Где применяются комплексные числа кратко

Обновлено: 30.06.2024

Все из нас учились в школе и изучали математику, для кого-то это был скучный предмет и на уроках вы пускали бумажные самолетики, а для кого-то математика занимала не последнее место в списке любимых школьных предметов.

После этого у вас должна сложится следующая картина в иерархии числовых множеств

Найдем корни, получим:

здесь уже могут некоторые удивится, как может квадрат числа быть отрицательным? Да, такие решения уравнений могут встречаться и они не редкость.

Математика здесь подошла уже не к таким уж очевидным вещам, но я хочу сделать замечание для тех кто говорит, что такие абстракции это бред больной фантазии математиков. Чтобы понять причину появления нового множества чисел нужно разбираться в истории математики, здесь только скажем, что введение этих чисел было обусловлено возможностью решать уравнения, пример которых был показан выше и множество других причин.

Следующая часть вопроса: где они применяются? Электротехника? например. Для расчета цепей переменного тока поголовно используются комплексные числа. Это очень удобно: представлять реактивные токи по мнимой оси, а активные по действительной (слова трудно понимаемые, но и понимать нам их сейчас не надо). Расчеты сводятся по сути к сложению, умножению, вычитанию и делению комплексных чисел. А без них пришлось бы решать интегрально-дифференциальные уравнения, что во много раз сложнее. Ещё примером их применения является квантовая механика, в ней тоже используются комплексные числа, для вычисления волновой функции, которая выглядит вот так:

2. Комплексные числа в физике

Классическая физика. С XIX-го века комплексные числа стали неотъемлемой частью практически всех разделов физики. Главная особенность использования комплексных чисел заключается в том, что с их помощью удивительно легко и просто решаются задачи, принципиально нерешаемые в рамках математики вещественных чисел. С самых ранних этапов использования комплексных чисел, велись дискуссии о реальности результатов вычислений, содержащих не только действительную часть, но и часть с мнимой единицей. Особенно актуальным этот вопрос был в тех разделах классической физики (электрические цепи, передача информационных сигналов, гидродинамика, аэродинамика и др.), где результаты расчета непосредственно проверялись экспериментом. Здесь существуют многочисленные примеры наблюдений, описываемых комплексными числами. Наиболее четко это можно проследить на примере, так называемого, импеданса (Z) – комплексного полного сопротивления электрической цепи. Если придать току и напряжению комплексную форму, то закон Ома для сложной цепи, содержащей кроме омического сопротивления еще конденсатор и катушку индуктивности, сохраняет свой традиционный вид. Но теперь формула закона Ома будет содержать новое сопротивление в виде комплексного числа

Z:U = 𝑍𝐼 = (𝑖𝐿𝜔 + 𝑅)𝐼 (i - мнимая единица, U - напряженность, L – индуктивность, ω – частота, R – омическое сопротивление, I – электрический ток).

В самом общем случае, для любых сложных электрических цепей, сопротивление представляется в виде суммы активного (вещественного) и реактивного (мнимого). Физическое измерение (с помощью физических приборов) дает суммарное сопротивление. Теоретически можно выделить действительную и мнимую части, но зафиксировать их по отдельности, видимо невозможно. Основные свойства комплексных чисел легко обобщаются на случаи комплексных векторов и комплексных функций. Кроме того, комплексная плоскость позволяет применять, так называемые, конформные (подобные) отображения, упрощающие расчеты не только в электрических цепях, но и в задачах теплопроводности, гидродинамики и, даже, магнитных полях. Та же проблема реальности мнимых форм возникает при использовании, так называемого, интеграла Фурье в комплексном виде: в электрической цепи электродвижущую силу (эдс) можно с помощью интеграла Фурье рассматривать как сумму бесконечного числа синусоидальных колебаний. Анго приводит ряд примеров, когда комплексный интеграл Фурье следует рассматривать как физическую реальность. Его соображения применимы и к оптическим задачам, где имеется тесная связь между коэффициентом преломления и коэффициентом поглощения в виде соотношений, связывающих вещественную и мнимую части диэлектрической постоянной (дисперсионные соотношения). В последние годы дисперсионные соотношения стали широко использоваться при изучении взаимодействия элементарных частиц.

Следует отметить еще одну особенность интеграла Фурье: в комплексной форме ему можно придать вид, когда между самим интегралом Фурье (зависящим от времени) и его коэффициентом Фурье (зависящим от частоты) устанавливается полная симметрия:

Это означает, что существует полная симметрия между временем и частотой. Данный факт играет большую роль в современной теории информации.

Я подробно остановился на книге Анго в связи с тем, что это единственная современная (известная мне) работа, где принципиально обсуждается вопрос о реальности мнимой компоненты в классических физических экспериментах. В математических книгах, посвященных функциям комплексного переменного, классические физические задачи рассматриваются только как примеры эффективного использования данного математического аппарата без обсуждения реальности мнимой составляющей теоретических расчетов.

Если подставить волновую функцию Ψ в уравнение Шредингера с гамильтонианом Ĥ= −(ℏ2⁄2𝑚) 𝛥 + 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧), то получим это уравнение:

В этом уравнении имеются чисто вещественные и чисто мнимые части. Приравнивая вещественные и мнимые части (пренебрегая слагаемым, содержащим ℏ2) по отдельности нулю (?), получают два уравнения:

Уравнение (1) интерпретируют, как предельный переход к классическому уравнению Гамильтона-Якоби для действия S. Уравнение (2), игнорируя мнимую единицу, интерпретируют, как уравнение неразрывности. Действительно, выражение в квадратных скобках можно преобразовать к уравнению неразрывности, но голословно отбрасывать i, стоящую перед квадратной скобкой в уравнении (2) – это традиционное пренебрежение физиками мнимой составляющей.

Теория относительности. Основным понятием данной теории, в инерциальной системе отсчета, является интервал: d𝑠2= 𝑐2d𝑡2- d𝑥2- d𝑦2- d𝑧2. Благодаря введению Минковским мнимого времени τ=ict, интервал приобрел более симметричный вид: -d𝑠2=(d𝑥2+d𝑦2+d𝑧2+ 𝑑𝜏2) и появилось фундаментальное представление о едином пространстве-времени. Таким образом, в теорию относительности внедрилась мнимая единица i. Если мы переходим в неинерциальную систему отсчета (теорию гравитации – ОТО), то d𝑠2 уже не будет суммой квадратов дифференциалов четырех координат и интервал примет вид: -d𝑠2=𝑔𝑖𝑘d𝑥𝑖d𝑥𝑘, где 𝑔𝑖𝑘-метрический тензор пространства-времени, 𝑥1,𝑥2,𝑥3 - пространственные координаты 𝑥0- временная координата. Так как уже нет смысла сохранять мнимое время, то переходят к реальному времени t.

Но детерминант метрического тензора оказывается отрицательным и будет теперь во всех формулах ОТО входить в таком виде

Таким образом, теория относительности (как и квантовая механика) несет в себе мнимую компоненту. И это, по моему мнению, не формальный математический прием, а не понятый до сих пор, скрытый смысл сосуществования мнимого и действительного в нашем Мире.

3. Фракталы и реальность

То же самое можно сказать и о революционных изменениях в базовых понятиях математики второй половины ХIХ века. Все началось с открытия Вейерштрассом непрерывной, но нигде недифференцируемой функции

Считается, что фракталы открыл Мандельброт в 1980 г.. Он впервые наблюдал на экране дисплея множество Жулиа. Эффект превзошел все ожидания – перед учеными наглядно открылся виртуальный мир комплексных чисел. Фрактальные картины с экрана дисплея быстро перекочевали в музейные залы искусствоведов – началась эпоха фрактальной геометрии.

Множество Мандельброта в координатах — реальная и мнимая части константы.

Данное открытие было обусловлено тремя составляющими:

использование нелинейного итерационного отображения 𝑧𝑛+1→𝑧𝑛 2+c (функция Жулиа);

использование в качестве аргументов данной функции комплексных чисел z=x+iy, c=a+ib;

использование современных компьютерных технологий, позволяющих задействовать достаточно длительный итерационный процесс и вывести его результат на экран дисплея.

В результате появились визуальные фрактальные картины с необычной графикой, где-то повторяющие аналогичные картины из окружающей нас Природы (живой и неживой). Итерационный процесс 𝑧0→𝑧1→𝑧2→… за достаточно большой период времени и составляет предмет исследования фрактала.

Главные особенности фрактала:

если в отображении 𝑧𝑛+1→𝑧𝑛 2+c зафиксировать параметр с и изменять z (от начальной точки 𝑧0) в поле комплексных чисел, то мы получим множество Жулиа; а если зафиксировать точку 𝑧0= 0 и менять параметр с , то получим множество Мандельброта;

одни фракталы статичны (очертания гор, извилистая линия морского берега и др.), другие непрерывно меняются (движущиеся облака, мерцающее пламя и др.), третьи – живые, они сохраняют структуру в процессе эволюции (деревья, сосудистые системы животных, человека и т.д.);

фрактальные объекты самоподобны – каждая точка объекта повторяет сам объект в меньшем масштабе до бесконечности

4. Модель мнимого вакуума

Современные теории элементарных частиц и космологии, используют скалярное поле, в качестве одного из основных своих понятий. За последнее время наибольшие успехи в данной области были достигнуты благодаря представлению плотности потенциальной энергии однокомпонентного, однородного скалярного поля φ в виде потенциала Хиггса:

где: μ - мнимая масса скалярного поля; λ - константа взаимодействия поля с самим собой (константа самодействия), (ħ = c = 1).

Я предлагаю возможный вариант скалярного поля в виде суммы действительной и мнимой части фрактальной функции Вейерштрасса (3) с комплексным аргументом. Ниже рассмотрена простейшая модель появления мнимого поля в процессе фазовой перестройки космического вакуума в момент зарождении материи.

Ограничимся первым слагаемым ряда Вейерштрасса (3) и рассмотрим следующий вид потенциальной энергии двухкомпонентного скалярного поля φ (до момента фазовой перестройки вакуума и появления материи):

где: ρ(φ)–плотность энергии скалярного поля; z=(u-iv)φ* - здесь выбрана сопряженная форма комплексного аргумента.

Перейдем к безразмерным величинам: v/u=α и φ*∙u=φ. Разложим cos z в ряд Маклорена (до трех первых слагаемых) и выделим действительную и мнимую части:

5. Заключение

Завороженные красотой фрактальной геометрии, ученые по-прежнему упускают редкую возможность выйти за пределы тесных рамок материальных парадигм. Факты, собранные в данной работе (далеко не все), убедительно показывают, что наш Мир изначально двойственен. Эта двойственность постоянно проявляется в многочисленных природных явлениях. В физике: частица-волна, частицы-античастицы, и т.д. В биологии: двойная спираль ДНК, деление клеток надвое, двуполость организмов и т.д. Наконец, в математике: бинарность операций, бинарность комплексных чисел, бифуркации и т.д. Самый яркий пример двойственности (и в физике, и в биологии) - фракталы. Этот пример должен окончательно убедить ученых в реальности мнимого мира.

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс нашел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник? Из школьного курса геометрии известно, как циркулем и линейкой построить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более сложным является построение правильных пятиугольника и пятнадцатиугольника. Научившись строить эти правильные многоугольники, легко перейти к построению соответствующих многоугольников с удвоенным числом сторон: восьмиугольника, десятиугольника и т. п. Все эти задачи на построение были решены еще в Древней Греции. Однако, несмотря на огромные усилия многих замечательных древнегреческих геометров и других ученых, никому не удалось построить ни правильный семиугольник, ни правильный девятиугольник. Не удалось также осуществить построение правильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал возможность построения правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории математики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников.

Гаусс доказал, что правильный N–угольник с нечетным числом сторон (вершин) может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида F_n = + 1 · Приn = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F₅ будет составным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невозможно при N = 7, 9, 11, 13.

Легко заметить, что задача о построении правильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. Выше было показано, что корень n-й степени из единицы имеет точно n значений; почти все эти значения (за исключением одного, двух) являются комплексными. Точки, изображающие корни n-й степени из единицы, располагаются на окружности радиуса R = 1 и делят ее на n равных дуг, т. е. являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность (см. рис. 3). При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс пользовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

В XVIII в. возникла новая область математики – теория функций комплексной переменной. Введем понятие такой функции. Рассмотрим две комплексные переменные z = x + iy и w = u + iv, где x, y, u, v – действительные переменные, i = - мнимая единица. Зафиксируем две комплексные плоскостиOxy (плоскость z), O'uv (плоскость w) с выбранными на них системами прямоугольных координат и два множества на этих плоскостях: D и D' соответственно (рис. 4).

Если каждой точке zD по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка wD', то говорят, что w есть функция от z и пишут: w = f(z). Множество D в этом случае называют областью определения функции w = f(z), значения которой принадлежат области D'. Если множество значений f(z) исчерпывает все множество D', то D' называют множеством значений (областью изменения) функции f(z). B таком случае пишут: D'= f(D). Множества D и D' можно изображать на одной комплексной плоскости. Каждое из множеств D и D' может совпадать со всей плоскостью.

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят важные применения таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, поскольку с их помощью удобно описывать движение объема жидкости (или газа).

С помощью теории функций комплексной переменной доказана следующая важная теорема, которую долгое время называли основной теоремой алгебры.

Теорема: Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Рассмотрим многочлен степени n (n ≥ 1):

Корнем многочлена называют такое число с (в общем случае комплексное: с = a + bi), которое обращает данный многочлен в нуль:

Другими словами, теорема утверждает, что алгебраическое уравнение n-й степени (n ≥ 1)

имеет хотя бы один корень.

Отсюда следует, что любое алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n корней. Действительно, если многочлен f(х) = a₀x n + a₁x n -1 + … + a_n_-1x + a_n , имеет корень α₁, то его можно представить в виде f(х) = (х – α₁)φ₁(x), где φ₁(x) – многочлен степени n – 1. Этот многочлен по данной теореме имеет хотя бы один корень. Обозначим корень многочлена φ₁(x) через α₂, тогда φ₁(x) = (х – α₂)φ₂(x), где φ₂(x) – многочлен степени n – 2. Продолжая аналогичные рассуждения, находим, что f(x) = a₀(x – a₁)(x – a₂). (x – a_n). Отсюда видно, что f(α_i) = 0 при i – 1, 2, . , n, т. е. α_i — корни многочлена (36) или уравнения (37). Таким образом, уравнение (37) имеет n корней.

Отметим, что комплексные корни всякого многочлена с действительными коэффициентами всегда сопряжены: если с = a - bi – корень уравнения, то с = а-bi – также корень данного уравнения. Иными словами, комплексные корни такого многочлена входят парами во множество его корней. Отсюда следует, что любое алгебраическое уравнение нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Замечание. Не всякое уравнение имеет корни, действительные или комплексные. Например, трансцендентное (неалгебраическое) уравнение а x = 0 (а > 0) не имеет никаких корней (ни действительных, ни комплексных).

Простейшим примером функции комплексной переменной является линейная функция w = z + c, где с – постоянная (комплексное число). Эта функция осуществляет преобразование плоскости z на плоскость w. Каждой точке z она ставит в соответствие точку w = z + с. Очевидно, от точки z можно перейти к точке w путем сдвига (параллельного переноса) на вектор с, т. е. посредством перемещения точки z по направлению вектора с на расстояние, равное длине этого вектора (рис. 5). Путем подходящего выбора числа с можно получить любой сдвиг. Например, если точку z нужно сдвинуть в положительном направлении оси Ox на две единицы, то надо взять с = 2; точка w = z + 2 будет искомой (рис. 6). Если же точку z нужно сдвинуть в отрицательном направлении оси Oy на три единицы, то берем c = -3i; точка w'= z + (-3i) = z – 3i будет искомой (рис. 6). Итак, функция w = z + c осуществляет преобразование (отображение) плоскости, которое называют сдвигом на вектор с.

w' = z – 3i

Геометрическое преобразование, при котором величины углов между любыми двумя линиями, содержащимися в преобразуемой фигуре, не изменяются, называют конформным преобразованием или конформным отображением. (Под углом между двумя линиями, пересекающимися в некоторой точке, понимают угол между касательными к этим линиям, проведенными в этой точке.) Примерами конформных отображений могут служить сдвиг (параллельный перенос), гомотетия и поворот. Таким образом, можно сказать, что функция w = z + с осуществляет конформное отображение; это одна из таких функций.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практических задач картографии, электротехники, теплопроводности и др. Во многих вопросах, где речь идет, например, об электрическом потенциале в точках пространства, окружающего заряженный конденсатор, или о температуре внутри нагретого тела, о скоростях частиц жидкости или газа в потоке, движущемся в некотором канале и обтекающем при этом некоторые препятствия, и т. п., нужно уметь находить потенциал, температуру, скорости и т. п. Задачи такого рода могут быть решены без особых затруднений в случае, когда встречающиеся в них тела имеют простую форму (например, в виде плоских пластин или круговых цилиндров). Однако расчеты необходимо уметь производить и во многих других случаях. Например, чтобы сконструировать самолет, надо уметь вычислять скорости частиц в потоке, обтекающем крыло самолета. Разумеется, при полете самолета движутся и частицы воздуха, и само крыло. Однако, опираясь на законы механики, исследование можно свести к случаю, когда крыло неподвижно, а на него набегает и обтекает его поток воздуха. Крыло самолета в поперечном разрезе, (профиль крыла) имеет вид, показанный на рисунке 7. Расчет скоростей производится достаточно просто, когда поперечный разрез обтекаемого тела есть круг (т. е. само тело является круглым цилиндром). Чтобы свести задачу о скоростях частиц потока воздуха, обтекающего крыло самолета, к более простой задаче обтекания круглого цилиндра, достаточно конформно отобразить часть плоскости, заштрихованную на рисунке 7, а (вне крыла), на другую фигуру, заштрихованную на рисунке 7, б (вне круга). Такое отображение осуществляется с помощью некоторой функции комплексной переменной. Знание этой функции позволяет перейти от скоростей в потоке, обтекающем круглый цилиндр, к скоростям в потоке, обтекающем крыло самолета, и тем самым полностью решить поставленную задачу.

Конформное отображение, заданное соответствующей функцией комплексной переменной, аналогичным образом позволяет сводить решение задач о расчете электрического потенциала и температур от случая тел произвольной формы (любого профиля сечения) к простейшим случаям, для которых задачи решается легко.

Список використаної літератури:

“Алгебра” С. Ленг Издательство МИР, Москва, 1968

“Кольца и модули” Ламбек, Иохаим. Издательство МИР, Москва, 1971

“Кольца(Элементы теории)”, Михалевич Ш. Х. Издательство Даугавпилоского педагогического института, 1973

“Алгебра: кольца, модулы и категории” Фейс К., Издательство МИР, 1977

“Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятности” Издательство ЛГУ, 1986

“Теория колец”, Джекобсон Н.. Государственное издательство иностранной литературы, Москва, 1947.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Теория комплексных чисел исторически вышла из потребностей математики, но в дальнейшем нашла широкое применение в технических дисциплинах. Разные формы записи комплексных чисел дают возможность решать задачи в зависимости от поставленных условий. Переход от одной формы к другой позволяет осуществлять формула Эйлера, связывающая тригонометрические формулы и экспоненту. Введение комплексных чисел позволяет более продуктивно и достаточно компактно решать задачи электротехники, выполняя действия с помощью формул или векторов. Метод комплексных амплитуд, с помощью которого описываются гармонические колебания в линейных электрических цепях, позволяет осуществить переход от реальных гармонических токов и напряжений к комплексным амплитудам, что, по сути, приводит к изучению реальных процессов в цепях с помощью комплексных чисел.

3. Гулай Т.А., Гринько А.Д., Пантелова Е.М. Математическая модель расчета в электрической цепи с несинусоидальными токами // Международный студенческий научный вестник. – 2017. – № 4–4. – С. 514–517.

5. Журавлёв И.В., Рыбалкин Н.А., Попова С.В. Применение средств математики для определения скорости катка ступенчатого блока // Международный студенческий научный вестник. – 2015. – № 3–4. – С. 463–465.

6. Математические модели и методы обработки измерительных сигналов емкостных преобразователей на постоянном токе / М.А. Мастепаненко, И.Н. Воротников, С.В. Аникуев, И.К. Шарипов. – Ставрополь, 2015.

7. Моделирование электрических временных параметров активатора импульсного электрического поля / В.И. Хайновский, Г.П. Стародубцева, Е.И. Рубцова, О.С. Копылова, П.В. Никитин, С.И. Любая // Вестник АПК Ставрополья. – 2016. – № 2 (22). – С. 39–44.

8. Попова С.В., Смирнова Н.Б. Влияние развивающих функций математических задач на эффективное обучение студентов вуза // Вестник АПК Ставрополья. – 2015. – № 1 (17). – С. 213–217.

9. Попова С.В., Шкабура А.С. Применение математического аппарата в профессии электроэнергетика / Аграрная наука Северо-Кавказскому федеральному округу: сборник научных трудов по материалам 81-й Ежегодной научно-практической конференции / Ответственный за выпуск Т.А. Башкатова, 2016. – С. 214–218.

10. Смирнова Н.Б., Попова С.В., Мамаев И.И. О прикладной ориентации курса математики в высшей школе // Учетно-аналитические аспекты и перспективы развития инновационной экономики: Международная научно-практическая конференция, 2010. – С. 270–272.

В математике чрезвычайно обширно используется решение задач с помощью комплексных чисел. Однако, что такое комплексные числа и как они нашли себя в электротехнике [4]?

Для начала рассмотрим формулу Эйлера. Это серьёзная и важная формула, которая объединяет тригонометрические функции с экспонентой – с функцией, которая не входит в состав периодических функций, но очень часто используется в электротехнике [1].

Формула Эйлера считается базовой формулой при вычислении комплексных напряжений токов в электротехнике [2 ].

Известно, что свойства большинства математических функций выводят на множестве вещественных чисел, если они на этом множестве существуют. Но, например, уравнение

решения в области вещественных чисел не имеет.

Для того чтобы обеспечить решение таких уравнений, было введено понятие комплексного числа, включающего в себя не только вещественную, но и мнимую часть, которая содержит мнимую единицу, по определению равную

Если ввести допущение, что такое число существует, то всё равно очень много математических функций при невыполнении не выводят за множество комплексных чисел, а продолжают рассматривать на множестве вещественных чисел. При этом остаётся немало задач, особенно прикладного характера, решение которых нужно производить с помощью комплексных чисел [5, 6, 8].

Комплексным числом Z в общем случае считают сумму пары чисел – вещественного числа x и произведения yi, где i – есть мнимая часть:

Преимуществом комплексных чисел является то, что, практически, все математические операции над комплексными числами не выходят за множество комплексных чисел, то есть результат действия над комплексными числами можно выразить в виде комплексного числа.

Этим активно пользуются при расчётах в электротехнике. В математике для символического изображения мнимой единицы используют обозначение i, но в электротехнике же так принято обозначать ток, поэтому это обозначение заменяют на j, физический смысл же от этого не меняется:

Вернёмся, применив эту формулу к тригонометрическим функциям, а именно к .

Учтём, что любая функция f(x) при определённых условиях представима в виде степенного ряда, то есть сводится к виду

При разложении функции в ряд Маклорена получим:

Также распишем ряд Маклорена для функции :

Точно так разложим на ряд Маклорена функцию и получим:

Предположим, что х принадлежит множеству комплексных чисел и . Для того, чтобы получить формулу Эйлера разобьём этот ряд на два ряда по чётным и нечётным степеням k:

далее в первом и втором слагаемом путём элементарных преобразований вынесем за скобку и получим:

Учитывая то, что , то получим следующее:

Собственно говоря, мы получили формулу Эйлера, устанавливающую зависимость между экспонентой и тригонометрическими функциями и имеющую вид:

Эта формула существенно помогает упростить математические выражения в комплексной области. Так при описании электромагнитных процессов в цепях переменного тока приходится вычислять много непростых интегралов, что приводит к громоздкому решению. Оказалось, что выполнение поставленных задач упрощается при введении комплексных чисел [3, 7].

Комплексные числа можно представлять в разных формах записи – алгебраической, тригонометрической или показательной – в зависимости от постановки задачи, исходных данных и требуемых результатов, но благодаря формуле Эйлера легко переходить от одной формы записи к другой. Например, переменный ток в цепи можно записать по-разному:

– алгебраическая форма;

= – тригонометрическая форма;

= – показательная форма.

При сложении токов в цепях с начальной фазой, равной нулю, сложностей не возникает. Но при сложении токов с разными начальными фазами простая, на первый взгляд, задача приводит к громоздким тригонометрическим вычислениям. Тогда как, используя переход к комплексным числам, эта же задача решается в несколько строк [9, 10].

Если решать задачи электротехники с помощью векторов, то опять же удобно перейти к комплексной записи токов или напряжений и выполнять построения на комплексной плоскости, где горизонтальная ось – ось вещественной части комплексного числа, а вертикальная – ось мнимой части этого же числа.

Комплексные числа также применяются для описания гармонических колебаний в линейных электрических цепях, при этом переход от реальных гармонических токов и напряжений к комплексным амплитудам выражает суть метода комплексных амплитуд, который является моделью исследуемых процессов, где на первое место выдвигаются амплитуды, а время и частоты отодвигаются на задний план. Переход к комплексным значениям позволяет компактно описать один объект сразу двумя величинами.

По сути, переход от реальных гармонических колебаний к комплексным амплитудам есть построение модели с помощью комплексных чисел, которые в этой модели носят названия – комплексный ток, комплексное напряжение, комплексная ЭДС.

Применение комплексных чисел позволяет:

– использовать законы, формулы и методы расчётов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчёта цепей переменного тока;

– упростить некоторые вычисления, заменив графическое решение с использованием векторов на алгебраическое решение;

Читайте также: