Электрические цепи синусоидального тока кратко

Обновлено: 30.06.2024

Синусоидальными токами и напряжениями называются токи и напряжения, которые изменяются во времени по синусоидальному закону.

Мгновенные значения синусоидальных тока и напряжения определяются выражениями:

где I_m, U_m – амплитудные значения тока и напряжения;

(ωt + ψ) – фаза колебания, аргумент синусоидальной функции, [рад];

ω– угловая частота, которая может быть определена как

ω =2πf = 2π/T, [рад/с];

f– линейная частота, [Гц]; Т– период колебаний, [c];

ψ_i , ψ_u - начальные фазы тока и напряжения, которые отсчитываются от начала координат до ближайшей точки на оси абсцисс перехода синусоидальной функции через ноль от отрицательных к положительным ее значениям. Начальная фаза может быть положительной, отрицательной и равной нулю. При ψ>0 начало синусоиды сдвинуто влево относительно начала координат, при ψ 0, то ток отстает по фазе от напряжения; если угол φ 0.

Если синусоидальную функцию i(t)=I_m sin(ωt+ψ_i) заменить изображающей ее комплексной величиной, то закон Ома в комплексной форме запишется следующим образом:

где , - комплексные амплитуды.

Для действующих комплексных величин будем иметь:

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, представлены на векторной диаграмме рис. 2.7, б.

Мгновенная мощность резистивного элемента:

Временная диаграмма мгновенной мощности представлен на рис. 2.7, а. Из графика видно, что вся энергия, поступающая в резистивный элемент, расходуется в нем и не возвращается генератору.

Среднее значение мгновенной мощности за время, равное периоду синусоидального тока, называется активной мощностью:

Индуктивный элемент. Идеальный индуктивный элемент с индуктивностью L (рис. 2.8) учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции. В этом случае пренебрегают потерями энергии и наличием энергии электрического поля.

Напряжение на зажимах индуктивного элемента при протекании синусоидального тока i(t)=I_m sin(ωt + ψ_i) будет определяться:

где - индуктивное реактивное сопротивление синусоидальному току;

- амплитудное значение напряжения на индуктивном элементе;

- начальная фаза напряжения, то есть напряжение на индуктивном элементе опережает свой ток на угол π/2.

При переходе к действующим значениям имеем:

В комплексной форме записи:

Для действующих комплексных значений:

здесь - индуктивное реактивное сопротивление в комплексной форме записи ( ).

На рис. 2.9, а представлена временная диаграмма тока и напряжения индуктивного элемента. На рис. 2.9, б построена векторная диаграмма для действующих комплексных значений тока и напряжения.

Угол сдвига фаз φ на векторной диаграмме показывается стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.

Мгновенная мощность индуктивного элемента может быть определена:

Как видно из полученного выражения мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с частотой в два раза большей, чем частота тока. График мгновенной мощности для индуктивного элемента представлен на рис. 2.9, а. Среднее значение мгновенной мощности за период равно нулю. В те промежутки времени, когда значение мгновенного тока увеличивается, мощность имеет положительное значение, то есть энергия передается от генератора к индуктивному элементу и накапливается в нем. При уменьшении мгновенного тока мощность имеет отрицательное значение, энергия возвращается от индуктивного элемента к генератору. Для того, чтобы количественно охарактеризовать обменные процессы магнитной энергией между источником и индуктивным элементом, вводят понятие индуктивной реактивной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности: (ВАр –вольтампер реактивный – единица измерения реактивной мощности).

Емкостный элемент. Емкостный элемент (рис. 2.10) схемы с емкостью С учитывает только энергию электрического поля , пренебрегая при этом необратимым расходом энергии в диэлектрике и наличием энергии магнитного поля.

Ток ветви с конденсатором определяется:

В приведенных выражениях:

- амплитудное значение напряжения на конденсаторе;

- реактивное емкостное сопротивление синусоидальному току;

ψ_u=(ψ_i - π/2) – начальная фаза напряжения, напряжение на емкостном элементе отстает от своего тока на угол π/2.

Для действующих значений:

В комплексной форме записи:

здесь -реактивное емкостное сопротив-

ление в комплексной форме записи ( ).

На рис. 2.11, а и б представленны временная и векторная диаграммы тока и напряжения емкостного элемента.

Мгновенная мощность емкостного элемента будет определяться:

Временная диаграмма мгновенной мощности построена на рис. 2.11, а.

Из графика мгновенной мощности следует, что среднее значение мощности за период также, как и у индуктивного элемента, равна нулю. В промежутки времени, когда напряжение на емкостном элементе увеличивается, конденсатор заряжается, то есть энергия поступает от генератора к элементу (мощность положительна). В промежутки времени, когда напряжение уменьшается, емкостный элемент возвращает генератору накопленную энергию (мощность отрицательна). Для того чтобы количественно охарактеризовать эти обменные процессы, вводят понятие реактивной емкостной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности:

Как видно из временных диаграмм (рис. 2.10 и 2.11) в каждый момент времени индуктивная и емкостная мгновенные мощности находятся в противофазе. При расчете суммарной реактивной мощности значение индуктивной реактивной мощности берется положительным, а емкостной реактивной мощности - отрицательным.

Комплексный метод расчета

Для расчета цепей синусоидального тока используется комплексный метод расчета. Он основан на изображении синусоидальных функций времени комплексными числами. Соответственно дифференциальные и интегральные зависимости между напряжениями и токами в цепях синусоидального тока, заменяются линейными зависимостями между комплексными токами и напряжениями:

Далее расчеты в цепях синусоидального тока выполняются теми же методами, что и расчеты в цепях постоянного тока (метод эквивалентных преобразований, законов Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов и т.д.), только все сопротивления, токи и напряжения записываются в комплексной форме записи.

Рассмотрим определение всех токов и напряжений в схеме, показанной на рис.2.19, питающейся от источника синусоидального напряжения, комплексное действующее значение которого

Параметры элементов цепи:

Расчет будем выполнять, применяя эквивалентные преобразования в электрических цепях и закон Ома.

Определим комплексные сопротивления ветвей:

Для того чтобы по закону Ома определить ток на входе цепи, необходимо рассчитать комплексное сопротивление цепи относительно входных зажимов.

Сопротивления второй и третьей ветвей соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление относительно зажимов 2-4 можно рассчитать:

Относительно входных зажимов сопротивление первой ветви и сопротивление Z₂₃ соединены последовательно, поэтому входное сопротивление всей цепи можно определить как сумму комплексных сопротивлений:

Напряжение на зажимах параллельных ветвей:

Зная напряжения параллельных ветвей, можно определить по закону Ома токи

Определим напряжения на участках цепи:

Построим векторную диаграмму токов и напряжений цепи. Для этого на комплексной плоскости в соответствующих масштабах тока m_i и напряжения m_u построим векторы рассчитанных напряжений и токов со своими начальными фазами (рис. 2.20). На векторной диаграмме хорошо видно выполнение законов Кирхгофа:

2.10. Топографическая диаграмма

При анализе электрических цепей синусоидального тока весьма полезно строить топографические диаграммы. С их помощью можно легко определять напряжения между различными точками схемы и фазы этих напряжений. Топографическая диаграмма представляет собой графическое изображение на комплексной плоскости распределения потенциалов в схеме. При этом каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме.

Отличительная особенность этих диаграмм состоит в том, что векторы напряжений на зажимах элементов сложной цепи на топографической диаграмме располагают в том порядке, в котором расположены соответствующие элементы цепи. При этом вектор напряжения на последующем элементе цепи обязательно примыкает к вектору напряжения на предыдущем элементе, в то время как на обычных векторных диаграммах любой вектор можно переносить параллельно самому себе в любое место комплексной плоскости.

Проведем качественное построение топографической диаграммы для неразветвленной цепи (рис. 2.21).

Отложим вектор тока в произвольно выбранном направлении (рис. 2.22). Примем потенциал точки g равным нулю ( ) и определим потенциалы остальных точек схемы относительно этого потенциала. Обход схемы при построении топографической диаграммы выберем навстречу току. Тогда потенциал точки f будет больше потенциала точки g на величину напряжения на резисторе R₁: . Наносим вектор на комплексную плоскость и конец этого вектора обозначаем буквой f. Причем сам вектор комплексного потенциала не изображается на плоскости, а показывается только

точка, соответствующая концу этого вектора.

Аналогично рассчитываем и наносим на комплексную плоскость потенциалы остальных точек схемы:

Для определения напряжения между двумя любыми точками схемы достаточно соединить соответствующие точки топографической диаграммы отрезком прямой и придать этому вектору надлежащее направление. Так, вектор напряжения представлен на топографической диаграмме отрезком прямой, соединяющим точки а и d, соответствующие концам векторов комплексных потенциалов и . Этот вектор направлен от точки d к точке а, что соответствует правилу вычитания векторов.

Топографическую диаграмму практически всегда строят в одних осях координат с векторной диаграммой токов.

Заметим, что при выборе обхода ветвей схемы навстречу положительному направлению тока топографическая диаграмма совпадает с понятием векторной диаграммы. То есть ее можно строить, употребляя привычные нам знания: напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивном элементе опережает ток на угол 90º, а на емкостном элементе напряжение отстает от тока на угол 90º.

При выборе обхода схемы по току все векторы изменяют свое направление на 180º.

Электрическими цепями синусоидального тока называются цепи, находящиеся под воздействием напряжения или тока синусоидальной формы (гармонического воздействия - ГВ). Как воздействие, так и все процессы (напряжения и токи) в такой цепи описываются синусоидальными функциями:

(2.1)

где v(t) – мгновенное значение процесса (тока i(t) или напряжения u(t)); V_m – амплитуда (U_m или I_m); ω = 2πf = 2π/T – угловая частота (рад/с), а f и T – соответственно частота (Гц) и период (с); ωt и ψ – соответственно текущая и начальная фаза (рад или град); Φ(t) = ωt + ψ – полная фаза гармонического процесса (рад или град).

Графически гармоническое воздействие можно представить в виде временной диаграммы (рис. 2.1), представляющей собой развертку во времени процесса вращения против часовой стрелки вектора длиной V_m с угловой частотой ω из начального положения (начальной фазы) ψ > 0.

Помимо амплитудного значения периодические ток и напряжение также характеризуются действующим (среднеквадратичным) значением V (тока или напряжения). Действующий ток (напряжение) численно равен такому постоянному току (напряжению), при котором за время, равное одному периоду периодического воздействия, в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе (напряжении). Действующие значения для синусоидальных процессов в раз меньше амплитудных.

(2.2)

алгебраической:

; (2.3)

тригонометрической:

, (2.4)

где

показательной:

, (2.5)

где .

Величину называют комплексной амплитудой (комплексом) ГВ (векторпоказан на рис. 2.2). Она несет информацию только об амплитуде и начальной фазе ψ синусоидального воздействия, что при известной частоте ω достаточно для описания синусоидального процесса и анализа свойств электрической цепи при гармоническом воздействии.

Очевидно, что мгновенное значение v(t) и комплексная амплитуда связаны соотношением:

. (2.6)

Рассмотрим реакцию пассивных идеализированных элементов на гармоническое воздействие.

Резистивный элемент. Пусть через резистор с сопротивлением R протекает ток i(t) = I_m sin(ωt + ψ_i). Тогда в соответствие с законом Ома падение напряжения на сопротивлении R равно

(2.7)

Из (2.10) следует, что синусоидальные ток и напряжение на резистивном элементе совпадают по фазе, а амплитуда напряжения равна U_mR = R∙I_m.

Емкостной элемент. Напряжение на емкости C при протекании через нее синусоидального тока i(t) определяется по формуле

(2.8)

где ψ_i - π/2 = ψ_u – начальная фаза напряжения на конденсаторе, а величина 1/ωС = x_C (Ом) – сопротивление емкости С на частоте ω.

Из (2.11) следует, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от протекающего через него тока на угол φ = -π/2, а амплитуда синусоидального напряжения равна U_mC = I_m/(ωС) = x_C·I_m.

Индуктивный элемент. Напряжение на индуктивности равно

(2.9)

где ψ_i + π/2 = ψ_u – начальная фаза напряжения на индуктивности, а величина ωL = x_L (Ом) – сопротивление индуктивности L на частоте ω.

Следовательно, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на угол φ = π/2, а амплитуда U_mL = ωL·I_m = x_L·I_m.

На рис. 2.3, а изображена электрическая цепь, состоящая из трех последовательно соединенных пассивных элементов R, L и C (последовательный контур), к которой приложен синусоидальный источник э.д.с. e(t) = u(t). Эпюры тока в цепи и напряжений на элементах цепи, полученные с помощью программы Micro-Cap, приведены на рис. 2.3, б. Они показывают, что синусоида напряжения на сопротивлении u_R совпадает по фазе с синусоидой протекающего тока i, а синусоиды u_C и u_L сдвинуты относительно синусоиды тока i на угол π/2 соответственно вправо (отставание) и влево (опережение). Между собой напряжения u_C и u_L находятся в противофазе. Как видно из рис. 2.4, б начальная фаза входного напряжения u(t) равна нулю (ψ_u = 0), а фаза входного тока ψ_i 0, т.е. приложенное к цепи синусоидальное напряжение u(t) опережает по фазе протекающий в цепи ток на угол φ.

Синусоидальный ток – ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону, имеющего следующий вид: , где - амплитудное (максимальное) значение тока за период, ; - угловая частота, ; - частота (число колебаний в секунду), ; - период (время, за которое происходит одно полное колебание), ; - фаза, которая характеризует состояние колебания синусоиды в момент времени ; - начальная фаза (фаза в момент времени ).

Любая синусоидальная функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.

Действующее значение синусоидально изменяющейся величины обозначается за и находится по следующей формуле: . На это значение реагируют приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем.

Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости.

Ось называется осью действительных чисел, а ось называется осью комплексных чисел.

Нарисуем единичный вектор на комплексной плоскости . Комплексное число будет изображаться вектором, который численной равен единице и составляет с осью действительных чисел угол , который отчитывается от оси действительных чисел против часовой стрелки в положительном направлении.

По формуле Эйлера: . Умножив на получим вектор, который будет в раз больше единичного вектора: .

Пусть , тогда , где ток - коэффициент при мнимой части комплексного числа , который также является проекцией вращающегося с частотой вектора на ось комплексных чисел.

На комплексной плоскости принято векторы синусоидально изменяющихся во времени величин изображать для момента времени . Подставив , получим , где - комплексная амплитуда тока , которая изображает ток на комплексной плоскости в момент времени .

Комплекс действующего значения: .

Даны мгновенные значения токов:

1. Построить графики мгновенных значений.

2. Записать комплексные амплитуды и комплексные значения этих токов.

3. Построить вектора токов на комплексной плоскости.

Ток опережает ток по фазе на , поэтому начало сдвинуто влево на величину . Ток отстаёт от тока на , поэтому его начало сдвинуто вправо на величину .

Комплексные амплитуды токов: находятся следующим образом:

Комплексы действующих значений токов, находятся следующим образом:

Дан комплекс действующего значения тока .

Требуется записать мгновенное значение тока.

Мгновенное значение тока будет иметь следующий вид: .

Элементы цепи синусоидального тока.

Элементами цепи синусоидального тока являются: резистор (сопротивление ), катушка индуктивности (индуктивность ) и конденсатор (ёмкость ). Сопротивление переменному току оказывают не только те элементы, в которых выделяется энергия в виде тепла, но и те элементы, в которых энергия не выделяется, а периодически запасается в электрических или магнитных полях. Такие элементы называются реактивными. Реактивными сопротивлениями являются индуктивность и ёмкость.

Синусоидальный ток в активном сопротивлении.

Мгновенное значение тока имеет следующий вид: . По закону Ома можно найти напряжение на активном сопротивлении: , где - амплитудное напряжение. Комплекс действующего значения тока: . Комплекс действующего значения напряжения: .

На активном сопротивлении, то есть на резисторе, ток и напряжение совпадают по фазе, или, другими словами, разность фаз между током и напряжением равна нулю.

Мгновенная мощность определяется по формуле: . Так как ток и напряжение совпадают по фазе, то, очевидно, что мгновенная мощность всегда будет иметь положительное значение.

Схема замещения катушки индуктивности.

Допустим, что потери аналогичны.

Если через катушку индуктивности течёт синусоидальный ток , то в катушке возникает ЭДС самоиндукции: .

Положительное направление ЭДС самоиндукции совпадает с положительным направлением тока.

Найдём разность потенциалов между точками и :

, где - индуктивное сопротивление, которое прямо пропорционально частоте.

Положительное направление напряжения совпадает с положительным направлением тока. Комплекс действующего значения тока: . Комплекс действующего значения напряжения: . Комплекс действующего значения ЭДС самоиндукции: . Построим эти три вектора на комплексной плоскости:

Вывод: Напряжение на катушке на опережает по фазе ток, а ЭДС самоиндукции на по фазе отстаёт от тока.

Мгновенная мощность определяется по формуле: . Энергия от источника в интервале поступает на создание магнитного поля в катушке индуктивности, а на интервале энергия возвращается в источник.

Учтём активные потери:

Построим векторную диаграмму для этого участка. Так как ток будет одним и тем же, то построение диаграммы можно начать с построения вектора тока. Вектор напряжений строится по второму закону Кирхгофа: . Видно, что угол - положительный, что характерно для индуктивного типа цепи.

Электрические цепи однофазного синусоидального тока.

Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости.

Ось называется осью действительных чисел, а ось называется осью комплексных чисел.

По формуле Эйлера: . Умножив на получим вектор, который будет в раз больше единичного вектора: .

Комплекс действующего значения: .

Даны мгновенные значения токов:

1. Построить графики мгновенных значений.

2. Записать комплексные амплитуды и комплексные значения этих токов.

3. Построить вектора токов на комплексной плоскости.

Комплексные амплитуды токов: находятся следующим образом:

Комплексы действующих значений токов, находятся следующим образом:

Дан комплекс действующего значения тока .

Требуется записать мгновенное значение тока.

Мгновенное значение тока будет иметь следующий вид: .

Элементы цепи синусоидального тока.

Синусоидальный ток в активном сопротивлении.

Схема замещения катушки индуктивности.

Допустим, что потери аналогичны.

Если через катушку индуктивности течёт синусоидальный ток , то в катушке возникает ЭДС самоиндукции: .

Положительное направление ЭДС самоиндукции совпадает с положительным направлением тока.

Найдём разность потенциалов между точками и :

, где - индуктивное сопротивление, которое прямо пропорционально частоте.

Вывод: Напряжение на катушке на опережает по фазе ток, а ЭДС самоиндукции на по фазе отстаёт от тока.

Учтём активные потери:

Переменный ток (англ. alternating current — AC) — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.

В быту для электроснабжения переменяется переменный, синусоидальный ток.

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (Рисунок 1):

Максимальное значение функции называют амплитудой. Её обозначают с помощью заглавной (большой) буквы и строчной буквы m — максимальное значение. К примеру:

Период Т— это время, за которое совершается одно полное колебание.

Частота f равна числу колебаний в 1 секунду (единица частоты f — герц (Гц) или с -1 )

f = 1/T

Угловая частота ω (омега) (единица угловой частоты — рад/с или с -1 )

ω = 2πf = 2π/T

Аргумент синуса, т. е. (ωt + Ψ), называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени t.

Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой (ω) и начальной фазой Ψ (пси)

В странах СНГ и Западной Европе наибольшее распространение получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, принятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц. Диапазон частот практически применяемых синусоидальных токов очень широк: от долей герца, например в геологоразведке, до миллиардов герц в радиотехнике.

Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов (подробно рассматриваемых в курсе радиотехники и менее подробно — в курсе ТОЭ). Источник синусоидальной ЭДС и источник синусоидального тока обозначают на электрических схемах так же, как и источники постоянной ЭДС и тока, но обозначают их е и j (или e(t) и j(t)).

Обратите внимание! При обозначении величин на схемах или в расчетах важен регистр букв, то есть заглавные буквы (E,I,U…) или строчные (e, i ,u…). Так как строчными буквами принято обозначать мгновенное значение, а заглавными могут обозначаться действующее значение величины (подробнее о действующем значении в следующей статье).

Читайте также: