Дифракция френеля на полуплоскости кратко

Обновлено: 02.07.2024

На пути плоской световой волны помещён непрозрачный экран с прямолинейным краем таким образом, чтобы плоскость экрана совпадала с волновой поверхностью.

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, на открытой части волновой поверхности образуются точечные источники вторичных волн. От-

крытую часть волновой поверхности разбиваем на зоны, имеющие вид прямолинейных полосок, параллельных краю экрана (рис.3.8).

Ширину полос выбираем таким образом, чтобы разность хода лучей от

краёв соседних полос была одинаковой и равнялась

. В этом случае колеба-

ния, создаваемые в т. P соседними зонами, будут сдвинуты по фазе на постоян-

ную величину ϕ = k .

Суммарная ширина первых m зон определяется из прямоугольного тре-

угольника (см. рис.3.8) и равна

h = ( b + m ) 2 − b 2 = b 2 + 2 bm + 2 m 2

Отсюда ширина первой зоны, согласно последней формуле, будет равна h 1 = 2 b ,а ширина m первых зон h m = h 1 m . Из последнего выражения следует, что ширина m -й зоны

h m = h 1 ( m − m − 1) .

При вычислении можно получить:

h 1 : h 2 : h 3 : h 4 : . = = 1: 0.41: 0.32 : 0.27 : .

Это говорит о том, что при переходе от одной зоны к другой их площади и соответственно амплитуды излучаемых полей убывают сначала быстро, а потом медленно.

Амплитуды колебаний, создаваемые в т. P вторичными источниками различных зон, изобразим на векторной диаграмме (рис.3.9, а ).

Правая часть векторной диаграммы соответствует полю излучения зон, расположенных на волновой поверхности справа от т. P , а левая половина – слева от т. P .

Если ширину зон устремлять к нулю, то ломаные линии на векторной диаграмме превращаются в плавную кривую, которую называют спи-

ралью Корню (рис.3.9, б ). Спираль Корню даёт возможность найти амплитуду световой волны в любой точке экрана.

Для точки наблюдения O все зоны, расположенные справа, являются открытыми, а зоны слева закрываются непрозрачным экраном. Колебания открытых зон справа дают правый завиток спирали Корню, и результирующее колебание представляет собой суперпозицию колебаний всех открытых зон, которое на векторной диаграмме изображается в виде вектора, проведённого из точки O

в фокус спирали F + .

При перемещении точки наблюдения P влево непрозрачным экраном будут перекрываться первые зоны излучения, расположенные справа на векторной диаграмме. Таким образом, конец вектора, изображающего амплитуду результирующего колебания, будет оставаться в фокусе спирали F + , а начало

вектора будет скользить по правому завитку спирали с уменьшением амплитуды.

При перемещении точки наблюдения вправо начинают открываться зоны слева от точки наблюдения и начало результирующего вектора начинает сколь-

Поместим на пути световой волны непрозрачную полуплоскость с прямолинейным краем. Расположим эту полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из волновых поверхностей. На расстоянии b за полуплоскостью поставим параллельный ей экран, на котором возьмем точку Р. Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны, имеющие вид очень узких прямолинейных полосок, параллельных краю полуплоскости. Ширину зон выберем так, чтобы отсчитанные в плоскости рисунка расстояния от точки Р до краев любой зоны отличались на одинаковую величину ∆. При этом условии колебания, создаваемые в точке Р соединим зонами, будут отличаться по фазе на постоянную величину.

Зонами, расположенным справа от точки Р, припишем номера 1, 2, 3, и т.д., расположенные слева- номерами 1' 2' 3'.Зоны с номерами m и m' имеют одинаковую ширину и расположены относительно точки Р симметрично. Поэтому создаваемые ими в Р колебания совпадают по амплитуде и по фазе.

Рис. 5.6.1. Дифракция от прямолинейного края полуплоскости

Дифракция от щели

Бесконечно длинную щель можно образовать, расположив рядом две обращенные в разные стороны полуплоскости. Следовательно, задача о дифракции Френеля от щели может быть решена с помощью спирали Корню. Волновую поверхность падающего света, плоскость щели и экран, на котором наблюдается дифракционная картина, будем считать параллельными друг другу (рис 5.6.2.)

Для точки Р, лежащей против середины щели, начало и конец результирующего вектора находятся в симметричных относительно начала координат точках спирали (рис 5.6.3.) Если стремиться в точку Р', лежащую против края щели, начало результирующего вектора переместиться в середину спирали О.

Конец вектора переместиться по спирали в направлении полюса F1. При углублении в область геометрической тени начало и конец результирующего вектора будут скользить по спирали и в конце концов окажутся на наименьшем расстоянии друг от друга. Интенсивность света достигает при этом минимума. При дальнейшем скольжении по спирали начало и конец вектора снова отойдут друг от друга и интенсивность будет расти. То же самое будет происходить при смещении из точки Р в противоположную сторону, так как дифракционная картина симметрична относительно середины щели.

Если изменить ширину щели, сдвигая полуплоскости в противоположные стороны, интенсивность в средней точке Р будет пульсировать, проходя попеременно через максимумы (рис.5.6.4,а) и отличные от нуля минимумы (рис.5.6.4,б)

Итак, френелевская дифракционная картина от щели представляет собой либо светлую (рис.5.6.4,а), либо относительно темную (рис.5.6.4,б) центральную полосу, по обе стороны которой располагаются симметричные относительно нее чередующиеся темные и светлые полосы.

При большей ширине щели начало и конец результирующего вектора для точки Р лежат на внутренних витках спирали вблизи полос F1 и F2. Поэтому интенсивность света в точках, расположенных против щели, будет практически постоянной. Только на границах геометрической тени образуется система густо расположенных узких светлых и темных полос.

В предыдущем параграфе мы рассматривали с помощью принципа Гюйгенса-Френеля дифракцию сферической волны от круглого отверстия. Осевая симметрия задачи подсказывала выбор конфигурации зон, на которые мы разбивали открытую часть волновой поверхности – в виде Круговых Колец. Теперь перейдем к случаю, когда волновая поверхность плоская и характер препятствия (полуплоскость, щель) предписывает разбивать открытую часть волновой поверхности на зоны в виде Прямолинейных Полосок.

Дифракция от прямолинейного края полуплоскости. Пусть на экран Э Падает нормально плоская монохроматическая волна длины L. Расположим перед экраном на расстоянии от него непрозрачную полуплоскость N С прямолинейным краем (рис. 4.13). Если бы свет распространялся прямолинейно, то на экране Э Мы наблюдали резкую тень от края этой полуплоскости (точка Р0 на рисунке). В действительности же из-за волнового характера света на экране Э Образуется сложная дифракционная картина.

Для расчета этой картины воспользуемся принципом Гюйгенса-Френеля. В данном случае в качестве интересующей нас волновой поверхности S Возьмем ту открытую ее часть, которая продолжает непрозрачную полуплоскость. Соответствующие расчеты были проведены аналитически Френелем, получены результаты в виде так называемых Интегралов Френеля, и задача, таким образом, была решена.

Мы не будем воспроизводить здесь этот расчет и ограничимся лишь интерпретацией его и полученного результата с помощью векторной диаграммы. Это наиболее простой и наглядный метод, открывающий к тому же весьма эффективные практические применения.

Из соображений симметрии ясно, что дифракционная картина на экране Э Будет зависеть только от расстояния до границы геометрической тени – точки Р0 на рис. 4.13, т. е. светлые и темные полосы должны быть параллельны прямолинейному краю К Непрозрачной полуплоскости N. Говоря далее об амплитуде колебаний в точке Р На экране, мы будем иметь в виду, что это относится ко всем точкам Прямой, проходящей через точку Р И параллельной краю полуплоскости.

Сначала найдем амплитуду колебаний в точке Р0, которая находится на краю геометрической тени (рис. 4.13, а). Для этой точки (и только для нее) мы могли бы использовать разбиение открытой части волновой поверхности на полукольца – полузоны Френеля. Но поскольку нам предстоит определять амплитуду колебаний и в других точках экрана, то в соответствии с симметрией данной задачи разобьем мысленно открытую часть волновой поверхности S на весьма узкие одинаковой ширины прямолинейные полоски (зоны), параллельные краю полуплоскости.

Амплитуду колебаний, приходящих в точку Р0 от первой зоны-полоски изобразим вектором DE1 (рис. 4.14). Амплитуду колебаний от следующей полоски – вектором DE2, повернутым на очень небольшой угол Против Часовой стрелки, так как эти колебания проходят до точки Р0 несколько большее расстояние и, значит, отстают по фазе.

В дальнейшем угол между соседними векторами-амплитудами становится все больше, поскольку запаздывание по фазе колебаний, приходящих в точку Р0 от последующих зон-полосок растет все больше. Модули же векторов DEI Будут уменьшаться (из-за увеличения расстояния до Р0 и угла  между нормалью к полоске и направлением на точку Р0).

Результирующая амплитуда колебаний в точке Р0 от достаточно широкой полосы волновой поверхности S изобразится суммой (цепочкой) векторов DEI от всех укладывающихся на этой полосе элементарных зон-полосок. Это вектор E на рис. 4.14.

Р и с. 4.14 Р и с. 4.15

Спираль Корню. В пределе, когда ширина полосы стремится к бесконечности, т. е. превращается в полуплоскость, и ширина каждой элементарной зоны-полоски стремится к нулю, цепочка векторов превращается в плавную кривую, являющуюся правой половиной Спирали Корню (рис. 4.15). Эта спираль состоит из двух симметричных ветвей, закручивающихся вокруг фокусов F1 И F2. Ее левая половина описывает действие колебаний, приходящих в точку Р0 от участков волновой поверхности (если бы они были открыты), лежащих левее края К Непрозрачной полуплоскости (см. рис. 4.13, А).

Амплитуда колебаний в точке Р0 от волновой поверхности, лежащей правее края К Непрозрачной полуплоскости, изобразится вектором, проведенным из точки О В фокус F2 Спирали Корню. Амплитуда же колебаний в точке Р0 от полностью открытой волновой поверхности – вектором, проведенным из фокуса F1 В фокус F2.

Для нахождения вектора-амплитуды колебаний в точке Р, лежащей, например, правее точки Р0 (см. рис. 4.13Б), от какой-либо полосы волновой поверхности, лежащей между координатами X1 и Х2, нужно построить вектор, который замыкает соответствующий этой полосе участок спирали Корню.

Это делается так. Каждой точке спирали Корню соответствует определенное значение некоторого параметра S (он пропорционален длине дуги спирали, отсчитываемой от точки О На рис. 4.15). Значения параметра указаны вдоль кривой. Из аналитического расчета следует, что параметр S Связан с расстоянием Х, отсчитываемым от точки С До интересующей нас точки D Волновой поверхности S (рис. 4.16) формулой

Где  – длина волны света, – расстояние между экраном Э и волновой поверхностью S, в плоскости которой расположено то или иное препятствие на пути световой волны.

Обратим внимание на то, что параметр S Пропорционален расстоянию Х. Значит, Х  S  длине дуги спирали Корню, отсчитываемой от точки О (рис. 4.15) в соответствующую сторону (вправо или влево).

Теперь покажем как с помощью спирали Корню получить распределение интенсивности света на экране вблизи края геометрической тени при дифракции плоской волны от прямолинейного края непрозрачной полуплоскости N. Если точка Р Находится правее точки Р0 (см. рис. 4.13, б), то правая часть волновой поверхности S (от точки С) полностью открыта, и на спирали Корню амплитуда колебаний в точке Р соответствует вектору DF2. Конец этого вектора находится в фокусе F2, а начало – точка D – В зависимости от положения точки Р. Когда Р Находится на краю геометрической тени (в точке Р0), точка D Совпадает с точкой О На спирали Корню (см. рис. 4.15), и вектор-амплитуда соответствующих колебаний изобразится вектором OF2, равным половине вектора F1F2 – От полностью открытой волновой поверхности S. Поэтому интенсивность света в точке Р0 в четыре раза меньше интенсивности I0 в отсутствие непрозрачной полуплоскости.

Р и с. 4.16 Р и с. 4.17

При перемещении точки Р вправо от точки Р0 точка D На спирали Корню (начало вектора DF2) будет перемещаться по левой ветви спирали, так как слева от точки С будут открываться все новые зоны-полоски. Это приводит к тому, что амплитуда и интенсивность в точке Р При удалении ее от Р0 будут последовательно проходить через максимумы и минимумы, различие между которыми постепенно уменьшается и интенсивность приближается к значению I0 (рис. 4.17).

При перемещении точки Р влево от точки Р0 – в область геометрической тени, точка D На спирали Корню перемещается вправо от точки О. Легко видеть, что длина вектора DF2, а значит и интенсивность, будет монотонно уменьшаться до нуля (см. рис. 4.17).

Следует отметить, что обычно точка наблюдения Р В лабораторных установках находится за непрозрачной полуплоскостью на расстоянии, не превышающем порядка одного метра. При этом для определения амплитуды результирующего колебания играет роль сравнительно небольшой участок волновой поверхности S, лежащий вблизи края полуплоскости. В таких условиях край практически любого препятствия можно считать прямолинейным и для расчета дифракционной картины можно пользоваться спиралью Корню.

Дифракция от щели. Таким же образом – с помощью спирали Корню и формулы – можно рассчитать распределение интенсивности в дифракционной картине от бесконечно длинной прямолинейной щели. Сама дифракционная картина на экране имеет симметричный относительно середины вид чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели (предполагается, что плоская световая волна падает на щель нормально).

С помощью той же спирали Корню легко убедиться в том, что при постепенном увеличении ширины щели интенсивность в середине дифракционной картины будет сначала иметь максимум, затем минимум, потом опять максимум и т. д. (рис. 4.18, А, Б, В). Таким образом, мы будем наблюдать при этом последовательное чередование максимумов и минимумов (в середине картины), разность между которыми будет постепенно уменьшаться, стремясь к интенсивности I0 падающего на щель света. Сама же дифракционная картина будет постепенно локализовываться только вблизи геометрической тени от краев щели.

Отметим, что в отличие от спирали Френеля, которая давала возможность решать вопросы об интенсивности только в одной точке дифракционной картины, спираль Корню позволяет в ряде случаев находить распределение интенсивности во всех точках дифракционной картины.

Дифракцией Френеля называют дифракцию при которой источник света и (или) экран на котором проводится наблюдение дифракционной картины, расположены на конечных расстояниях от препятствий, которые вызывают дифракцию.

Дифракция Френеля на круглом отверстии

При дифракции Френеля на круглом отверстии картина дифракции на экране наблюдения, который параллелен экрану с отверстием в виде круга, будет представлена в виде концентрических колец с минимумом (темных) и максимумом (светлых) интенсивности. Центры этих колец расположены на прямой, которая проходит через источник света (S) и перпендикулярна экрану наблюдения (AB) (рис.1).

b – расстояние от отверстия до экрана. – длина волны света.

Если разбить открытую часть волновой поверхности (F) на зоны Френеля, то можно сказать, что картина дифракции зависит от количества зон Френеля, которые укладываются в отверстии. В том случае, если число зон Френеля (см. раздел Дифракция (подраздел Теория Френеля)) для точки О, укладывающихся в отверстие, равно нечетному числу, то амплитуда в этой точке становится больше, чем если бы экрана с СД не было. Если количество зон равно четному числу, то амплитуда в точке О меньше, чем при отсутствии экрана CD. Если в отверстие укладывается одна волна Френеля, то амплитуда волны в точке О будет в два раза больше, чем при отсутствии непрозрачного экрана с отверстием.

На участках вне оси SO вычисление результирующего колебания будет существенно сложнее, так как происходит частичное перекрытие зон Френеля. Если на отверстие будет падать белый свет, то кольца будут окрашены.

Количество зон Френеля зависит от размера отверстия. Если радиус отверстия большой, то дифракции не наблюдают, и свет распространяется прямолинейно.

Радиус зоны Френеля номер n ( ) равен:

где a – расстояние от источника света, до отверстия в непрозрачном экране; b – расстояние от отверстия до точки наблюдения.

Дифракция Френеля на маленьком круглом экране

Допустим, что сферическая волна исходит от точечного источника S, преградой ей является диск. При этом картину дифракции наблюдаем на экране в точке О (рис.2). При такой ситуации участок фронта волны, который закрыт диском следует исключить и при рассмотрении зон Френеля строить их начиная с краев диска.

b – расстояние от отверстия до экрана. – длина волны света.

Допустим, что диск закрыл первые m зон Френеля. В таком случае амплитуда результирующих колебаний в точке О равна:

$A=\frac<A_<m+1> > \qquad (1)$

Получается, что в точке О всегда наблюдается максимум интенсивности (светлое пятно), которое соответствует половине действия первой открытой зоне Френеля. Центральный максимум окружают концентрические с ним темные и светлые кольца. Интенсивность максимумов уменьшается при движении от цента картины.

При росте радиуса диска, первая открытая зона Френеля отодвигается от точки О, увеличивается угол между направлением на точку О и нормалью к поверхности зоны. При этом интенсивность центрального максимума падает. При значительных размерах диска за ним возникает тень и только около границ этой тени наблюдается слабая картина дифракции. Можно считать, что если размер диска большой, то свет распространяется прямолинейно.

Примеры решения задач

$<(b+m\frac<\lambda> )>^2=b^2+r^2 \qquad (1.1)$

Упростим выражение (1.1), получим:

$b^2+bm\lambda +m^2\frac<<\lambda> ^2>=b^2+r^2\to bm\lambda +m^2\frac <<\lambda>^2>=r^2 \qquad (1.2)$

Из формулу (1.2) выразим искомое расстояние b:

$b=\frac<r^2> <m\lambda>-\frac <m\lambda> \qquad (1.3)$

По условию задачи m=3, можем провести вычисления:

$b=\frac<<\left(2,5\cdot <10> ^\right)>^2>^>-\frac^> \approx 3,47\ (m)$

Задание

Максимум или минимум интенсивности света будет расположен на экране в центре картины дифракции, если на экран с круглым отверстием радиуса r=1,5 мм перпендикулярно к поверхности падает пучок монохроматического света с длиной волны =0,5 мкм. Точка наблюдения лежит на оси отверстия на расстоянии 1,5 м от него.

Решение

Для решения задачи можно использовать рисунок и результат решения задачи примера 1. Нами было получено, что:

$bm\lambda +m^2\frac<<\lambda> ^2>=r^2 \qquad (2.1),$

$m^2\frac<<\lambda> где b=1,5 м по условию. Слагаемым ^2>$
можно пренебречь в виду его малости, тогда будем использовать выражение:

$m=\frac<r^2> <b\lambda>$

Проведем вычисления, и если получим, что m – четное, то в рассматриваемой точке имеем минимум (темное пятно), если получим нечетное число, то пятно светлое (максимум интенсивности).

$m=\frac<<\left(1,5\cdot <10> ^\right)>^2>^>=3$

Зоны Шустера. Для изучения дифракции на одномерных препятствиях, таких как прямолинейный край полубесконечного экрана, щель и цилиндр, Артур Шустер предложил разбивать плоский волновой фронт не на кольцевые, а на полосатые зоны Френеля. Рассмотрим случай, когда часть фронта волны перекрыта экраном в виде полуплоскости. Ограничимся случаем плоской волновой поверхности, что соответствует волне, испускаемой бесконечно удаленным источником.

В этом случае для нахождения распределения интенсивности вблизи границы тени, отбрасываемой экраном, принято разбивать волновую поверхность на узкие длинные полоски, параллельные краю полуплоскости, называемые зонами Шустера.

Расположим полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из волновых поверхностей. На расстоянии b за полуплоскостью поставим параллельный ей экран, на котором выберем точку P. Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Шустера. Ширину зон выбираем так, чтобы расстояния от точки P до краев двух соседних зон отличались на одинаковую величину . В этом случае колебания, создаваемые в точке P соседними зонами, будут отличаться по фазе на постоянную величину, равную π Зоны с номерами m и m′ имеют одинаковую ширину и расположены относительно точки P симметрично. Поэтому колебания, создаваемые ими в точке P, совпадают по амплитуде и фазе.

Чтобы установить зависимость амплитуды от номера зоны, нужно оценить площадь зон. Из рисунка видно, что суммарная ширина первых m зон равна

Вследствие узости зон Δ

Векторы, изображающие колебания, соответствующие зонам, расположенным слева, при построении диаграммы расположатся симметрично относительно начала координат O. Если ширину зон устремить к нулю, ломаная линия превращается в плавную кривую, которая называется спиралью Корню. Она состоит из двух симметричных ветвей, закручивающихся вокруг фокусов F₁ и F₂.

Уравнение спирали Корню в параметрической форме имеет вид:

Эти интегралы называются интегралами Френеля. Они не берутся в элементарных функциях, но для них составлены таблицы и графики, по которым можно находить значения интегралов для разных u. Смысл параметра u заключается в том, что дает длину дуги кривой Корню, измеряемую от начала координат. Точки F₁ и F₂ , к которым асимптотически приближается кривая при стремлении , называют фокусами спирали Корню. Их координаты (+0,5;+0,5) для точки F₁ и (0,5;-0,5) для точки F₂ . Отрезок, соединяющий фокусы, имеет длину и образует с осью абсцисс угол π/4. Графически отобразил решение в виде центрально-симметричной спирали француз Мари Корню в 70-х г.г. 19 в. Поэтому диаграмму называют спиралью Корню. Участок АВ₁ на спирали Корню соответствует действию правой зоны 1 на рис.115, участок В₁В₂ - действию правой зоны 2 и так далее. Участки левой спирали соответствуют действию зон, расположенных слева от точки О.

На графике представлена спираль Корню, по координатным осям отложены соответствующие интегралы Френеля.

5.9.6 Дифракция на краю прямолинейного полубесконечного экрана. Совмещаем плоский волновой фронт с плоскостью экрана и производим разбиение фронта на зоны Шустера, параллельные краю экрана.

Если точка А находится точно под краем препятствия, как показано на рис.117, то все левые зоны Френеля оказываются закрыты препятствием. Действие волнового фронта в точке А определится правой ветвью спирали Корню. Отсюда длина светового вектора Е в точке А равна половине длины вектора Е_¥ от бесконечного волнового фронта. . (14.1)

При смещении точки А вправо открывается столько полувитков левой спирали, сколько укладывается левых зон (рис.118).

При смещении точки А влево в область геометрической тени закрываются не только витки левой спирали Корню, но и часть полувитков правой спирали (на рис.119 - три), соответствующих числу закрытых правых зон.

Вычисленный так вектор Е позволяет найти распределение интенсивностей в дифракционной картине на краю полубесконечного экрана (рис.120). Здесь Е_¥, I_¥ - световой вектор и интенсивность, создаваемые в точке А неограниченным волновым фронтом.

Читайте также: