Доказательство теоремы коши кратко

Обновлено: 02.07.2024

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа; поэтому его также называют обобщенной теоремой среднего значения (в дифференциальном исчислении). Чтобы получить формулу конечных приращений из формулы Коши, мы должны положить \(\ g(x)=x B \) последней формуле. Теорема Коши имеет тот же геометрический смысл, что и теорема Лагранжа.

Примеры решения проблем

Проверить, имеет ли место теорема Коши для функций \(\ f(x)=x^-1 \) и \(\ g(x)=x+2 \) на отрезке [0, 1].

Функции \(\ \mathrm(\mathrm) \) и \(\ g(x) \) непрерывны на отрезке \(\ [0,1] \). Найдите их значение на концах этого сегмента.

Далее мы найдем производные этих функций: \(\ f^<\prime>(x)=2 x \) , \(\ g^<\prime>(x)=1 \neq 0 \) для любого \(\ x \in(0,1) \). По теореме Коши существует точка \(\ c \in(a, b) \) такая, что

Действительно, подставляя найденные значения в последнее равенство, получим

Доказательство. Заметим, что . В противном случае – согласно теореме Ролля – производная обратилась бы в нуль в некоторой точке .
Рассмотрим вспомогательную функцию



которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, в частности, принимает одинаковые значения на концах промежутка :



Тогда существует точка , в которой

Теорема(Коши) (об отношении конечных приращений двух функций). Если функции f(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), причем φ'(x) ≠ 0 для всех х є (a, b), то найдется хотя бы одна точка с є (a, b) такая, что выполняется равенство

Доказательство. Отметим, что φ(b) – φ(a) ≠ 0, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с такая, что φ'(с) = 0, чего не может быть по условию теоремы Коши.

Рассмотрим вспомогательную функцию

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), так как является линейной комбинацией функций f(x) и φ(x); на концах отрезка F(x) принимает одинаковые значения F(a) = F(b) = 0.

На основании теоремы Ролля найдется точка х = с є (a, b) такая, что F'(с)=0. Но Тогда

Пусть и непрерывные функции на и дифференцируемы на отрезке . Пусть, кроме того, для любого Тогда существует точка такая, что:

\[ \frac<f(b)-f(a)></p> <p> = \frac</p> <p>Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа, поэтому её так же называют обобщенной теоремой о среднем значении (в дифференциальном исчислении). Для получения формулы конечных приращений из формулы Коши следует в последней формуле положить . Теорема Коши имеет такой же геометрический смысл, что и теорема Лагранжа.</p> <h2>Примеры решения задач</h2> <table> <tr><td >Задание</td> <td>Проверить, выполняется ли теорема Коши, для функций <img class=
и на отрезке . Решение Функции и непрерывные на отрезке . Найдем их значение на концах этого отрезка

\[ f(0) = 0^</p> <p>-1=-1 \text< >;\text < >f(1) = 1^-1=0 \text< >;\text < >g(0)=0+2=2 \text< >;\text < >g(1)=1+2=3 \]

Далее найдем производные этих функций: ; для любого . По теореме Коши, существует точка такая, что

\[ \frac<f(b)-f(a)></p> <p> = \frac</p> <p>Действительно, подставляя найденные значения в последнее равенство, получим</p> <p><img class=

Начнём с первой теоремы — она часто используется при доказательстве второй. А в конце будет пара важных пояснений.

1. Теорема о нуле непрерывной функции

Теорема 1. (о нуле непрерывной функции). Пусть функция $f\left( x \right)$ непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$. Пусть также на концах этого отрезка она принимает значения разных знаков, т.е. $f\left( a \right)\cdot f\left( b \right) \lt 0$.

Тогда существует число $c\in \left( a;b \right)$ такое, что $f\left( c \right)=0$.

Интуитивно теорема кажется очевидной: чтобы соединить две точки по разные стороны от оси $OX$ непрерывной линией, придётся в какой-то момент пересечь ось $OX$. Таких пересечений может быть несколько:

А может быть лишь одно. Но пересечение будет обязательно:

1.1. Доказательство теоремы Больцано-Коши

Будем доказывать методом Больцано. Без ограничения общности положим $f\left( a \right) \lt 0$ и $f\left( b \right) \gt 0$.

Обозначим отрезок $_>=\left[ a;b \right]$ и разделим его пополам точкой $_>=<\left( a+b \right)>/\;$. Возможны три варианта:

  1. Если $f\left( _> \right)=0$, то теорема доказана. Дальнейшие рассуждения не нужны.
  2. Если $f\left( _> \right) \gt 0$, то обозначим отрезок $_>=\left[ a;_> \right]$.
  3. Если $f\left( _> \right) \lt 0$, то обозначим отрезок $_>=\left[ _>;b \right]$.

Суть в том, что $f\left( _> \right)$ имеет знак, отличный либо от $f\left( a \right)$, либо от $f\left( b \right)$. И в качестве $_>$ мы выбираем ту половину $_>$, у которой знаки $f\left( x \right)$ на концах различаются.

Повторяя эту процедуру много раз, мы либо наткнёмся на некое $_>$ такое, что $f\left( _> \right)=0$, либо построим последовательность стягивающихся отрезков

\[_>\supset _>\supset \ldots \supset _>\supset \ldots \]

Длина этих отрезков $\left| _> \right|=\left| a-b \right|\cdot ^>$ стремится к нулю при $n\to +\infty $. Следовательно, по лемме о стягивающихся отрезках существует единственная точка $c\in _>$ для всех $n\in \mathbb$.

Но функция $f\left( x \right)$ непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$. Следовательно, она непрерывна в точке $c\in \left[ a;b \right]$. Вспомним определение непрерывности по Гейне:

Откуда $f\left( c \right)=0$, что и требовалось доказать.

1.2. Краткое доказательство

  1. Либо наткнёмся на точку $_>\in \left[ a;b \right]$ такую, что $f\left( _> \right)=0$
  2. Либо построим последовательность стягивающихся отрезков с общей точкой $c\in \left[ a;b \right]$, в которой $f\left( c \right)=0$.

Теорема полностью доказана. А вся идея доказательства уместилась в двух пунктах. Плюс лемма о стягивающихся отрезках, которые должны иметь ровно одну общую точку.:)

Переходим к обобщению теоремы о нуле непрерывной функции — это будет та самая теорема, которая изначально и называлась теоремой Больцано-Коши.

2. Теорема Больцано-Коши

Теорема 2. Путь функция $f\left( x \right)$ непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$, причём $f\left( a \right)=m$, $f\left( b \right)=M$ и $m\ne M$. Пусть также $c$ — любое число, которое удовлетворяет условию

\[\begin m & \le c\le M\left( m \lt M \right) \\ M & \le c\le m\left( M \lt m \right) \\ \end\]

Тогда найдётся точка $_>\in \left[ a;b \right]$ такая, что $f\left( _> \right)=c$.

Это и есть теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Графически это выглядит так:

Интуитивно всё понятно. Теперь докажем теорему строго.

2.1. Доказательство теоремы Больцано-Коши

Вновь без ограничения общности положим $m \lt M$ и зафиксируем точку $c\in \left[ m;M \right]$. Если $c=m=f\left( a \right)$, то $_>=a$. Если $c=M=f\left( b \right)$, то $_>=b$.

Пусть теперь $m \lt c \lt M$. Рассмотрим функцию $g\left( x \right)=f\left( x \right)-c$. Она непрерывна на отрезке $\left[ a;b \right]$, как и функция $f\left( x \right)$. Поэтому

\[\begin g\left( a \right) & =f\left( a \right)-c=m-c \lt 0 \\ g\left( b \right) & =f\left( b \right)-c=M-c \gt 0 \\ \end\]

Следовательно, функция $g\left( x \right)$ принимает на концах отрезка значения разных знаков:

\[g\left( a \right)\cdot g\left( b \right) \lt 0\]

По теореме о нуле непрерывной функции найдётся точка $_>\in \left[ a;b \right]$ такая, что

\[\begin g\left( _> \right) & =0 \\ f\left( _> \right)-c & =0 \\ f\left( _> \right) & =c\end\]

Итак, мы предъявили точку $_>\in \left[ a;b \right]$ такую, что $f\left( _> \right)=c$. Теорема доказана.

2.2. Замечания к теореме Больцано-Коши

Иногда в курсе матанализа основная теорема Больцано-Коши, которую мы только что доказали, формулируется и доказывается первой. В этом случае теорема о нуле непрерывной функции становится ещё частным случаем (для $c=0$). Впрочем, из последнего доказательства легко видеть, что эти теоремы эквивалентны.

Часто в учебниках (и на многих сайтах) эти теоремы нумеруют:

Всё это порождает путаницу, особенно когда в экзаменационных билетах написано одно, а на лекциях теорема называлась по-другому. Однако суть теорем от этого никак не меняется.

Важно понимать, что обе теоремы отражают универсальные свойства непрерывных функций. Они работают именно на отрезках, но могут быть обобщены на произвольный компакт (об этом — в отдельном уроке по топологии).

Читайте также: