможно ли найти границы, выявить единый механизм свертывания объекта к первоначальному состоянию и т.д.

Если Вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Шесть ведущих американских университетов в марте 2003 г. приглашают Перельмана прочесть цикл лекций, разъясняющих его работу. В апреле 2003 г. Перельман совершает научное турне. Его лекции становятся выдающимся научным событием. В Принстоне послушать его приезжают Джон Болл (председатель международного математического союза), Эндрю Уайлз (математик, работы в области арифметики эллиптических кривых, доказал теорему Ферма в 1994 г.), Джон Нэш (математик, работающий в области теории игр и дифференциальной геометрии).

Исключительная важность гипотезы, выдвинутой около века назад математиком Пуанкаре, касается трёхмерных структур и является ключевым элементом современных исследований основ мироздания. Загадка эта, по мнению специалистов института Клэя, одна из семи принципиально важных для развития математики будущего.

Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы [4]:

- Топология - (от греч. topos - место и logos - учение) - раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т.е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную область, и т.д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т.к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше образом; в то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо - двумя.

- Гомеоморфизм (греч. ομοιο - похожий, μορφη - форма) – взаимно однозначное соответствие между двумя топологическим пространствами, при котором оба взаимно обратных отображения, определяемые этим соответствием, непрерывны. Эти отображения называют гомеоморфными, или топологическими отображениями, а также гомеоморфизмами, а о пространствах говорят, что они принадлежат одному топологическому типу называются гомеоморфными, или топологически эквивалентными.

- Трёхмерное многообразие без края. Это такой геометрический объект, у которого каждая точка имеет окрестность в виде трёхмерного шара. Примерами 3-многообразий может служить, во-первых, всё трехмерное пространство, обозначаемое R3 , а также любые открытые множества точек в R3 , к примеру, внутренность полнотория (бублика). Если рассмотреть замкнутое полноторие, т.е. добавить и его граничные точки (поверхность тора), то мы получим уже многообразие с краем – у краевых точек нет окрестностей в виде шарика, но лишь в виде половинки шарика.

- Полното́рие (полното́рий) — геометрическое тело, гомеоморфное произведению двумерного диска и окружности D 2 * S 1 . Неформально, полноторие — бублик, тогда как тор — только его поверхность (пустотелая камера колеса).

- Односвязное. Оно означает, что любую непрерывную замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная сфера в R3 односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока, можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока). С другой стороны, окружность и тор неодносвязны.

- Компактное. Многообразие компактно, если любой его гомеоморфный образ имеет ограниченные размеры. Например, открытый интервал на прямой (все точки отрезка, кроме его концов) некомпактен, так как его можно непрерывно растянуть до бесконечной прямой. А вот замкнутый отрезок (с концами) является компактным многообразием с краем: при любой непрерывной деформации концы переходят в какие-то определённые точки, и весь отрезок обязан переходить в ограниченную кривую, соединяющую эти точки.

Одна из версий официальной формулировки гипотезы Пуанкаре́ звучит так: "Всякое связное, односвязное, компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S³".

Гипотеза Пуанкаре была сформулирована в 1904 году известным французским математиком Анри Пуанкаре. В 2002–2003 годах она была доказана русским математиком Григорием Перельманом. После этого Гипотеза Пуанкаре стала именоваться теоремой Пуанкаре — Перельман.

Топология — простыми словами это "геометрия резинового листа" или "резиновая геометрия" т.к. объекты растягиваются и сжимаются как резина и их невозможно сломать; топология изучает свойства пространств, которые неизменны под давлением любой непрерывной деформации. Гипотеза Пуанкаре связана с топологией.

Доказательство

Простыми словами: Перельман доказал при помощи потока Риччи, что при эволюции любая замкнутая кривая на плоскости ведёт себя одинаково и превращается в окружность.

Изображение того, как поток Риччи превращает грушевидный объект в сферу

В своих статьях, где Перельман опубликовал идеи доказательства, он также доказал гипотезу о геометризации Уильяма Тёрстона, частным случаем которой является гипотеза Пуанкаре.

Гипотеза геометризации Уильяма Тёрстона гласит, что каждое трёхмерное многообразие локально изометрично только одному из восьми различных типов (изометрично — в науке это то, что относится к равенству меры или этим характеризуется).

Доказательство Перельмана было основано на теории потока Риччи и использовало результаты Чигера, Громова и самого Перельмана о метрических пространствах.

Метрическое пространство — это набор, где есть функция измерения расстояния между точками и который называется метрикой.

Что доказательство гипотезы дало науке?

В плане астрономии эта теорема предполагает, что если наша Вселенная имеет характеристики односвязного компактного многообразия без края, следовательно, она является трёхмерной сферой. Однако ранее считалось, что Вселенная является бесконечной (т.е. имеет форму евклидового трёхмерного пространства).

Теорема Перельмана — Пуанкаре также имеет огромное значение для математики, особенно способ её доказательства. Эта теорема считается математической формулой Вселенной. Она описывает наш мир, который является гладким трёхмерным многообразием.

Читайте также: