Элементы квантовой механики кратко

Обновлено: 05.07.2024

Квантовая механика часто противоречит нашим понятиям о здравом смысле. А всё потому, что здравый смысл подсказывает нам вещи, которые берутся из повседневного опыта, а в своем повседневном опыте нам приходится иметь дело только с крупными объектами и явлениями макромира, а на атомарном и субатомном уровне материальные частицы ведут себя совсем иначе. Принцип неопределенности Гейзенберга как раз и очерчивает смысл этих различий. В макромире мы можем достоверно и однозначно определить местонахождение (пространственные координаты) любого объекта (например, этой книги). Не важно, используем ли мы линейку, радар, сонар, фотометрию или любой другой метод измерения, результаты замеров будут объективными и не зависящими от положения книги (конечно, при условии вашей аккуратности в процессе замера). То есть некоторая неопределенность и неточность возможны — но лишь в силу ограниченных возможностей измерительных приборов и погрешностей наблюдения. Чтобы получить более точные и достоверные результаты, нам достаточно взять более точный измерительный прибор и постараться воспользоваться им без ошибок.

Теперь если вместо координат книги нам нужно измерить координаты микрочастицы, например электрона, то мы уже не можем пренебречь взаимодействиями между измерительным прибором и объектом измерения. Сила воздействия линейки или другого измерительного прибора на книгу пренебрежимо мала и не сказывается на результатах измерений, но чтобы измерить пространственные координаты электрона, нам нужно запустить в его направлении фотон, другой электрон или другую элементарную частицу сопоставимых с измеряемым электроном энергий и замерить ее отклонение. Но при этом сам электрон, являющийся объектом измерения, в результате взаимодействия с этой частицей изменит свое положение в пространстве. Таким образом, сам акт замера приводит к изменению положения измеряемого объекта, и неточность измерения обусловливается самим фактом проведения измерения, а не степенью точности используемого измерительного прибора. Вот с какой ситуацией мы вынуждены мириться в микромире. Измерение невозможно без взаимодействия, а взаимодействие — без воздействия на измеряемый объект и, как следствие, искажения результатов измерения.

О результатах этого взаимодействия можно утверждать лишь одно:

или, говоря математическим языком:

где Δx и Δv — неопределенность пространственного положения и скорости частицы соответственно, h — постоянная Планка, а m — масса частицы.

Соответственно, неопределенность возникает при определении пространственных координат не только электрона, но и любой субатомной частицы, да и не только координат, но и других свойств частиц — таких как скорость. Аналогичным образом определяется и погрешность измерения любой такой пары взаимно увязанных характеристик частиц (пример другой пары — энергия, излучаемая электроном, и отрезок времени, за который она испускается). То есть если нам, например, удалось с высокой точностью измерили пространственное положение электрона, значит мы в этот же момент времени имеем лишь самое смутное представление о его скорости, и наоборот. Естественно, при реальных измерениях до этих двух крайностей не доходит, и ситуация всегда находится где-то посередине. То есть если нам удалось, например, измерить положение электрона с точностью до 10 –6 м, значит мы одновременно можем измерить его скорость, в лучшем случае, с точностью до 650 м/с.

Картина квантовых событий в микромире, рисуемая уравнением Шрёдингера, такова, что частицы уподобляются отдельным приливным волнам, распространяющимся по поверхности океана-пространства. Со временем гребень волны (соответствующий пику вероятности нахождения частицы, например электрона, в пространстве) перемещается в пространстве в соответствии с волновой функцией, являющейся решением этого дифференциального уравнения. Соответственно, то, что нам традиционно представляется частицей, на квантовом уровне проявляет ряд характеристик, свойственных волнам.

Согласование волновых и корпускулярных свойств объектов микромира (см. Соотношение де Бройля) стало возможным после того, как физики условились считать объекты квантового мира не частицами и не волнами, а чем-то промежуточным и обладающим как волновыми, так и корпускулярными свойствами; в ньютоновской механике аналогов таким объектам нет. Хотя и при таком решении парадоксов в квантовой механике всё равно хватает (см. Теорема Белла), лучшей модели для описания процессов, происходящих в микромире, никто до сих пор не предложил.

Известны 4 механики: классическая или ньютоновская механика, релятивиская механика (теория относительности), квантовая механика и релятивиская квантовая механика. Первые две механики изучались в I - ой части курса физики, а сейчас переходим к изучению квантовой механики.

Квантовая механика - это механика микромира, механика движения микрочастиц в микрополях - атомах, молекулах, кристаллах. Ее можно рассматривать как основную теорию атомных явлений.

Опытные факты, на которых она основывается, отражают физические процессы, почти полностью лежащие за пределами непосредственного человеческого восприятия. Поэтому нет ничего удивительного в том, что теория содержит физические понятия, чуждые повседневному опыту.

Начало создания последовательной теории атомных явлений можно отнести к 1924 г., когда Луи де Бройль предположил, что природа вещества также является двойственной (корпускулярной и волновой).

9.1. Гипотеза де Бройля. Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма материи. Опыт Девиссона- Джермера

В 1924 г. де Бройль выдвинул гипотезу (предположение), что дуализм (двойственность) не являются особенностью одних только оптических явлений (см. лекцию 8), а имеет универсальное значение, т.е. де Бройль выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю каждой частице, независимо от ее природы, следует поставить в соответствии волну, длина которой l связана с импульсом частицы соотношением (формула де Бройля)

v=E/h или w=2pv=E/ (2)

т.е. определяется энергией Е частицы.

Найдем длину волны де Бройля, соответствующую движущемуся электрону. Кинетическая энергия, приобретенная электроном в ускоряющем поле равна

Из (1) и (4) следует (учитывая, что е=1.6×10 -19 Кл, m=9.1×10 -31 кг, напряжение U выражается в вольтах )

В обычных электронных приборах используют напряжение 1¸10 4 В.

Соответствующие длины волн летящих электронов составляют 10¸0.1 , т.е. изменяются в диапазоне длин волн обычных рентгеновских лучей (см. параграф 2.5).

По гипотезе де Бройля не только фотоны [см.(8.4)], но и все "обыкновенные частицы" (электроны, протоны, нейтроны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в явлениях интерференции, дифракции.

Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. Девиссон и Джермер в 1927 г. наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.

источник е Узкий пучок электронов направлялся на поверхность

монокристалла никеля. Отраженные электроны

улавливались цилиндрическим электродом (см. рис.1),

Ni присоединенным к гальванометру. Интенсивность

Рис. 1 отраженного пучка оценивалась по силе тока, текущего

через гальванометр. Ожидали получить дифракционную

картину, аналогичную картине возникающей при дифракции рентгеновских лучей на том же кристалле, поскольку длина волны де Бройля для электронов изменялась в диапазоне длин волн рентгеновских лучей. Ожидание подтвердилось.

Согласно формуле Вульфа-Брегга [ см. лекции 4, 5 формула (13) ] условие дифракционного максимума имеет вид

2dsinq=ml , (6)

где d - расстояние между атомными плоскостями, q - угол скольжения, m=1, 2, 3.

Для никеля d=2.03 , опыт проводился при q =80°; с учетом этого и формулы (5) из (6) следует

Все это подтвердилось на опыте, особенно при больших значениях m (m=6, 7, 8). При определенных дискретных напряжениях, определяемых согласно (7), гальванометр фиксировал максимальный ток (рис.2). I

Итак, опыт Девиссона-Джермера подтвердил Рис.2

гипотезу де Бройля - движущиеся электроны ведут

опыты, подтверждающие волновые свойства микромира.

Заметим, что волны де Бройля имеют специфическую квантовую природу, не имеющую аналогии с волнами в классической физике. т.е. они "не похожи ни на что из того, что вам когда-нибудь приходилось видеть" (Фейнман).

В классической физике "понять" означало составить себе наглядный образ объекта или процесса. Квантовую физику нельзя понять в таком смысле слова и поэтому следует отказаться от попыток строить наглядные модели поведения квантовых объектов.

9.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Попытаемся определить значение координаты х

X Рис.3свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути

щель шириной Dх, расположенную перпендикулярно

Dх р к направлению движения частицы.

точное значение, равное 0, так что неопределенность

импульса Dрх=0, зато координата х частицы является

совершенно неопределенной. В момент прохождения

частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность Dх, но это достигается ценой утраты определенности значения рх. Действительно, вследствии дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах некоторого угла 2j, где j - угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Таким образом, появляется неопределенность импульса

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели шириной Dх соответствует угол j , для которого [ cм. (4.8) при b=Dх и m=1]

sinj=l/ Dх. (9)

Отсюда с учетом (1) получается соотношение

В общем случае соотношение

называют соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Из него следует, что чем точнее определена координата (Dх мало, т.е. узкая щель), тем больше неопределенность в импульсе частицы Dрх ³h/Dх. Точность определения импульса будет возрастать с увеличением ширины щели Dх [ cм. (9), (8)] и при Dх®¥ не будет наблюдаться дифракционная картина, и поэтому неопределенность импульса Dрх будет такой же, как и до прохождения частицы через щель, т.е. Dрх=0. Но в этом случае не определена координата х частицы, т.е. Dх®¥.

Невозможность одновременно точно определить координату и импульс (скорость) не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов. Соотношение неопределенности является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Выразим (11) в виде

Из (13) следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости. Для пылинки массой 10 -12 кг и линейными размерами 10 -6 м, координата которой определена с точностью до 0.01 от ее размеров (т.е. Dх=10 -8 м) неопределенность скорости согласно (13) Dvх=6.62×10 -31 /(10 -8 ×10 -12 )=6.62×10 -14 м/c, т.е. будет ничтожно малой. Т. о. для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли, координата и скорость макротел могут быть измерены достаточно точно.

В квантовой механике рассматривается также соотношение неопределенностей между энергией частицы Е и временем t нахождения частицы в данном энергетическом состоянии (или времени наблюдения за состоянием частицы). Оно аналогично (11) и имеет вид

Из (14) следует, что частота излучения фотона также должна иметь неопределенность

т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой v±Dv. Действительно, опыт показывает, что все спектральные линии размыты.

9.3.Волновая функция и ее статистический смысл

Мы привыкли к тому, что физически реальное - измеримо. Бор и Гейзенберг сделали обратное высказывание: " Принципиально неизмеримое - физически нереально." Поэтому "не надо говорить о вещах, которые невозможно измерить" (Фейнман). Поскольку из соотношения неопределенностей следует, что частица не имеет одновременно импульс и координату, то не следует об этом и говорить. А "говорить" следует о волновой функции, которая описывает микросостояние системы, ее волновые свойства.

Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну. Известно [cм. (1.5), (1.6)], что плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х описывается уравнением

или в экспоненциальной форме

Заменив в соответствии с (1) и (2) w и k=2p/l через Е и p, уравнение волны де Бройля для свободной частицы пишут в виде

(в квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет çY÷ 2 , то это [cм.(16)] несущественно).

Функцию Y называют волновой функций или пси-функцией. Она, как правило, бывает комплексной.

Интепретацию волновой функции дал в 1926 г. Борн: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того , что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

dP=çY÷ 2 dV=YY * dV (17)

где Y * - комплексно - сопряженная волновая функция.

Величина çY÷ 2 =YY * = dP/ dV - имеет смысл плотности вероятности.

Интеграл от (17), взятый по всему пространству, должен равняться единице (вероятность достоверного события Р=1).

Выражение (18) называют условием нормировки.

Отметим еще раз, что волновая функция описывает микросостояние частицы, ее волновые свойства и она позволяет ответить на все вопросы, которые имеет смысл ставить. Например, найти энергию и импульс частицы. Для этого следует вычислить следующие частные производные Y по координате х и времени t:

9.4.Уравнение Шредингера для стационарных состояний

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение

где m - масса частицы, - мнимая единица, U - потенциальная энергия частицы, D - оператор Лапласа [ см. (1.10)].

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию Y(x, y, z, t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.

Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z) exp[-i(E/ )t] (21)

В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид

где Е, U - полная и потенциальная энергия, m - масса частицы.

Следует заметить, что исторически название "волновой функции" возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений.

9.5. Собственные функции и собственные значения. Свободная частица

Функции Y, удовлетворяющие уравнению Шредингера при данных U, называются собственными функциями.

Значения Е, при которых существуют решения уравнения (22), называются собственными значениями.

В качестве примера определим y и Е для свободной частицы.

Свободной называют частицу, на которую не действуют силы, т.е. . Cледовательно, U(x)=const и ее можно принять равной нулю. Таким образом, в случае свободного движения частицы, ее полная энергия совпадает с кинетической, а скорость . Направим ось Х вдоль вектора . Тогда (22) можно записать в виде

Прямой подстановкой можно убедится, что частным решением этого уравнения является функция y(х)=Аexp(ikx), где А=сonst, k=const c собственным значением энергии

C учетом (21) волновая функция

Функция (25) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля [cм. (16)].

Из (24) следует, что зависимость энергии от импульса

Е= 2 k 2 /(2m)=Рх 2 /(2m)=mv 2 /2 (26)

оказывается обычной для нерелятивиских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства

çy÷ 2 =yy * =A 2 ,

т.е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

9.6. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме"

Такая "яма" описывается потенциальной энергией вида

0 l х При таком условии частица не проникает за

пределы "ямы", т.е. y(0)= y(l)=0. (27)

В пределах ямы (0 2 = . Общее решение (28)

y(х)=Аsinkx+Bcoskx (29)

Так как согласно (27) ψ(0)=0, то В=0, тогда

y(х)=Аsinkx . (30)

Условие (27) y(l)=Аsinkl=0 выполняется только при kl=pn, где n=1,2. целые числа, т.е. необходимо, чтобы

Из (29) и (31) следует, что

Таким образом, энергия в "потенциальной яме" принимает лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еn называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни, называется главным квантовым числом.

Заметим, что n=1 cоответствует минимальная энергия Е1¹0.

Подставив в (30) значения k из (31), найдем собственные функции

Постоянную А найдем из условия нормировки (18), которое для данного случая имеет вид

В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид

Из рис. следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находится в середине "ямы", в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траектории частицы в квантовой механике несостоятельны.

9.7. Квантовый осциллятор

Классическим осциллятором в классической механике называли частицу массой m, колеблющуюся с частотой w0=Ök/m под действием упругой силы F=-kx.

Потенциальная энергия такой частицы U=kx 2 /2=m x 2 /2; в точках с координатами ±хmax она равна полной энергии Е. Т.о., энергия частицы могла принимать любые значения, т.е. изменяться непрерывно (рис.6). E

В квантовой механике понятие силы не используется, U Т

поэтому квантовый осциллятор следует определить как

частицу с потенциальной энергией

U=kx 2 /2=m x 2 /2, (34) Рис.6

Подставляя (34) в (22) и учитывая, что частица движется только вдоль одной прямой (вдоль оси х), получим

Решая уравнение (35), можно получить, что энергия (энергетический уровень) частицы принимает только дискретные значения (квантуется).

n=0,1,2. квантовые числа.

Наименьшее значение энергии E0= w0/2 определяется только собственной частотой w0 и ее невозможно отнять у частицы никаким охлаждением, она сохранилась бы и при Т=0 К.

Из (36) следует, что уровни находятся на равных расстояниях друг от друга

т.е. уровни эквидистантны [см. рис. 7, где на границе с потенциальной кривой U(x) U(±хmax)=Еn]. При больших квантовых числах

n DЕ/Еn=1/(n+1/2)®0, т.е. происходит

относительное сближение энергетических уровней

и получаются результаты, близкие к результатам

классического рассмотрения, когда энергия

частицы может изменяться непрерывно, и,

Рис. 7 В этом заключается принцип соответствия,

сформулированный Бором в 1923 г.:

При больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответсвовать выводам и результатам классической механики.

Более общая трактовка принципа соответствия заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения. Причем в определенных, предельных случаях, новая теория переходит в старую.


Если Вы вдруг поняли, что подзабыли основы и постулаты квантовой механики или вообще не знаете, что это за механика такая, то самое время освежить в памяти эту информацию. Ведь никто не знает, когда квантовая механика может пригодиться в жизни.

Зря вы усмехаетесь и ехидствуете, думая, что уж с этим предметом вам в жизни вообще никогда не придется сталкиваться. Ведь квантовая механика может быть полезной практически каждому человеку, даже бесконечно далекому от нее. Например, у Вас бессонница. Для квантовой механики это не проблема! Почитайте перед сном учебник – и Вы спите крепчайшим сном странице уже эдак на третьей. Или можете назвать так свою крутую рок группу. Почему бы и нет?

Шутки в сторону, начинаем серьезный квантовый разговор.

С чего начать? Конечно, с того, что такое квант.

Квант

Квант (от латинского quantum – ”сколько”) – это неделимая порция какой-то физической величины. Например, говорят - квант света, квант энергии или квант поля.


Квантовая механика для "чайников"

Как механика может быть квантовой?

Как Вы уже заметили, в нашем разговоре мы много раз упоминали о частицах. Возможно, Вы и привыкли к тому, что свет – это волна, которая просто распространяется со скоростью с. Но если посмотреть на все с точки зрения квантового мира, то есть мира частиц, все изменяется до неузнаваемости.

Квантовая механика – это раздел теоретической физики, составляющая квантовой теории, описывающая физические явления на самом элементарном уровне – уровне частиц.

Действие таких явлений по величине сравнимо с постоянной Планка, а классическая механика Ньютона и электродинамика оказались совершенно непригодными для их описания. Например, согласно классической теории электрон, вращаясь с большой скоростью вокруг ядра, должен излучать энергию и в конце концов упасть на ядро. Этого, как известно, не происходит. Именно поэтому и придумали квантовую механику – открытые явления нужно было как-то объяснить, и она оказалась именно той теорией, в рамках которой объяснение было наиболее приемлемым, а все экспериментальные данные "сходились".

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Немного истории

Зарождение квантовой теории произошло в 1900 году, когда Макс Планк выступил на заседании немецкого физического общества. Что тогда сообщил Планк? А то, что излучение атомов дискретно, а наименьшая порция энергии этого излучения равна

Наименьшая порция энергии излучения атома

Где h - постоянная Планка, ню - частота.

Затем Альберт Эйнштейн, введя понятие “квант света” использовал гипотезу Планка для объяснения фотоэффекта. Нильс Бор постулировал существование у атома стационарных энергетических уровней, а Луи де Бройль развил идею о корпускулярно-волновом дуализме, то есть о том, что частица (корпускула) обладает также и волновыми свойствами. К делу присоединились Шредингер и Гейзенберг, и вот, в 1925 году публикуется первая формулировка квантовой механики. Собственно, квантовая механика – далеко не законченная теория, она активно развивается и в настоящее время. Также следует признать, что квантовая механика с ее допущениями не имеет возможности объяснить все стоящие перед ней вопросы. Вполне возможно, что на смену ей придет более совершенная теория.


При переходе от мира квантового к миру привычных нам вещей законы квантовой механики естественным образом трансформируются в законы механики классической. Можно сказать, что классическая механика – это частный случай квантовой механики, когда действие имеет место быть в нашем с Вами привычном и родном макромире. Здесь тела спокойно движутся в неинерциальных системах отсчета со скоростью, гораздо меньшей скорости света, и вообще - все вокруг спокойно и понятно. Хочешь узнать положение тела в системе координат – нет проблем, хочешь измерить импульс – всегда пожалуйста.

Совершенно иной подход к вопросу имеет квантовая механика. В ней результаты измерений физических величин носят вероятностный характер. Это значит, что при изменении какой-то величины возможно несколько результатов, каждому из которых соответствует определенная вероятность. Приведем пример: монетка крутится на столе. Пока она крутится, она не находится в каком-то определенном состоянии (орел-решка), а имеет лишь вероятность в одном из этих состояний оказаться.

Здесь мы плавно подходим к уравнению Шредингера и принципу неопределенности Гейзенберга.

Уравнение Шредингера

Согласно легенде Эрвин Шредингер, в 1926 году выступая на одном научном семинаре с докладом на тему корпускулярно-волнового дуализма, был подвергнут критике со стороны некоего старшего ученого. Отказавшись слушать старших, Шредингер после этого случая активно занялся разработкой волнового уравнения для описания частиц в рамках квантовой механики. И справился блестяще! Уравнение Шредингера (основное уравнение квантовой механики) имеет вид:

Данный вид уравнения – одномерное стационарное уравнение Шредингера – самый простой.

Здесь x - расстояние или координата частицы, m - масса частицы, E и U - соответственно ее полная и потенциальная энергии. Решение этого уравнения – волновая функция (пси)

Волновая функция – еще одно фундаментальное понятие в квантовой механике. Так, у любой квантовой системы, находящейся в каком-то состоянии, есть волновая функция, описывающая данное состояние.

Например, при решении одномерного стационарного уравнения Шредингера волновая функция описывает положение частицы в пространстве. Точнее говоря, вероятность нахождения частицы в определенной точке пространства. Иными словами, Шредингер показал, что вероятность может быть описана волновым уравнением! Согласитесь, до этого нужно было додуматься!


Принцип неопределенности Гейзенберга

Но почему? Почему мы должны иметь дело с этими непонятными вероятностями и волновыми функциями, когда, казалось бы, нет ничего проще, чем просто взять и измерить расстояние до частицы или ее скорость.

Все очень просто! Ведь в макромире это действительно так – мы с определенной точностью измеряем расстояние рулеткой, а погрешность измерения определяется характеристикой прибора. С другой стороны, мы можем практически безошибочно на глаз определить расстояние до предмета, например, до стола. Во всяком случае, мы точно дифференцируем его положение в комнате относительно нас и других предметов. В мире же частиц ситуация принципиально иная – у нас просто физически нет инструментов измерения, чтобы с точностью измерить искомые величины. Ведь инструмент измерения вступает в непосредственный контакт с измеряемым объектом, а в нашем случае и объект, и инструмент – это частицы. Именно это несовершенство, принципиальная невозможность учесть все факторы, действующие на частицу, а также сам факт изменения состояния системы под действием измерения и лежат в основе принципа неопределенности Гейзенберга.

Приведем самую простую его формулировку. Представим, что есть некоторая частица, и мы хотим узнать ее скорость и координату.

В данном контексте принцип неопределенности Гейзенберга гласит: невозможно одновременно точно измерить положение и скорость частицы. Математически это записывается так:

Принцип неопределенности Гейзенберга

Здесь дельта x - погрешность определения координаты, дельта v - погрешность определения скорости. Подчеркнем – данный принцип говорит о том, что чем точнее мы определим координату, тем менее точно будем знать скорость. А если определим скорость, не будем иметь ни малейшего понятия о том, где находится частица.

На тему принципа неопределенности существует множество шуток и анекдотов. Вот один из них:

Полицейский останавливает квантового физика.
- Сэр, Вы знаете, с какой скоростью двигались?
- Нет, зато я точно знаю, где я нахожусь


Надеемся, что эта статья помогла Вам немного размять мозги, вспомнить хорошо забытое старое, а может быть и узнать что-то новое. Здесь мы постарались рассказать о квантовой механике просто, понятно и по возможности интересно. Конечно, данная тема не может быть раскрыта в рамках одной статьи, поэтому о парадоксах, нерешенных задачах, черных дырах и котах Шредингера мы поговорим в самое ближайшее время. А пока, чтобы закрепить знания, предлагаем посмотреть тематическое видео. Возможно вас также заинтересуют правила оформления чертежей по ЕСКД.

И, конечно, напоминаем Вам! Если вдруг по какой-то причине решение уравнения Шредингера для частицы в потенциальной яме не дает Вам уснуть, обращайтесь к нашим авторам – профессионалам, которые были взращены с квантовой механикой на устах!

В этой и предыдущих главах мы рассматривали явления, характерные для микромира; классическая механика не могла правильно их описать.

Сейчас мы кратко остановимся на существе квантовой (волновой) механики, учитывающей особенности микрочастиц. Напомним, что микрочастице присуща волна де Бройля, длина которой равна:

где h — постоянная Планка, р — импульс, Wk — кинетическая энергия, m —, масса частицы; скорость частицы v 2

При этом, например, произведение

где dV — элемент объема, определяет вероятность нахождения частицы в элементе объема dV. Однако задача такого общего характера требует сложных вычислений. Мы рассмотрим более простые, но важные для понимания существа вопроса случаи нахождения вероятности стационарного (независимого от времени) состояния микрочастицы, зависящего только от одной пространственной координаты х.

В этом случае уравнение Шредингера значительно упрощается; частные производные заменяются полными (так как имеется только одна переменная), и исчезает зависимость от времени; уравнение принимает такой вид;

(14.6)

здесь т, Wp и W — соответственно масса, потенциальная и полная энергия микрочастицы, h — постоянная Планка.

При этом на пси-функцию наложены следующие ограничения:

1) релятивистское движение (со скоростью, близкой к скорости света) не рассматривается, так что масса частицы постоянна;

2) пси-фунКция непрерывна, однозначна и имеет непрерывную производную;

3) интеграл имеет конечное значение.

Смысл последнего ограничения таков: этот интеграл пропорционален вероятности нахождения частицы где-нибудь на оси абсцисс. Так как эта вероятность равна единице (частица достоверно находится на этой оси), то пропорциональный ей интеграл должен иметь конечное значение. Зная пси-функцию, можно также вычислить импульс и энергию частицы, т. е. описать ее состояние. Совпадение вычисленных величин с опытом всегда очень хорошее, чем и оправдывается введение несколько абстрактной пси-функции.

Конечно, опыт должен проводиться с очень большим числом частиц, так как вероятностные предсказания отвечают действительности только при большом числе испытаний. Так, при фотографировании дифракционной картины, создаваемой электронами при очень слабом их потоке (например, при силе тока I=10 -9 А), требуется довольно длительная экспозиция (t≈15 мин); при этом в испытании участвует число электронов, равное:

т. е. очень большое число микрочастиц. Именно поэтому картина электронной дифракции прекрасно отвечает предсказаниям квантовой механики.

Так как уравнение Шредингера линейно, то его решения подчиняются принципу суперпозиции, что существенно при исследовании сложных микросистем.

В заключение отметим, что уравнение Шредингера применимо и к макротелам. Но так как в этом случае волновые свойства вещества проявляются чрезвычайно слабо, то решения уравнения Шредингера не дают ничего нового по сравнению с классическими решениями — в этом проявляется принцип соответствия, сформулированный Бором (см. § 13.3).

При решении уравнения (14.6), конечно, должны быть заданы граничные (а при общей постановке задачи и начальные) условия, характерные для данной задачи.

Рассмотрим теперь несколько примеров нахождения ψ-функции и реальных характеристик изучаемых стационарных состояний микрочастицы.

1. Свободная частица. У свободной частицы потенциальная энергия отсутствует, скорость постоянна. При движении ее по оси абсцисс уравнение (14.6) принимает вид:

(14.7)

Полная энергия частицы — ее кинетическая энергия — постоянна во времени. Поэтому уравнение (14.7) — хорошо знакомое колебательное уравнение. Его частное решение

(14.8)

представляет пространственное колебательное состояние, распределенное вдоль оси абсцисс, на которое никаких пространственных ограничений (граничных условий) не накладывается.

При этом волновое число определяется из условия:

(14.9)

Оно может быть любым, так же как и импульс частицы. Уравнение (14.8) дает в нашем случае:

(14.10)

Это означает, что имеется одинаковая вероятность встретить частицу в любой точке оси абсцисс.

Если бы мы рассматривали пространственную задачу, то решение (14.8) определяло бы плоскую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси абсцисс, а уравнение (14.10) означало бы равную вероятность встретить свободную частицу в любой точке пространства.

На импульс и энергию свободной частицы в этом случае никаких ограничений также не накладывается (эти величины не квантуются): квантование характерно только для системы частиц.

Частица в прямоугольной потенциальной ям е. Вообразим цилиндрический конденсатор с обкладками 1 и 2 (рис. 14.4). Пусть обкладка 1 сделана из частой сетки, так что сквозь нее возможен проход в направлении оси x электрона, находящегося сначала в положении Э.Во внутреннем цилиндре никакого поля нет, так что уравнение Шредингера снова можно записать в виде (14.7). Но теперь должны быть учтены граничные условия. Возьмем частное решение уравнения Шредингера:

Если считать потенциал сетчатого электрода неопределенно большим, то возникают бесконечно большие силы, возвращающие электрон внутрь сетки, и \|) должно обращаться в нуль при

x 2 . Разность между допустимыми соседними значениями энергии увеличивается с увеличением номера nсостояния частицы.

Вспоминая связь между импульсом и длиной волны де Бройля λ, убеждаемся, что ширина ямы

так что на ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.

Проиллюстрируем применение полученных результатов:

а) Пусть Н=0,9 мм (макроскопическая область), т =10 -30 кг. Тогда

и наименьшая разность между допустимыми значениями энергии есть

Это столь малое значение, что на опыте оно неизмеримо. Итак, в макроскопической области квантовые свойства практически не проявляются (хотя в принципе существуют).

б) H=9 x 10 -12 м (атомные размеры), m=10 -30 кг. Теперь

Наименьшая разность возможных энергий есть

что вполне доступно измерению. Поэтому в таких условиях квантовые свойства системы проявляются отчетливо. Однако если бы вместо электрона рассматривался протон (при этом знаки потенциала на электродах необходимо изменить), то получилось бы (так как масса протона почти в 2000 раз больше массы электрона), что

и наименьшая разность энергий составила бы

что можно обнаружить лишь в очень точном эксперименте. Таким образом, чем массивнее частицы, тем меньше проявляется дискретность возможных энергий.

3. Потенциальная яма конечной глубины.

Пусть частица (рис. 14.5) находится в области, ограниченной практически прямоугольным потенциальным барьером конечной высоты Wp, причем полная энергия частицы меньше Wp, так что выражение W—Wp отрицательно.

Для области внутри ямы частное решение имеет прежний вид; мы его заменим общим решением:

Вне ямы (при х >Н) уравнение Шредингера принимает вид:

Его решение является выражение:

Так как вероятность нахождения частицы на бесконечности не может быть бесконечно велика, то следует принять:

Требуя непрерывности функции и ее первой производной на обеих границах барьера (-Н=х и х=Н), получаем четыре уравнения для определения постоянных интегрирования: А1 А2, В1, В2. Опуская дальнейшие расчеты, приведем график величины |ψ| 2 , определяющей вероятность нахождения частицы на отрезке х, x+dx (рис. 14.5). Из графика следует, что эта вероятность велика для участка оси абсцисс, находящегося внутри потенциальной ямы, но быстро падает до нуля за ее пределами. Она пропорциональна eхр (—2k|x|), что приWp—W=0,1 эВ и ширине ямы 2 H=2 А дает для электрона

т. е. весьма заметную вероятность.

Дли протона соответственно получается:

В результате изучения свойств света выяснилось, что в оптических явлениях обнаруживается своеобразная двойственность природы света. С одной стороны, известно, что в экспериментах по интерференции и дифракции света наглядно проявляются его волновые свойства. С другой стороны, в других экспериментах обнаруживаются его корпускулярные свойства (фотоэффект, явление Комптона). Объяснение этой ситуации можно найти, если принять, что свет имеет двойственную природу : в одних экспериментах свет проявляет себя как поток частиц, в других − как типичный волновой процесс. Двойственная природа света нашла свое отражение в принципе дополнительности , который был сформулирован Н. Бором. Он является фундаментальным принципом квантовой механики , поскольку позволяет понять процессы, которые происходят в микромире. Согласно принципу дополнительности, корпускулярные и волновые свойства света как бы дополняют друг друга и только вместе дают полное понимание того, что представляет собой свет. Двойственная природа света получила название корпускулярно-волнового дуализма и явилась исходным пунктом для становления квантовой механики.

В 1924 г. французский физик Луи де Бройль, опираясь на представления о симметрии свойств в природе, высказал гипотезу том, что поскольку свет ведет себя в одних случаях как волна, а в других как квазичастица, то и материальные частицы должны обладать волновыми свойствами . Де Бройль предположил, что каждой частице, обладающей импульсом р , должна соответствовать длина волны, связанная с модулем импульса р тем же соотношением, что и для фотона, т. е. дебройлевская длина волны частицы


Смелость мысли де Бройля заключалась не только в ее новизне и необычности, но и в универсальности. Ведь, согласно де Бройлю, любой материальный объект, имеющий импульс, обладает одновременно корпускулярными и волновыми свойствами, Ненаблюдаемость волновых свойств у классических объектов обусловлена тем, что типичные волновые явления − интерференция и дифракция проявляются только тогда, когда размеры этих объектов сопоставимы с длиной волны де Бройля. Например, для пылинки массой 10-12 кг движущейся со скоростью υ ∼ 10-4 м/с длина волны де Бройля равна ∼ 6,63 · 10-18 м . Но в природе нет предметов или щелей, размеры которых сопоставимы с такой длиной волны. Поэтому нельзя наблюдать волновые свойства объектов, изучаемых в классической физике. А например, для электрона, ускоренного разностью потенциалов U = 50 В , длина волны де Бройля равна 1,74 · 10−10 м , что уже сопоставимо с межатомными расстояниями в кристалле.

8.2. Волновые свойства микрочастиц. Опыт Дэвиссона и Джермера

Волновые свойства электронов экспериментально были обнаружены в 1927 г. независимо К. Дэвиссоном и JI. Джермером, а также Дж. Томсоном и П. Тартаковским.


Опыт Дэвиссона и Джермера заключалось в том, что они исследовали отражение медленных электронов (с энергией около 50 эВ) от поверхности монокристалла никеля. Схема опыта представлена на рис. 8.2.1. Пучок электронов падал на поверхность монокристалла никеля, структура которого была хорошо известна из данных рентгеноструктурного анализа. Рассеянные электроны улавливались специальным электродом C , подключенным к чувствительному гальванометру. Электрод мог перемещаться так, чтобы улавливать электроны под различными углами. В частности при энергии 54 эВ, получался максимум интенсивности отраженный электронов для угла отражения 50°. Длина волны де Бройля для электронов с такой энергией составляет, согласно формуле (8.1.1), λБр = 16,7 нм. Под таким углом можно было наблюдать максимум интенсивности рентгеновского излучения с длиной волны λ = 16,7 нм. Данные результаты прекрасно доказывали правильность идеи де Бройля.


Томсон и Тартаковский в своихопытах пропускали пучок более быстрых электронов (с энергией в несколько десятков кэВ) через металлическую фольгу. Схема опыта на рис. 8.2.2. Пучок ускоренных электронов проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Электрон при ударе о фотопластинку оказывает на нее такое же действие, как и фотон. Полученная таким способом электронограмма (рис. 8.2.3, а) была сопоставлена с полученной в аналогичных условиях рентгенограммой (рис. 8.2.3, б). Сходство обеих картин поразительно. Пользуясь подобными фотографиями, Томсон проверил формулу де Бройля и определил по полученным значениям и формуле (8.1.1) период кристаллической решетки металла, через который проходили электроны. Результаты совпали с известными ранее данными рентгеноструктурного анализа.


За исследования, блестяще подтвердившие представления квантовой механики, Дэвиссон и Томсон были награждены в 1937 г. Нобелевской премией по физике. Однако их работы не просто подтвердили идею де Бройля, а привели к созданию таких мощных и распространенных методов исследования вещества, как дифракция медленных электронов и просвечивающая электронная микроскопия . В настоящее время дифракция электронов на кристаллической решетке является мощным инструментом изучения структуры твердого тела. Как показали более поздние эксперименты, волновыми свойствами обладают также протоны, нейтроны и другие элементарные частицы.

8.3. Волновая функция и ее статистический смысл

Соотношение между импульсом р частицы и длиной волны де Бройля λБр , справедливость которого подтверждена экспериментально, привело к убеждению, что для описания состояния микрочастицы нужно воспользоваться некоторым волновым образованием. В квантовой механике такому волновому образованию соответствует функция координат и времени, получившая название волновой функции Ψ (x, y, z, t) . Она выступает как основной носитель информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастицы. Поясним смысл волновой функции на примере интерпретации опыта по прохождению электронов через две щели.


Пусть на экран, где имеются две щели, расстояние между которыми сравнимо с дебройлевской длиной волны, направлен поток ускоренных электронов со строго фиксированным импульсом (рис. 8.3.1, а). Причем интенсивность потока настолько мала, что на экран в каждый относительно малый промежуток времени, необходимый для регистрации отдельной частицы, попадает только один электрон. Прошедшие через две щели электроны можно регистрировать различными методами, но во всех случаях они проявляют себя как отдельные частицы, случайно попадающие в различные места экрана. Однако за длительный промежуток времени пространственное распределение интенсивности (например, степени почернения фотопластинки ФП), которая пропорциональна количеству электронов, попавших на единичный участок фотопластинки, имеет вид регулярно чередующихся минимумов и максимумов рис. 8.3.1, г. Если оставить открытой только первую или вторую щель, то распределение интенсивностей будет определяться кривыми, изображенными на рис. 8.3.1, в (кривые 1 и 2). Сопоставление кривых показывает, что распределение интенсивности (рис. 8.3.1, в) не является суммой интенсивностей l1 и I2 . B этом случае кривая распределения интенсивности от двух щелей имеет вид, соответствующий типичной интерференционной картине, когда в одних точках экрана наблюдается усиление , а в других − ослабление интенсивности. Объяснить наблюдаемое распределение интенсивности электронов можно только в рамках двух следующих предположений, не имеющих аналога в классической физике.

1. Электрон при прохождении через экран, в котором открыты обе щели, проявляет себя как волновой объект , одновременно проходящий через обе щели: волновая функция электрона, попадающего на экран, является суммой волновых функций Ψ1 и Ψ2 , каждая из которых описывает состояние электрона, когда открыта соответственно только первая и только вторая щель:


Это утверждение совпадает с правилом сложения волн и является частным случаем одного из важнейших принципов квантовой механики − принципа суперпозиции для волновых функций: если для физической системы возможно состояние с волновой функцией Ψ1 и состояние с волновой функцией Ψ2 может реализоваться и смешанное состояние с волновой функцией


где а и b − некоторые комплексные или действительные числа.

В рассмотренном эксперименте (рис. 8.3.1) волновая функция электрона в случае с обеими открытыми щелями является суперпозицией волновых функций электрона в опытах с поочередно открытой первой или второй щелью. Справа от экрана со щелями эти волновые функции накладываются и дают типичную интерференционную картину. Так можно объяснить механизм прохождения электронами щелей.

Различие принципов суперпозиции квантовой и классической физики состоит в следующем. Если в классической физике имеются, например, два одинаковых колебания, то в результате их суперпозиции получается новое колебание. Причем физические величины в новом колебании имеют, вообще говоря, иные значения, чем в исходных колебаниях. В квантовой теории сложение двух одинаковых состояний сводится к умножению волновой функции на постоянную величину и, следовательно, приводит к тому же состоянию, потому что волновые функции, отличающиеся постоянным множителем, описывают одно и то же состояние. Физические величины в результате такой суперпозиции не изменяют своих значений, потому что не изменяется состояние. Принцип суперпозиции показывает, что из имеющихся квантовых состояний можно образовать многими способами новые состояния и каждое состояние можно рассматривать как результат суперпозиции двух или многих других состояний, причем бесконечным числом способов. Суперпозиция квантовых состояний является физическим принципом, но представление состояния как результата суперпозиции других состояний является чисто математической процедурой и всегда независимо от физических условий. Однако насколько это целесообразно, и какое именно представление целесообразно, зависит от конкретных физических условий.

2. Квадрат амплитуды световой волны определяет плотность вероятности попадания фотона в соответствующую точку пространства. Точно так же квадрат модуля волновой функции Ψ(x, y, z, t) определяет плотность вероятности того, что в заданный момент времени t квантовая частица находится в точке пространства с координатами х , у , z :


Это выражение получило название постулата Борна .

Квадрат модуля комплексной волновой функции определяется соотношением


Это важное и, как оказалось, правильное утверждение М. Борна, высказанное в 1926 г., дает статистическую, т. е. вероятностную, интерпретацию квадрата модуля волновой функции.

Тем самым удалось совместить свойства микрочастиц интерферировать со свойством регистрироваться по отдельности. Предложенная Борном трактовка сущности волновой функции, и в частности волны де Бройля для свободной частицы, принципиально отличает ее от упругой волны в сплошной среде и электромагнитных волн. Вместе с тем аналогия волновых процессов различной природы позволяет обосновать утверждение (8.3.3) с точки зрения обычных волн.

Вероятность dp того, что частица находится в элементе объема dV равна


Вероятность найти частицу в конечном объеме V определяют как


Если частица находится в неограниченном пространстве, то вероятность ее обнаружения в нем равна единице, отсюда следует условие нормировки волновой функции


8.4. Уравнение Шредингера

Построение квантовой механики невозможно без уравнения, которое позволило бы по заданным внешним силовым полям и начальным условиям описывать движение частицы в пространстве и во времени. Состояние квантовой частицы определяется плотностью вероятности нахождения частицы в момент времени t в точке с координатами х , у , z . Плотность вероятности задается квадратом модуля волновой функции |Ψ(х, у, z, t)| 2 . Поэтому искомое уравнение должно быть уравнением относительно волновой функцией Ψ(х, у, z, t) . Также это уравнение должно обладать некоторыми чертами, присущими волновому уравнению для упругих волн, поскольку оно призвано учитывать волновые свойства микрочастиц. Эту задачу решил Шредингер, который написал в 1926 г. уравнение, решая которое можно находить волновую функцию:


где $$i=\sqrt$$ − мнимая единица; m − масса частицы; $$Δ=++-$$ − оператор Лапласа; U(x, у, z, t) − потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле.


Выражение (8.4.1) называют временным уравнением Шредингера . Оно является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Как и уравнение для второго закона Ньютона, не выводится, а постулируется. Критерием его справедливости является хорошее согласие результатов, полученных на основе формулы (8.4.1), с экспериментальными данными в атомной и ядерной физике.

В тех случаях, когда частица находится в стационарных потенциальных силовых полях (потенциальная энергия U не зависит от времени), то решение уравнения (8.4.1) можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координат, а другая только от времени !


где Е − полная энергия частицы, которая в случае стационарности поля остается неизменной.

Подставим функцию (8.4.3) во временное уравнение Шредингера (8.4.1)


Сократив выражение (8.4.4) на величину $$e^>$$ получим


Преобразуем выражение (10.4.5)


Выражение (8.4.6) называется стационарным уравнением Шредингера.

Функции ψ(х, у, z) , являющиеся решениями уравнения (8.4.6), называются собственными функциями . В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (8.4.6) в ряде случаев имеют решения не при всех значениях энергии Е , а лишь при определенных ее значениях. Значения энергии Е , при которых имеет место решение уравнения Шредингера, называют собственными значениями энергии . Собственные значения энергии Е могут образовывать как непрерывный , так и дискретный ряд значений энергии. В первом случае говорят о непрерывном , во втором − о дискретном спектре энергии .

Читайте также: