Геометрический смысл производной кратко и понятно

Обновлено: 05.07.2024

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

Запишем эти выводы в виде таблицы:

возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+	0	-	0	+

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных.

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х₀; f (x₀)). Придадим абсциссе х₀ приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х₀+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х₀+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.

Δy=f (х₀+Δх) — f (x₀). Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:

Определение производной. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4, а новое -4,01.

Решение.

Новое значение аргумента х=х₀+Δx. Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх=4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х₀+Δх) - f (x₀). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу=(х₀+Δx) 2 — (х₀) 2 =(х₀) 2 +2x₀ · Δx+(Δx) 2 — (х₀) 2 =2x₀ · Δx+(Δx) 2 =

=2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх=0,01; приращение функции Δу=0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy=y (х₀+Δx) -y (х₀)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х₀, если f '(х₀) = 1.

Решение.

Значение производной в точке касания х₀ и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f '(х₀) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°.

3. Вывести формулу производной функции y=x n .

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n )' = nx n-1 .

Вот эти формулы.

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования .

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

Приращением аргумента называют разность $$ \triangle x=x-x_0 $$ где $x$ - произвольное число, которое мало отличается от начальной точки $x_0$. Приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным.
Приращением функции называют соответствующую разность $$ \triangle y=f(x)-f(x_0 )=f(x_0+\triangle x)-f(x_0) $$ Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.

	\begin y=2x-1\\ x_0=1,\ x=1,1 \end Найдем приращение аргумента и функции. \begin \triangle x= x-x_0=1,1-1=0,1\gt 0\\ \\ f(x)=f(1,1)=2\cdot 1,1-1=1,2\\ f(x_0 )=f(1)=2\cdot 1-1=1\\ \triangle y=f(x)-f(x_0 )=1,2-1=0,2\gt 0 \end
	\begin y=-x+2\\ x_0=1,\ x=1,1 \end Найдем приращение аргумента и функции. \begin \triangle x= x-x_0=1,1-1=0,1\gt 0\\ \\ f(x)=f(1,1)=-1,1+2=0,9\\ f(x_0 )=f(1)=-1+2=1\\ \triangle y=f(x)-f(x_0)=0,9-1=-0,1\lt 0 \end

Если функция возрастает, приращение аргумента и приращение функции имеют один и тот же знак: $$ \begin y=f(x) - \text\\ \triangle x\gt 0 \end \Rightarrow \triangle y\gt 0 $$ Если функция убывает, приращение аргумента и приращение функции имеют разные знаки: $$ \begin y=f(x) - \text\\ \triangle x\gt 0 \end \Rightarrow \triangle y\lt 0 $$

п.2. Определение производной

Производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ называют предел отношения приращения функции в точке $x_0$ к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, а предел существует: $$ f'(x_0)=\lim_\frac $$

Например:
Найдем производную функции $f(x)=x^2-4$ в точке $x_0=3$
Значение функции в точке: $f(x_0 )=3^2-4=5$
Пусть $\triangle x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда: \begin f(x)=f(x_0+\triangle x)=(x_0+\triangle x)^2-4=(3+\triangle x)^2-4=9+6\triangle x+\triangle x^2-4=\\ =5+6\triangle x+\triangle x^2 \end Приращение функции: $$ \triangle y=f(x)-f(x_0)=5+6\triangle x+\triangle x^2-5=6\triangle x+\triangle x^2=\triangle x(6+\triangle x) $$ Производная: $$ f'(x_0)=\lim_\frac=\lim_\frac=\lim_(6+\triangle x)=6+0=6 $$ Ответ: 6

п.3. Физический смысл производной

Мгновенная скорость это скорость тела в данный момент времени $t_0$: $$ v(t_0)=\lim_\frac=x'(t_0) $$ где $\triangle x=x-x_0$ - путь тела за время $\triangle t=t-t_0,\ x(t)$ – уравнение движения.
Мгновенная скорость равна первой производной от уравнения движения при $t=t_0$.

Сравнивая определения мгновенной скорости и производной функции, мы можем сформулировать физический смысл производной:

Или, ближе к физике/химии/биологии:

Производная уравнения процесса $s=f(t)$ в момент времени $t_0$ равна скорости протекания процесса в этот момент.

п.4. Геометрический смысл производной

Пусть на плоскости задана кривая $y=f(x)$.
Выберем на кривой две точки $A(x_0,y_0)$ и $B(x,y)$. Прямая AB будет секущей для кривой $y=f(x)$. Угол наклона прямой AB определяется угловым коэффициентом: $$ k_=tg\angle A=\frac=\frac $$ Начнем движение точки B вдоль кривой по направлению к точке A. Приращение аргумента при этом будет уменьшаться: $\triangle x=AC\rightarrow 0$. В тот момент, когда B совпадет с A, секущая AB превратится в касательную AD. Угловой коэффициент касательной: $$ k_=\lim_\frac=y'(x_0) $$
Мы можем сформулировать геометрический смысл производной:

Производная функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в этой точке.

п.5. Алгоритм поиска значения производной в заданной точке

На входе: уравнение функции $y=f(x)$, точка $x_0$
Шаг 1. Найти значение функции в заданной точке $y_0=f(x_0)$.
Шаг 2. Задать приращение аргумента $\triangle x=x-x_0$, найти приращение функции $\triangle y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)$.
Шаг 3. Найти предел $\lim_\frac=f'(x_0)$
На выходе: значение производной в точке $x_0$

Например:
Найдем значение производной в точке $x_0=1$ для функции $y=x^2-3$.
Значение функции в заданной точке: $f(x_0)=1^2-3=-2$
Пусть $∆x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=((1+\triangle x)^2-3)-(-2)=\\ =1+2\triangle x+(\triangle x)^2-1=2\triangle x+(\triangle x)^2=\triangle x(2+\triangle x) \end Ищем предел: \begin \lim_\frac=\lim_\frac=\lim_(2+\triangle x)=2+0=2 \end Искомая производная в заданной точке: $f'(1)=2$
Ответ: 2

п.6. Алгоритм поиска уравнения производной

На входе: уравнение функции $y=f(x)$
Шаг 1. Задать приращение аргумента $\triangle x$, найти выражение для приращения функции $\triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)$.
Шаг 2. Найти предел выражения $\lim_\frac=f'(x)$
На выходе: уравнение производной $y\ '=f'(x)$ в любой точке $x$.

Например:
Найдем общее уравнение производной для функции $y=x^2-3$.
Пусть $∆x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=((x+\triangle x)^2-3)-(x^2-3)=\\ =(x+\triangle x)^2-x^2=(x+\triangle x-x)(x+\triangle x+x)=\triangle x(2x+\triangle x) \end Ищем предел: \begin \lim_\frac=\lim_\frac=\lim_(2x+\triangle x)=2x+0=2x \end Ответ: уравнение производной $y\ '=2x$

п.7. Примеры

Пример 1. Пользуясь алгоритмом поиска значения производной в заданной точке, найдите:
a) $ f'(1),\ \text\ f(x)=2x $
По условию $x_0=1$
Значение функции в заданной точке: $f(x_0 )=2\cdot 1=2$
Пусть $\triangle x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=2(1+\triangle x)-2=2+2\triangle x-2=2\triangle x \end Ищем предел: \begin \lim_\frac=\lim_\frac=2 \end Искомая производная в заданной точке: $f'(1)=2$
б) $ f'(3),\ \text\ f(x)=3x^2 $
По условию $x_0=3$
Значение функции в заданной точке: $f(x_0 )=3\cdot 3^2=27$
Пусть $\triangle x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=3(3+\triangle x)^2-27=3(9+6\triangle x+(\triangle x)^2)-27=\\ =27+18\triangle x+3(\triangle x)^2-27=3\triangle x(6+\triangle x) \end Ищем предел: \begin \lim_\frac=\lim_\frac=3\lim_(6+\triangle x)=3(6+0)=18 \end Искомая производная в заданной точке: $f'(3)=18$

в) $ f'(-1),\ \text\ f(x)=4x-1 $
По условию $x_0=-1$
Значение функции в заданной точке: $f(x_0)=4\cdot (-1)-1=-5$
Пусть $\triangle x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=(4(-1+\triangle x)-1)-(-5)=-5+4\triangle x+5=4\triangle x \end Ищем предел: \begin \lim_\frac=\lim_\frac=4 \end Искомая производная в заданной точке: $f'(-1)=4$

г) $ f'(2),\ \text\ f(x)=x^3 $
По условию $x_0=2$
Значение функции в заданной точке: $f(x_0)=2^3=8$
Пусть $\triangle x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)=(2+\triangle x)^3-8=\\ =2^3+3\cdot 2^2\cdot \triangle x+3\cdot 2\cdot (\triangle x)^2+(\triangle x)^3-8=\\ =12\triangle x+6(\triangle x)^2+(\triangle x)^3=\triangle x\cdot (12+6\triangle x+(\triangle x)^2 ) \end Ищем предел: \begin \lim_\frac=\lim_\frac=\lim_(12+6\triangle x+(\triangle x)^2)=12+0+0=12 \end Искомая производная в заданной точке: $f'(2)=12$

Ответ: а) 2; б) 18; в) 4; г) 12

Пример 2. Пользуясь алгоритмом поиска уравнения производной, найдите общее уравнение производной для функции $y=f(x)$:
a) $ f(x)=C$, где C – постоянная величина
Пусть $\triangle x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=C-C=0 \end Отношение $\frac=\frac=0$
Предел $\lim_\frac=\lim_0=0$
Производная $y\ '=C'=0$

б) $ f(x)=x$
Пусть $\triangle x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=x+\triangle x-x=\triangle x \end Ищем предел: $\lim_\frac=\lim_\frac=\lim_1=1$
Производная $x\ '=1$

в) $ f(x)=x^2$
Пусть $\triangle x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=(x+\triangle x)^2-x^2=(x+\triangle x-x)(x+\triangle x+x)=\triangle x(2x+\triangle x) \end Ищем предел: \begin \lim_\frac=\lim_\frac=\lim_(2x+\triangle x)=2x+0=2x \end Производная $(x^2)\ '=2x$

г) $ f(x)=x^3$
Пусть $\triangle x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=(x+\triangle x)^3-x^3=\\ =(x+\triangle x-x)((x+\triangle x)^2+x(x+\triangle x)+x^2)=\triangle x((x+\triangle x)^2+x(x+\triangle x)+x^2) \end Ищем предел: \begin \lim_\frac=\lim_\frac=\\ =\lim_((x+\triangle x)^2+x(x+\triangle x)+x^2)=(x+0)^2+x(x+0)+x^2=3x^2 \end Производная $(x^3)\ '=3x^2$

e) $ f(x)=kx+b$
Пусть $\triangle x$ - некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: \begin \triangle y=f(x+\triangle x)-f(x)=k(x+\triangle x)+b-kx-b=k\triangle x \end Ищем предел: \begin \lim_\frac=\lim_\frac=\lim_k=k \end Производная $(kx+b)\ '=k$

Параллельно с Ньютоном, который исследовал физические процессы и пришёл к пониманию о производной своим путём, Лейбниц ввёл определение производной через геометрию.

Для того чтобы разобраться в чём заключается геометрический смысл производной, обратимся к вышеприведённому схематическому рисунку. На нём изображён график функции y=f(x).

Обозначим через P точку, которой соответствует значение функции в точке x₀.

Проведём некоторую секущую через точки P и P₁. Угол наклона между положительным направлением оси X и этой секущей обозначим через β.

В результате получился прямоугольный треугольник с катетами Δx и Δy. Здесь Δx — это приращение аргумента функции, а Δy — приращение самой функции.

Отношение приращения функции к приращению аргумента есть тангенс угла между секущей и положительным направлением оси абсцисс.

Если устремить Δx→0, то точка P₁ на графике будет приближаться к точке P, а секущая - менять своё положение относительно графика.

Предельным положением секущей при стремящемся к нулю приращению будет прямая, в которой точки P и P₁ совпадут друг с другом. Такая прямая называется касательной к графику в точке P.

● Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке численно равно тангенсу угла наклона касательной к функции в этой точке.

Известно, что уравнение любой прямой имеет такой общий вид: y=k*x+b. Так вот в уравнении касательной к функции в точке P коэффициент k как раз равен значению производной в точке x₀

На практике часто встречаются задачи на применение геометрического смысла производной. Например, одна из таких задач — это исследование графика функции по заданному графику производной от этой функции.

Прикладные задачи на производную зачастую связаны с физическим понятием производной

Читайте также: