Элементы механики жидкостей и газов кратко

Обновлено: 14.05.2024

где ∆F – сила, действующая со стороны жидкости на единицу площади поверхности ∆S. За единицу давления в СИ принят паскаль (Па).

где ρ – плотность жидкости, кг/м 3 ; V – объем погруженной в жидкость части тела, м 3 .

где h – высота столба жидкости.

· Закон Паскаля: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкостью (рис. 8)

Рис. 8. Принцип действия гидравлического пресса

где ρ – плотность жидкости; р – статическое давление; – динамическое давление.

· Коэффициент динамической вязкости жидкости

где R – радиус капилляра длиной l; V – объем вытекаемой жидкости; t – время истечения жидкости.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1.В два колена U-образной трубки налиты вода и масло, разделенные ртутью. Поверхности раздела ртути и жидкостей в обоих коленах находятся на одной высоте. Определить высоту столба воды, если высота столба масла 20 см. Плотность воды 1000 кг/м 3 , плотность масла 900 кг/м 3 .

Решение: Согласно закону Паскаля давление в обоих коленах трубки одинаково

где и – давления в левом и правом коленах; ρ₁ и ρ₂ – плотности воды и масла.

Подставляя выражения для ρ₁ и ρ₂ в равенство (1), получим

Пример 2.Однородное тело плавает на поверхности керосина так, что объем погруженной части составляет 0,92 всего объема тела. Определите объем погруженной части при плавании тела на поверхности воды.

Решение: Обозначим через V объем всего тела, V_п – объем погруженной части тела, плавающего в керосине, V'_п – объем погруженной части тела, плавающего в воде.

На тело, плавающее в керосине, действуют сила тяжести , выталкивающая сила керосина . Из условия плавания следует, что или

Аналогично запишем условие плавания тела в воде

Из уравнений (1) и (2) получим

Пример 3.Цилиндрический сосуд с диаметром основания, равным высоте цилиндра, наполнен доверху водой. Найти разность ΔF сил давления воды на дно и стенку цилиндра. Плотность воды 1000 кг/м 3 , высота цилиндра Н = 20 см.

Решение: Разность сил найдем, отняв от силы давления F₂ воды на стенку силу давления F₁ на дно цилиндра: , где и . Здесь р₁ – давление воды на дно цилиндра, – площадь дна, р₂ – давление воды на стенку и – площадь стенки цилиндра. Поскольку и согласно условию D = H,

Давление воды на дно р₁ определим через плотность и высоту: .

Пример 4.Давление производимое на малый поршень гидравлического пресса, осуществляется посредством рычага (рис. 9), соотношение плеч которого . Какой массы груз может быть поднят большим поршнем, если к длинному плечу рычага приложена сила F = 0,01 кН? Площади поршней S₁ = 10 cм 2 , S₂ = 500 см 2 , КПД пресса η = 0,75.

Решение: Определим вначале, какую силу F₂ развил бы большой поршень, если бы в узлах механизма отсутствовало трение и иные помехи, т.е. если бы КПД был равен 100 %. Согласно формуле гидравлического пресса:

Здесь F₁ – сила, прилагаемая коротким плечом рычага к малому поршню. Эту силу определим, воспользовавшись правило м рычага: рычаг дает выигрыш в силе во столько раз, во сколько его длинное плечо длиннее короткого:

Подставим (2) в (1): .

Рис. 9. Схема гидравлического пресса

Такое усилие развил бы пресс, если бы его КПД был равен 100 %. Но из-за различных помех оно станет меньше и будет:

При равномерном подъеме груза сила тяжести , приложенная к нему, будет уравновешена силой F₀, поэтому или ,

Давление убывает с высотой по показательной функции, обращаясь в нуль только на бесконечно большой высоте.

Гидростатическое давление столба жидкости

Следствием неодинаковости давлений на разных уровнях в жидкостях и газах является наличие выталкивающей силы, определенной законом Архимеда (287-212 гг. до н.э.)

Закон Архимеда: На тело, погруженное в жидкость или газ, и омываемое со всех сторон действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной ему жидкости или газа

Закон Архимеда используется при оценке плавучести и устойчивости кораблей. Для оценки плавучести тел рассматривают соотношение между величиной силы тяжести P и выталкивающей силой F_в.

Условия плавучести:

а) F_B > P – тело плавает на поверхности;

б) P > F_B – тело тонет;

в) P = F_B – безразличное состояние;

г) если же тело плотно лежит на дне, то давление столба жидкости только сильнее прижимает его ко дну.

Мерой плавучести корабля при заданной осадке является водоизмещение корабля (объем вытесненной кораблем воды).

Уравнение неразрывности струи

vS = const или v₁S₁ = v₂S₂

Произведение величины скорости течения несжимаемой жидкости на величину поперечного сечения трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока

При движении жидкостей и газов в них возникают силы внутреннего трения, возникающие между слоями жидкости, испытывающими относительное перемещение.

Свойства жидкости, связанные с наличием сил внутреннего трения, называется вязкостью.

Модель жидкости, сжимаемостью и вязкостью которой пренебрегают, называется идеальной жидкостью.

Всякая реальная жидкость обладает сжимаемостью и вязкостью; для решения задач о движении реальной жидкости гидродинамика пока не имеет общих теоретических методов.

При течении жидкости наблюдаются два ее вида течения:

а) ламинарное (пластинчатое) – движение жидкости параллельными слоями, не перемешиваясь.

б) турбулентное (вихревое) – частицы жидкости движутся по искривленным случайно изменяющимся во времени траекториям.

Ламинарное течение – течение стационарное

Турбулентное течение – течение нестационарное.

Английский учёный Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса Re:

где ρ – плотность жидкости (газа);

v – средняя скорость потока;

ℓ – геометрический размер сечения;

При малых Re – ламинарное течение, при больших – турбулентное.

Величина в уравнении (6) называетсякинематической вязкостью ν:

Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости.

– уравнение Бернулли

Это уравнение связывает изменение давления с изменением скорости течения и геометрической высотой.

Уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения энергии для единицы объема жидкости:

–Е_к энергия единицы объема жидкости;

ρgh – Е_п энергия единицы объема жидкости в поле силы тяжести;

Р – работа силы давления при подъеме единицы объема на единицу высоты;

ρ – называется статистическим давлением;

–называется динамическим давлением.

Скорость истечения из отверстия - формула Торричелли

–

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Элементы механики жидкостей и газов

Гидростатика n. Идеальными называются невязкие и несжимаемые жидкости ( силой трения в жидкости можно пренебречь F тр=0 плотность жидкости ρ=соnst). o Давление столба жидкости высотой h и плотностью вычисляется по формуле: р = ρgh Закон Архимеда n На тело, погруженное в жидкость (газ), действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (газа), вытесненной этим телом:

Стационарное течение жидкости n Движение жидкостей называется течением , а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком. n Установившеесятечение жидкости называют стационарным течением.

n Линиями тока жидкости называются линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости частицы жидкости в этой же точке. υ

υ υ n Линии тока принято проводить так, что густота их больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее.

• Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Уравнение неразрывности ΔЅ1 υ1 ΔЅ2 υ2

ΔЅ1υ1=ΔЅ2υ2 ΔЅ1 υ1 ΔЅ. υ = const ΔЅ2 υ2 Произведение скорости течения идеальной жидкости на поперечное сечение есть величина постоянная для данной трубки тока

Уравнение Бернулли Р 1 ΔЅ1 υ1 h 1 Р 2 ΔЅ2 υ2 h 2

Для произвольно выбранного сечения справедливо уравнение Бернулли: где Р - статическое давление - динамическое давление gh - гидростатическое давление.

Измерение давления 1 n Статическое давление измеряется манометром, установленным перпендикулярно направлению потока. В простейшем случае можно использовать открытый жидкостный манометр.

Измерение давления 2 n Полное давление измеряется манометром, установленным параллельно направлению потока (трубка Пито). Оно превышает статическое давление на величину динамического давления.

Измерение давления 3 n Динамический напор (динамическое давление). Разность полного и статического давлений измеряется комбинацией соответствующих приборов, которая называется напорной трубкой Прандтля. n Особенно часто этот прибор применяется для измерения скорости Рдин газового потока.

Измерение давления 4 Для определения разности двух статических давлений применяется трубка Вентури. Этот Прибор позволяет измерить разность статических давлений в различных сечениях потока. По измеренной разности давлений можно определить скорость потока.

Вязкость n Вязкость (внутреннее трение) — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. n Для перемещения тела в вязкой жидкости к нему необходимо приложить силу, равную по величине силе трения, которая называется силой внутреннего трения.

Z х L υ1 F Δx υ2 υ M Y X Модуль силы внутреннего трения равен

• где - коэффициент пропорциональности, зависящий от природы жидкости, называется вязкость или динамическая вязкость. Величина ∆υ /∆x показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев и называется градиентом скорости. Единица вязкости - Паскаль-секунда [Па. с].

Режимы течения жидкости n Течение жидкости называется ламинарным, если слои жидкости скользят, не перемешиваясь с соседними слоями. n Течение жидкости турбулентное (вихревое) , если в потоке происходит интенсивное образование вихрей и перемешивание жидкости.

Число Рейнольдса n Английский ученый О. Рейнольдс (1842 -1912) установил, что характер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса Rе

где ρ – плотность жидкости, кг/м 3 ; V – объем погруженной в жидкость части тела, м 3 .

где h – высота столба жидкости.

Рис. 8. Принцип действия гидравлического пресса

где ρ – плотность жидкости; р – статическое давление; – динамическое давление.

· Коэффициент динамической вязкости жидкости

где R – радиус капилляра длиной l; V – объем вытекаемой жидкости; t – время истечения жидкости.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решение: Согласно закону Паскаля давление в обоих коленах трубки одинаково

где и – давления в левом и правом коленах; ρ₁ и ρ₂ – плотности воды и масла.

Подставляя выражения для ρ₁ и ρ₂ в равенство (1), получим

Аналогично запишем условие плавания тела в воде

Из уравнений (1) и (2) получим

Давление воды на дно р₁ определим через плотность и высоту: .

Подставим (2) в (1): .

Рис. 9. Схема гидравлического пресса

Такое усилие развил бы пресс, если бы его КПД был равен 100 %. Но из-за различных помех оно станет меньше и будет:

При равномерном подъеме груза сила тяжести , приложенная к нему, будет уравновешена силой F₀, поэтому или ,

Напоминание школьной программы
Давление
– это сила, действующая на единицу площади:
F
p
S
Закон Паскаля
dF
p
dS
Н
p 2 Па
м
Давление в любой точке покоящегося газа или
жидкости одинаково по всем направлениям и
одинаково передаётся по всему объёму
Гидростатическое давление
pг g h
Закон Архимеда На тело, погружённое в жидкость или газ,
действует выталкивающая сила, равная весу
вытесненной телом жидкости (газа):
FA g Vпогр.

Механика жидкостей и газов
(гидроаэродинамика)
– это раздел механики,
в котором изучаются законы равновесия и
движения жидкой (и газообразной) среды и
её взаимодействия с телами, обтекаемыми
этой средой
– использует единый подход
для описания поведения жидкостей и газов
– жидкости и газы считаются несжимаемыми
– отвлекаются от молекулярного строения жидкости или газа
и рассматривают её как сплошную, непрерывную среду

Способ описания в гидроаэродинамике
Частица среды – малый элемент объёма среды, размеры
которого много больше межмолекулярных
расстояний, но в то же время столь малы, что в
пределах её параметры потока (давление,
скорость течения) можно считать одинаковыми
Для описания течения жидкости задают поле скоростей
частиц жидкости, то есть зависимость скоростей
частиц
от
координат (радиус-вектора) и времени: v f (r ; t )

Течение установившееся (стационарное), если:
скорость потока в данной точке не зависит от времени
Линия тока – мысленно проведённая линия, касательная к
которой в каждой точке совпадает с направлением
скорости частиц v
Трубка тока – поверхность, образованная линиями тока,
проведёнными через все точки замкнутого контура
При установившемся течении
линии тока не изменяются,
и частицы жидкости не
пересекают
поверхность
трубки тока, так как линия
тока
совпадает
с
траекторией частицы

Уравнение неразрывности
Рассматривается стационарное течение несжимаемой жидкости
dV1 dV2
S1 dl1 S 2 dl 2
dl1 v1 dt
dl2 v2 dt
S1 v1 dt S 2 v 2 dt
S1 v1 S 2 v 2
7

Объёмный расход
– объём, протекающий через сечение
за единицу времени:
dV S v dt
Qv
S v
dt
dt
3
Если сечения трубки тока нельзя
м
Qv
считать малыми, объёмный расход: Qv v dS
с
S
Если течение стационарно, объёмный расход в любом сечении трубки
тока одинаков – в этом смысл уравнения неразрывности
Массовый расход – масса жидкости, протекающая через
сечение за единицу времени:
dm dV
Qm
Qv
dt
dt
Qm кг
с
8

Уравнение Бернулли (для идеальной жидкости)
Жидкость идеальная, если нет
внутреннего трения (вязкости)
Состояние между этими точками
не изменяется
Течение стационарно
Работа внешних сил
давления идёт только на
увеличение механической
энергии массы жидкости
dm dV
9

Уравнение Бернулли
Работа внешних сил давления идёт
только на увеличение механической
энергии массы жидкости
dAвнеш. dW W2 W1
dm dV
dA2 p2 dV
dA1 F1 dl1 p1 S1 dl1 p1 dV
dm v12
W1
dm g h1
2
dm v 22
W2
dm g h2
2
10

Уравнение Бернулли
dAвнеш. dW W2 W1
dA1 p1 dV
dA2 p2 dV
dm v12
W1
dm g h1
2
dm v 22
W2
dm g h2
2
dAвнеш. dA1 dA2 p1 p2 dV
v 22 v12
W
W
dm
g
h
h
2
1
2
1
2
v2 v2
p1 p2 dV dm 2 1 g h2 h1
2
11

Уравнение Бернулли
v2 v2
2
1
p1 p2 dV dm
g h2 h1
2
dm v 22 v12
p1 p2
g h2 h1
dV
2
dm dV
v2 v2
p1 p2 2 1 g h2 h1
2
12

Уравнение Бернулли
v2 v2
2
1
p1 p2
g h2 h1
2
2
v1
p1
g h1 p2
2
p
v2
2
Статическое
давление
2
v2
g h2
2
g h const
Динамическое
давление
Гидростатическое давление
13

Уравнение Бернулли
В любом сечении трубки тока
сумма статического,
динамического
и гидростатического
давлений остаётся постоянной
p
v2
2
g h const
В горизонтальной трубе в местах сужения, где скорость
потока больше, статическое давление падает
14

Вязкость (внутреннее трение)
Во всех реальных жидкостях и газах при перемещении одного
слоя относительно другого возникают силы трения
Со стороны слоя, движущегося более быстро, на слой, движущийся
медленнее, действует ускоряющая сила
Со стороны слоя, движущегося медленнее, на более быстрый слой
действует тормозящая сила
Это силы внутреннего трения
Они направлены по касательной к поверхности слоёв
F
19

F
Вязкость (внутреннее трение)
Рассматриваются два слоя
жидкости (газа) площади ΔS,
отстоящие друг от друга на
расстояние Δz и движущиеся
перпендикулярно оси OZ с
разными скоростями
Величина силы внутреннего трения ,
действующей между слоями,
пропорциональна площади
соприкосновения движущихся слоёв и
градиенту скорости (закон Ньютона):
Закон
dv
F S
Ньютона
dz
dv
v
lim
– градиент скорости
dz z 0 z
показывает, как быстро
меняется скорость при
переходе от слоя к слою
20

Вязкость (внутреннее трение)
Вязкость сильно зависит от температуры
E
Для жидкостей (по Френкелю) Aexp
kT
Здесь ΔE – энергия, которую надо сообщить
молекуле жидкости, чтобы она могла
перескочить из одного положения
равновесия в соседнее (энергия
активации)
Вязкость газов обусловлена переносом импульса из одного слоя в
другой слой, происходящим за счет переноса вещества при
хаотическом движении молекул газа
Вязкость жидкости в основном определяется силами взаимодействия
молекул между собой (силами сцепления)
22

Вязкость (внутреннее трение)
dv
Закон
F S
Ньютона
dz
F
p F t
dv
p
S t
dz
Коэффициент вязкости η численно равен импульсу, перенесенному
между слоями жидкости или газа единичной площади за единицу
времени при единичном градиенте скорости
23

Режимы течения
Ламинарное (слоистое)
без перемешивания слоёв
Турбулентное (вихревое) – с перемешиванием
слоёв. В отдельных точках потока скорости
отдельных частиц перпендикулярны потоку
24

Число Рейнольдса
С увеличением скорости обтекания
тела ламинарное течение становится
неустойчивым, хаотичным и
переходит в турбулентное
Характер течения определяется числом Рейнольдса:
средняя скорость потока
кинематическая вязкость
Re
v D
v D
характерный размер (в случае течения
жидкости в трубе – диаметр трубы)
25

Число Рейнольдса. Принцип подобия
Re
v D
v D
Re 1
Cуществует критическое число Рейнольдса, при превышении которого
происходит переход из ламинарного режима в турбулентный
Для случая течения жидкости в трубе Reкр. 10
Re 1000 Турбулентное
Если для двух течений разных размеров числа Рейнольдса
одинаковы, то такие течения подобны, и возникающие в
них явления могут быть получены одно из другого
изменением масштаба
26

Методы определения вязкости
1) Метод Стокса
Fc 6 r v Сила Стокса
4
3
FАрх. V ж g ж r g
3
Fтяж
4
3
mg шVg ш r g
3
По второму закону Ньютона
ma=Fтяж–FАрх–FС
Если движение установившееся, а=0
27

Метод Стокса
ma=Fтяж–FАрх–FС=0
Fc 6 r v
4
FАрх. ж r 3 g
3
Fтяж
4
ш r 3 g
3
4
3
6 r v ш ж r g
3
d 2 g ш ж
18 v
28

Методы определения вязкости:
2) Формула Пуазейля
Рассматривается ламинарный параллельный поток в
цилиндрической трубе (капилляре) при медленном
протекании газа
Слои – бесконечно тонкие цилиндрические поверхности,
вложенных одна в другую
29

Рассматривается установившееся течение
Суммарная сила
давления на
цилиндр
уравновесится
силой вязкости:
Fд. Fвязк. 0
Fд. p1 p2 r 2
Fвязк.
dv
p1 p2 r 2 r l 0
dr
2
dv
S
dr
S 2 r l
30

dv
p1 p2 r 2 r l 0
dr
2
dv
p1 p2 r
dr
2 l
p1 p2 2
v r
r C
4 l
Граничные условия:
p1 p2 2
R r 2
v r
v R 0
4 l
31

Зависимость скорости частиц жидкости
от расстояния до оси капилляра
p1 p2 2
2
R r
v r
4 l
Зависимость
квадратичная
(параболическая)
32

Вывод формулы Пуазейля
Объем жидкости,
протекаеющий через
кольцевую площадку dS
за время Δt:
p1 p2 2
2
R r
v r
4 l
dV dS v t
dS 2 r dr
dV
dQ
2 r dr v r – объемный расход через площадку dS
t
R
Q 2 r v r dr
0
– объемный расход через сечение всей трубы
33

Вывод формулы Пуазейля
R
p1 p2 2
Q 2 r v r dr
v r
R r2
4 l
0
p1 p2 R 2
R r 2 r dr
Q 2 r v r dr
R
2 l 0
0
p1 p2 R 2
p1 p2 R
3
R r r dr
Q
2 l 0
2 l
2
2
r4
R
r
2
4
0
p1 p2 R 4 R 4
Q
2 l
2
4
34

4
p1 p2 R 4 R 4
p
p
R
1
2
Q
Q
2 l 2
4
8 l
Формула Пуазейля:
p R
Q
8 l
4
Формула Пуазейля позволяет экспериментально
определить динамическую вязкость жидкости (газа),
измерив объёмный расход и зная разность давлений на
концах капилляра и его геометрические параметры
35

Читайте также: