Доказательство леммы о коллинеарных векторах кратко

Обновлено: 04.07.2024

В статье ниже рассмотрим условия, при которых векторы считаются коллинеарными, а также разберем тему на конкретных примерах. И, прежде чем приступить к обсуждению, напомним некоторые определения.

Коллинеарные векторы – ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому.

Данное определение дает возможность убедиться в коллинеарности векторов в их геометрическом отображении, однако точность такого способа может иметь погрешности, например, в зависимости, от качества самого чертежа. Поэтому обратимся к алгебраическому толкованию: сформируем условие, которое будет явным признаком коллинеарности.

Согласно схемам операций над векторами умножение вектора на некоторое заданное число приводит к соответствующему сжатию или растяжению вектора при сохранении или смене направления. Тогда вектор b → = λ · a → коллинеарен вектору a → , где λ – некоторое действительное число. Справедливым будет и обратное утверждение: если вектор b → коллинеарен вектору a → , его можно представить в виде λ · a → . Это является необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов.

Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы они были связаны равенствами: b → = λ · a → или a → = μ · b → , μ ∈ R

Координатная форма условия коллинеарности векторов

Исходные данные: вектор a → задан в некоторой прямоугольной системе координат на плоскости и имеет координаты ( a x , a y ) , тогда, согласно полученному выше условию, вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y ) .

По аналогии: если вектор a → задан в трехмерном пространстве, то он будет представлен в виде координат a = ( a x , a y , a z ) , а вектор b → = λ · a → имеет координаты ( λ · a x , λ · a y , λ · a z ) . Из полученных утверждений следуют условия коллинеарности двух векторов в координатном толковании.

Для коллинеарности двух ненулевых векторов на плоскости необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y или a x = μ · b x a y = μ · b y
Для коллинеарности двух ненулевых векторов в пространстве необходимо и достаточно, чтобы их координаты были связаны соотношениями: b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z или a x = μ · b x a y = μ · b y a z = μ · b z

Мы можем также получить еще одно условие коллинеарности векторов, опираясь на понятие их произведения.

Если ненулевые векторы a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) коллинеарны, то согласно векторному определению произведения a → × b → = 0 → . И это также соответствует равенству: i → j → k → a x a y a z b x b y b z = 0 → , что, в свою очередь, возможно только тогда, когда заданные векторы связаны соотношениями b → = λ · a → и a → = μ · b → , где μ - произвольное действительное число (на основании теоремы о ранге матрицы), что указывает на факт коллинеарности векторов.

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Рассмотрим применение условия коллинеарности на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы a → = ( 3 - 2 2 , 1 ) и b → = ( 1 2 + 1 , 2 + 1 ) . Необходимо определить, коллинеарны ли они.

Решение

Выполним задачу, опираясь на условие коллинеарности векторов на плоскости в координатах: b x = λ · a x b y = λ · a y Подставив заданные значения координат, получим: b x = λ · a x ⇔ 1 2 + 1 = λ · ( 3 - 2 2 ) ⇒ λ = 1 ( 2 + 1 ) · ( 3 - 2 2 ) = 1 3 2 - 4 + 3 - 2 2 = 1 2 - 1 b y = λ · a y ⇔ 2 + 1 = 1 2 - 1 · 1 ⇔ ( 2 + 1 ) · ( 2 - 1 ) = 1 ⇔ 1 ≡ 1

Т.е. b → = 1 2 - 1 · a → , следовательно, заданные векторы коллинеарны.

Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Исходные данные: векторы a → = ( 1 , 0 , - 2 ) и b → = ( - 3 , 0 , 6 ) . Необходимо убедиться в их коллинеарности.

Решение

Т.к. b x = λ · a x b y = λ · a y b z = λ · a z ⇔ - 3 = - 3 · 1 0 = - 3 · 0 6 = - 3 · ( - 2 ) , то верным будет равенство: b → = - 3 · a → , что является необходимым и достаточным условием коллинеарности. Таким образом, заданные векторы коллинеарны.

Найдем также векторное произведение заданных векторов и убедимся, что оно равно нулевому вектору: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 1 0 - 2 - 3 0 6 = i → · 0 · 6 + j → · ( - 2 ) · ( - 3 ) + k → · 1 · 0 - k → · 0 · ( - 3 ) - j → · 1 · 6 - i → · ( - 2 ) · 0 = 0 → Ответ: заданные векторы коллинеарны.

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 7 ) и b → = ( p , 3 ) . Необходимо определить, при каком значении p заданные векторы будут коллинеарны.

Решение

Согласно выведенному выше условию, векторы коллинеарны, если

b → = λ · a → ⇔ b x = λ · a x b y = λ · a y ⇔ p = λ · 2 3 = λ · 7

тогда λ = 3 7 , а p = λ · 2 ⇔ p = 6 7 .

Ответ: при p = 6 7 заданные векторы коллинеарны.

Также распространены задачи на нахождения вектора, коллинеарного заданному. Решаются они без затруднений, основываясь на условии коллинеарности: : достаточным будет взять произвольное действительное число λ и определить вектор, коллинеарный данному.

Исходные данные: вектор a → = ( 2 , - 6 ) . Необходимо найти любой ненулевой вектор, коллинеарный заданному.

Решение

Ответом может послужить, например, 1 2 · a → = ( 1 , - 3 ) или вектор 3 · a → = ( 6 , - 18 ) .

Ответ: вектор, коллинеарный заданному имеет координаты ( 1 , - 3 ) .

Исходные данные: вектор a → = ( 3 , 4 , - 5 ) . Необходимо определить координаты вектора единичной длины, коллинеарного заданному.

Решение

Вычислим длину заданного вектора по его координатам: a → = a x 2 + b x 2 + c x 2 = 3 2 + 4 2 + ( - 5 ) 2 = 5 2 Разделим каждую из заданных координат на полученную длину и получим единичный вектор, коллинеарный данному: 1 a → · a → = ( 3 5 2 , 4 5 2 , - 1 2 )

Изучать векторную алгебру начинают на уроках геометрии в средней школе (7 – 9 классы).

Вектор — это отрезок заданной длины и имеющий определенное направление.

С векторами можно выполнять различные математические операции: сложение, вычитание, умножение вектора на число и т. д.

Остановимся на операции умножения вектора на число. Пусть имеется вектор a → , умножим его на некоторое число k. Получим новый вектор b → = k · a → . Векторы a → и b → параллельны и направлены в одну сторону, отличие между ними заключается лишь в длине. Тогда данные векторы можно считать коллинеарными.

Коллинеарностью называется характеристика положения векторов, при котором векторы расположены на одной прямой или на параллельных прямых.

Понятие коллинеарности векторов

Из определения следует, что понятие коллинеарный является синонимом понятию параллельный.

Векторы могут быть направлены в одну сторону или же в противоположные. Существует следующее правило для обозначения сонаправленных векторов b → и d → — b → ↑ ↑ d → и противоположно направленных — b → ↑ ↓ d → .

Узнать, являются ли векторы b → ( b 1 ; b 2 ) и d → ( d 1 ; d 2 ) коллинеарными, можно, проверив соблюдение одного из следующих условий:

b → и d → — пара коллинеарных векторов, если можно найти такое число λ, что b → = λ · d → . Это условие называют леммой о коллинеарности векторов. Докажем ее. Рассмотрим случай, когда b → ↑ ↑ d → . Тогда число λ = b → d → . Векторы являются сонаправленными, так как λ>0. Из условия равенства длин векторов, получим λ · d → = λ · d → = b → d → · d → = b → , что и требовалось доказать. Случай, когда b → ↑ ↓ d → , доказывается аналогично. Возьмем λ = - b → d → , чтобы получить сонаправленные векторы b → и d → . Тогда λ · d → = λ · d → = - b → d → · d → = b → . Лемма доказана. Чтобы понять, являются ли векторы сонаправленными, нужно определить знак λ. Если λ>0, направления векторов совпадают, иначе — не совпадают.
b → и d → — пара коллинеарных векторов, если соотношения их координат равны между собой: b 1 d 1 = b 2 d 2 . Способ применяется для векторов, среди координат которых нет нулей. Отметим, что данное условие идентично условию параллельности прямых, заданных каноническими уравнениями.

Теорема о разложении векторов

Пусть на плоскости имеются три вектора b → , d → , c → . Тогда, если вектор d → выражается через b → и с → , говорят, что d → можно разложить по b → и c → . При этом вектор d → может быть как коллинеарным с одним из векторов, так и нет.

Сформулируем теорему о разложении векторов.

Любой вектор d → на плоскости можно представить в виде d → = x c → + y b → . При этом c → и b → — пара не коллинеарных векторов, и b → ≠ 0 , c → ≠ 0 . Такое представление называют разложением вектора.

Предположим, что d → коллинеарен b → .

Тогда согласно лемме: d → = y b → . Коэффициент x будет равным нулю, то есть d → = 0 · c → + y b → . Вектор разложен по векторам c → и b → . Теорема доказана.

В пространстве три вектора, два из которых коллинеарны, будут являться компланарными.

Рассмотрим случай, когда среди векторов d → , c → и b → нет коллинеарных.

На плоскости выберем точку M, из которой отложим отрезки M C → = c → , M D → = d → , M B = b → . Из точки D проведем прямую DC1||BM. Вектор d → можно найти по правилу треугольника, то есть d → = М С 1 → + D C 1 → .

D C 1 → и b → — пара коллинеарных векторов, так как лежат на параллельных прямых. Векторы M C 1 → и c → коллинеарны, поскольку лежат на одной прямой. Согласно лемме, D C 1 → = y · b → и M C 1 → = x · c → . Тогда d → = x · c → + y · b → , что и требовалось доказать.

Приведем доказательство, что x и y — однозначно определяемые коэффициенты. Предположим, что существуют x1 и y1, и d → = x 1 · c → + y 1 · b → . Получим, что x · c → + y · b → = x 1 · c → + y 1 · b → , или ( x - x 1 ) · c → + ( y - y 1 ) · b → = 0 .

По условию b → ≠ 0 и c → ≠ 0 , значит, равенство выполнимо только если x - x 1 = 0 и y - y 1 = 0 .

Тогда x = x 1 и y = y 1 , то есть x и y — единственно возможные коэффициенты разложения вектора d → .

Признаки и свойства коллинеарности векторов

Коллинеарные векторы на плоскости или в пространстве обладают следующими свойствами:

каждый вектор коллинеарен самому себе b → ↑ ↑ d → ;
если вектор b → коллинеарен вектору d → , то справедливо обратное утверждение: вектор d → коллинеарен вектору b → ( b → ↑ ↑ d → ⇔ d → ↑ ↑ b → ) ;
если ненулевой вектор b → коллинеарен ненулевому d → , а d → коллинеарен ненулевому c → , т о b → коллинеарен c → ;
нулевой вектор коллинеарен любому другому. Нулевым вектор называют вектор, длина которого равна нулю, а начальная и конечная точки совпадают;
скалярное произведение коллинеарных векторов b → и d → можно вычислить по формулам: b → ↑ ↑ d → ⇒ ( b → · d → ) = b → · d → и b → ↑ ↓ d → ⇒ ( b → · d → ) = - b → · d → .

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Определить, являются ли векторы f → ( 4 ; 10 ) и s → ( 2 ; 5 ) коллинеарными.

У векторов нет нулевых координат, проверим соблюдение условия коллинеарности векторов.

Для этого запишем отношения соответствующих координат по форме f 1 s 1 = f 2 s 2 .

Получим: 4 2 = 10 5 .

Ответ: векторы коллинеарные.

Даны три вектора с → ( 1 ; - 2 ) , b → ( 2 , x ) и d → ( 2 ; 2 ) , при этом с → и b → перпендикулярные.

Найти неизвестную координату x. Найти такое число α, при котором b → и d → будут коллинеарными.

Решение. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Отсюда найдем неизвестную координату x:

c 1 b 1 + c 2 x = 0 ;

Запишем соотношения координат b → и d → , подставив найденное значение координаты х ( 1 ) :

b 1 d 1 = b 2 d 2 ⇔ 1 2 = 1 2 .

Как видно соотношения координат одинаковы при любом α ∈ R , где R – область действительных чисел.

Ответ: b → и d → коллинеарны при любом α ∈ R .

Дано два вектора d → = 3 , b → = 6 . Найти такое число α, чтобы зависимость вида d → = α b → отображала:

коллинеарные сонаправленные векторы;
коллинеарные противоположно направленные векторы.

Решение. Если векторы сонаправлены, то α>0. Получим: 3=6α. Откуда: α=0,5.

На этом уроке мы докажем теорему о том, что любой вектор на плоскости можно единственным образом выразить через два произвольных неколлинеарных вектора. Такой набор из двух векторов называется базисом, и теперь мы можем связать координаты точек на плоскости, координаты радиус-векторов, а также координаты произвольных векторов.

Кроме того, мы рассмотрим один из возможных вариантов такого инструмента, как произведение двух векторов, а именно скалярное произведение, то есть такое произведение двух векторов, результатом которого будет не вектор, а число (скаляр). С помощью этого инструмента можно находить угол между векторами, а также решать большое количество различных геометрических задач.

Докажем сначала лемму 1 о коллинеарных векторах.

Возможны два случая: Рассмотрим эти случаи в отдельности.

1) Возьмём число Так как k ≥ 0, то векторы сонаправлены (рис. 273, а). Кроме того, их длины равны: Поэтому .

2) Возьмём число Так как k Лемма доказана.

Пусть и — два данных вектора. Если вектор представлен в виде где х и у — некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам и . Числа х и у называются коэффициентами разложения. Докажем теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Пусть и — данные неколлинеарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор можно разложить по векторам и Возможны два случая.

1) Вектор коллинеарен одному из векторов и , например вектору . В этом случае по лемме о коллинеарных векторах вектор можно представить в виде , где у — некоторое число, и, следовательно, т. е. вектор разложен по векторам и .

2) Вектор не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим какую-нибудь точку О и отложим от неё векторы (рис. 274). Через точку Р проведём прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через A₁ точку пересечения этой прямой с прямой О А. По правилу треугольника Но векторы коллинеарны соответственно векторам и , поэтому существуют такие числа х и у, что . Следовательно, , т. е. вектор разложен по векторам и .

Докажем теперь, что коэффициенты х и у разложения определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением имеет место другое разложение Вычитая второе равенство из первого и используя правила действий над векторами, получаем Это равенство может выполняться только в том случае, когда коэффициенты х - х₁ и у - у₁ равны нулю. В самом деле, если предположить, например, что х - x₁ ≠ 0, то из полученного равенства найдём а значит, векторы и коллинеарны.

Но это противоречит условию теоремы. Следовательно, х - х₁ = 0 и у - у₁ = 0, откуда х = х₁ и у = у₁. Это и означает, что коэффициенты разложения вектора определяются единственным образом. Теорема доказана.

Координаты вектора

Понятие прямоугольной системы координат (или, как иногда говорят, декартовой системы координат) нам известно из курса алгебры.

Напомним, что для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число.

Отложим от начала координат О единичные векторы (т. е. векторы, длины которых равны единице) и так, чтобы направление вектора совпало с направлением оси Ох, а направление вектора — с направлением оси Оу (рис. 275). Векторы и назовём координатными векторами.

Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде , причём коэффициенты разложения (числа х и у) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: . На рисунке 275 и .

Так как нулевой вектор можно представить в виде то его координаты равны нулю: Если векторы и равны, то х₁ = х₂ и у₁ = у₂. Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

1 0 . Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Докажем это утверждение для двух векторов. Рассмотрим векторы 1; j₁> и 2; у₂>. Так как и то, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим:

Отсюда следует, что координаты вектора + равны 1 + х₂; у₁ + у₂).

Аналогично доказывается следующее утверждение:

2 0 . Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Иными словами, если 1; у₁) и 2; у₂> — данные векторы, то вектор - имеет координаты 1 - х₂; y₁ - у₂). Проведите доказательство самостоятельно.

3 0 . Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

В самом деле, пусть вектор имеет координаты .

Рассмотренные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами. Пусть, например, требуется найти координаты вектора , если известно, что , ,

По правилу 3 0 вектор 2 имеет координаты , а вектор координаты . Так как то координаты вектора можно найти по правилу 1 0 : .

Итак, вектор имеет координаты .

Задачи

911. Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство если известно, что:
а) векторы противоположно направлены и ;
б) векторы сонаправлены и ;
в) векторы противоположно направлены и ;
г) векторы сонаправлены и .

912. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, М — середина отрез ка АО. Найдите, если это возможно, та кое число k, чтобы выполнялось равенство:

913. Векторы и коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: Ответ обоснуйте.

914. Докажите, что если векторы + и - не коллинеарны, то:
а) векторы и не коллинеарны;
б) векторы 2- и и не коллинеарны;
в) векторы + и + 3 не коллинеарны.

915. Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, причём AM : МС = 4:1. Разложите вектор по векторам .

916. Векторы и не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству:

917. Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы и . Постройте векторы с началом в точке О, заданные координатами

918. Разложите векторы изображённые на рисунке 276, а, б, в, по координатным векторам и и найдите их координаты.

919. Выпишите координаты векторов

920. Запишите разложение по координатным векторам и

вектора:

921. Найдите числа х и у, удовлетворяющие условию:

922. Найдите координаты вектора - если:

923. Найдите координаты вектора + если:

924. Найдите координаты векторов если .

925. Даны векторы Найдите координаты векторов, противоположных данным.

926. Найдите координаты вектора если:

927. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.