Геометрия лобачевского кратко и понятно

Обновлено: 04.07.2024

Все мы слышали про параллельные прямые. Сначала нас учат, что они никогда не пересекаются, а потом где-то на факультативах в районе старших классов и седьмых уроков тихо добавляют, что из этого правила бывают исключения в геометрии, придуманной нашим соотечественником Николаем Лобачевским еще в XIX веке. Так ли это на самом деле, как вообще это возможно и при чем здесь Эйнштейн — читайте в нашем материале.

Год 1819-й, знаменитый французский математики Лаплас мечтает для контакта с инопланетянами установить посреди Сибири огромную светящуюся фигуру, символизирующую теорему Пифагора, а в Казанский университет прибывает новый попечитель — Михаил Магницкий. Он уличает профессоров и преподавателей в вольнодумстве и безбожии и предлагает Александру I торжественно снести здание, приютившее порок.

В начале были постулаты

Первые четыре постулата были лаконичны и стройны:

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
Все прямые углы равны между собой.

В их истинности, наверное, никто не сомневался за всю историю мира, но пятый постулат звучал гораздо более запутанно и мало напоминал неоспоримую истину:

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Позже это утверждение в разных формулировках (самая распространенная из них гласит, что в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной) пытались доказать десятки математиков, но все они втягивались в одну и ту же историю. Их доказательства как будто сами себя кусали за хвост — упирались в утверждения, доказать которые без самого пятого постулата было абсолютно невозможно. Они больше напоминали сюжеты картин Эшера, чем строгие математические построения.

Твердый материалист, он не мог принимать исключительно на веру, что параллельные прямые не пересекаются где-нибудь в бесконечности космоса. Да, Лобачевский сам не раз проводил геодезические измерения на местности и видел, что сумма углов в треугольнике всегда равняется 180 (а это еще одна эквивалентная формулировка пятого начала Евклида), но не мог обещать, что так будет со всеми треугольниками в нашем бесконечном пространстве.

Работа на пересеченной местности

Часто в математике, да и вообще в науке, бывает очень сложно доказать, что что-нибудь неверно или не работает. Примерно так же было и с пятым постулатом Евклида: у людей не получалось доказать его верность, но опровергнуть его было еще сложнее, особенно учитывая, что вся махина теорем геометрии Евклида была стройна и непротиворечива.

Поэтому Лобачевский взял первые четыре постулата Евклида, добавил к ним новый пятый и на этом стал строить новую непротиворечивую геометрию, описывающую реальный мир, как он надеялся, точней и глубже, чем геометрия евклидова.

Лобачевский даже хотел проверить свою геометрию в космосе — посчитать сумму углов в треугольнике, составленном из звезд, и посмотреть, будет ли она равняться 180 градусам, но все его эксперименты терпели неуспех. В них вкрадывались неточности и колоссальные ошибки, а самого Лобачевского рвали на части: в родном университете он теперь преподавал не только математику, но еще и физику с астрономией; ректор Никольский, мечтавший охладить его пыл, заставил Лобачевского наводить порядок в университетской библиотеке, а попечитель Магницкий сделал математика членом строительной комиссии при университете (судя по всему, проворовавшийся на строительстве Магницкий надеялся скинуть всю вину на нерадивого, витающего в небесах математика, но этот план не удался).

Геометрия новая — проблемы старые

Задним числом жизнь великих идей кажется проще, чем она была в реальности. Да, вокруг косные люди, да, везде недоверие и нежелание расшатывать лодку, но даже с учетом этих отягчающих поправок траектория великой идеи в худшем случае кажется упругой сжатой спиралью, раскручивающейся через вязкую повседневность к свету истины. В реальности это скорей ломаная кривая блужданий — доклад Лобачевского от 7 февраля провалился.

Мы не знаем, какой формы был стол в помещении, где шел доклад, — прямоугольный, круглый или, может быть, овальный; мы не знаем, какие там были окна, стены, двери, но точно понимаем одно: мысли всех присутствовавших тогда шли совершенно перпендикулярными с неевклидовой геометрией путями. Незадолго до этого новый император Николай I сместил Магницкого с его должности, и все члены комиссии теперь думали, как это резкое движение извне поменяет их жизнь, и почти не обращали внимания на странноватого математика, рассказывавшего на французском о какой-то инопланетной геометрии.

Броуновское движение наночастиц в воде

Дальше рукопись была отдана на рецензию некоторым членам комиссии, но они в суматохе мрачных дней, видимо, просто позабыли о ней, и сам доклад так и не был одобрен к публикации. Тогда вся геометрия Лобачевского могла навсегда остаться внутри его головы, если бы не одна неожиданность: новым ректором университета вскоре был избран именно он.

Круги по воде

Понимание Лобачевский находит несколькими годами позже. Он публикует свои труды в европейских журналах, где их замечает великий немец Гаусс, который сам не один год втайне ото всех занимался неевклидовой геометрией. Чтобы лучше понять казанского ученого, он оперативно учит русский и потом, впечатленный смелостью и ясностью мыслей Лобачевского, выдвигает того в члены-корреспонденты Геттингенского королевского научного общества.

Признание встречает своего гения, хотя на родине Остроградский и люди его окружения раз за разом отклоняют все работы по неевклидой геометрии вплоть до самой смерти Лобачевского в 1856 году.

Проходит 12—15 лет, и математики находят сразу несколько реальных моделей, в которых работает именно геометрия Лобачевского. В самой простой из них, проективной, за плоскость принимают внутренность круга, а за прямую — его хорду. В результате тот очевидный факт, что через одну точку P, лежащую внутри круга, можно провести сколько угодно хорд, не пересекающихся с одной фиксированной хордой а, автоматически становится в таких правилах игры иллюстрацией пятого начала геометрии Лобачевского.

В 1868 году выходит доклад Римана — другого первопроходца с другой неевклидовой геометрией, в которой через каждую точку в пространстве уже невозможно провести ни одной параллельной прямой, и математикам постепенно становится понятно, что геометрии Римана и Лобачевского — невероятно похожие шаги влево и вправо от привычной евклидовой геометрии. Первая работает на поверхностях с положительной кривизной — вроде шаров или геоидов (параллельные у экватора меридианы встречаются на полюсах), а вторая — на поверхностях с отрицательной кривизной — вроде гиперболоидов или седел.

И еще чуть позже, в начале XX века, новая геометрия наконец встретится с физикой. Эйнштейн сформулирует свою общую теорию относительности в терминах геометрии Римана, и мысли людей, привыкшие ходить по одним и тем же параллельным рельсам, откроют новые маршруты: пространство и время не абсолютны. Движение меняет геометрию. А тысячелетние аксиомы не всегда верны.

Чтобы представить себе геометрию Лобачевского, лучше всего сравнить ее с привычной евклидовой.

А уж потом из этих аксиом чередой выводил вереницу теорем.

В этой стройной системе была закавыка — один постулат (пять аксиом Евклид назвал постулатами) выглядел неуклюже. Больше двух тысяч лет после Евклида математики пытались показать, что этот постулат лишний; что его можно вывести из остальных аксиом. Кто только этим не занимался: Омар Хайам, Лежандр, Бельтрами, Ламберт…

Лобачевский предположил другой постулат вместо пятого и надеялся из этого предположения вывести вереницу теорем так, чтобы какие-нибудь были противоречивы. Тогда можно было бы сделать вывод, что предположение ложное, а значит, пятый постулат Евклида истинный.

Так он выводил одну теорему за другой и в конце концов понял, что просто строит другую — неевклидову — геометрию. Ее утверждения казались парадоксальными:

Сумма углов любого треугольника меньше 180°.
Если углы двух треугольников попарно равны, то и треугольники равны.
Подобных, но не равных треугольников не бывает.

И геометрия Евклида, и геометрия Лобачевского позволяют выводить цепочки непротиворечивых теорем. Но для геометрии Евклида у нас есть привычная модель: мы умеем рисовать точки и прямые, задавать углы и расстояния так, что все теоремы можно увидеть своими глазами. А для геометрии Лобачевского такой модели не было.

Как все нарисовать, придумали другие люди, и уже после смерти Лобачевского. Они создали модели геометрии Лобачевского. Модель — не то же самое, что геометрия. Модель позволяет нам представить и увидеть, что происходит в плоскости Лобачевского — а увиденное уже проще понять. Чтобы представить себе геометрию Лобачевского, надо отказаться от представления, что плоскость выглядит как бесконечный во все стороны лист бумаги, что прямая выглядит так:

В модели Пуанкаре на диске, например, плоскость выглядит как круг без края:

Представьте себе, что на этой плоскости живут коротышки, и что размеры всех объектов на плоскости уменьшаются при удалении от центра. Идет такой коротышка от центра к абсолюту (так называется край), и становится все меньше и меньше, а ножки у него все короче и короче. Идет он, идет, а до края дошагать никак не может — чем ближе к краю, тем ближе длина шага к нулю. А раз до края дойти не может, плоскость кажется ему бескрайней.

Точки в его мире выглядят так же, как в нашем. А прямыми в его мире считаются евклидовы диаметры диска и куски евклидовых окружностей, перпендикулярных абсолюту, несколько прямых нарисованы синим. В такой геометрии можно определить углы между прямыми, расстояния и преобразования, которые сохраняют расстояния.

С теоретической точки зрения геометрии Евклида и Лобачевского равноправны. А вот какая из них верно описывает наш мир — большой вопрос. Многое зависит от масштаба. Мы с вами знаем, что поверхность Земли больше похожа на шар, чем на плоскость; но размечая грядки на даче, мы об этом не думаем, для дачного масштаба хватает плоского приближения. Наш бытовой жизненный опыт говорит нам, что мы живем на плоскости; чтобы увидеть шар, надо перейти к планетарным масштабам.

Сам Лобачевский проводил астрономические наблюдения и вычисления, но его результаты не были достаточно аккуратны, чтобы определить, какая именно геометрия реализуется в нашем мире. Собственно говоря, науке до сих пор это неизвестно наверняка.

Пятой аксиомой Евклида была аксиома о параллельных прямых, так называемый постулат о параллельных линиях, который гласит: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. То есть эта аксиома утверждает, что существует только одна прямая, проходящая через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.

Сложная формулировка пятого постулата Евклида о параллельных линиях породила множество гипотез и предположений о возможной зависимости его от других постулатов. Были предприняты многочисленные попытки вывести его из остальных аксиом геометрии, но, к сожалению, они оказались тщетны. Усилия доказать пятый постулат от противного также не увенчались успехом.

И все же, в начале XX века почти одновременно несколько выдающихся математиков того времени — Карл Гаусс из Германии, Я. Больяи из Венгрии и Николай Иванович Лобачевский из России пришли к мысли о существовании другой, неевклидовой геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

Поскольку Н. И. Лобачевский первым высказал эту идею в 1826 году, новая неевклидова геометрия была названа в его именем.

Геометрия Лобачевского имеет лишь одно отличие от евклидовой — аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского.

Аксиома параллельности Лобачевского выглядит следующим образом:

Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.

Непротиворечивость аксиомы доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.

Основы аналитической геометрии, заложенные Лобачевским, практически наметили необходимую для доказательства модель. Лобачевский заметил, что орисфера в пространстве изометрична евклидовой плоскости. Полностью реализовать модель смогли работы Клейна, Пуанкаре и других ученых.

Геометрия Лобачевского нашла широчайшее применение в современной науке. Сам Николай Иванович Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определенных интегралов.

Ученые также установили тесную связь геометрии Лобачевского с кинематикой — специальной теорией относительности. В основе этой связи лежит равенство, выражающее закон распространения света:

x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 ,

при делении на t 2 , то есть для скорости света, даёт уравнение сферы в пространстве с координатами v_x, v_y, v_z, которые являются составляющими скорости света по осям х, у, z.

Преобразование Лоренца сохраняет эту сферу, а поскольку они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Из этого следует, (согласно модели Клейна) что в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с , значит есть для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

В общей теории относительности геометрия Лобачевского также нашла свое место. Допуская возможным тот факт, что распределение масс материи во Вселенной равномерно (это приближение в космических масштабах допустимо), то при определенных условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Тем самым было доказано предположение Лобачевского о новой геометрии как возможной теории пространства.

Геометрия Лобачевского — это такая геометрия, в которой не выполняется пятый постулат Евклида, аксиома параллельных. Вместо него принимается, что существует бесконечно много прямых, проходящих через не лежащую на прямой l точку и не пересекающих l. Геометрию Лобачевского можно реализовать на обычной евклидовой плоскости.

Между точками плоскости Лобачевского можно вычислить расстояние. Если Q, R — точки на плоскости, а P, S — точки, в которых прямая, проходящая через Q и R, пересекает абсолют, то расстояние на плоскости Лобачевского между Q и R равно

где PR и т. д. — обычные расстояния между двумя точками.

Впрочем, эта страшная формула для решения задачи не понадобится. Однако важно представлять себе в общих чертах, как устроены расстояния в геометрии Лобачевского. Параллельные прямые, как хорошо видно на рисунке, бесконечно сближаются друг с другом с одного конца и бесконечно отдаляются с другого. Если же прямые не пересекаются и не параллельны, то точки, двигающиеся по этим прямым к абсолюту, всегда бесконечно отдаляются друг от друга. Вообще, при приближении к абсолюту точка бесконечно удаляется от центра круга.

Другая реализация геометрии Лобачевского возможна на специальной поверхности в трехмерном пространстве — псевдосфере. Псевдосфера — поверхность вращения кривой \( z = \ln \left( \text\,\frac t2 \right) + \cos t \), \( x = \sin t \) вокруг оси Oz (впрочем, эта формула тоже не понадобится, нужно лишь представлять, что псевдосфера похожа на граммофонную трубу). Прямыми Лобачевского на этой поверхности являются геодезические, то есть линии кратчайшей длины, соединяющие две точки. Геодезическую можно получить, натянув по поверхности нить. Большая часть геодезических на псевдосфере — это спирали, навивающиеся на граммофонную трубу. Но геодезическими также являются сечения псевдосферы плоскостями, проходящими через ее ось вращения. Расстояния в этой модели — обычные евклидовы длины геодезических (поскольку псевдосфера вложена в обычное трехмерное пространство, то эти длины можно найти).

Псевдосфера, однако, не находится в однозначном соответствии со всей плоскостью Лобачевского в модели Пуанкаре. Во-первых, у псевдосферы есть граница, проходящая по плоскости z = 0. Во-вторых, у псевдосферы не такая топология, как у плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре. Чтобы пояснить это утверждение, рассмотрим замкнутую кривую, делающую один оборот по псевдосфере вокруг оси Oz. Ясно, что никакими деформациями эта кривая не может быть стянута в точку: что бы мы ни делали, кривая всегда будет делать один оборот вокруг Oz (то есть кривую можно как угодно двигать по псевдосфере, можно изгибать ее, но нельзя допускать разрывов). Однако в модели Пуанкаре любая замкнутая кривая может быть непрерывно деформирована в точку! Разгадка состоит в том, что геометрия на псевдосфере лишь локально реализует геометрию Лобачевского. Это значит, что если вырезать кусок псевдосферы, в котором не будет отверстий, то ему можно будет однозначно сопоставить кусок плоскости Лобачевского из модели Пуанкаре, причем расстояние Лобачевского между любыми точками будет сохраняться. (Между евклидовой плоскостью и плоскостью Лобачевского нельзя построить даже локального соответствия, сохраняющего расстояния.)

Таким образом, псевдосфера состоит из кусков плоскости Лобачевского, гладко переходящих друг в друга. Как выполнить явное построение псевдосферы на основе модели Пуанкаре в круге? Другими словами, как склеить псевдосферу из одной или нескольких областей плоскости Лобачевского?

Подсказка 1

Конус и цилиндр — поверхности, на которых локально реализуется евклидова геометрия. Однако, разумеется, ни конус, ни цилиндр не являются целой евклидовой плоскостью. Как, имея в распоряжении лист бумаги (евклидову плоскость), построить цилиндр или конус?

Подсказка 2

Как уже было сказано, сечения псевдосферы плоскостями, проходящими через ее ось симметрии, являются геодезическими, то есть прямыми. Обратите внимание: во-первых, псевдосфера бесконечна вверх. Во-вторых, она бесконечно сужается при движении вдоль оси симметрии. Это значит, что все прямые, о которых говорилось двумя строками выше, бесконечно сближаются (но не пересекаются), то есть параллельны. На псевдосфере, таким образом, есть целое семейство параллельных прямых.

Решение

Рис. 3. На обоих рисунках серым цветом выделена одна и та же область плоскости Лобачевского. Слева она изображена в модели Пуанкаре, справа она вложена в трехмерное пространство. Область ограничена линиями a, b и c. a и b — лучи Лобачевского, перпендикулярные c, а c — отрезок орицикла. В модели Пуанкаре орицикл является окружностью, которая касается абсолюта

Из симметрии очевидно, что c перпендикулярна всему семейству параллельных прямых на псевдосфере. Кривая, обладающая таким свойством, носит в геометрии Лобачевского специальное название: орицикл. Чем же орицикл является в модели Пуанкаре? В евклидовой геометрии, разумеется, семейству параллельных прямых перпендикулярно другое семейство параллельных прямых. В геометрии Лобачевского это не так: кривая c, конечно, прямой не является. Впрочем, не составляет труда выяснить вид c в модели Пуанкаре. В этом помогает замечательный факт: евклидовы углы в модели Пуанкаре совпадают с углами плоскости Лобачевского. Поэтому задача сводится к следующей: найти кривую, перпендикулярную семейству касающихся друг друга в одной точке окружностей. У этой кривой нужно будет выбрать отрезок, равный по длине окружности основания псевдосферы.

Такой кривой является любая окружность, перпендикулярная общей касательной семейства и проходящая через точку касания. Отсюда немедленно следует, что эта окружность будет касаться абсолюта.

Интересно посмотреть, что будет, если отрезок c имеет длину, отличную от длины окружности в основании псевдосферы. В модели Пуанкаре это может соответствовать тому, что вместо b берется какая-нибудь другая прямая, параллельная а (например, одна из черных внутри серой области в левой части рис. 3).

Послесловие

Кроме модели Пуанкаре и псевдосферы существуют и другие модели геометрии Лобачевского. Исторически первой появилась модель Клейна в круге. В ней прямыми называются не дуги окружностей, а хорды, а расстояние вычисляется по точно такой же формуле. Другая модель — тоже Пуанкаре, но в полуплоскости. Ее можно представлять себе как модель Пуанкаре, у которой радиус круга устремлен к бесконечности. Абсолют превращается в границу полуплоскости, прямые Лобачевского — в полуокружности, перпендикулярные абсолюту, либо в прямые, перпендикулярные абсолюту.

Чтобы избавиться от этой избыточности, можно определять геометрию немного по-другому. А именно, будем задавать расстояния не между какими угодно двумя точками, а только между бесконечно близкими. После этого можно естественным образом определить длину кривой, разбив ее на малые части и просуммировав их длины (то есть взяв интеграл по кривой). Наконец, назовем отрезком прямой в этой геометрии линию, соединяющую две точки и имеющую кратчайшую длину.

Метрика полностью определяет внутренние свойства поверхности, в частности, насколько и каким образом эта поверхность искривлена. Таким образом, мы пришли к тому, с чего начали: геометрия Лобачевского — это геометрия искривленной поверхности, а именно — псевдосферы. А все модели геометрии Лобачевского — это разные системы координат, введенные на плоскости Лобачевского. Метрики моделей, разумеется, отличаются между собой, но при этом описывают одну и ту же геометрию.

Чтобы не быть голословными, выпишем явно метрики для евклидового пространства и геометрии Лобачевского. Начнем с модели Пуанкаре в верхней полуплоскости, потому что в ней сразу будут видны все особенности, характерные для искривленных поверхностей. Пусть две точки имеют координаты (x, y) и (x + dx, y + dy). Тогда квадрат расстояния между ними вычисляется по формуле

Для евклидовой плоскости вместо этого есть всем известная формула

\[ \mathrms^2 = \mathrmx^2 + \mathrmy^2, \]

которая есть не что иное, как теорема Пифагора.

Метрики для модели Клейна и Пуанкаре можно при желании посмотреть, например, в Википедии (см. Beltrami–Klein model и Poincaré disk model).

Геометрия Лобачевского, созданная в XIX веке, была важнейшей ступенью к созданию области математики, которая сейчас называется дифференциальной геометрией. Она занимается изучением произвольных искривленных пространств, а ее математический аппарат является фундаментом такой важной области современной физики, как общая теория относительности (ОТО). Дело в том, что, согласно ОТО, пространство-время, в котором мы живем, обладает кривизной, причем кривизна пространства соответствует наличию в этой точке пространства гравитационного поля.

Читайте также: