Дифференциальное исчисление кратко и понятно

Обновлено: 07.07.2024

Основные понятия и формулы
Определение 1 . Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δf(x) к приращению аргумента Δx, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
.

Механический смысл производной.Скорость есть первая производная пути по времени, т.е. v=S'(t) .
Геометрический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной к графику функции y=f(x) равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е. tg α=f'(x) .
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :
y=f(x)+f′(x₀)(x-x₀)
Уравнение нормали к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Правила дифференцирования

(u·v)′ = u′v+uv′
(u+v-w)′ = u′+v′+w′
(C·u)′ = C·u′

1. (C)′=0
2. (x)′=1
3. (x n )′=n·x n-1
4.
5.
6. (e x )′=e x
7. (a x )′=a x ·ln(a)
8. (cos x)′= -sin x
9. (sin x)′= cos x
10.

11.
12.
13.
14.
15.
16.

Определение 2 . Дифференциалом функции y=y(x) называется линейная относительно Δ часть приращения функции. Дифференциал функции находится как произведение производной функции на дифференциал независимой переменной:
dy=y′(x)·dx

Дифференцирование сложной функции
Пусть y=y(u) , где u=u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем
y′_x=y′_u·u′_x, или

Производные высших порядков

Определение 3 . Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: y″=[f′(x)]′.

Определение 4 . Производная n-ого порядка ( n -я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной: y (n) =[f (n-1) (x)]′.

Пример 9 : Найти производную функции
Решение:
+

Пример 10 : Найти производную функции y=x²·ln(x)
Решение:
Применим правило дифференцирования (u·v)′ = u′v+uv′

Пример 11 : Найти производную функции
Решение:
Применим правило дифференцирования

Пример 12 : Найти дифференциал функции y=3x²+5
Решение: По определению дифференциал dy=f′·dx
Так как y′=(3x²+5)′=6x, то dy=6x·dx.
Ответ: Дифференциал функции равен dy=6x·dx.

Пример 13 : Найти производную сложной функции y=(tg 5x)
Решение:

Пример 14 : Найти производную функции сложной функции
Решение:

Пример 15 : Найти производную второго порядка для функции.
Решение:

Пример 16 : Найти производную второго порядка функции y=e x 3 в точке x=1.
Решение: y′=(e x 3 )′=e x 3 ·(x 3 )′=e x 3 ·3x 2
y″=(3x 2 ·e x 3 )′ = (3x 2 )′·e x 3 +3x 2 ·(e x 3 )′ = e x 3 ·(6x+9x 4 ) = 3x·e x 3 (2+3x 3 )
Найдем y″ при x=1.
y″(1)=3·1·e 1 ·(2+3·1) = 3e·5 = 15e
Ответ: y″(1)=15e

Исследование функций с помощью производной

Определение 1 . Точка х₀ называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

Определение 2 . Точка х₀ называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х₀ выполняется неравенство:

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
Определение 3 : Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз на промежутке (a,b), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка (рис.1).

Определение 4 : Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх на промежутке (a,b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка (рис.2).
Рис.1 Рис. 2

Определение 5 . Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба (рис.3).

Найти область определения функции.
Исследовать функцию на четность или нечетность.
Найти точки пересечения графика функций с осями координат. .
Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.
По результатам исследования построить график.

Пример 17 : Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x 3 -3x 2 .
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x 2 -6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x 2 -6x=0.
3x·(x-2)=0
x=0, x=2
Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

x	(-∞,0)	0	(0,2)	2	(2,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	т. max 0	т. min -4

f(0)=0 3 -3·0 2 =0
f(2)=2 3 -3·2 2 =-4
Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞;0)∪(2;+∞); функция убывает при x∈(0;2); точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).

Пример 18 : Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x)=6 2 -x 3 .
Решение: Находим f′=12x-3 2 , f″(x)=12-6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение: 12-6x=0, x=2

x	(-∞;2)	2	(2; +∞)
f″(x)	+	0	-
f(x)	∪	точка перегиба 16	∩

f(2)=6·2 2 -2 3 =16
Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2;+∞); функция выпукла вниз при x∈(-∞;2); точка перегиба (2;16).

Пример 19 . Провести полное исследование функции y=x 3 -3x и построить ее график.
Решение:
1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения x∈(-infin;;+∞).
2) Выясним, является ли функция четной или нечетной:
y(-x)=(-x) 3 -3(-x)=-x 3 +3x = -(x 3 -3x) = y(-x)
Отсюда следует, что функция является нечетной, т.е. график симметричен относительно начала координат.
3) Найдем точки пересечения с осями координат:
- с осью ОХ: решим уравнение x 3 -3x=0
x·(x 2 -3)=0

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раздел математич. анализа, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применение к исследованию функций. Д. и. сложилось как самостоят. дисциплина во 2-й пол. 17 в. под влиянием трудов И. Ньютона и Г. В. Лейбница , в которых они сформулировали осн. положения Д. и. и отметили взаимно обратный характер дифференцирования и интегрирования. С этого времени Д. и. развивалось в тесной связи с интегральным исчислением , составляя вместе с ним основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики, повлекло за собой появление ряда новых математических дисциплин (теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, функционального анализа) и существенно расширило возможности приложений математики к вопросам естествознания и техники.

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Д. и. зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (См. Действительное число) (числовая прямая), Функция, Предел, Непрерывность. Все эти понятия выкристаллизовались и получили современное содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Основная идея Д. и. состоит в изучении функций в малом. Точнее: Д. и. даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Д. и.: производная и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них — определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является математическим выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных нормированных пространств и является одним из основных понятий современного нелинейного функционального анализа (См. Функциональный анализ).

Производная. Пусть требуется определить скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно, то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или как отношение пути, пройденного за некоторый промежуток времени, к длительности этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря, различными. Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s = gt 2 /2, где s — пройденный путь с начала падения (в метрах), t — время падения (в секундах), g — постоянная величина, ускорение свободного падения, g ≈ 9,81 м/сек 2 . За первую секунду падения тело пройдёт около 4,9 м, за вторую — около 14,7 м, а за десятую — около 93,2 м, т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t; она определяется как отношение длины пути, пройденного за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t, но и от выбора промежутка времени. В нашем примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + Δt равна

Это выражение при неограниченном уменьшении промежутка времени Δt приближается к величине gt, которую называют скоростью движения в момент времени t. Таким образом, скорость движения в какой-либо момент времени определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.

В общем случае эти вычисления надо проводить для любого момента времени t, промежутка времени от t до t + Δt и закона движения, выражаемого формулой s = f (t). Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t до t + Δt даётся формулой Δs/Δt, где Δs = f (t + Δt) — f (t), а скорость движения в момент времени t равна

Основное преимущество скорости в данный момент времени, или мгновенной скорости, перед средней скоростью состоит в том, что она, как и закон движения, является функцией времени t, а не функцией интервала (t, t + Δt). С другой стороны, мгновенная скорость представляет собой некоторую абстракцию, поскольку непосредственному измерению поддаётся средняя, а не мгновенная скорость.

К выражению типа (*) приводит и задача (см. рис.) построения касательной (См. Касательная) к плоской кривой в некоторой её точке М. Пусть кривая Г есть график функции у = f (x). Положение касательной будет определено, если будет найден её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла α, образованного касательной с осью Ox. Обозначим через x₀ абсциссу точки М, а через x₁ = x₀ + Δх — абсциссу точки M₁. Угловой коэффициент секущей MM₁ равен

Отвлекаясь от механического или геометрического содержания приведённых задач и выделяя общий для них приём решения, приходят к понятию производной. Производной функции у = f (x) в точке х называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, так что

С помощью производной определяется, кроме уже рассмотренных, ряд важных понятий естествознания. Например, сила тока определяется как предел

где Δq — положительный электрический заряд, переносимый через сечение цепи за время Δt; скорость химической реакции определяется как предел

где ΔQ — изменение количества вещества за время Δt; вообще, производная по времени есть мера скорости процесса, применимая к самым разнообразным физическим величинам.

Производную функции y = f (x) обозначают f' (x), у', dy/dx, df/dx или Df (х). Если функция y = f (x) имеет в точке х₀ производную, то она определена как в самой точке x₀, так и в некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке x₀. Обратное заключение было бы, однако, неверным. Например, непрерывная в каждой точке функция

графиком которой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х = 0 не имеет производной, т.к. отношение Δу/Δх не имеет предела при Δx → 0: если Δх > 0, это отношение равно +1, а если Δx n )´ = nx n-1 ;

1. Определение производной и её геометрический смысл.

Пусть функция y = f(х) определена в окрестности точки хо. возьмём точку х1 этой окрестности, отличную от хо.
Определение. Разность х1 – х0, которую обозначают символом Dх, будем называть приращением независимой переменной.
Определение. Подобным образом соответствующая разность
у1 – у0 = f(х1) – f(х0), обозначается символом Dу и называется приращением зависимой переменной, или приращением функции.
Получаются следующие соотношения:
х1 = х0 + Dх,
у1 = у0 + Dу,
у0 + Dу = f(х0 + Dх)
Так как у0 = f(х0),
то Dу = f(х0 + Dх) – f(х0).
Определение. Частное будем называть разностным отношением.
Выражение f(х0+Dх)– f(х0)
Dх
(принимая что х0 имеет определённое постоянное значение) можно считать функцией приращения Dх.
Определение. Если предел этого выражения при Dх, стремящемся к нулю, существует, то его мы будем называть производной функции у = f(х) по х в точке х0

2. Дифференциальные функции. Определение дифференциала.

Определение. Функция у = f(х) называется дифференцированной в точке х, если её приращение Dу в этой точке можно представить в виде
Dу = f’(х)Dх+a(Dх)Dх,
где a (Dх) = 0
Как видно из из определения, необходимым условием дифференцируемости является существование производной. Оказывается что это условие также и достаточно. В самом деле пусть существуют у’ = f’(х)
Положим – f’(х), Dх № 0
0 , Dх = 0
При таком определении a имеет для всех Dх
Dу = f’(х)Dх +a(Dх)Dх .
Остаётся, следовательно, установить непрерывность a(Dх) при Dх = 0, то есть, равенство a (Dх) = a(0) = 0, но, очевидно,
a (Dх) = – f’(х) = f’(х) – f’(х) = 0,
что и требовалось.

3. Инвариантность формы первого дифференциала.

В случае, когда переменная у = f(х) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению,
Dу = f’(х)Dх или dхх = f’(х)dхх (1)
Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной,
х = х(t).
Теорема. Если функции х = j(t) и у = y(t) дифференцируемы в соответствующих точках t = t1 и х = х1 = j(t1), то дифференциал сложной функции у = f(j(t)) = y(t) может быть представлен в виде
dtу = f’(х1) dtх.
Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем
dtх = j’(t1) dtt (11)
dtу = y’(t1) dtt (2)
Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что
y’(t1) = f’(х1) j’(t1)
Подставив это выражение в формулу (2), получим:
dtу = f’(х1) j’(t1) dtt,
отсюда в силу формулы (11)
dtу = f’(х1) dtх (3)
Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде
dу = f’(х) dх (4)
Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно dх или dt.
Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов dхх и dху или, соответственно, dtх и dtу.
Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то
у’х = f’(х);
когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то
у’х = f’(и)и’х.
При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы:
dху = f’(х) dхх, dху = f’(и) dхи
или
dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи.

4. Дифференциал суммы, произведения и частного.

Из теорем о производных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения и частного. Пусть и и J — функции от х:
и = f(х), J = j(х),
имеющие непрерывные частные производные.
Если положить у = и + J,
то у’х = и’х + J’х,
откуда у’х dх = и’х dх + J’хdх,
следовательно dу = dи + dJ,
то есть d(и + J) = dи + dJ.
Аналогично dси = сdи,
где с – постоянное число;
d(иJ) = иdJ + Jdи,
d ( ) = .
Замечание. На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой переменной переходить к производной.

5. Геометрическая интерпретация дифференциала.

Дифференциал можно геометрически представить следующим образом:
dу = f’(х)dх = tg a . dх = СД.
Таким образом, если Dу – приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной.
Дифференциал dу, вообще говоря, отличается от Dу, но их разность очень мала по сравнению dх для очень малых dх, так как
= a (Dх) = 0
На практике, когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать
Dу = dу = f’(х)dх.

Читайте также: