Формула лапласа физика кратко

Обновлено: 07.07.2024

Резиновый шар, мыльный пузырь могут оставаться в равновесии лишь при условии, чтобы давление воздуха внутри них было на определенную величину больше давления наружного воздуха. Вычислим превышение внутреннего давления над наружным.

Пусть мыльный пузырь имеет радиус и пусть избыток давления внутри него над наружным давлением равняется Чтобы увеличить объем пузыря на исчезающе малую величину нужно затратить работу которая идет на увеличение свободной энергии поверхности пузыря и равна где а — поверхностное натяжение мыльной пленки, величина одной из поверхностей пузыря (разностью радиусов внутренней и наружной поверхностей для простоты пренебрегаем). Итак, имеем уравнение

с другой стороны,

Подставляя выражения для в вышеприведенное уравнение, получаем:

По закону противодействия такую же величину имеет давление, производимое пузырем на воздух, находящийся внутри него.

Если вместо пузыря, имеющего две поверхностные пленки, будем рассматривать каплю, у которой только одна поверхность, то придем к выводу, что поверхностная пленка производит на внутренность капли давление, равное

где радиус капли.

Вообще вследствие кривизны поверхностного слоя жидкости создается избыточное давление: положительное под выпуклой поверхностью и отрицательное под вогнутой поверхностью. Таким образом, при наличии кривизны поверхностный слой жидкости становится источником силы, направленной от выпуклой стороны слоя к вогнутой стороне.

Рис. 226. К пояснению формулы Лапласа.

Лаплас дал формулу для избыточного давления пригодную для случая, когда поверхность жидкости имеет любую форму, допускаемую физической природой жидкого состояния. Эта формула Лапласа имеет следующий вид:

где имеют следующее значение. В какой-нибудь точке поверхности жидкости (рис. 226) нужно вообразить нормаль и через эту нормаль провести две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекут поверхность жидкости по кривым и Радиусы кривизны этих кривых в точке и обозначаются через

Легко видеть, что из формулы Лапласа для плоской поверхности жидкости получается а для шаровой поверхности как это мы вывели раньше.

точке тогда радиусы имели бы разные знаки. В геометрии доказывается, что у так называемых минимальных поверхностей т. е. имеющих при данном контуре наименьшую возможную площадь, сумма всюду равняется нулю. Как раз этим свойством обладают мыльные пленки, затягивающие какой-нибудь проволочный контур.

Пена есть собрание пузырей, имеющих общие стенки. Кривизна такой стенки (определяемая выражением + пропорциональна разности давлений по обе стороны стенки.

Если конец чистой стеклянной палочки погрузить в чистую воду и вынуть палочку, то увидим на конце ее висящую каплю воды. Очевидно, что молекулы воды сильнее притягиваются к молекулам стекла, чем друг к другу.

Подобно этому медной палочкой можно поднять каплю ртути. В таких случаях говорят, что твердое тело смачивается жидкостью.

Иное будет, если опустим чистую стеклянную палочку в чистую ртуть или если стеклянную палочку, покрытую жиром, опустим в воду: здесь палочка, вынутая из жидкости, не уносит ни капли этой последней. В этих случаях говорят, что жидкость не смачивает твердого тела.

Рис. 227. Стрелками показаны направления сил, с которыми поверхностный слой действует на находящийся под ним столбик жидкости.

Если погрузить в воду узкую чистую стеклянную трубку, то вода в трубке поднимется на известную высоту вопреки силе тяжести (рис. 227, а). Узкие трубки называются капиллярными, или капиллярами, а отсюда и самое явление носит название капиллярности. Жидкости, смачивающие стенки капиллярной трубки, претерпевают капиллярное поднятие. Жидкости, не смачивающие стенок капилляра (например, ртуть в стеклянной трубке), претерпевают, как показано на рис. 227, б, опускание. Капиллярные поднятия и опускания бывают тем больше, чем уже капилляры.

Капиллярные поднятия и опускания вызываются избыточным давлением, которое возникает вследствие искривления поверхности жидкости. В самом деле, в трубке, которая смачивается жидкостью, жидкость образует вогнутый мениск. По сказанному

в предыдущем параграфе поверхность такого мениска будет развивать силу, направленную снизу вверх, и эта сила будет поддерживать в трубке столбик жидкости вопреки действию тяжести. Наоборот, в трубке, которая не смачивается жидкостью, получится выпуклый мениск; он даст силу, направленную вниз и, следовательно, понижающую уровень жидкости,

т. е. высота капиллярного поднятия пропорциональна поверхностному натяжению и обратно пропорциональна радиусу трубки и плотности жидкости.

Ту же формулу (11) для капиллярного поднятия можно получить как следствие формулы Лапласа (10) или (в рассматриваемом случае симметричной поверхности) формулы (9). Можно рассуждать так: в жидкости под вогнутой поверхностью давление понижено на величину поэтому при равновесии, когда давление на уровне свободной поверхности жидкости, налитой в сосуд, равно давлению жидкости в капилляре на том же уровне, столб жидкости в капилляре должен иметь такую высоту, чтобы его давление уравновешивало дефицит давления, создаваемого вогнутостью поверхности мениска. Стало быть, откуда и получается формула (11).

Измерение капиллярного поднятия является одним из простых способов определения величины а.

На рис. 228 изображено капиллярное поднятие жидкости между двумя пластинками, составляющими двугранный угол. Нетрудно сообразить, что поднявшаяся жидкость будет сверху ограничена

гиперболой; асимптотами этой гиперболы будут служить ребра двугранного угла и линия, лежащая на уровне жидкости в сосуде.

Рассмотрим условия равновесия жидкости, соприкасающейся с твердой стенкой (рис. 229). Обозначим избыточную свободную энергию каждого квадратного сантиметра поверхности твердого тела 3, граничащего с вакуумом или газом 2, через Когда слой какой-либо жидкости смачивая поверхность твердого тела, растекается по ней, поверхность раздела твердое тело — газ заменяется поверхностью раздела твердое тело — жидкость, причем свободная энергия этой новой поверхности будет уже иная, Очевидно, что убыль свободной энергии каждого квадратного сантиметра поверхности твердого тела равна работе сил, под действием которых 1 см периметра жидкой пленки перемещается на расстояние в 1 см по направлению, перпендикулярному к периметру пленки. Стало быть, разность можно рассматривать как силу, приложенную к 1 см периметра жидкой пленки, действующую касательно к поверхности твердого тела и побуждающую жидкость продвигаться по поверхности твердого тела. Однако растекание жидкости по поверхности твердого тела сопровождается увеличением поверхности между жидкостью 1 и вакуумом или газом 2, чему пр епятствует повер хностное натяжение жидкости В общем случае при неполном смачивании жидкостью твердого тела сила (как это показано на рис. 229, а) направлена под некоторым углом к поверхности твердого тела; этот угол называют краевым углом. Мы видим, таким образом, что жидкость, граничащая с твердым телом, будет находиться в равновесии тогда, когда

Отсюда находим, что краевой угол, под которым при равновесии свободная поверхность жидкости встречает поверхность

Рис. 228. Капиллярное поднятие жидкости между пластинками, составляющими двугранный угол.

Рис. 229. Жидкость смачивает твердую стенку (а); не смачивает твердую стенку

твердого тела, определяется формулой

По смыслу вывода формулы (12) ясно, что эта формула остается справедливой и для случая, когда жидкость не смачивает твердого тела (рис. 229, б); тогда краевой угол будет тупым; отсутствие смачивания означает, что (т. е. свободная энергия твердого тела на его поверхности раздела с вакуумом или газом меньше, чем на поверхности раздела того же тела с жидкостью; иначе говоря, в этом случае при продвижении жидкости по поверхности твердого тела работа не будет производиться, но, напротив, работу нужно будет затратить, чтобы осуществить такое продвижение жидкости).

При полном смачивании краевой угол а при полном отсутствии смачивания Краевой угол зависит от природы соприкасающихся веществ и от температуры. Если наклонять стенку сосуда, краевой угол от этого не меняется.

Формула (12) объясняет форму капли, лежащей на горизонтальной плоскости. На твердой подставке, которая смачивается жидкостью, капля принимает форму, изображенную на рис. 230; если же подставка не смачивается, то получается форма капли, изображенная на рис. 231, где краевой угол — тупой.

Рис. 230. Капля смачивающей жидкости.

Рис. 231. Капля несмачивающей жидкости.

Совершенно чистое стекло вполне смачивается водой, этиловым спиртом, метиловым спиртом, хлороформом, бензолом. Для ртути на чистом стекле краевой угол составляет 52° (для свежеобразованной капли 41°), для скипидара 17°, для эфира 16°.

Когда жидкость вполне смачивает подставку, то капли не возникает, а жидкость растекается по всей поверхности. Это происходит, например, с каплей воды на абсолютно чистой стеклянной пластинке. Но обыкновенно стеклянная пластинка бывает несколько загрязнена, что препятствует растеканию капли и создает измеримый краевой угол.

Рис. 232. Масляная капля на воде

Соображения, на основе которых была получена формула можно применить также и к случаю, когда вместо твердого тела мы имеем вторую жидкость, например, когда масляная капля плавает на поверхности воды (рис. 232). Но в этом случае направления сил Уже не противоположны; при соприкосновении жидкости с твердым телом нормальная составляющая поверхностного

натяжения уравновешивается сопротивлением твердой стенки, а при соприкосновении жидкостей это не имеет места; поэтому в данном случае условие равновесия должно быть записано иначе, а именно как равенство полной силы и геометрической суммы (взятой с обратным знаком) сил Приравнивая квадрат величины квадрату геометрической суммы вычисленной по известному правилу определения диагонали параллелограмма (построенного на векторах получаем:

Отсюда получаем формулу для внутреннего краевого угла 6 жидкой капли:

Из этой формулы и прямо из рис. 232), в частности, следует, что когда равновесие для плавающей капли не может щлеть место, и капля жидкости 3 будет растекаться по поверхности жидкости 1. Неравенство означает, что свободная энергия поверхности жидкости 1 превышает сумму свободных энергий новообразующихся при растекании капли поверхностей раздела 3—2 и 3—1. Тот факт, что в этом случае происходит растекание капли, является частным следствием общего закона термодинамики (§ 105), гласящего, что при всех изотермических процессах, происходящих самопроизвольно, суммарная свободная энергия системы всегда убывает и равновесие достигается тогда, когда свободная энергия системы становится минимальной.

Если, например, на воде плавает оливковое масло, то дин/см, дин/см и дан/см. Таким образом, здесь поверхностное натяжение на границе воздуха и воды больше суммы обоих поверхностных натяжений, которые имеет масло по отношению как к воздуху, так и к воде; мы будем поэтому иметь неограниченное растекание капли. Толщина масляного слоя дойдет до размеров одной молекулы (примерно см), а затем слой станет распадаться. Но если вода загрязнена, то ее поверхностное натяжение делается меньше, и тогда на поверхности может оставаться большая масляная капля, после того как по воде распространился очень тонкий слой масла.

Жидкость, проникающая вследствие действия молекулярных сил в тонкий зазор между двумя поверхностями твердых тел, оказывает на эти поверхности расклинивающее действие. Расклинивающее действие тонких слоев жидкости было экспериментально доказано искусными опытами проф. Б. В. Дерягина, который разработал также теорию этого явления и объяснил на основе расклинивающего действия жидкости эффект Ребиндера (§ 46).

$\Delta =\frac<<\partial > ^2f><\partial x^2>+\frac<<\partial >^2f><\partial y^2>+\frac<<\partial >^2f><\partial z^2>=0 \qquad (1)$

называется уравнением Лапласа в декартовых координатах.

Оно является частным случаем уравнения Гельмгольца. Может рассматриваться в трехмерном (1), двумерном (2), одномерном и n – мерном пространствах:

$\frac<<\partial > ^2f><\partial x^2>+\frac<<\partial >^2f><\partial y^2>=0 \qquad (2)$

$\frac<d^2f> =0 \qquad (3)$

$\Delta =\frac<<\partial > Оператор ^2><\partial x^2>+\frac<<\partial >^2><\partial y^2>+\frac<<\partial >^2><\partial z^2>+\dots$
называется оператором Лапласа (Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.).

Решение уравнения Лапласа

Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции.

Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.

Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе области G. Если решение отыскивается во всём пространстве , краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при . Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение производной f по нормали к границе.

Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Лапласа можно записать не только в декартовых координатах.

В сферических координатах ( уравнение Лапласа имеет следующий вид:

$\frac \cdot \frac<\partial ><\partial r>\left(r^2\frac<\partial f><\partial r>\right)+\frac\left(\sin\theta \cdot \frac<\partial f><\partial \theta >\right)+\frac<<\partial >^2f>^2\theta \partial^2>=0 \qquad (5)$

В полярных координатах ( система координат уравнение имеет вид:

$\frac<1> \cdot \frac<\partial ><\partial r>\left(r\frac<\partial f><\partial r>\right)+\frac<<\partial >^2f><r^2\partial <\varphi >^2>=0 \qquad \qquad (6)$

В цилиндрических координатах ( уравнение имеет вид:

$\frac<1> \cdot \frac<\partial ><\partial r>\left(r\frac<\partial f><\partial r>\right)+\frac<<\partial >^2f><\partial z^2>+\frac<<\partial >^2f><r^2\partial <\varphi >^2>=0 \qquad \qquad (7)$

К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал сил тяготения в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля – в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. Большое количество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Большое значение оператор Лапласа играет в квантовой механике.

Примеры решения задач

$\frac<1> \cdot \frac<\partial ><\partial r>\left(r\frac<\partial \varphi ><\partial r>\right)=0\qquad (1.1)$

$\varphi =-A \text<ln> Оно имеет решение (r)$
+B. Выберем нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем, получим:

$\varphi \left(r_2\right)=0=-A \text<ln> r_2+B,$
следовательно

$B=A \text<ln> r_2$

$\varphi \left(r_1\right)=\Delta U=-A \text<ln> r_1+B$
, получим:

$A=\frac<\Delta U> \left(\frac\right)\ >>$

$\varphi (r)=-\frac В результате имеем: \left(\frac\right)\ >> \text \left(r\right)+\frac \left(\frac\right)\ >> \text r_2$

$\varphi (r)=-\frac \left(\frac\right)\ >> \text \left(r\right)+\frac \left(\frac\right)\ >> \text r_2$

Задание	Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу).
Решение	Поместим начало координат в положение равновесия частицы. При этом можно считать, что потенциал представляется в виде:

$\varphi \left(x,y,z\right)\approx \frac<1> \left(\frac<<\partial >^2\varphi ><\partial x^2>x^2+\frac<<\partial >^2\varphi ><\partial y^2>y^2+\frac<<\partial >^2\varphi ><\partial z^2>z^2\right)$

где все производные берутся в точке равновесия. Для устойчивости положительного заряда, необходимо, чтобы потенциальная энергия возрастала по любому из направлений, т.е. вторые производные от по координатам были больше 0 ( Но это противоречит уравнению Лапласа Если ^2\varphi ><\partial x^2>=\ \frac<<\partial >^2\varphi ><\partial y^2>=\ \frac<<\partial >^2\varphi ><\partial z^2>=0," width="186" height="31" />
нужно учесть следующие члены разложения Можно показать, что и в этом случае устойчивое равновесие невозможно.

Разность давлений по разные стороны поверхности, характеризующейся двумя радиусами кривизны R₁ и R₂ в двух перпендикулярных направлениях, связана с коэффициентом поверхностного натяжения s(формула Лапласа):

Капиллярные явления заключаются в изменении уровня жидкости в узких трубках (капиллярах) по сравнению с уровнем жидкости в сообщающихся сосудах. С помощью формулы Лапласа можно получить выражение для высоты подъема жидкости в капилляре:

где g — ускорение свободного падения; а cosq можно вычислить по формуле.

Жидкость, смачивающая стенки капилляра, поднимается, а несмачивающая — опускается.

Уравнение Лапласа — уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так:

$\frac<\partial^2 u> <\partial x^2>+ \frac<\partial^2 u> <\partial y^2>+ \frac<\partial^2 u> <\partial z^2>= 0$

и является частным случаем уравнения Гельмгольца.

Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном пространстве. В двумерном пространстве уравнение Лапласа записывается:

$\frac<\partial^2 u> <\partial x^2>+ \frac<\partial^2 u> <\partial y^2>= 0$

Также и в n-мерном пространстве. В этом случае нулю приравнивается сумма n вторых производных.

С помощью дифференциального оператора

$\triangle = \frac<\partial^2> <\partial x^2>+ \frac<\partial^2> <\partial y^2>+ \frac<\partial^2> <\partial z^2>+ .$

$\triangle u = 0$

— (оператора Лапласа) — это уравнение записывается (для любой размерности) одинаково как

В этом случае размерность пространства указывается явно (или подразумевается).

Уравнение Лапласа относится к эллиптическому виду. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармоническими функциями.

Замечание: всё сказанное выше относится к декартовым координатам в плоском пространстве (какова бы ни была его размерность). При использовании других координат представление оператора Лапласа меняется, и, соответственно, меняется запись уравнения Лапласа (пример — см. ниже). Эти уравнения также называются уравнением Лапласа, однако для устранения неоднозначности терминологии при этом обычно явно добавляется указание системы координат (и, при желании полной ясности, размерности), например: "двумерное уравнение Лапласа в полярных координатах).

Содержание

Другие формы уравнения Лапласа

$\ (r,\theta,\varphi)$

В сферических координатах уравнение имеет вид

$<1 \over r^2> <\partial \over \partial r>\left( r^2 <\partial f \over \partial r>\right) + <\partial \over \partial \theta>\left( \sin \theta <\partial f \over \partial \theta>\right) + <\partial^2 f \over \partial \varphi^2>= 0$

В полярных координатах r, φ уравнение имеет вид

$\frac \frac<\partial> <\partial r>\left(r\frac<\partial u><\partial r>\right) + \frac\frac<\partial ^2 u> <\partial \phi ^2>= 0$

Применение уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа возникает во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики.

Решения уравнения Лапласа

Несмотря на то, что уравнение Лапласа является одним из самых простых в математической физике, его решение сталкивается с трудностями. Особенно трудным бывает численное решение из-за нерегулярности функций и наличия особенностей.

Общее решение

Одномерное пространство

В одномерном вещественном пространстве уравнение Лапласа, сводящееся к равенству нулю второй производной, имеет общим решением линейную функцию:

f(x) = C₁x + C₂

где C₁,C₂ — произвольные постоянные.

Двумерное пространство

Общее решение уравнения Лапласа на двумерном пространстве называется аналитической функцией. Аналитические функции рассматриваются в теории функций комплексного переменного, и решение уравнения Лапласа можно свести к функции комплексного переменного.

Уравнение Лапласа для двух независимых переменных формулируется в следующем виде

$\varphi_<xx> + \varphi_ = 0.\,$

Аналитические функции

Если z = x + iy, и

$f(z) = u(x,y) + iv(x,y),\,$

то условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция f(z) была аналитической:

$u_x = v_y, \quad v_x = -u_y.\,$

И действительная и мнимая части аналитических функций удовлетворяют уравнению Лапласа. Продифференцировав условия Коши — Римана, получаем

$u_<yy> = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x.\,$

А это ни что иное, как уравнение Лапласа для функции u. Точно также показывается, что функция v удовлетворяет уравнению Лапласа.

Трёхмерное пространство

Функция Грина

Задача Дирихле

Задача Дирихле — краевые условия для уравнения Лапласа, когда искомая функция задана на ограниченной области, и известны её значения на границе.

Задача Неймана

Задача Неймана — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода.

Ссылки

Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X
Дж. Шарма, К. Сингх Уравнения в частных производных для инженеров.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Лапласа уравнение" в других словарях:

ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное ур ние с частными производными где u(х, у, z) ф ция независимых переменных х, у, z. Названо по имени франц. учёного П. Лапласа, применившего его в работах по тяготению (1782). К Л. у. приводят мн. задачи физики и механики, в к… … Физическая энциклопедия

ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными 2 го порядкагде, x, y, z независимые переменные, ?(x, y, z) искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом (1782). К уравнению Лапласа приводят многие задачи математической физики (напр., распределение … Большой Энциклопедический словарь

Лапласа уравнение — дифференциальное уравнение с частными производными 2 го порядка . Где х, у, z независимые переменные, φ(х, у, z) искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом (1782). К Лапласа уравнению приводят многие задачи математической физики (например,… … Энциклопедический словарь

ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — однородное дифференциальное уравнение с частными производными вида где функция от пдействительных переменных. Левая часть Л. у. наз. Лапласа оператором от функции и. Регулярные решения Л. у. класса С 2 в нек рой области Dевклидова пространства т … Математическая энциклопедия

Лапласа уравнение — дифференциальное уравнение с частными производными где х, у, z независимые переменные, а u = u(x, y, z) искомая функция. Это уравнение названо по имени П. Лапласа, рассмотревшего его в работах по теории тяготения (1782) … Большая советская энциклопедия

ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы, заменяющие исходную краевую задачу дискретной задачей, содержащей конечное число N неизвестных, нахождение к рых с соответствующей точностью позволяет определить решение исходной задачи с заданной точностью… … Математическая энциклопедия

ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференц. ур ние с частными производными 2 го порядка где х, у, г независимые переменные, и (х, у, г) искомая ф ция. К Л. у. приводит ряд задач физики и техники; ему удовлетворяют, напр., установившаяся темп pa, электрич. потенциал внутри… … Большой энциклопедический политехнический словарь

ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференц. ур ние с частными производными 2 го порядка где х, у, z независимые переменные, ф(х, у, z) искомая функция. Рассмотрено П. Лапласом в 1782. К Л. у. приводят мн. задачи матем. физики (напр., распределение темп р в стационарном процессе) … Естествознание. Энциклопедический словарь

Уравнение Лапласа — Уравнение Лапласа дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так: и является частным случаем уравнения Гельмгольца. Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном… … Википедия

Уравнение в частных производных — Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение (Д)УЧП, также известны как уравнения математической физики, УМФ) дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные… … Википедия

называемое уравнением Лапласа в декартовых координатах.

Это частный случай уравнения Гельмгольца. Его можно рассматривать в трехмерных (1), двумерных (2), одномерных и n-мерных пространствах:

Оператор называется оператором Лапласа (оператор Лапласа эквивалентен последовательному градиенту и расходимости).

Решение уравнения Лапласа

Решения уравнения Лапласа являются гармоническими функциями.

Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Лапласа может быть записано не только в декартовых координатах.

В сферических координатах уравнение Лапласа имеет следующий вид:

В полярных координатах система координат уравнения:

В цилиндрических координатах уравнение имеет вид:

Многие проблемы физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки, приводят к уравнению Лапласа. Таким образом, уравнение Лапласа описывает потенциал сил в области, которая не содержит массы, потенциал электростатического поля - в области, которая не содержит зарядов, температуры во время стационарных процессов и т. Д. стационарная фильтрация подземных вод, возникновение поля вокруг электромагнита, а также стационарное электрическое поле вблизи фарфорового изолятора или электрического кабеля, встроенного в землю. Я имею переменное поперечное сечение, сводящееся к решению трехмерного Лапласа или уравнения Пуассона. Оператор Лапласа играет большую роль в квантовой механике.

Примеры решения проблем

Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами r1 и r2, разность потенциалов между которыми равна

Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом осевой симметрии:

Он имеет решение . Выберем нулевой потенциал на внешнем цилиндре, найдем, получим:

В результате мы имеем:

Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией.

Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу).

Поместите начало координат в положение равновесия частицы. В этом случае мы можем предположить, что потенциал представлен как:

где все производные берутся в точке равновесия.

Для устойчивости положительного заряда необходимо, чтобы потенциальная энергия возрастала в любом из направлений, т. Е. Вторые производные от по координатам были больше .Но это противоречит уравнению Лапласа . Если ( следует учитывать следующие члены разложения .

Читайте также: