Дихотомия апория зенона кратко

Обновлено: 06.07.2024

Элеаты

Основоположником элейской школы (г.. Элея на юге Италии) был Ксенофан — один из первых рационалистических критиков мифологического мировоззрения. Но слава Элея связана с именами Парменида и Зенона. Парменид и его последователи убедительно показали, что результатом человеческого познания есть не одна, а две разные картины мира — чувственное восприятие дает одну картину мира, а разум — другую, причем эти картины мира могут быть принципиально противоположными.

Апории о движении

Дихотомия

Суть первой из них — в том, что движение не может начаться, ведь для того, чтобы пройти хотя бы малое расстояние, то, что движется должен преодолеть его половину. Но еще до этого он должен преодолеть половину этой половины. Однако ранее он должен продвинуться на половину расстояния предыдущей половины — и так до бесконечности. Итак, он вообще не может двинуться с места.

Ахилл и черепаха

Во второй Апории Ахилл, известный среди героев скоростью свой путь, соревнуется с черепахой. Они стартуют одновременно, но при этом точка, откуда начинает движение черепаха, находится несколько впереди места старта Ахилла. Бегун быстро преодолевает расстояние до точки, откуда начинала путь черепаха, но за это время неспешная животное все-таки успела проползти еще немного вперед. Ахилл стремительно преодолевает и эту малую расстояние, но черепаха снова успевает отползти немного вперед. Ахилл снова переносится в место, где находилась черепаха, но и снова одолела некоторую долю пути. И так продолжается до бесконечности: Ахилл все ближе к черепахе, но никогда не может ее не только перегнать, но даже догнать. Смысл первых двух апорий заключается в том, что если пространство делим до бесконечности, то движение неосуществим.

Стрела

Вышеприведенные апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространства и времени. В других апориях Зенон демонстрирует другие, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трех знаменитых апории о физическое движение, другие апории изложены менее понятно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.

Историческое значение апорий Зенона

Апории Зенона вызвали столько споров в античной науке, как, наверное, ни другое утверждение. Прошли тысячи лет. В течение многих веков студенты всего мира успешно опровергают Зенона на экзаменах по требованию своих профессоров. И все-таки даже сегодня, по мнению выдающихся математиков и философов, апории Зенона опровергаются не полностью, не на все сто процентов. На девяносто девять опровергнуть их нетрудно. Но, покопавшись, вы обнаруживаете, что именно в этом несчастном одному проценту и содержится вся соль. И новые трудности возникают перед математиками, новые противоречия рождают новые знания уже на новом, более высоком уровне.

Ничто не возникает из ничего;
Метод доказательства от противного;
Доказательство путем сведения к абсурду;
Открытие закона изъятие третьему, а также открытие закона тождества, закона противоречия.

Группа ВКонтакте — Философия одной Души

Парадоксы Зенона нередко рассматривались как софизмы, сбивающие людей с толку и ведущие к скептицизму. Характерно одно из опровержений Зенона философом Антисфеном. Выслушав аргументы Зенона, Антисфен встал и начал ходить, полагая, что доказательство действием сильнее всякого словесного возражения.

Апории Зенона сыграли важную роль в развитии античной диалектики, как и античной науки, особенно логики и математики. Диалектика единого и многого, конечного и бесконечного составляет одну из наиболее важных заслуг Платона, в чьих диалогах мы находим классические образцы древнегреческой диалектики. Интересно, что понятие актуально бесконечного, введенное Зеноном для того, чтобы с его помощью доказать от противного основные положения онтологии Парменида, было исключено из употребления как в греческой философии (его не признавали ни Платон, ни Аристотель), так и в греческой математике. И та, и другая оперировала понятием потенциальной бесконечности, то есть бесконечной делимости величин, но не признавала их составленности из бесконечно большого числа актуально данных элементов.

Итак, в понятии бытия, как его осмыслили элеаты, содержится три момента: 1) бытие есть, а небытия нет; 2) бытие едино, неделимо; 3) бытие познаваемо, а небытие непознаваемо: его нет для разума, а значит, оно не существует.

Жизнь требует движения

«Ахиллес и черепаха, Дихотомия

Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное, быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперёд. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдёт ещё чуточку вперёд.
И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Эта апория основана на бесконечной делимости пространства и предположении, что для совершения бесконечного количества действий необходимо бесконечное время.

Ахиллес и черепаха

Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась впереди на некотором расстоянии от него.

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха отползёт на 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё на 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

«Стадион или Стадий

(от греч. stadion) – древнегреческая мера длины от 150 до 190 м.

О решениях апорий

«Этим простеньким на вид рассуждениям посвящены сотни философских и научных работ. В них десятками разных способов доказывается, что допущение возможности движения не ведёт к абсурду, что наука геометрия свободна от парадоксов и что математика способна описать движение без противоречия.

«Этот парадокс возникает в результате того, что Зенон в своих рассуждениях нарушает 4-ый закон формальной логики: закон достаточного основания, который гласит, что все рассуждения должны строиться на истинном основании, относительно которого понятия и суждения определены однозначно. В физике всякое прямолинейное движение тела описывается законом, который выражается в форме S = vt, путь, пройденный телом, равен его скорости помноженной на время, которое оно затрачивает на его прохождение. Используя эту форму, мы в любое время можем определить положение движущегося тела относительно начальной точки. Зенон же в своих рассуждениях пытается определить положение движущегося тела, основываясь на прохождении телом отдельных участков пути безотносительно к его скорости и времени его движения, что является явным нарушением закона прямолинейного движения, которое и приводит его к неправильному умозаключению.

«2. Ахиллес догнал черепаху

…Совсем нетрудно принять, что при суммировании бесконечного количества слагаемых может получиться конечное число, если величина слагаемых быстро убывает: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + . = 1. Поэтому бесконечная последовательность действий может быть выполнена за короткое время, если длительность каждого последующего действия быстро убывает, и Ахиллес, конечно, быстро догонит черепаху, потому что при постоянной скорости его движения члены ряда 1/2, 1/4, 1/8, 1/16. представляют не только отрезки пути, но и отрезки времени.

Зенон, конечно, понимал, что если стрела летит из пункта A в пункт B со скоростью v, а расстояние между A и B равно S, то время полета будет t = S/v. Надеемся, Зенон понимал, что если отрезок S разделить пополам, а потом половину ещё пополам и т.д., то от этого длина отрезка S не увеличится. Но, видимо, абстрактное мышление в Древней Греции не было развито достаточно для того, чтобы перенести это рассуждение на отрезок времени, t. Зенон считал, что если отрезок t разделить пополам, а потом половину ещё пополам и т.д., то от этого деления длина отрезка t увеличится до бесконечности.

В заключение можно указать, что только однозначная дефиниция даёт возможность однозначного рассуждения и приводит к однозначному выводу, и не только в апориях. И для этого не нужно привлечения каких-либо физических или математических методов, достаточно самой логики для приведения в порядок логических умозаключений.

Зенон правильно рассуждает, что движения нет и быть не может, и в этом легко убедиться, если рассуждать логически. Представьте себе вселенную, какой бы бесконечной она не была, и обозначьте её через Х, все что за пределами "У" Впрочем игрек нам не нужен. Теперь, приняв вселенную за Х, мы пожем поместить её в любую посуду, скажем в бутылку и понаблюдать как она будет выживать. Естественно, вселенная должна двигаться, вопрос только как, что бы не умереть от застоя.(даже вселенной может угрожать застой)Порассуждаем с точки зрения вселенной:Если каждому элементу, каждой частице дать свободу движения- в итоге будет ХАОС. Всякая частица,или любой элемент, в том числе и человек, будут двигаться туда, куда им заблагорассудится, а это , если мягко сказать - не экономично, да и лишено всякого смысла.Остается только выяснить, какое движение самое оптимальное, и менее энергоемкое. Как не странно, это материализация, причем во всем, и по любому поводу.Со стороны это похоже на кинематографию Материализация, потому и дешевая энергия, что она создает не из пустого, а из прошлого - будущее т.е из одной и тоже глины Впрочем, разговор только о принципе (свобода воли при этом не отменяется, ибо это глаза материализации

Портал Проза.ру предоставляет авторам возможность свободной публикации своих литературных произведений в сети Интернет на основании пользовательского договора. Все авторские права на произведения принадлежат авторам и охраняются законом. Перепечатка произведений возможна только с согласия его автора, к которому вы можете обратиться на его авторской странице. Ответственность за тексты произведений авторы несут самостоятельно на основании правил публикации и законодательства Российской Федерации. Данные пользователей обрабатываются на основании Политики обработки персональных данных. Вы также можете посмотреть более подробную информацию о портале и связаться с администрацией.

Он составил для своего учителя Парменида, который утверждал, что сущее одно по виду, но множественно согласно очевидности, из сорока эпихейрем в пользу того, что сущее одно, так как считал, что быть союзником учителя — это хорошо. Еще как-то, защищая того же учителя, утверждавшего, что сущее неподвижно, он выдвинул пять эпихейрем в пользу того, что сущее неподвижно. Антисфен-киник, который не смог на них возразить, встал и стал ходить, полагая, что доказательство делом сильнее всякого возражения словом.

Содержание

Философия элеатов

Зенон показывает ученикам двери к Истине и Лжи.
Фреска в библиотеке Эскориала.
Автор: Б. Кардуччи или П. Тибальди (англ.) русск. .

Элейская философская школа (элеаты) существовала в конце VI — первой половине V века до н. э., родоначальниками её считаются Ксенофан и Парменид, учитель Зенона. Школа разработала своеобразное учении о бытии. Элеаты отстаивали единство бытия, считая, что представление о множественности вещей во Вселенной есть искусственное разделение [8] . Бытие элеатов полно, реально и познаваемо, однако вместе с тем оно нераздельно, неизменно и вечно, у него нет ни прошлого, ни будущего, ни рождения, ни смерти. Познание этого целостного мира возможно только путём разумных рассуждений, а чувственная картина мира, включая наблюдаемые движения, обманчива и противоречива [9] . При этом геометрический (и вообще математический) метод познания, характерный для пифагорейцев, элеаты также считали уступкой чувственной очевидности, предпочитая чисто логический подход. С этих же позиций они впервые в науке поставили вопрос о допустимости научных понятий, связанных с бесконечностью [10] .

Как отмечают В. Ф. Асмус и ряд других историков, элеаты отрицали не сами, видимые нами, движение и множественность мира, а их мыслимость [11] [12] , то есть, на современном языке, соответствие бытия и его научных моделей, которые, по мнению элеатов, невозможны без противоречий — в то время как рационально-логический подход позволяет этих противоречий избежать. Отстаивая свою идеологию в философских спорах, Зенон и другие элеаты использовали изощрённую логическую аргументацию, и важной её частью были апории Зенона, доказывающие нелогичность и противоречивость взглядов оппонентов.

Апории о движении

Это наиболее известные (и, судя по библиографии, наиболее актуальные) парадоксы Зенона.

Модели движения в античной натурфилософии

В V веке до н. э. древнегреческая математика достигла высокой ступени развития, и пифагорейская школа выражала уверенность, что математические закономерности лежат в основе всех законов природы. В частности, математическая модель движения в природе была создана на основе геометрии, которая к этому времени уже была достаточно глубоко разработана. Геометрия пифагорейцев опиралась на ряд идеализированных понятий: тело, поверхность, фигура, линия — и самым идеализированным было фундаментальное понятие точки пространства, не имеющей никаких собственных измеримых характеристик [13] . Тем самым любая классическая кривая считалась одновременно и непрерывной, и состоящей из бесконечного количества отдельных точек. В математике это противоречие не вызывало проблем, но применение этого же подхода к реальному движению поставило вопрос, насколько правомерен такой внутренне противоречивый подход [14] . Первым проблему ясно сформулировал Зенон Элейский в серии своих парадоксов (апорий).

Содержание апорий о движении

Ахиллес и черепаха

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Диоген Лаэртский считал автором этой знаменитой апории Парменида, учителя Зенона [12] . Черепаха как персонаж впервые упоминается у комментатора Симпликия; в тексте парадокса, приведённом у Аристотеля, быстроногий Ахиллес догоняет другого бегуна.

Дихотомия

Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся.

Летящая стрела

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

Критика апорий Аристотелем

Мнения историков и комментаторов по поводу аргументов Аристотеля разделились: одни считали их достаточными, другие критиковали за неубедительность и недостаточную глубину. В частности, Аристотель не дал объяснения, как конечный отрезок времени может состоять из бесконечного числа частей [12] . В. Я. Комарова пишет [18] :

Позиция Аристотеля ясна, но не безупречна — и прежде всего потому, что ему самому не удалось ни обнаружить логические ошибки в доказательствах, ни дать удовлетворительное объяснение парадоксам… Аристотелю не удалось опровергнуть аргументы по той простой причине, что в логическом отношении доказательства Зенона составлены безукоризненно.

Атомистический подход

Во второй половине XIX века анализом парадоксов Зенона занимались многие учёные, высказывавшие самые разные точки зрения. Среди них [2] :

Немецкий философ Эдуард Целлер.
Французский историк науки Поль Таннери, рассматривавший парадоксы Зенона как аргумент в критике пифагореизма[24] .
Французский историк Виктор Брошар (франц.). По его мнению, логика Зенона безукоризненна.

и многие другие.

Современная трактовка

Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов всё-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться.

Близкую точку зрения можно найти у Анри Бергсона [29] :

Противоречия, на которые указывает школа элеатов, касаются не столько самого движения как такового, сколько того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум.

Вопрос о бесконечной делимости пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привёл, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса — как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера.

Замечание Бурбаки означает, что необходимо объяснить: каким образом физический процесс за конечное время принимает бесконечно много различных состояний. Одно из возможных объяснений: пространство-время в действительности является дискретным, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени [31] . Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы — в частности, в связи с проектами единой теории поля [32] , — однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

С. А. Векшенов считает, что для решения парадоксов необходимо ввести числовую структуру, более соответствующую интуитивно-физическим представлениям, чем канторовский точечный континуум [33] . Пример неконтинуальной теории движения предложил Садео Шираиши [34] .

Адекватность аналитической теории движения

Общая теория движения с переменной скоростью была разработана в конце XVII века Ньютоном и Лейбницем. Математической основой теории служит математический анализ, первоначально опиравшийся на понятие бесконечно малой величины. В дискуссии о том, что собой представляет бесконечно малая, вновь возродились два античных подхода [36] [37] .

Первый подход, которого придерживался Лейбниц, доминировал весь XVIII век. Аналогично античному атомизму, он рассматривает бесконечно малые как особый вид чисел (больше нуля, но меньше любого обычного положительного числа). Строгое обоснование этого подхода (так называемый нестандартный анализ) разработал Абрахам Робинсон в XX веке. Основой анализа по Робинсону служит расширенная числовая система (гипервещественные числа). Конечно, робинсоновские бесконечно малые мало похожи на античные атомы хотя бы потому, что они неограниченно делимы, но они позволяют корректно рассматривать непрерывную кривую во времени и пространстве как состоящую из бесконечного количества бесконечно малых участков.
Второй подход предложил Коши в начале XIX века. Его анализ построен на обычных вещественных числах, а для анализа непрерывных зависимостей используется теория пределов. Сходного мнения на обоснование анализа придерживались Ньютон, Даламбер и Лагранж, хотя были в этом мнении не всегда последовательны.

Дополнительную сложность внесла в вопрос квантовая механика, показавшая, что в микромире резко повышена роль дискретности. Таким образом, дискуссии о структуре пространства, времени и движения, начатые Зеноном, активно продолжаются и далеки от завершения.

Другие апории Зенона

Вышеприведенные (наиболее известные) апории Зенона касались применения понятия бесконечности к движению, пространству и времени. В других апориях Зенон демонстрирует иные, более общие аспекты бесконечности. Однако, в отличие от трёх знаменитых апорий о физическом движении, другие апории изложены менее ясно и касаются в основном чисто математических или общефилософских аспектов. С появлением математической теории бесконечных множеств интерес к ним существенно упал.

Стадион

Четвертый [аргумент] — о равных телах, движущихся по стадиону в противоположных направлениях параллельно равных [им тел]; одни [движутся] от конца стадия, другие — от середины с равной скоростью, откуда, как он думает, следует, что половина времени равна двойному.

Исследователи предлагали разные истолкования этой апории. Л. В. Блинников сформулировал её следующим образом: [39] .

Два тела движутся навстречу друг другу. В этом случае одно из них затратит на прохождение мимо другого столько же времени, сколько оно затратило бы на прохождение мимо покоящегося. Значит, половина равна целому.

С. А. Яновская предлагает иное истолкование, основанное на атомистических предпосылках [40] :

Пусть время состоит из неделимых протяженных атомов. Представим себе на противоположных концах ристалища двух бегунов, настолько быстрых, что на пробег от одного до другого конца ристалища каждому из них требуется один только атом времени. И пусть оба одновременно выбегают с противоположных концов. Когда произойдет их встреча, неделимый атом времени разделится пополам, т. е. в атомы времени тела не могут двигаться, как это и было предположено в апории .

По другим интерпретациям, эта апория аналогична парадоксу Галилея: бесконечное множество может быть равномощно своей части.

Множественность

Часть апорий посвящена обсуждению вопроса о единстве и множественности мира [15] .

Если их [существующих вещей] много, то их должно быть столь много, сколько их есть, — не больше и не меньше. А если их столь много, сколько их есть, то их [число] ограничено. [Но] если существующих [вещей] много, то их [число] неограничено: ибо всегда существуют другие вещи между существующими [вещами], и снова другие между ними. И так [число] существующих [вещей] неограничено.

Комментаторы обращают внимание на то, что данная апория по своей схеме чрезвычайно напоминает открытые на рубеже XIX—XX веков антиномии теории множеств [15] [42] , особенно парадокс Кантора: с одной стороны, мощность множества всех множеств больше, чем мощность любого другого множества, но с другой стороны, для любого множества нетрудно указать множество большей мощности (теорема Кантора). Это противоречие, вполне в духе апории Зенона, разрешается однозначно: абстракция множества всех множеств признаётся недопустимой и несуществующей как научное понятие.

Симпликий описывает эту апорию следующим образом [10] .

Другими словами, если деление вещи пополам сохраняет её качество, то в пределе получаем, что вещь одновременно и бесконечно велика (поскольку неограниченно делима), и бесконечно мала. Кроме того, непонятно, как существующая вещь может иметь бесконечно малые измерения.

Если само-по-себе-единое неделимо, то, согласно положению Зенона, оно должно быть ничем. В самом деле, если прибавление чего-то к вещи не делает ее больше и отнятие его от неё не делает её меньше, то, утверждает Зенон, это нечто не относится к существующему, явно полагая, что существующее — это величина, а раз величина, то и нечто телесное: ведь телесное есть в полной мере сущее; однако другие величины, например плоскость и линия, если их прибавлять, в одном случае увеличивают, а в другом нет; точка же и единица не делают этого никаким образом. А так как Зенон рассуждает грубо и так как нечто неделимое может существовать, и притом так, что оно будет некоторым образом ограждено от Зеноновых рассуждений (ибо если такое неделимое прибавлять, оно, правда, не увеличит, но умножит), то спрашивается, как из одного такого единого или нескольких получится величина? Предполагать это — всё равно что утверждать, что линия состоит из точек.

О месте

Медимн зерна

Каждое отдельное зерно падает на землю бесшумно. Тогда отчего медимн (большой мешок) зерна падает с шумом? [47] .

Историческое значение апорий Зенона

Как уже отмечалось выше, формирование античного атомизма было попыткой дать ответ на вопросы, поставленные апориями. В дальнейшем к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса, но сам факт непрерывного живого интереса к древней проблеме показывает её эвристическую плодотворность.

Различные точки соприкосновения апорий Зенона с современной наукой обсуждаются в статье Зураба Силагадзе [38] . В заключении этой статьи автор приходит к выводу:

Проблемы, поставленные два с половиной тысячелетия назад и с тех пор многократно изученные, до сих пор не исчерпаны. Парадоксы Зенона затрагивают фундаментальные аспекты реальности — локализацию, движение, пространство и время. Время от времени обнаруживаются новые и неожиданные грани этих понятий, и каждое столетие находит полезным снова и снова возвращаться к Зенону. Процесс достижения их окончательного разрешения представляется бесконечным, и наше понимание окружающего мира всё ещё неполно и фрагментарно.

Апории Зенона в литературе и искусстве

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.

Зенон Элейский, мыслию разящий,
Пронзил меня насквозь стрелой дрожащей,
Хоть сам её полётом пренебрег.
Рождён я звуком, поражён стрелою.
Ужель тень черепахи мне закроет
Недвижного Ахилла быстрый бег!

См. также

Примечания

Литература

Античные авторы

Книги современных авторов

Краткая библиография научных статей с анализом апорий

Литература перечислена в хронологическом порядке.

Ссылки

drevnyaya_gretsiya _ Древняя Греция Математика Физика Философия

Читайте также: