Дробный факторный эксперимент кратко
Обновлено: 05.07.2024
Полный факторный эксперимент является весьма эффективным средством получения математической модели исследуемого объекта, особенно при числе факторов k>3. Однако увеличение числа факторов приводит к резкому увеличению числа опытов. Так, ПФЭ 2 6 требует постановки 64 опытов, а 2 7 – 128 опытов. Конечно, точность модели при увеличении числа опытов также возрастает, однако это приводит к большим затратам средств и времени.
Практика показывает, что для получения достаточно точных оценок коэффициентов регрессии можно обойтись малым количеством опытов, вводя понятие дробного факторного эксперимента или дробных реплик, который представляет собой некоторую часть (1/2, 1/4, 1/8 и т.д.) от полного факторного эксперимента.
Сокращение числа опытов влечет за собой появление корреляции между оценками коэффициентов. Это обстоятельство не позволяет раздельно оценивать эффекты факторов и эффекты взаимодействия. Получаются так называемые смешанные оценки.
Для дробных реплик используются специальные алгебраические соотношения, облегчающие выявление смешанных эффектов. Они называются генерирующими соотношениями и определяющими контрастами.
Генерирующим называется соотношение, которое показывает, какое из взаимодействий факторов принято незначимым по влиянию на выходную переменную, а поэтому может быть заменено в матрице планирования новой независимой переменной. Например, вместо плана 2 3 можно использовать его полуреплику – план 2 3–1 . Если в качестве генерирующего соотношения выбрать
то для построения уравнения регрессии достаточно четырех опытов, а качестве плана можно использовать расширенную матрицу планирования для эксперимента 2 2 (табл. 3)
| № оп. | X0 | Х1 | Х2 | X3=Х1Х2 |
| +1 | –1 | –1 | +1 | |
| +1 | –1 | +1 | –1 | |
| +1 | +1 | –1 | –1 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 |
С генерирующими соотношениями можно производить алгебраические операции: умножать левую и правую часть на любые эффекты – линейные и определенные взаимодействия. При этом если фактор входит в уравнение в квадрате или другой четной степени, то он заменяется единицей. Умножив обе части генерирующего соотношения (23) на получим или
Это и есть определяющий контраст, соотношение, которое задает элементы первого столбца.
Зная определяющий контраст, можно получить систему смешанных оценок для данной дробной реплики. Для этого определяющий контраст умножается на каждый фактор и взаимодействие факторов. В рассматриваемом примере для полуреплики от плана 2 3 смешанные оценки коэффициентов уравнения регрессии задаются следующими соотношениями:
что соответствует оценкам
Эффективность системы смешивания факторов и взаимодействия факторов определяется так называемой разрешающей способностью матрицы. Она считается максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наиболее высоких порядков.
Для построения дробных реплик большей степени дробности (2 k–p , р – число вновь введенных в рассмотрение факторов) необходимо задать столько генерирующих соотношений либо определяющих контрастов, сколько эффектов взаимодействия заменяются новыми независимыми факторами. Например, в плане типа 2 5–2 могут быть заданы такие генерирующие соотношения:
Определяющие контрасты для этой реплики будут таковы:
Перемножив определяющие контрасты между собой, получим так называемый обобщающий определяющий контраст, который с учетом (28) полностью характеризует разрешающую способность реплики высокой степени дробности:
При этом получается следующая система смешанных оценок для линейных эффектов
Обработка результатов ДФЭ осуществляется по тому же алгоритму, что и ПФЭ – соотношения (11) – (19).
2.6. Пример разработки математической модели методом ПФЭ по результатам экспериментального обследования объекта химической технологии.
Исследовался предел прочности при сжатии образцов цементов фосфатного твердения, выбранный выходным параметром (s, МН/м 2 ).
Факторами являлись: Z1 – температура термообработки, °С; Z2 – время термообработки, ч; Z3 – количество связки, %.
Необходимо получить математическое описание процесса по ПФЭ вида
и оценить адекватность полученной модели.
Исходные данные: Z10=500; Z20=3; Z30=25; DZ1=200; DZ2=2; DZ3=8.
| № оп | X0 | Х1 | Х2 | Х3 | Х1Х2 | Х1Х3 | Х2Х3 | Х1Х2Х3 | Y1 | Y2 |
| +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | 79.30 | 75.35 | |
| +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | 85.10 | 83.35 | |
| +1 | +1 | –1 | +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | 59.40 | 60.33 | |
| +1 | +1 | +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | –1 | 72.50 | 77.79 | |
| +1 | –1 | –1 | +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | 42.30 | 45.70 | |
| +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | +1 | +1 | –1 | 48.70 | 42.56 | |
| +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | +1 | 62.50 | 63.46 | |
| +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | –1 | +1 | +1 | 51.40 | 59.79 |
1. Расчет средних значений по формуле (11),
2. Определение построчной дисперсии по формуле (12):
3. Проверка однородности построчных дисперсий по критерию Кохрена – формула (13):
Полученное значение сравнивается с табличным , . Так как , дисперсии однородны.
4. Определение ошибки опыта или дисперсии воспроизводимости – (14):
5. Вычисление коэффициентов уравнения регрессии – (15):
6. Вычисление дисперсии коэффициентов уравнения регрессии и расчетных значений критерия Стьюдента, (16)–(17)
7. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии:
Следовательно, принимаем , так как они незначимы.
6. Полученное уравнение регрессии имеет вид:
Определим расчетные значения выходного параметра для каждого опыта по уравнению регрессии:
8. Определение расчетного значения критерия Фишера – (19):
9. Проверка адекватности полученного уравнения по критерию Фишера: , . Следовательно, полученная модель адекватно описывает процесс сжатия образцов цементов фосфатного твердения.
10. Раскодировка уравнения регрессии
В результате обработки результатов ПФЭ получено уравнение регрессии:
Факторы входят в него в кодированном виде. Чтобы получить уравнение в натуральном масштабе, необходимо воспользоваться формулами (4):
После подстановки получим
Окончательно уравнение регрессии в реальном масштабе имеет следующий вид:
Полный факторный эксперимент позволяет по простым формулам определить коэффициенты линейной модели. Однако ПФЭ обладает одним недостатком: при числе факторов К > 3 число опытов полной реплики резко увеличивается:
Посмотрим, нельзя ли исключить из полной реплики часть опытов таким образом, чтобы она сохранила свои свойства: симметричность, условие нормировки, ортогональность.
Запишем полную реплику для трехфакторной функции отклика (табл. 3.4), содержащую . Исключим из табл. 3.4 опыты 2, 3, 5, 8. Реплика, включающая оставшиеся опыты (1, 4, 6, 7), будет представлять собой часть (половину) полной реплики. Её называют полурепликой. Запишем полуреплику для трёхфакторной функции отклика (табл. 3.5).
Очевидно, что записанная полуреплика (см. табл. 3.5) сохраняет все свойства ПФЭ:
· выполнение условия нормировки ( );
Следовательно, мы можем вместо 8 опытов произвести 4 и определить коэффициенты линейной модели по полученным формулам (3.2), (3.3).
Заметим, что вторая полуреплика (табл. 3.6), дополняющая рассмотренную полуреплику до полной, тоже обладает всеми свойствами ПФЭ.
Эксперимент, число опытов которого меньше числа возможных сочетаний уровней плана, но который сохраняет свойства ПФЭ (симметричность, выполнение условий нормировки, ортогональность), называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). Матрица ДФЭ называется дробной репликой. Если дробная реплика составляет половину полной, то она называется полурепликой и обозначается репликой типа , если составляет четверть, то называется четвертьрепликой (репликой типа ) и т.д.
Рассмотрим правила выбора дробных реплик.
Необходимо помнить, что число опытов не должно быть меньше числа коэффициентов модели. Вместе с тем, число опытов должно быть таково, чтобы реплика удовлетворяла свойствам ПФЭ. Исходя из этого и выбирают дробность реплики.
При построении линейной модели трехфакторной функции отклика необходимо определить четыре коэффициента: . Полная реплика содержит опытов. Можно воспользоваться полурепликой, содержащей опыта. Составляется она следующим образом.
Сначала записывается полная реплика для двухфакторной функции отклика . Затем определяется пять коэффициентов . Полная реплика содержит опытов. Можно воспользоваться полурепликой, содержащей опытов (табл. 3.7).
Составляется она аналогично случаю, рассмотренному ранее (табл. 3.4 – 3.6). Сначала записывается полная реплика для трёхфакторной функции отклика , содержащая 8 опытов. В столбец (табл. 3.7) записывается либо произведение , либо произведение .
При построении линейной модели пятифакторной функции отклика необходимо определить шесть коэффициентов: . Полная реплика содержит опыта. Можно воспользоваться четверть-репликой, содержащей опытов (табл. 3.8). Составляется она следующим образом. Сначала записывается полная реплика для трёхфакторной функции отклика , содержащей 8 опытов. В столбец записывается любое из произведений (например, ), а в столбец – произведение либо произведение .
ПФЭ является эффективным средством построения математиче-ской модели исследуемого объекта. Однако одним из недостатков ПФЭ является то, что с увеличением числа факторов резко возрастает коли-чество опытов. Например:
ПФЭ 2 7 = 128 опытов;
ПФЭ 2 15 = 32768 опытов.
Количество опытов в ПФЭ значительно превосходит число опреде-ляемых коэффициентов линейной модели, т. е. полный факторный экс-перимент обладает большой избыточностью опытов.
Для сокращения количества опытов пользуются дробными репли-ками от ПФЭ, или дробным факторным экспериментом (ДФЭ).
Идея ДФЭ заключается в том, чтобы сократить число опытов ПФЭ, но при этом матрица планирования должна сохранить свои оптималь-ные свойства (3.42) – (3.44).
Дробным факторным экспериментом называется система опытов,представляющая собой часть ПФЭ, позволяющая рассчитать коэффициен-ты уравнения регрессии и при этом сократить объем (количество) опытов.
Для построения статистической модели процесса используется оп-ределенная часть ПФЭ: 1 2 , 1 4 , 1 8 и т. д. Эти системы (планы) опытов на-
зываются дробными репликами.
Для того чтобы дробная реплика представляла собой ортогональ-ный план, в качестве реплики берут ближайший ПФЭ. При этом число опытов должно быть больше или равно числу неизвестных коэффици-ентов в уравнении регрессии.
Например , необходимо исследовать влияние на результат ХТП трех факторов и получить его математическое описание в виде линей-
| ного уравнения | + b1x1+ b2 x2 | + b3 x3. |
| y = b0 |
Приведем матрицу планирования ПФЭ для трех факторов. Количе-ство опытов в табл. 3.3 N = 2 3 = 8.
| Таблица 3.3 | ||||
| N | x0 | x1 | x2 | x3 |
| + | + | + | + | |
| + | – | + | + | |
| + | + | – | + | |
| + | – | – | + | |
| + | + | + | – | |
| + | – | + | – | |
| + | + | – | – | |
| + | – | – | – |
Допустим, по каким-то причинам исследователю необходимо со-кратить число опытов. При этом свойства матрицы планирования долж-ны быть сохранены, а число опытов N не должно быть меньше 4 (число коэффициентов линейной модели для трех факторов).
Для решения этой задачи возьмем ближайший ПФЭ 2 2 и предполо-жим, что взаимодействие между факторами x1 и x2 в ПФЭ равно 0. По-этому в качестве плана для x3 новой матрицы используем взаимодейст-вие x1x2. Получим дробную реплику (в частности, полуреплику 1/2) от ПФЭ 2 3 , которая сохраняет все свойства (3.35) матрицы планирования.
| N | x0 | x1 | x2 | x3 |
| (х1х2) | ||||
| + | + | + | + | |
| + | – | + | – | |
| + | + | – | – | |
| + | – | – | + | |
| Число опытов в ДФЭ определяется по формуле | ||||
| N = 2 n–p , | (3.44) |
где n – общее число факторов; p – число факторов, приравненных к произведению.
Если n = 3, фактор x3 приравнен произведению x1x2, т. е. x3 = x1x2, то
N = 2 n –1 = 2 3–1 = 2 2 = 4.
Если приравнять x3 = –x1x2, то получим вторую половину матри-цы 2 3 .
Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т. е. совместным оцениванием нескольких теоретических коэффициентов модели. Если коэффициенты регрессии при парных произведениях не равны 0, то найденные нами коэффициенты будут смешанными оценками для гене-ральных коэффициентов:
b 0 = b 0 + b 1,2,3 ;
где bi – истинные коэффициенты; bi – оценки коэффициентов, вычис-ленных по данным выборки.
По данному плану (ДФЭ) можно вычислить коэффициенты b0,b1,b2,b3,однако они смешаны с парными и тройными взаимодейст-виями.
Таким образом, сокращение числа опытов приводит к корреляции между столбцами матрицы ДФЭ. В результате мы не можем раздельно оценить эффекты факторов и эффективность взаимодействий. Получаем совместные (смешанные) оценки.
Этот недостаток плана ДФЭ – своеобразная плата за сокращение числа опытов.
Вопросы для самоконтроля.
1. В чем суть планирования эксперимента?
2. Для чего строится матрица планирования?
3. С какой целью производится кодированные переменных?
4. Благодаря чему упрощается расчет коэффициентов регрессии?
5. В чем суть дробного факторного эксперимента и его недостатки?
6. Перечислите основные этапы статистического (регрессионного) анализа в полном и дробном факторном эксперименте.
7. Каковы ваши действия в случае получения адекватного или неаде-кватного уравнения регрессии?
Полные факторные эксперименты обладают одним значительным недостатком – количество опытов стремительно растет с увеличением числа изучаемых параметров. Такие планы в той или иной степени могут ограничить исследования. Кроме того, количество опытов зачастую прямо пропорционально стоимости эксперимента.
Таблица ниже приводит данные о минимальном количестве опытов, необходимом для реализации экспериментов типа в зависимости от количества параметров:
Чтобы сократить количество опытов применяют дробные факторные планы.
Дробным факторным экспериментом называется система экспериментов, представляющих собой часть ПФЭ, позволяющая рассчитывать коэффициенты уравнения регрессии и сократить объем экспериментальных данных. Такие эксперименты обладают меньшей информативностью, но позволяют значительно сократить количество опытов.
Метод построения дробных факторных планов легче продемонстрировать на конкретных примерах.
Запишем еще раз матрицу планирования ПФЭ (см. табл.2.3)
Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде неполного квадратного уравнения
Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента: и. Остается одна степень свободы. Употребим ее для минимизации числа опытов. При линейном приближении эффект взаимодействия стремиться к нулю и вектор-столбецможно использовать для нового фактора. Приравняем этот фактор взаимодействию. Матрица планирования запишется в виде табл.2.8.Полученный план содержит половину опытов ПФЭ и носит название полурепликой полного факторного эксперимента и обозначается . Выбранное для дополнительного фактора произведение называетсягенератором плана (поскольку определяет для дополнительного фактора правило чередования уровней в ДФЭ).
Графическое изображение планов ПФЭ 23 и ДФЭ 23-1 в факторном пространстве (для трех факторов - трехмерное пространство) представлено на рис. 2.11. План ПФЭ представлен кубом с восемью узлами (точками плана), а возможные планы ДФЭ– проекциями этого куба на три плоскости. То есть из восьми узлов выбираются четыре. Из куба можно также выбрать четыре точки из восьми, не лежащие в одной плоскости, и сформировать план ДФЭ.
По данному плану мы можем определить коэффициенты . Однако коэффициентыбудут смешаны с парными взаимодействиями.
При значительном числе факторов определение смешанности в ДФЭ является трудоемким. Для нахождения, при каких факторах и взаимодействиях оценки коэффициентов будут смешанными, вводится понятие контраста. Контраст получают умножением обеих частей генератора плана вводимого дополнительного фактора на этот фактор. Например, поскольку для ДФЭ (табл.2.8) генератор плана, то для контраста получим, т.к., окончательно имеем. Чтобы определить, с какими факторами и взаимодействиями смешана оценка, необходимо умножить обе части контраста на этот фактор. Например, дляимеем:, т.е.оценивается одновременнои. Записывается это так
Для , имеем .
Для , имеем ,
где - действительные значения коэффициентов.
В зависимости от числа факторов, входящих в контраст, говорят о разрешающей способности ДФЭ. Так, если для ДФЭ в качестве генератора плана выбрано(контраст соответственно будет), то говорят, что у такого эксперимента разрешающая способность равна 4; если генератори контраст, то разрешающая способность равна 3. Генераторы плана с наибольшей разрешающей способностью называютглавными и отдают им предпочтение.
Аналогично могут быть построены полуреплики при более высокой размерности факторного пространства. Так, для четырех параметров ПФЭвозможны следующие взаимодействия:
.
Полный факторный эксперимент, соответственно, потребует проведения 2 4 =16 экспериментов.
Составим матрицу для ДФЭ типа . Эксперимент предполагает изучение 4 факторов, один из которых будет замещать взаимодействие между другими параметрами. Разрешение эксперимента составляет 3. Минимальное количество опытов рассчитываем как.
Ниже представлена матрица эксперимента 2 3 :
Введем параметр вместо взаимодействия. Значения факторав каждом опыте будет вычисляться произведением факторови:
Так как параметр приравнивается к взаимодействию трех других факторов, т.е. не считается самостоятельным параметром, все взаимодействия с его участием исключаются. Таким образом, взаимодействияне изучаются в ходе эксперимента.
Можно было бы предположить, что подобное исключение членов матрицы значительно скажется на точности результатов эксперимента. В ряде случаев взаимодействия между параметрами действительно влияют на изучаемую систему и поэтому не могут быть исключены из эксперимента. Но, в остальном, пренебрежение взаимодействиями выше 2-го порядка, а иногда и взаимодействиями 2-го порядка, оправдано как минимум с точки зрения количества опытов и стоимости их проведения.
Очевидно, что ДФЭ типа будет иметьp генераторов.
Планирование позволяет наряду с линейными эффектами оценить и эффекты трех двойных взаимодействий
Коэффициенты уравнения регрессии будут совместными оценками линейных эффектов и двойных взаимодействий
Объясняется это тем, что столбцы матрицы этих эффектов совпадают между собой и, следовательно, не могут быть разделены оценки этих эффектов.
Если бы мы положили , то получили бы вторую половину матрицы
План
С увеличением числа факторов резко возрастает количество опытов ПФЭ. Так при 5-и факторах оно равно 32, при 6-и — 64 и т.д. Выполнить такое количество опытов технически сложно. Кроме того, значительно возрастает число степеней свободы при нахождении коэффициентов полинома. Для ПФЭ 2 5 необходимо найти 6 коэффициентов, следовательно число степеней свободы, т.е. количество избыточных значений Yu, составит 32 – 6 = 24.
Существует методика уменьшения числа опытов — дробный факторный эксперимент, план которого представляет собой некоторую часть (½, ¼ и т.д.) плана ПФЭ.
План ДФЭ строится следующим образом. Способом чередования знаков заполняются столбцы не для всех, а только для части факторов. Поскольку в линейной модели (5.1) эффекты взаимодействия между несколькими факторами не учитываются, уровни оставшихся факторов получаются с использованием некоторых генерирующих соотношений между факторами первой группы.
Генерирующее соотношение — произведение факторов, заменяемое в матрице новой независимой переменной. Например, для случая четырех факторов, когда факторы х1, х2 и х3 являются свободными, для получения значений фактора х4 можем использовать такие генерирующие соотношения:
Выбор некоторого генерирующего соотношения означает, что при проведении эксперимента мы пренебрегаем эффектом взаимодействия соответствующих факторов. Так, выбрав вариант 4, мы исключим из анализа эффект взаимодействия трех факторов х1, х2 и х3. В таком случае матрица ДФЭ 2 4-1 будет иметь вид, представленный в табл. 5.2
Таблица 5.2 — Матрица планирования ДФЭ 2 4-1
Номер опыта
Факторы
Параметр
Дробный факторный эксперимент позволяет сократить число опытов, однако теперь оценки коэффициентов не будут раздельными, как в ПФЭ. Как видно из матрицы планирования, оценка коэффициента b4 будет смешана с оценкой b123, который мы исключили из рассмотрения. Однако, смешанными оказываются и другие коэффициенты.
Умножив генерирующее соотношение на фактор, стоящий слева, получим , или, учитывая, что ,
Это т.н. определяющий контраст — соотношение между факторами, определяющее разрешающую способность матрицы. Умножив левую и правую части определяющего контраста на фактор xi, получим ответ, какой эффект смешан. Например, для фактора x1
т.е. оценка коэффициента b1 смешана с оценкой b234. Аналогично получим
Смешанными оказываются и оценки коэффициентов взаимодействия двух факторов:
т.е. смешаны оценки коэффициентов b12 и b34.
Разрешающая способность матрицы тем выше, чем выше порядок генерирующего соотношения, поскольку, например, эффект взаимодействия трех факторов обычно меньше, чем двух, и пренебрежение этим эффектом приводит к меньшей ошибке.
Планирование отсеивающих экспериментов
Для разделения факторов на значимые и незначимые часто недостаточно изучения и анализа априорной информации об объекте. Необходимы специальные исследования — отсеивающие эксперименты.
Их проводят на начальной стадии до планирования и постановки основного эксперимента. Планирование отсеивающих экспериментов стремятся свести к минимальному числу опытов.
Для выделения значимых факторов используются: метод экспертных оценок, планы Планкета – Бермана, метод случайного баланса, планы дробного факторного эксперимента.
Для отсеивания факторов достаточным является анализ линейной модели. Число коэффициентов такой модели l = k+1, где k — число факторов. В зависимости от соотношения между числом опытов n и определяемым числом коэффициентов планы делятся на ненасыщенные (n > l), насыщенные (n = l) и сверхнасыщенные (n k . Однако, переход к полному факторному эксперименту на трех уровнях связан с постановкой большого числа опытов. Так, для четырех факторов ПФЭ 3 4 требует 3 4 = 81 опыт, а ПФЭ 3 5 — 243.
Общее количество опытов с использованием звездных точек составляет
Пример построения матрицы второго порядка для двухфакторного эксперимента показан в табл. 5.4.
Таблица 5.3 — Данные к построению матриц планов второго порядка
ДФЭ 2 k -1
Таблица 5.4 — Матрица плана второго порядка для трех факторов
Номер опыта
Факторы
Параметр
Экстремальный эксперимент.
Целью исследования часто является поиск оптимальных условий функционирования объекта. В большинстве случаев необходимо найти сочетание факторов, соответствующее экстремальному (наибольшему или наименьшему) значению параметра. В случае двух факторов функция отклика Y = f (X1, X2) может быть представлена графически поверхностью, рис. 5.2 а. В точке M функция отклика достигает оптимального значения Yопт, которому соответствует сочетание факторов (X1опт, X2опт). Проекции сечений поверхности отклика горизонтальными плоскостями на плоскость X1ОX2 образуют линии равного отклика.
В случае, если удается описать процесс уравнением второго порядка, точку экстремума можно установить, используя методы математического анализа. При значительной нелинейности поверхности отклика этого сделать нельзя. В последнем случае ставят экстремальный эксперимент. Разработано несколько методов его проведения.
Классический метод для поиска экстремума заключается в следующем:
1) Фиксируя значения всех факторов, кроме одного, проводят серию опытов, варьируя выбранный фактор в пределах области его определения с некоторым шагом, рис 5.2 б.
2) Фиксируют выбранный фактор на том уровне, при котором получено максимальное значение функции отклика, после чего проводят следующую серию опытов, варьируя аналогичным образом следующий фактор.
3) Проведя серии опытов для всех факторов, получают точку M′′, приближенную к оптимуму.
4) Если приближение к оптимуму недостаточно, проводят дополнительные серии опытов по изложенной методике, но факторы варьируются в меньшей области и с меньшим шагом. Это позволяет получить более точное приближение к точке оптимума.
1) В области факторного пространства с центром в точке (X′1, X′2), которую исследователь считает близкой к оптимуму, ставят ПФЭ, (для большого числа факторов — ДФЭ), рис 5.2 в. Находят уравнение регрессии в виде полинома первой степени и проверяют его адекватность.
где — единичный вектор в направлении координаты Xi факторного пространства.
Поскольку функция отклика аппроксимирована полиномом первой степени вида (5.1), нетрудно видеть, что частные производные Y по факторам будут равны соответствующим коэффициентам:
3) Ставят ряд опытов в точках, лежащих на градиенте. Для этого выбирается базовый фактор, который оказывает наибольшее воздействие на параметр, т.е. для которого произведение bi ΔXi является наибольшим; здесь ΔXi — интервал варьирования i-го фактора.
Для базового фактора выбирают шаг смещения hб. Эта процедура не является формализованной. Здесь многое зависит от опыта экспериментатора, а также априорной информации об объекте исследования.
После выбора шага hб определяют смещение для других факторов:
Проводят серию опытов, варьируя все факторы с шагами hi, при этом опытные точки будут лежать на градиенте. По данным опытов устанавливают положение частного экстремума в данном направлении.
Поиск прекращается, когда линейная модель оказывается неадекватной. Это означает, что достигнута область оптимума. В ней ставят эксперимент второго порядка, по которому уточняют положение оптимума, или просто принимают наилучший из полученных результатов.
Читайте также: