Числовые равенства и неравенства кратко

Два действительных числа а и b не равны тогда и только тогда, когда их разность не равна нулю, т.е.

Утв. 2. Число а больше числа b тогда и только тогда, когда разность а —b положительна, т.е.

Утв. 3. Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда разность а — b отрицательна, т.е.

В ситуации, когда число а либо меньше, либо равно числу b (допускается возможность обоих случаев), используется специальное обозначение . Если же число а либо больше, либо равно числу b , используется обозначение . Знаки > (больше), и

Образовательный сайт для студентов и школьников

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Чтобы получить запись, называемую числовым равенством, надо два числовых выражения соединить знаком равенства (=).

Представленный пример является верным числовым равенством, но числовое равенство может быть неверным:

Давайте разберем свойства числовых равенств.

1. Если числовое равенство верно, то прибавивк обеим частям этого равенства одно и тоже число мы получим верное числовое равенство .

(12 + 3) = (9 + 6)

12 + 3 = 15 и 9 + 6 = 15

Равенство верно, теперь проверим свойство

(12 + 3) + (5 – 2) = (9 + 6) + (5 – 2)

15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)

18 = 18

В обоих случаях равенства верны

То же самое произойдет, если мы вычтем одно и то же числовое выражение из обеих частей верного числового равенства .

Проверим это свойство на предыдущем примере заменив действие сложение на вычитание:

(12 + 3) – (5 – 2) = (9 + 6) – (5 – 2)

15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)

12 = 12

Как мы видим равенство верно.

1. Если числовое равенство верно, то умножив обе части этого равенства на одно и тоже числовое выражение мы получим верное числовое равенство .

Проверим и это свойство:

(75 – 3) = (15 + 57)

75 – 3 = 72 и 15 + 57 = 72 это равенство верно

(75 – 3) · (10 – 2) = (15 + 57) · (10 – 2)

72 · (10 – 2) = 72 · 8 = 576

576 = 576

1. Если числовое равенство верно, то разделивобе части этого равенства на одно и тоже числовое выражение мы получим верное числовое равенство . Правда, это выражение справедливо только если числовое выражение не равно нулю, так как на ноль делить нельзя .

Проверим это свойство:

(12 + 3) : (5 – 2) = (9 + 6) : (5 – 2)

15 : 3 = 15 : 3

5 = 5

Что и требовалось доказать.

Если одно числовое выражение не равно другому, то сравним оба выражения поставим между ними знак сравнения – больше (>) или меньше ( . Мы получим числовое неравенство .

Числовое неравенство – это неравенство, в котором по обе стороны от знака неравенства содержатся числа или числовые выражения. Результат сравнения записывают с помощью знаков =, .

Например, 24=24; 46>13, 67 –65.

В зависимости от конкретных чисел используется способ сравнения, но существует способ, который охватывает все числа, он основывается на следующем определении.

Способ сравнения чисел

Число а больше числа b, если разность (а – b) является положительным числом; число а меньше числа b, если разность (а – b) является отрицательным числом; число а равно числу b, если разность (а – b ) является равным нулю числом.

Обратимся к геометрической интерпретации действительных чисел на числовой прямой. Введём понятие числовой прямой. Пусть на плоскости дана некоторая прямая (обычно расположенная горизонтально). Зафиксируем на этой прямой точку О и назовём её началом отсчёта. Точка О разбивает прямую на два луча. Направление вдоль прямой направо от точки О назовём положительным направлением, а противоположное направление — отрицательным. Пусть также задан отрезок, длина которого принята за единицу длины. В таких случаях говорят, что на прямой введён масштаб.

Прямую, на которой выбрано начало отсчёта, положительное направление и введён масштаб, называют числовой прямой.

Каждой точке числовой прямой можно поставить в соответствие действительное число по следующему правилу:

1. Началу отсчёта точке О ставится в соответствие число нуль.
2. Каждой точке N на положительном луче ставится в соответствие положительное число а(где а — длина отрезка ON , выраженная через единичный отрезок).
3. Каждой точке М на отрицательном луче ставится в соответствие отрицательное число b (где |b|— длина отрезка ОМ , измеренная посредством единичного отрезка).

В результате получим, что при выбранном масштабе:

1. каждой точке на числовой прямой поставлено в соответствие одно (и только одно) действительное число;
2. разным точкам числовой прямой поставлены в соответствие разные числа;
3. нет ни одного действительного числа, которое не соответствовало бы какой-либо точке на числовой прямой.

В таких случаях принято говорить, что между множеством всех точек числовой прямой и множеством всех действительных чисел установлено взаимно однозначное соответствие.

Если на прямой выбрано начало отсчёта, положительное направление и введена масштабная единица, то говорят также, что на прямой задана система координат. При этом сама прямая называется координатной осью, а точка О —началом координат. Действительное число, поставленное каждой точке этой прямой по указанному выше правилу во взаимно однозначное соответствие, называют координатой точки в заданной системе координат.

Рассмотрим теперь два произвольных действительных числа

Выше для любых действительных чисел а и b была определена операция сравнения. Применяя сё, получим по отношению к этим числам, что справедливо одно (и только одно) из следующих трёх утверждений:

1) число а равно числу b (а = b); 2) число а больше числа b (а > b)

3) число а меньше числа b (а b , то на числовой прямой точка, соответствующая числу а , будет лежать правее точки, соответствую-щей числу b . Наконец, если а