Диофантовы уравнения это кратко

Обновлено: 04.07.2024

Првило 1. Если с не делится на d, то уравнение ах + ву = с не имеет решений в целых числах. Н.О.Д.(а,в) = d.

Правило 2. Чтобы найти решение уравнения ах + ву = с при взаимно-простых а и в, нужно сначала найти решение (Х_о ; у_о) уравнения ах + ву = 1; числа СХ_о , Су_о составляют решение уравнения ах + ву = с.

Решить в целых числах (х,у) уравнение

Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.

Знаем, что если Н.О.Д.(а;в) =1, т.е. а и в взаимно-простые числа, то уравнение (1)

имеет решение в целых числах х и у. Н.О.Д.(5;8) =1. Методом подбора находим частное решение: Х_о = 7; у_о =2.

Итак, пара чисел (7;2) - частное решение уравнения (1).

Значит, выполняется равенство: 5 x 7 – 8 x 2 = 19 … (2)

Вопрос: Как имея одно решение записать все остальные решения?

Отсюда х – 7 = . Из полученного равенства видно, что число (х – 7) будет целым тогда и только тогда, когда (у – 2) делится на 5, т.е. у – 2 = 5n, где n какое-нибудь целое число. Итак, у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где n Z.

Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. 5х - 8у = 19 х = .

Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо у эти числа.

Если у = 2, то х = = = 7 Z.

Итак, частным решением является пара (7;2).

Тогда общее решение: n Z.

Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.

Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел а, в, таких, что Н.О.Д.(а,в) = 1 существуют целые числа х,у такие, что ах + ву = 1.

1. Сначала решим уравнение 5m – 8n = 1 используя алгоритм Евклида.

2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1. Найдем представление: 1 = 5m – 8n. Для этого используем алгоритм Евклида.

Из этого равенства выразим 1. 1 = 3 - 2 = 3 – (5 - 3 ) =

= 3 - 5 = 3 = (8 - 5 - 5 82 -5

= 5(-2). Итак, m = -3, n = -2.

2. Частное решение уравнения (1): Х_о = 19m; у_о =19n.

Пара (-57; -38)- частное решение (1).

3. Общее решение уравнения (1): n Z.

Четвертый способ. Геометрический.

1. Решим уравнение 5х – 8у = 1 геометрически.

2. Запишем частное решение уравнения (1).

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие

На 5 – ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли - ю часть окружности, так что х = у + .

Итак, Х_о = 5, у_о =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.

Кто такой Диофант?

Еще древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но в то время не было еще знаков действий и знака равенства, поэтому и записывать уравнения они не умели.

Первым, кто придумал, как можно записать уравнение, был замечательный ученый Диофант Александрийский. Александрия была большим культурным, торговым и научным центром древнего мира. Этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье Египта.

А ведь вы знаете кое-что о диофантовых уравнениях…

Диофантовы уравнения знают все! Это задачки для учеников младших классов, которые решаются подбором.

Если дать диофантовому уравнению общее определение, то можно сказать, что это алгебраическое уравнение с дополнительным условием: все его решения должны быть целыми числами (а в общем случае и рациональными).

Алгоритмы для решения диофантовых уравнений

Алгоритм Евклида

Сам метод Евклида относится к другой математической задаче – нахождению наибольшего общего делителя: вместо исходной пары чисел записывают новую пару – меньшее число и разность между меньшим и большим числом исходной пары. Это действие продолжают до тех пор, пока числа в паре не уравняются – это и будет наибольший общий делитель . Разновидность алгоритма используется и при решении диофантовых уравнений - сейчас мы вместе с Юрием Шанько покажем на примере, как решать задачи "про монетки".

- Рассматриваем линейное диофантово уравнение ax + by = c, где a, b, c, x и y — целые числа. Как видите, одно уравнение содержит две переменных. Но, как вы помните, нам нужны только целые корни, что упрощает дело - пары чисел, при которых уравнение верно, можно найти.

Впрочем, диофантовы уравнения не всегда имеют решения. Пример: 4x + 14y = 5. Решений нет, т.к. в левой части уравнения при любых целых x и y будет получаться четное число, а 5 — число нечетное. Этот пример можно обобщить. Если в уравнении ax + by = c коэффициенты a и b делятся на какое-то целое d, а число c на это d не делится, то уравнение не имеет решений. С другой стороны, если все коэффициенты (a, b и c) делятся на d, то на это d можно поделить все уравнение.

Например, в уравнении 4x + 14y = 8 все коэффициенты делятся на 2. Делим уравнение на это число и получаем: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. Этот прием (деления уравнения на какое-то число) позволяет иногда упростить вычисления.

Зайдем теперь с другой стороны. Предположим, что один из коэффициентов в левой части уравнения (a или b) равен 1. Тогда наше уравнение уже фактически решено. Действительно, пусть, например, a = 1, тогда мы можем в качестве y взять любое целое число, при этом x = c − by. Если научиться сводить исходное уравнение к уравнению, в котором один из коэффициентов равен 1, то мы научимся решать любое линейное диофантово уравнение!

Я покажу это на примере уравнения 2x + 7y = 4.

Его можно переписать в следующем виде: 2(x + 3y) + y = 4.

Введем новую неизвестную z = x + 3y, тогда уравнение запишется так: 2z + y = 4.

Мы получили уравнение с коэффициентом один! Тогда z — любое число, y = 4 − 2z.

Осталось найти x: x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12.

” В этом примере важно понять, как мы перешли от уравнения с коэффициентами 2 и 7 к уравнению с коэффициентами 2 и 1. В данном случае (и всегда!) новый коэффициент (в данном случае - единица) это остаток от деления исходных коэффициентов друг на друга (7 на 2).

В этом примере нам повезло, мы сразу после первой замены получили уравнение с коэффициентом 1. Такое бывает не всегда, но и мы можем повторять предыдущий трюк, вводя новые неизвестные и выписывая новые уравнения. Рано или поздно после таких замен получится уравнение с коэффициентом 1.

Давайте попрообуем решить более сложное уравнение, предлагает Аэлита Бекешева.

Рассмотрим уравнение 13x - 36y = 2.

Шаг №1

36/13=2 (10 в остатке). Таким образом, исходное уравнение можно переписать следующим образом: 13x-13 * 2y-10y=2. Преобразуем его: 13(x-2y)-10y=2. Введем новую переменную z=x-2y. Теперь мы получили уравнение: 13z-10y=2.

Шаг №2

13/10=1 (3 в остатке). Исходное уравнение 13z-10y=2 можно переписать следующим образом: 10z-10y+3z=2. Преобразуем его: 10(z-y)+3z=2. Введем новую переменную m=z-y. Теперь мы получили уравнение: 10m+3z=2.

Шаг №3

10/3=3 (1 в остатке). Исходное уравнение 10m+3z=2 можно переписать следующим образом: 3 * 3m+3z+1m=2. Преобразуем его: 3(3m+z)+1m=2. Введем новую переменную n=3m+z. Теперь мы получили уравнение: 3n+1m=2.

Ура! Мы получили уравнение с коэффициентом единица!

m=2-3n, причем n может быть любым числом. Однако нам нужно найти x и y. Проведем замену переменных в обратном порядке. Помните, мы должны выразить x и y через n, которое может быть любым числом.

y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3 * (2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8

x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22

Пусть n=5. Тогда y=57, x=158. 13_*(158)-36 _* (57)=2

Да, разобраться не очень просто, зато теперь вы всегда сможете решить в общем виде задачи, которые решаются подбором!

Решаем задачи на подбор чисел

Примеры задач для учеников младших классов, которые решаются подбором: посоревнуйтесь с ребенком, кто решит их быстрее: вы, используя алгорит Евклида, или школьник - подбором?

Задача про лапы

Условия

В клетке сидят куры и кролики. Всего у них 20 лап. Сколько там может быть кур, а сколько - кроликов?

Решение

Пусть у нас будет x кур и y кроликов. Составим уравнение: 2х+4y=20. Сократим обе части уравнения на два: x+2y=10. Следовательно, x=10-2y, где x и y - это целые положительные числа.

Ответ

Число кроликов и куриц: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)

Задача про монетки

Условия

У одной продавщицы были только пяти- и двухрублевые монетки. Сколькими способами она может набрать 57 рублей сдачи?

Решение

Пусть у нас будет x двухрублевых и y пятирублевых монеток. Составим уравнение: 2х+5y=57. Преобразуем уравнение: 2(x+2y)+y=57. Пусть z=x+2y. Тогда 2z+y=57. Следовательно, y=57-2z, x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114. Обратите внимание, переменная z не может быть меньше 23 (иначе x, число двухрублевых монеток, будет отрицательным) и больше 28 (иначе y, число пятирублевых монеток, будет отрицательным). Все значения от 23 до 28 нам подходят.

Ответ

о детях от 7 до 10 лет

К классическим операциям в математике относят решение элементарных выражений с несколькими неизвестными. Называют их линейные диофантовые уравнения. Разработанная теория древнегреческим учёным позволяет вычислять равенства без использования сложных формул. Метод базируется на рассуждениях и чётком понимании числовой теории, связанной в логическую конструкцию. В школе о нём рассказывают в восьмом классе. Его широко применяют на практике.

Основные понятия

Диофантовыми уравнениями принято называть линейные выражения вида: a1x1 + a2x2 + … + anxn = c. В этих равенствах икс обозначает искомое неизвестное, а коэффициенты a и c являются целыми числами. Греческий учёный предложил несколько способов решения таких уравнений:

полный перебор;
разложение на множители;
выражение одной переменной через другую с выделением целой части при решении системы;
поиск частного решения;
алгоритм Евклида;
геометрический метод.

Методы решения диофантовых уравнений позволяют найти целые или рациональные решения для алгебраических равенств или их систем. Но при этом число переменных в выражении не должно превышать двух. Как правило, такие уравнения имеют несколько решений, поэтому их другое популярное название — неопределённые.

Чтобы воспользоваться способами, предложенными математиком при рассмотрении задач, нужно попробовать проанализировать исходные данные и свести их к линейному равенству или системе уравнений. При этом коэффициенты, как стоящие возле неизвестных, так и свободные, должны быть целыми. Ответом же должно получиться тоже целое число, обычно натуральное.

Методы решения

Для начала следует рассмотреть однородное линейное уравнение вида: ax + by = 0. Это простой многочлен первой степени. Для него характерно то, что если для коэффициентов можно подобрать один делитель, то обе части возможно сократить на его величину не нарушив принципы записи. Наиболее простым способом определить этот делитель является метод разработанный великим математиком своего времени Евклидом.

Решение диофантовых уравнений по алгоритму Евклида заключается в нахождении общего делителя натуральных чисел с использованием деления с остатком. Для этого нужно взять большее число и просто разделить его на наименьшее. Затем полученный остаток нужно снова разделить на меньшее из чисел. Это действие необходимо повторять до тех пор, пока результатом операции не станет единица, то есть выполнится деление без остатка. Последнее полученное число и будет являться наибольшим общим делителем (НОД).

Существует три теоремы, которые используются при решении уравнений первой степени:

В случае, когда НОД равняется единице, выражение будет обязательно иметь хотя бы одну пару целого решения.
Если коэффициенты выражения больше единицы, и при этом свободный член нельзя нацело разделить на них, то корни равенства не имеют целого значения.
Когда коэффициенты равняются единице, все решения, состоящие из целых чисел, находятся с помощью формул: x = x0c + bt и y = y0c — at, где: х0, y0 — целые ответы, t — множество чисел.

Например, пусть есть равенство вида 54x + 37y = 1. Используя то, что a = 54, а b =37, можно записать: 54 — 37 *1 = 17. Теперь можно выполнить следующие вычисления:

37 — 17 * 2 = 3;
71 — 3 * 5 = 2;
3 — 2 * 1 = 1.

Далее нужно выразить значения коэффициентов через остаток:

3 — (17 — 3 * 5) = 1;
1 = 17 — 3 * 4;
1 = 17 — (37- 17 * 2) * 4;
1 = 17 — 37 * 4+17 * 8;
1 = 17 * 9 — 37 * 4;
1 = (54 — 37 * 1) * 9 — 37 * 4;
1 = 54 * 9 — 37 * 9 — 37 * 4;
1 = 54 * 9 — 37 * 13;
1 = 54х + 37у.

Исходя из приведённого следует, что x0 равняется девяти, а игрек нулевой — минус тринадцать. Таким образом, рассматриваемое уравнение будет иметь вид:

Этим же способом можно и определить, что целых решений в выражении быть не может, как, например, для равенства 17x + 36y = 7. В этом случае НОД не делится на два, поэтому и целых решений нет.

Способ подбора и разложения

Метод подбора используется для нахождения корней простых уравнений. Пожалуй, это самый простой способ, но вместе с тем и требующий повышенного внимания и большого количества операций. Его суть заключается в полном переборе всех допустимых значений переменных, входящих в равенство. Например, эта задача которая будет интересна и школьникам, только знакомящимся с уравнениями.

Пусть имеется зоопарк, в котором находятся птицы и млекопитающие. Всего у животных двадцать лап. Определить, какое количество может быть птиц, а какое — млекопитающих. Для нахождения ответа методом перебора следует принять число одних животных, равное x (пусть это будут четырёхпалые), а других — y (птицы). Таким образом, получится уравнение: 2x + 4 y = 20. Для простоты выражение можно упростить, сократив на два: x + 2y = 10.

Полученное выражение нужно преобразовать, разделив неизвестные знаком равно: x = 10 — 2y. Зная, что ответом могут быть только целые числа, вместо y нужно пробовать подставлять возможные варианты: 1 — 8; 2 — 6; 3 — 4; 4 — 2; 5 — 0. Это и есть все возможные ответы на поставленную задачу.

Разложение выражения на множители можно выполнять различными способами. Вот основные из них:

вынесение общего множителя: если каждый член многочлена можно разделить на одно и то же число, то его можно вынести за скобку;
использование формулы сокращённого умножения: оно выполняется по формуле: an — bn = (a-b) * (an-1 + an-2 * b +… a2bn-3 + abn-2 + bn-1);
применение свойства полного квадрата: это самый эффективный способ, заключающийся в вынесении полного квадрата за скобку с последующим использованием формул разности квадратов;
группировкой — в его основе лежит вынесение общего множителя таким образом, чтобы появилась возможность перегруппировки выражения, после которой получится значение, присутствующее во всех членах равенства.

Например, пусть имеется нелинейное уравнение вида: 8x4 + 32x2 = 8. Все его члены можно перенести в одну сторону, а равенство приравнять к нулю, при этом сократив каждый член на восемь: x4 + 4x2 — 1 = 0. Для преобразования такого выражения удобнее всего применить метод квадратов. Таким образом, уравнение можно расписать следующим образом: x4 + 2 * 2 * x2 + 4 — 4 — 1 = (x2 + 2)2 — 5 = (x2 + 2 — √5) * (x2 + 2 +√5).

Геометрический подход

Этот метод удобно применять для системы уравнений. Его принцип построен на изображении графиков уравнений и определения их точки пересечения. При этом координаты этой точки и будут являться корнями рассматриваемой системы.

Из этого утверждения можно сделать следующие выводы:

если графики уравнений представляют пересекающиеся прямые, то решением будет только одно число;
когда графики уравнений не имеют общих точек, то решения у системы уравнений нет;
в случае, когда графики совпадают, система будет иметь бесконечное множество корней.

Применять этот метод можно для уравнений, порядок которых не превышает единицы. В равенствах высшего порядка построить график обычно сложно. Например, дана система:

Из первого и второго равенства можно выразить одно неизвестное через другое, используя несколько произвольных чисел. Затем, подставляя их вместо неизвестного, можно построить график. Как только две прямые будут построены, можно будет определить, что точка их пересечения имеет координаты -2; 5. Эти значения и будут искомыми корнями.

Занимательная задача

На самом деле примеры диофантовых уравнений можно встретить в повседневной жизни. Например, при покупке чего-либо в магазине. На эту тему математики смогли придумать интересные задачи, обычно предлагающиеся ученикам на дополнительных занятиях.

Вот одна из них, появившаяся из реальной истории. Однажды математик пришёл в магазин приобрести свитер. Его цена составляла 19 рублей. У учёного же были с собой только купюры номиналом три рубля, а у кассира — пятирублёвки. Задача состоит в том, чтобы выяснить, сможет ли состояться сделка. Иными словами, необходимо найти, сколько нужно математику дать купюр, и какое их количество он получит от кассира.

Рассуждать нужно следующим образом. В задачи есть два неизвестных: количество трёхрублёвых и пятирублёвых купюр. Поэтому можно составить уравнение: 3x — 5y = 19. По сути, уравнение с двумя неизвестными может иметь бесчисленное число решений, но не всегда из них может найтись хотя бы одно целое положительное.

Итак, зная, что неизвестные должны быть целыми положительными числами, нужно выразить неизвестное с меньшим коэффициентом через остальные члены. Получится равенство: 3 x = 19 + 5 y. Левую и правую часть можно разделить на три, а после выполнить простейшие преобразования: x = (19 + 5y) / 3 = 6 + y + (1 + 2y) / 3. Учитывая, что неизвестные и свободный член это целые числа, выражение (1 + 2y) / 3 можно заменить буквой r, также являющимся каким-то целым числом.

Тогда уравнение можно переписать как x = 6 + y + t. Отсюда t = (1 + 2y) / 3 или y = t + (t — 1) / 2. Снова можно сделать вывод, что (t — 1) / 2 — какое-то целое число. Если заменить его на t1, выражение примет вид: y = t + t1.

Подставив t = 2t1 + l в равенство можно получить, что x = 8 + 5t1, а y = 1 + 3t1. Таким образом, решением уравнения будут полученные равенства. Исходя из того, что результат должен быть положительным, равенства можно переписать в неравенства вида:8 + 5t1> 0, 1 + 3t1 > 0. Отсюда определить диапазон, ограничивающий t1. Беря во внимание только плюсовую часть диапазона, можно сделать заключение, что возможные варианты решения лежать в пределе от нуля до плюс бесконечности.

Подставляя по очереди числа, можно определить значения x и y. Искомый ряд будет выглядеть следующим образом: 1 = 8, 13, 18, 23, …, n; 1 = 1, 4, 7, 10,…, m. То есть математик, дав восемь купюр, получит одну на сдачу, а если он отдаст 13 купюр, то продавец должен будет ему выдать четыре пятирублёвки. Этот ряд можно продолжать до бесконечности.

Использование онлайн-калькулятора

Существуют сайты, рассчитывающие линейные уравнения в автоматическом режиме. Они называются математическими онлайн-калькуляторами. Пользователю, желающему воспользоваться их услугами, нужно иметь лишь подключение к интернету и любой веб-браузер.

Свои услуги сервисы предоставляют бесплатно. При этом часто на их страницах содержится краткий теоретический материал, посвящённый решению диофантовых уравнений. Кроме того, пользователю предоставляется возможность ознакомиться с решением типовых примеров.

Из нескольких десятков таких сайтов на русском языке можно отметить следующие:

HostCiti;
PocketTeacher;
Upbyte;
Planetcalc;
Math24.

Все приведённые сайты имеют интуитивно понятный интерфейс и бесплатны. После того как пользователь введёт в предложенную форму нужные уравнения и запустит расчётчик, онлайн-сервисы не только выдадут ответ, но и выведут на экран пошаговое решение с объяснениями. Таким образом, эти сервисы помогают не только быстро и верно найти решение, но и дают возможность пользователю понять принципы вычисления, проверить самостоятельно выполненный расчёт.

Статья посвящена одному из разделов теории чисел — диофантовым уравнениям — как средству реализации интеграционных связей математического образования.

Учитель готовится к хорошему уроку всю жизнь… и, чтобы дать ученикам искорку знаний, учителю надо впитать целое море света.

В. А. Сухомлинский.

Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся. Эта цель выходит на одно из ведущих мест при изучении математики на повышенном уровне. Поэтому в современных условиях значительно повышается необходимость создания оптимальной системы интегративного содержания образования и процесса обучения. Интеграция является сегодня одной из определяющих тенденций познавательного процесса. Одним из средств реализации интеграционных связей математического образования является использование историко-математических сведений в учебном процессе [4, 5]. В частности, решение старинных задач в формулировке первоисточников, изучение истории их решения, сравнение различных методов решения подобных задач позволяет достичь указанные цели.

Поскольку одним из основных отличий задачи С-6 от остальных задач ЕГЭ является ее явно выраженный нестандартный характер, а сведения, необходимые для решения этой задачи, могут относиться к самым различным разделам школьного курса, построение решения может потребовать нетривиальных идей и методов, постольку смыслом включения задачи С-6 в состав контрольно-измерительных материалов является именно диагностика уровня интеллектуального развития учащихся. Недаром данная проблематика берет свои истоки с самого зарождения математики.

Первый этап развития учения о неопределённых уравнениях второго и третьего порядков, начало которому положил Диофант, нашёл своё завершение в работах Леонарда Эйлера [1, c. 39–48].

В настоящее время задача решения неопределенных уравнений формулируется так: пусть дано многочленов от переменных, с коэффициентами из некоторого поля . Требуется найти множество всех рациональных решений системы

(1)

и определить его алгебраическую структуру. При этом решение называется рациональным, если все [2, c. 42].

Ограничимся рассмотрением только таких задач Диофанта, которые сводятся к одному уравнению с двумя неизвестными, т. е. к случаю :

(2)

Это уравнение определяет на плоскости алгебраическую кривую . Рациональное решение (2) будем называть рациональной точкой кривой [1, c. 15].

Для диофантовых уравнений имеет место теорема, позволяющая установить наличие корней или же их отсутствие: Неопределенное уравнение второго порядка от двух переменных либо не имеет ни одного рационального решения, либо имеет их бесконечно много, причем в последнем случае все решения выражаются как рациональные функции параметра , , где и — рациональные функции [1, c. 23].

При исследовании линейных диофантовых уравнений необходимо ответить на следующие вопросы:

1) имеет ли уравнение целочисленные решения;

2) конечно или бесконечно множество его целочисленных решений;

3) решить уравнение на множестве целых чисел, т. е. найти все его целочисленные решения;

4) решить уравнение на множестве целых положительных чисел;

5) решить уравнение на множестве рациональных чисел [3].

В настоящее время известны следующие способы решения линейных диофантовых уравнений, а именно:

- использование алгоритма Евклида;

- использование цепных дробей;

- способ перебора вариантов;

- использование сравнений [3].

Уравнение второй степени с двумя неизвестными , где , может:

1) не иметь решений в целых числах;

2) иметь конечное число решений в целых числах;

3) иметь бесконечное множество решений в целых числах [3, c. 134].

При этом в рациональных числах диофантовы уравнения второй степени либо не имеют решений, либо имеют их бесконечно много.

На данный момент известны следующие способы решения неопределенных уравнений второго порядка, а именно [3]:

Далее рассмотрим несколько примеров решения диофантовых уравнений, а именно: метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение и метод разложения на множители.

1. Метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение.

Пример 1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения

Решение.Выразим из уравнения переменную через : .

Так как и — натуральные числа, то , , , .

Показывает перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются , .

Ответ: [3, c. 13].

Пример 2. Решить в целых числах уравнение .

1) Правая часть уравнения делится на 3 при любом целом .

2) Исследуем, какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.

По теореме о делении с остатком целое число либо делится на 3, либо при делении на 3 в остатке дает 1 или 2.

Если , то левая часть уравнения на 3 не делится.

Если , то

следовательно, левая часть уравнения на 3 не делится.

Если , то

, следовательно, левая часть уравнения на 3 не делится.

Таким образом, ни при каких целых левая часть уравнения на 3 не делится, а правая часть — делится на 3 при любых значениях переменной . Следовательно, уравнение в целых числах решении не имеет.

Ответ: решений нет [3, c. 15].

Данный метод применяется в случаях, когда в уравнениях можно применить какой-либо из способов разложения на множители:

- Формулы сокращенного умножения;

- Вынесение общего множителя за скобку и т. д.

Итак, охарактеризуем метод разложения на множители на конкретных примерах.

Пример 1. Решить уравнение в целых числах .

Решение.Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители .

Выпишем все делители числа 91: , , , .

Проведем исследование: заметим, что для любых целых чисел и число , следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение равносильно совокупности систем уравнений:

Решив системы, получим:

1) первая система имеет решения , ;

2) вторая система решений в целых числах не имеет;

3) третья система имеет решения , ;

4) четвертая система решений в целых числах не имеет.

Пример 2. Найти все целочисленные решения уравнения .

Решение.Проведем цепочку равносильных преобразований:

ó ó ó ó .

Так как можно представить в виде двух целых чисел с учетом порядка двумя способами, т. е. , получаем две системы:

или .

Решением первой системы является пара , а второй — .

Ответ: , [3, c. 17–19].

Оказывается, что некоторые текстовые задачи практического содержания также можно свести к составлению неопределённых уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Покажем данный прием на конкретных примерах.

Группу школьников нужно перевезти из летнего лагеря одним из двух способов: либо двумя автобусами типа за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа за несколько рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса типа . В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если в автобус типа входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа ?

Пусть каждый из трех автобусов типа B сделает по m рейсов, а каждый из двух автобусов типа A — по m+1.

Так как в обоих случаях автобусы перевезут одно и то же количество детей, то получим уравнение: .

При k> 14 получаем: или .

Число k — 14 — один из восьми делителей числа . Перебирая их по очереди, мы получим все возможные решения (8 пар k и m): (14; 44), (16; 23), (17; 16), (20; 9), (21; 8), (21; 5), (35; 4), (56; 3).

Для каждой пары последовательно находим количества перевозимых детей, равные : 1980, 1104, 816, 540, 504, 420, 504.

Ответ: 1980 детей перевозятся тремя автобусами типа В (по 15 человек) или двумя автобусами типа А (по 22 человека) за 45 рейсов.

Задача 2. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же шарики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 шарика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет лежать по 2 пакетика, а коробок потребуется на 2 больше. Какое наибольшее количество шариков может быть при таких условиях?

Решение.Пусть в каждой из коробок лежит 3 пакетика, по n шариков в каждом. Во втором случае коробок x + 2, пакетиков в коробке 2, а шариков в пакетике n+ 3. По условию задачи получаем уравнение: , откуда .

Заметим, что из следует, что , откуда .

Учитывая, что числа n и x натуральные, получаем, что — натуральный делитель числа 36.

Количество шариков при этом .

Решение находим, исследуя функцию . Данная функция монотонно убывает при и монотонно возрастает при . Следовательно, наибольшее значение функции достигается, если — наибольший или наименьший натуральный делитель числа 36.

Если , то , .

Ответ: 840 шариков [7, c. 27–28].

Таким образом, решение уравнений в целых и рациональных числах — один из самых красивых разделов математики, теоретические и практические сведения которого используются как в инженерии, биологии, так и повседневной жизни — последние две задачи тому подтверждение. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории. В настоящее время, в связи с современными требованиями к выпускнику школы, возникает особенная необходимость в изучении неопределенных уравнений. Считаем, что необходимо разрабатывать и составлять элективные и специальные курсы по обучению современных школьников и их учителей основным приемам решения данных уравнений и поиску способов нахождения этих решений, что, безусловно, служит предметом исследования, как математиков, так и методистов.

3. Гринько Е. П., Головач А. Г. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. — Брест, 2013 г.

4. Жмурова И. Ю., Бесперстова А. Ю. Использование историко-математических сведений в курсе теории чисел // Молодой ученый. — 2013. — № 10

6. Корянов А. Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания С6. — Брянск, 2010 г.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, автобус типа, решение, число, целое, левая часть уравнения, задача, метод разложения, математическое образование, полный перебор.

Диофантовы уравнения это кратко

Кто такой Диофант?

А ведь вы знаете кое-что о диофантовых уравнениях…

Алгоритмы для решения диофантовых уравнений

Алгоритм Евклида

Я покажу это на примере уравнения 2x + 7y = 4.

Рассмотрим уравнение 13x - 36y = 2.

Решаем задачи на подбор чисел

Задача про лапы

Задача про монетки

Основные понятия

Методы решения

Способ подбора и разложения

Геометрический подход

Занимательная задача

Использование онлайн-калькулятора

Похожие статьи

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

Способы решения квадратных уравнений

Программирование разностного метода решения одной задачи.

Применение метода математической индукции к решению задач.

Решение методом продолжения задач математической физики.

Численная реализация разностного метода решения одной.

Методические аспекты обучения младших школьников.

Методы извлечения квадратного корня