Эффективная масса носителей заряда в полупроводниках кратко
Обновлено: 05.07.2024
На заряженную частицу (электрон, дырку), движущуюся в электрическом $\vec E$ и магнитном $\vec B$ полях, действует сила Лоренца $$ \vec F = m^* \ddot = q\vec E + \frac [\vec v \times \vec B] $$ в СГС, а в СИ: $$ \vec F = m^* \ddot = q\vec E + q[\vec v \times \vec B] $$ где $m^<*>$ — эффективная масса заряженной частицы, учитывающая влияние периодического поля на движение частицы в веществе, $c$ — скорость света; $q$ — заряд частицы; $\vec v$ — скорость частицы; $\ddot<>$ — ускорение частицы.
Если пренебречь столкновениями движущейся частицы, то траекторию движения ее в электрическом и магнитном полях под действием силы Лоренца можно найти по этому уравнению.
Рассмотрим кратко характер движения свободного носителя заряда при наличии электрического и магнитного полей.
Под действием электрической составляющей поля частица получает дополнительную скорость, совпадающую с направлением вектора $$. В общем случае при любой ориентации скорости $$ и магнитного поля $$ скорость электрона можно разложить на две составляющие: параллельную $v_ <\parallel >$ и перпендикулярную $v_ $ полю $$: $$ \vec v = (v_<\parallel >,v_); $$ тогда сила, действующая на частицу в магнитном поле, $$ F_ =\frac
Если электрическое и магнитное поля параллельны, то заряженная частица движется по винтовой линии с непрерывно возрастающим шагом, поскольку электрическое поле меняет скорость $_ <\parallel >$ и не влияет на $_.$
Если электрическое и магнитное поля перпендикулярны (скрещенные поля), то при начальной скорости движения заряженной частицы, равной нулю, решение уравнения движения частицы под действием силы Лоренца дает уравнение циклоиды: частица вращается по окружности радиуса $r$, а центр окружности движется равномерно в направлении, перпендикулярном электрическому и магнитному полю со скоростью дрейфа $$ _= \frac\cdot [\vec E\times \vec B]. $$ Амплитуда периодического движения совпадает с Ларморовским радиусом $\rho _ =\frac> <\omega _>$. Отметим, что это справедливо для свободной частицы, которая не сталкивается с другими частицами и с какими-либо другими объектами.
Рассмотрим поведение частицы с учётом столкновений частиц. Из курса молекулярной физики известно, что все частицы совершают хаотическое тепловое движение. Важной характеристикой такого движения является средняя длина свободного пролёта — $\langle l\rangle $. Зная среднюю (по модулю) тепловую скорость, можно определить среднее время между столкновениями частиц $\tau =\frac<\langle l\rangle><\langle | v | \rangle >$. Если на частицы не действует внешняя сила, то средняя проекция тепловой скорости на любое направление равна нулю. При наложении внешнего постоянного электрического поля на частицу будет действовать постоянная сила. Следовательно, в промежутках между столкновениями её движение является равноускоренным, и она приобретает дополнительный импульс и, следовательно, дополнительную скорость в направлении действия силы. Если добавка к скорости, которую частица приобретает вследствие действия электрического поля, за время $\tau $ много меньше её средней по модулю тепловой скорости, то такое поле называется слабым. После столкновения частица равновероятно рассеивается в любом направлении, значит в среднем, проекция её скорости на любое направление равна нулю. Двигаясь далее, она опять испытывает ускорение, приобретает дополнительную скорость и так далее. Таким образом, частица, кроме хаотического теплового движения, совершает дрейф с некоторой средней скоростью $v_.$
В приближении слабого поля дрейфовая скорость $v_ $ много меньше средней по модулю тепловой скорости и время $\tau $ не зависит от дрейфовой скорости и, соответственно, от внешней силы. Приобретаемый частицей дополнительный импульс и скорость пропорциональны как внешней силе $F_ $, так и времени действия этой силы $\tau $. Таким образом, в слабом электрическом поле дрейфовая скорость пропорциональна напряжённости электрического поля $_=u\cdot \vec E$, где коэффициент пропорциональности $u$ называется подвижностью носителей заряда, в СИ подвижность имеет размерность $\frac$, но часто измеряется в несистемных единицах $\frac$.
Рассмотрим однородный изотропный полупроводник в форме параллелепипеда Контакты 1 и 2 будем называть токовыми контактами, контакты 3 и 4 — потенциальными контактами. В отсутствие магнитного поля, если образец однороден и изотропен, контакты 3 и 4 находятся на эквипотенциальной поверхности и при пропускании тока через образец, падение напряжения между контактами 3 и 4 равно нулю. Поместим наш образец в однородное магнитное поле, вектор магнитного поля $\vec В$ перпендикулярен вектору $\vec j$. Скорость движения заряженных частиц состоит из хаотической (тепловой) и дрейфовой составляющих. Дрейфовая скорость возникает вследствие действия на заряженную частицу внешних сил (в нашем случае из-за приложенных внешних электрического и магнитного полей $\vec E$ и $\vec B$). В силу линейности зависимости силы Лоренца от скорости имеем: $$ \vec F = q\vec E + \frac [_T \times \vec B]+\frac [_d \times \vec B], $$ Так как средняя проекция тепловой скорости на любую ось равна нулю, то при усреднении второе слагаемое в последней формуле становится равным нулю, и средняя сила зависит только от дрейфовой скорости. Видно, что магнитная составляющая силы Лоренца отклоняет как положительно, так и отрицательно заряженные частицы в одну и ту же сторону, поскольку изменение знака заряда компенсируется изменением направления дрейфовой скорости на противоположную.
Предположим, что ток в образце определяется движением заряженных частиц одного типа, например, электронов (иначе придётся учитывать вклад в ток движение заряженных частиц всех типов). В отсутствие магнитного поля ток течёт слева направо. После включения магнитного поля, на электроны начинает действовать магнитная составляющая силы Лоренца, которая отклоняет их в направлении к грани 3. Таким образом, некоторое время после включения магнитного поля происходит движение электронов от грани 4 к грани 3. Электроны, создают на грани 3 отрицательный, а на грани 4 положительный заряды, то есть между этими гранями возникнет дополнительное электрическое поле $_H$. Заряд на гранях 3 и 4 будет расти до тех пор, пока магнитная составляющая силы Лоренца не уравновесится этим дополнительным электрическим полем: $$ e\cdot _y +\frac ec [_d \times \vec B] = 0. $$ В этой ситуации имеем: $ E_ =\frac> B. $ Так как мы рассматриваем движение электрона за время свободного пробега, то ясно, что в формуле стоит средняя скорость дрейфа, определяемая средним по ансамблю электронов временем свободного пробега $\langle \tau \rangle$ (средним временем релаксации). Поскольку $$ j_ =-env_, $$ то $$ E_ =E_ =-\frac
Величина $E_H$ называется полем Холла. Таким образом, электрическое поле (для нашей ориентации векторов) имеет компоненты $E_x$ и $E_y$, следовательно, полный вектор электрического поля $\vec E = \vec i E_ + \vec k E_$ не будет совпадать по величине и направлению с первоначальным, (когда $\vec= 0$) между ними будет угол $\varphi _H$, получивший название угол Холла. Для тангенса этого угла можно записать: $$ tg (\varphi _) =\frac $$ или $$ tg (\varphi _) =-\frac=-u_ B. $$
На практике удобнее измерять не напряженность электрического поля, а соответствующую разность потенциалов (между гранями 3 и 4 на рисунке), которая называется ЭДС Холла: $$ U_ =E_ \cdot d=-\frac Bd>. $$ Если выразить полный ток через плотность тока, $I=j_ d\cdot h$, то $$ U_ =-\frac=\frac
В случае полупроводника р–типа проводимости в уравнении ($E_ =E_ =-\frac B>$) следует изменить знак носителей заряда с $-е$ на $+е$. Тогда будем иметь: $$ E_=\frac B>=j_ R_ B, $$ $$ tg (\varphi _)=-\frac=-u_
B, $$ $$U_ =-\frac=\frac
Теперь рассмотрим ситуацию, когда в полупроводнике есть и электроны, и дырки. Запишем общий вид уравнений движения для электронов и дырок в электрическом и магнитном полях: $$ m \frac_n> =-e\vec E- \frac[_n \vec B] \mbox < - для электронов, >\ \ m \frac_p> =-e\vec E- \frac[_p \vec B] \mbox < - для дырок.>$$ Проинтегрировав эти уравнения, и используя соотношение для подвижности $u_n =\frac$, получим: $$ \vec v_ =-u_ \vec E-\frac )>=\frac(1+b)>, $$ где $b = \frac$. Согласно последней формуле $R_H 1$ (т.е. $u_n>u_p$) и $R_H>0$ при $b В физике твёрдого тела, эффективной массой частицы называется динамическая масса, которая появляется при движении частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы покоя электрона me (9.11×10 −31 кг). Она отлична от массы покоя электрона. где — ускорение, — постоянная Планка, — волновой вектор, который определяется из импульса как = , — закон дисперсии, который связывает энергию с волновым вектором . В присутствии электрического поля на электрон действует сила =q\vec" width="" height="" /> Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен, и таким образом эффективная масса является постоянной и равной массе покоя. В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. В этом случае только в экстремумах кривой закона дисперсии, там где можно аппроксимировать параболой можно использовать понятие массы. Эффективная масса зависит от направления в кристалле и является в общем случае тензором. Те́нзор эффекти́вной ма́ссы — термин физики твёрдого тела, характеризующий сложную природу эффективной массы квазичастицы (электрона, дырки) в твёрдом теле. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется не как частица с массой покоя, а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. Эффективная масса вводится, когда имеется параболический закон дисперсии, иначе масса начинает зависеть от энергии. В связи с этим возможна отрицательная эффективная масса. где " width="" height="" /> Эффективные массы могут также быть оценены, используя коэффициент γ из линейного слагаемого низкотемпературного электронного вклада в теплоёмкость при постоянном объёме . Теплоёмкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми. Как показывает таблица, полупроводниковые соединения A III B V , такие как GaAs и InSb, имеют намного меньшие эффективные массы, чем полупроводники из четвёртой группы периодической системы — кремний и германий. В самой простой теории электронного транспорта Друде дрейфовая скорость носителей обратно пропорциональна эффективной массе: = \begin\mu\end \cdot \vec" width="" height="" /> Эффективная масса носителей заряда Выше было показано, что энергия электрона, перемещающегося внутри кристалла в виде волнового пакета, определяется из выражения (1.24) W = ( k ) 2 /2 m *, где, как и прежде W - энергия электрона, Дж; k - значение волнового числа, м -1 ; - постоянная Дирака, а величина m * имеет смысл эффективной массы электрона. Исходя из корпускулярных представлений эффективная масса - это масса заряженной частицы, движущейся внутри кристалла. Дважды продифференцируем выражение (1.22) по значению волнового числа k : Из второго выражения следует, что эффективную массу носителей заряда в кристалле можно рассчитать из выражения Из выражения (1.31) следует, что эффективная масса электрона определяется значением второй производной функции W=f ( k ). В качестве примера рассчитаем по формуле (1.31) эффективную массу свободного электрона, когда зависимость энергии эле ктрона от волнового вектора выражается параболической зависимостью вида (1.22). Поскольку d 2 W/dk 2 = / m , то подстановка этой величины в (5.8) дает m*=m . Следовательно, эффективная масса свободного электрона равна его массе покоя. Понятие эффективной массы носителей заряда значительно упрощает математическое описание движения носителей в потенциальном поле кристаллической решетки. Рассмотрим далее зависимость скорости носителей заряда от волнового числа. Дифференцируя значение W в выражении (1.22) мы получили, что dW / d k = k / m *. Из уравнения (1.20) следует, что групповая скорость v е волнового пакета, обладающего квазиимпульсом P=m* v е , при его движении в периодическом поле кристаллической решетки определяется соотношением Оценим величину v е . Для этого из выражения (1.26) рассчитаем максимальное значение волнового числа k электронов в кремнии, которое при значении параметра кристаллической решетки кремния aSi=0,543 нм составляет 6 × 10 9 м -1 . В этом случае из соотношения (1.32) для скорости электрона vе получим величину около 6 × 10 5 м/ с . На рис. 1.19, а представлена зависимость W( k ) для нижней энергетической зоны в пределах первой зоны Бриллюэна , построенная в соответствии с выражением (1.28). Энергия электрона вблизи дна зоны проводимости (при k a cos ( ka ) в ряд Маклорена : cos ( ka ) 1-( ka ) 2 /2!+. откуда из формулы (1.28) следует, что W( k ) W о+ ( g a 2 k 2 )/2= Wмин+Аk 2 , (1.33) где Wмин - минимальное значение энергии при k=0; А=( g a 2 )/2 - постоянная . График кривой (1.33) является квадратичной параболой. Подставляя результат дифференцирования дисперсионной кривой (1.33) по k в формулу (1.32), получим, что вблизи дна и в средней части зоны значение групповой скорости электрона определяется выражением ve= g k a 2 / , то есть линейно зависит от изменения волнового числа k (рис. 1.19, б). Рассмотрим теперь зависимость эффективной массы от волнового числа для электрона, находящегося в периодической одномерной решетке (рис. 1.19, в .). Для эффективной массы электрона в соответствии с формулой (1.31) получим выражение m*= / g a 2 . Следовательно, вблизи дна и в средней части разрешенной зоны эффективная масса электрона является постоянной и положительной величиной. Заметим, что при возрастании ширины разрешенной зоны (что происходит с увеличением параметра g) эффективная масса электрона уменьшается, а скорость электрона vе увеличивается. Вблизи границ первой зоны Бриллюэна скорость электронов v e проходит через максимум, а на границах зоны ( k= p / a ) становится равной нулю (рис. 1.19, б), что соответствует остановке и отражению электрона. Поэтому вблизи границы зоны Бриллюэна значение эффективной массы электрона возрастает до бесконечности, а функция m *( k ) претерпевает разрыв и меняет знак на отрицательный (рис. 1.19, в). Таким образом, эффективная масса электрона вблизи потолка разрешенной зоны является отрицательной величиной, т. е. m * До сих пор рассматривались возможные значения энергии электронов и было установлено, что все энергетические уровни, которыми могут обладать электроны, расположены в зонах. Возникает вопрос - все ли из возможных уровней в действительности заняты электронами? Т. е. каково заполнение зон? Качественно этот вопрос можно проанализировать, если вспомнить каково же заполнение энергетических уровней в изолированном атоме. Так как в нейтральном изолированном атоме внутренние энергетические уровни полностью заполнены, а не полностью заполненным может быть лишь крайний валентный уровень, то и заполнение зон в кристалле оказывается различным. Зоны, произошедшие от внутренних уровней, всегда полностью заполнены электронами. Только зона, образованная от валентных уровней, может оказаться в ряде случаев заполненной не полностью. Зону, произошедшую от валентных уровней атомов, образующих кристалл, называют валентной зоной. Степень заполнения валентной зоны электронами зависит, прежде всего, от химической природы атомов, из которых состоит кристалл, определяемой величиной Z, от кристаллической структуры и от многих других: более тонких факторов. В случае одноатомных кристаллов с простой структурой, т. е. с базисом, состоящим из одного атома, полное число электронов в кристалле будет NZ где N — число атомов в кристалле a Z - число электронов, приходящихся на один атом (атомный номер). Число же квантовых состояний в каждой отдельной -разрешенной зоне равно 2N Тогда количество заполненных электронами зон будет NZ/2N = = Z/2. Таким образом, если Z нечетно, то заполненным оказывается нецелое число зон. Т.е. элементы с нечетным атомным номером, если они кристаллизуются в простой решетке, будут иметь не полностью заполненную зону, произошедшую от валентных уровней. Из дальнейшего изложения станет ясно, что обратное утверждение о том, что у элементов с четным Z эта зона должна быть заполнена полностью, не правильно. В изолированном атоме выше валентного уровня находятся уровни энергии, на которых хотя электронов и нет, но они могут там находиться при возбуждении атомов. Для этого валентному электрону необходимо преодолеть энергетический барьер, равный потенциалу возбуждения атома. Точно так же и в кристалле выше валентной зоны имеется полностью свободная от электронов зона, которую называют зоной проводимости. Заполнение зоны проводимости может начаться только если электроны в валентной зоне получат дополнительную энергию, достаточную для преодоления энергетического барьера, равного ширине запрещенной зоны, лежащей между валентной зоной и зоной проводимости. Изобразим теперь возможные случаи зонной структуры с учетом·; степени заполнения зон. Таких случаев может быть четыре (рис. 1.2). Рис. 1.2. Возможные случаи зонной структуры твердых тел: б — металл, состоящий· из одновалентных атомов; б — металл, состоящий из двухвалентных атомов; в — полупроводник; г — полупроводник с большой величиной запрещенной зоны (диэлектрик) Случай а. Валентная зона заполнена не полностью. При приложении к такому кристаллу электрического поля электроны будут получать от него энергию и будут, соответственно, переходить на более высокие энергетические уровни. Из рис. 1.2, б видно, что во всех глубоко лежащих зонах этот процесс невозможен, так как в глубоких зонах все уровни полностью заняты.. Валентная зона заполнена лишь частично и в ней переходы электронов будут происходить беспрепятственно, что обеспечивает прохождение электрического тока через такой кристалл при любой температуре. Здесь, таким образом, случай хорошо проводящего ток кристалла, электропроводность которого не меняется с температурой, т. е. это случай описывает свойства металла. Случай б. Валентная зона заполнена полностью, но запрещенная зона между валентной зоной и зоной проводимости отсутствует (рис. 1.2, б). Такой кристалл опять-таки будет хорошо проводить электрический ток и его электропроводность также не будет зависеть (или почти не будет· зависеть) от температуры. Таким образом, и этот случай соответствует металлическому кристаллу. Отличие от случая а заключается в том, что в отдельных атомах, из которых образуется этот металл, валентные уровни заполнены полностью, но ближайшие к валентным уровни находятся на столь близких расстояниях, что при образовании зон, валентная зона и зона проводимости оказываются перекрывшимися друг с другом. Случай в и г. Валентная зона заполнена полностью и не перекрыта с зоной проводимости (рис. 1.2, в и 1.2, г). Это случаи, когда перемещение электронов под действием электрического поля не может происходить до тех пор, пока каким-либо способом, например нагревом, не будет переведена часть электронов из валентной зоны в зону проводимости. Т. е. эти случаи описывают кристаллы, электропроводность которых должна повышаться с увеличением температуры. Такие кристаллы называют полупроводниками. Различие случаев в и г лишь в величинах запрещенных зон. Совершенно очевидно, что для преодоления большего энергетического зазора (рис. 1.2, г) потребуется и более высокая температура. Поэтому кристаллы, у которых проводимость возникает при очень высоких температурах, принято относить к диэлектрикам. Условно принято считать, что кристаллы такого типа будут диэлектриками, если ширина запрещенной зоны будет больше 2 эВ (46,12 ккал/г-моль). Хотя с физической точки зрения и такие кристаллы являются полупроводниками. Анализ степени заполнения зон позволяет в дальнейшем исключить из рассмотрения все глубокие зоны, лежащие ниже валентной, так как электроны в этих зонах не участвуют в прохождении электрического тока через кристалл. Таким образом, зонную структуру, которую рассмотрим в дальнейшем, будем изображать так, как она показана на рис. 1.3. Рис.1.3. Упрощенная схема зонной энергетической структуры Обычно принято для краткости изображать лишь потолок валентной зоны, обозначаемый Еυ подразумевая, что сама валентная зона располагается ниже этого уровня. Точно так же принято изображать дно зоны проводимости, т. е. ее нижний уровень, обозначаемый ес. Ширину запрещенной зоны принято обозначать Eg. Как уже говорилось выше, проводимость в полупроводнике возникает только после того, как часть электронов будет переброшена из валентной зоны в зону проводимости. Этот процесс показан на рис. 1.3 пунктиром. После этого валентная зона оказывается уже не полностью заполненной и в ней также станет возможным перемещение электронов, т. е. повышение их энергии при приложении электрического поля. Таким образом, механизм протекания электрического тока через рассматриваемый кристалл обусловлен одновременным перемещением электронов и в зоне проводимости, и в валентной зоне. Разумеется, что такое перемещение должно отличаться от движения действительно свободных электронов в вакууме, так как в кристалле на электроны действует еще и внутреннее периодическое потенциальное поле. Привычным является описание движения тел в рамках классической механики Ньютона, которая устанавливает связь между внешней силой F, приложенной к телу, и его ускорением. В кристалле же на электрон действует периодическое поле, явившееся следствием действия на электрон многих внутренних сил. Эти силы также должны учитываться величиной F. Поэтому рассчитать истинную траекторию электрона в кристалле не представляется возможным, так как нельзя точно решить задачу действия многих сил. Да если такую задачу и удалось бы решить, то законы действия этих сил оказались бы не столь наглядными в сравнении с ньютоновской механикой. Неприменимость ньютоновской механики для электронов доказывают обычно на основании известного в квантовой механики принципа неопределенности, при котором неопределенность в величине скорости электрона оказывается больше самой скорости, что, конечно, является абсурдом. Таким образом, для электрона в кристалле понятие о мгновенной скорости теряет смысл. Остается лишь понятие о средней скорости электрона. Чему же равна средняя скорость электрона в кристалле? Ее можно определить как групповую скорость волн, с помощью которых описывается электрон; (1.1.) За время dt внешняя сила F совершает работу по перемещению электрона, численно равную (1.2) (1.3.) Дифференцируя vГ по времени получим ускорение электрона в виде (1.4.) Сравнивая это выражение с законом Ньютона для обычных тел можно увидеть полное сходство, если трактовать как аналог массы величину (1.5.) Эту величину называют эффективной массой. Смысл введения эффективной массы заключается в том, что с ее помощью учитывают совместное действие периодического потенциального поля и внешней силы на электрон в кристалле. Посредством введения эффективной массы удалось сложные законы движения электронов в кристалле свести к законам, которые по форме (только по форме!) совпадают с хорошо известными законами классической механики. Следует понимать, что эффективная масса ничего общего не имеет с обычной массой, т. е. она не является мерой инерции и не связана с силами тяготения. Более того Е является переменной величиной в зависимости от k, а значит, и –d 2 E/dk 2 может быть переменной величиной, т. е. эффективная масса может быть не постоянной в отличие от обычной истинной массы электрона. Таким образом, эффективная масса есть лишь коэффициент пропорциональности в законе, связывающем внешнюю силу, действующую на электрон в кристалле с его ускорением. Возвращаясь к описанию перемещения электронов в зонах приходим к необходимости описывать его движением электронов в зоне проводимости с хотя и переменной по величине, но все-таки с нормальной положительной эффективной массой и одновременно - движением электронов с аномальной - отрицательной массой в валентной зоне. Во избежание трудностей при описании такого движения было введено понятие положительной дырки, перемещение которой в электрическом поле происходит в противоположном направлении по сравнению с электроном. Тогда масса такой положительной дырки положительна. Движение электрона в валентной зоне носит характер эстафеты: электрон переходит на верхний свободный уровень и остается на нем, на освободившийся уровень приходит электрон с еще более низкого уровня и т. д. При таких перемещениях электронов, происходящих вверх по шкале энергий, освобождающийся энергетический уровень движется вниз в глубь валентной зоны. Поэтому противоположно направленные движения электрона и освобождающегося уровня в валентной зоне эквивалентны. Освобождающийся уровень и отождествляется с некой фиктивной частицей, которая имеет равный по величине, но противоположный по знаку заряд по сравнению с электроном. Эта частица и есть дырка. Дырки с меньшей энергией располагаются у потолка валентной зоны и увеличивают свою энергию, перемещаясь по шкале энергий вглубь валентной зоны. Иными словами, для дырок и электронов отсчет энергий идет в противоположных направлениях. Энергетический спектр Е (k) приобретает вид, изображенный на рис. 1.4. Рис. 1.4. Энергетический спектр электронов и дырок в координатах Е — k Эффекти́вная ма́сса — величина, имеющая размерность массы и применяемая для удобного описания движения частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы электрона m 0 > (9,11×10 −31 кг). Эффективная масса электрона в кристалле, вообще говоря, отлична от массы электрона в вакууме и может быть как положительной, так и отрицательной [1] .Содержание
Определение
. С помощью квантовой механики можно показать, что для электрона во внешнем электрическом поле E:
, где заряд обозначен q. Отсюда можно получить выражение для эффективной массы :![m^<*></p>
<p> = \hbar^2 \cdot \left[ \over > \right]^](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/44fe609850705ab89d76fc0714b65a4c.jpg)
![\! \varepsilon=\varepsilon(\overrightarrow<k></p>
<p>По определению эффективную массу находят из закона дисперсии [1] )](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/7498e4048a499a163cdbb7932d13dfac.jpg)
— волновой вектор, " width="" height="" />
— символ Кронекера, — постоянная Планка.Эффективная масса для некоторых полупроводников
Материал Эффективная масса электронов Эффективная масса дырок Группа IV Si (4.2K) 1.08 me 0.56 me Ge 0.55 me 0.37 me III-V GaAs 0.067 me 0.45 me InSb 0.013 me 0.6 me II-VI ZnSe 0.17me 1.44 me ZnO 0.19 me 1.44 me
Источники:
S.Z. Sze, Physics of Semiconductor Devices, ISBN 0-471-05661-8.
W.A. Harrison, Electronic Structure and the Properties of Solids, ISBN 0-486-66021-4.
На этом сайте приводится температурная зависимость эффективной массы для кремния.Экспериментальное определение
, в спектре наблюдается острый пик. В последние годы эффективные массы более обычно определялись из измерения зонной структуры с использованием методов, наподобие фотоэмиссии с угловым разрешением (ARPES) или более прямым методом: эффект де Гааза-ван Альфена.
Важность
, где \mu\end = \frac<\beginm^*\end>" width="" height="" />
и — заряд электрона. Быстродействие интегральных микросхем зависит от скорости носителей, и, таким образом, малая эффективная масса — одна из причин того, что GaAs и другие полупроводники группы A III B V используются вместо кремния в приложениях, где требуется широкая полоса пропускания.
Читайте также: