Числовые и функциональные ряды кратко

Обновлено: 18.05.2024

где число слагаемых неограниченно. Выражение называется общим, или -ным, членом ряда. Сумме бесконечного числа слагаемых нужно придать смысл. Делается это следующим образом. Назовем –ной частичной суммой ряда сумму первых слагаемых

Суммой ряда называется предел частичных сумм

Ряд с конечной суммой называется сходящимся. Если предела частичных сумм не существует, говорят, что ряд расходится.

Найти сумму ряда точно почти никогда не удается. В действительности важно знать, сходится ли ряд вообще, или нет. Именно этот вопрос нас и будет интересовать.

Необходимое условие сходимости ряда

Ряд называется знакоопределенным, если все слагаемые имеют один знак. Имеется несколько простых достаточных условий сходимости знакоположительных рядов.

Признак Даламбера. Пусть существует предел

Тогда, если , то ряд сходится; если , то ряд расходится.

Признак Коши (радикальный). Пусть существует предел

Если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

Признак Коши (интегральный). Если найдется такая монотонно убывающая положительная функция , что для всех , то тогда из сходимости интеграла следует сходимость ряда , а из расходимости интеграла следует расходимость ряда .

Иногда для исследования сходимости знакоположительного ряда удобно использовать признаки сравнения. Если и ряд сходится, то и сходится. Если и ряд расходится, то и расходится.

Из признаков сходимости знаконеопределенных рядов нам потребуется признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Если мы имеем ряд

где , и при этом , то ряд сходится. Для рядов, удовлетворяющих условию Лейбница (то есть знакочередущихся рядов, у которых монотонный предел модуля –го члена равен нулю), имеется следующая полезная оценка:

то есть остаток ряда, начиная с произвольного члена , по модулю не превосходит этого члена.

Задача 4.5.аИсследовать сходимость ряда

Решение. Имеем , , и, по признаку Даламбера,

Следовательно, ряд сходится.

Задача 4.5.бИсследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем: , и, по радикальному признаку Коши,

Следовательно, ряд сходится.

Литература.

1. Щипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. - М., Высшая школа, 2001.

2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. 2 издание. Юнити - Дана, 2002.

3. Г.Я Волошин- Курс высшей математики для экономистов. Учебное пособие. М.2003.

4. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников – Высшая математика в упражнениях и задачах.

Числовым рядом называется формальное выражение вида

Суммой ряда называется предел частичных сумм

Необходимое условие сходимости ряда

Признак Даламбера. Пусть существует предел

Тогда, если , то ряд сходится; если , то ряд расходится.

Признак Коши (радикальный). Пусть существует предел

Если , то ряд сходится, если , то ряд расходится.

то есть остаток ряда, начиная с произвольного члена , по модулю не превосходит этого члена.

Задача 4.5.аИсследовать сходимость ряда

Решение. Имеем , , и, по признаку Даламбера,

Следовательно, ряд сходится.

Задача 4.5.бИсследовать сходимость ряда .

Решение. Имеем: , и, по радикальному признаку Коши,

Следовательно, ряд сходится.

Литература.

1. Щипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. - М., Высшая школа, 2001.

2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. 2 издание. Юнити - Дана, 2002.

3. Г.Я Волошин- Курс высшей математики для экономистов. Учебное пособие. М.2003.

4. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников – Высшая математика в упражнениях и задачах.

Определение 1.Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается : .

Определение 2.Суммой ряда называется предел последовательности частичных сумм , если он существует и конечен. В этом случае ряд называют сходящимся и пишут , в противном случае – расходящимся.

Определение 3.Ряд , полученный из ряда отбрасыванием первых его m членов называется m-м остатком ряда.

Если сумму остатка сходящегося ряда обозначить через , то, очевидно, .

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 1.Отбрасывание ряда, или присоединение к ряду любого конечного числа начальных членов не меняет его сходимости или расходимости.

Теорема 2.Если ряд сходящийся, то .

Теорема 3. Если члены ряда , имеющего сумму S, умножить на число , то полученный ряд будет также сходящимся, а число – его суммой.

Теорема 4. Умножение членов расходящегося ряда на число не нарушит его расходимости.

Теорема 5 (необходимое условие сходимости). Если ряд сходится, то предел последовательности его членов равен 0: .

Отсюда следует, что если , то ряд расходится.

Теорема 6 (критерий Коши). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого существовало число (зависящее только от ) такое, что для всех и любого натурального k было справедливо неравенство .

Если все члены ряда положительные, то ряд называют знакоположительным.

Приведем основные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Признаки сравнения. Пусть имеем 2 знакоположительных ряда:

1. Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с некоторого номера, выполняется равенство , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

2. Если существует конечный предел , то оба ряда (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. Сравнение исследуемых рядов производится обычно со следующими рядами:

а) , (геометрическая прогрессия, сходящаяся при и расходящаяся при );

б) (расходящийся гармонический ряд);

в) (обобщенный гармонический ряд, сходящийся при и расходящийся при ).

Замечание 2. Если, в частности, общие члены сравниваемых рядов эквиваленты при ( ), то оба ряда (в смысле сходимости) ведут себя одинаково.

Признак Даламбера. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Признак Коши. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Признак Раабе. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым, т.е. о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя, нужны дополнительные исследования.

Интегральный признак. Если функция непрерывна, неотрицательна и не возрастает при , то ряд сходится или расходятся одновременно с несобственным интегралом .

Признак Бертрана. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Замечание. При оценке факториалов больших чисел и вычислении пределов, содержащих часто бывает полезна формула Стирлинга .

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти сумму ряда .

Решение. Составим частичную сумму:

Пример 2. Найти сумму ряда

Решение. Составим последовательность частичных сумм:

Пример 3. Найти сумму ряда .

Решение. Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

Пример 4.Исследовать на сходимость ряд

Решение. Проверим выполнение необходимого условия . Необходимое условие выполняется, однако, это не означает, что ряд сходится. Исследуем на сходимость с помощью достаточных признаков. Этот ряд можно исследовать на сходимость с помощью признака сравнения. Сравним исследуемый ряд с гармоническим рядом . Начиная с члены нашего ряда больше соответствующих членов гармонического ряда так как при , . Гармонический ряд расходится, следовательно, расходится и ряд

Пример 5.Исследовать на сходимость ряд .

Решение. при .
Ряд – обобщенный гармонический ряд с показателем сходится. Значит, данный ряд , члены которого эквивалентны членам обобщенного гармонического ряда, сходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Используем признак Даламбера. Имеем :

Следовательно, исследуемый ряд сходится.

Пример 7.Исследовать на сходимость ряд

Решение. Здесь удобно применить признак Коши. Следовательно, ряд расходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

Решение.Воспользуемся предельным признаком сравнения. Вместо ряда можно исследовать на сходимость более простой ряд , так как Применим интегральный признак сходимости ряда. Вычислим несобственный интеграл от функции , удовлетворяющей условиям интегрального признака.

Интеграл расходится, значит будет расходится и ряд.

Пример 9. Доказать справедливость равенства .

Решение. Рассмотрим ряд . Исследуем его сходимость по признаку Даламбера:

Ряд сходится. Следовательно, по необходимому признаку предел общего члена равен нулю.

Задания для самостоятельной работы

10.1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.2. Исследовать сходимость ряда с помощью одного из признаков сравнения:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.3. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.4. Исследовать сходимость ряда с помощью радикального признака Коши:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.5. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.6. Исследовать на сходимость (разные задачи):

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.7. Доказать справедливость равенства. (Ответом служит число , получаемое при применении признака Даламбера или признака Коши):

а);	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

Ответы

10.1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) 1; з) .10.2. а) расходится; б) сходится; в) сходится; г) сходится; д) сходится; е) сходится; ж) расходится; з) сходится. 10.3. а) расходится; б) сходится; в) сходится;
г) сходится; д) расходится; е) сходится; ж)сходится; з) сходится.
10.4. а) сходится; б) сходится; в) сходится; г) сходится; д) сходится; е) расходится; ж) сходится; з) сходится. 10.5. а) сходится; б) расходится; в) расходится; г) расходится; д) расходится; е) расходится; ж) расходится; з) расходится. 10.6. а) сходится; б) сходится; в) расходится; г) сходится;
д) расходится; е) сходится; ж) сходится; з) расходится.

10.2. Знакопеременные ряды

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Этот ряд знакочередующийся. Применим признак Лейбница. Проверим выполнение первого условия.

Выполнение второго условия очевидно Значит, выполнены оба условия признака Лейбница. Следовательно, данный ряд сходится. Исследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов первоначального ряда Покажем, что ряд и гармонический ряд ведут себя одинаково.

Значит ряд, составленный из абсолютных величин, расходится. Таким образом, что исходный ряд сходится условно.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд. .

Решение. В данном примере сначала исследуем знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость, т.е. исследуем сходимость ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда .

По признаку Даламбера

Ряд из абсолютных величин сходится, следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 3. Найти сумму ряда .

Решение. Составим последовательность частичных сумм ,

Пример 4. Сколько членов ряда следует взять, чтобы получить сумму ряда с точностью до ?

Решение. Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Если возьмем , то ошибка не превосходит . Но для знакочередующихся рядов остаток ряда по абсолютной величине не превосходит величины своего первого члена, т.е. , что верно при . Отсюда ясно, что достаточно взять 999 членов ряда. Тогда получим требуемую точность.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. , поэтому данный ряд имеет вид . Но ряд сходится по признаку Лейбница, а монотонная и ограниченная последовательность. Значит, по признаку Абеля исходный ряд сходится.

Рассмотрим ряд из абсолютных величин . Так как ~ при и начиная с некоторого n, а расходится, то расходится. Значит, данный ряд расходится условно.

Пример 6. Вычислить сумму ряда с точностью до 0,001.

Решение. Для знакочередующихся рядов погрешность не превышает первого отброшенного члена.

Поэтому искомая сумма с точностью до равна

Задания для самостоятельной работы

10.8. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

а) ;	б);
в);	г);
д) ;	е);
ж) ;	з) .

10.9. Вычислить сумму ряда с точностью :

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

Ответы

10.8. а) абсолютно сходится; б) сходится условно; в) сходится абсолютно; г) сходится абсолютно; д) сходится условно; е) сходится условно; ж) сходится абсолютно; з) сходится условно. 10.9. а) 0, 18127; б) 0,633;
в) 0,112; г) –0,303; з) 0,5.

Функциональные ряды

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. При х=0 ряд принимает вид , его частичная сумма , и, по определению суммы ряда .

Пусть – фиксированное число, . Исследуем сходимость получившегося числового ряда по интегральному признаку Коши: . Интеграл расходится при всех фиксированных значениях , следовательно, расходится при всех и ряд . Данный ряд получается из вспомогательного ряда умножением на число , что не меняет сходимости ряда. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из одной точки .

Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Из условия следует, что . Пусть – фиксированное число, отличное от нуля. Исследуем сходимость получившегося числового ряда по радикальному признаку Коши:

Итак, при и ряд расходится, при и ряд сходится. Поэтому область сходимости ряда .

Пример 3. Исследовать на равномерную сходимость ряд на .

Решение. На справедливо

при , а сходится (по интегральному признаку). Тогда сходится (по теореме сравнения). Значит, по признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на .

Пример 4. Исследовать на равномерную сходимость ряд

Решение. при . Значит, , но сходится. Тогда по признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на всей числовой оси и абсолютно.

Задания для самостоятельной работы

n10.10. Найти область сходимости функционального ряда:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

Ответы

10.10. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; ж) .

Степенные ряды

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Интервал сходимости можно найти, применяя признак Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда. Здесь

По признаку Даламбера для сходимости ряда предел должен быть меньше 1.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка .

Если x = 4, то получим ряд . Он сходится, так как этот ряд ведет себя как ряд .

Если x = 2, то получим ряд . Он сходится и притом абсолютно, так как сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Окончательно получим, что область сходимости исследуемого ряда отрезок [2; 4].

Пример 2. Найти область сходимости функционального ряда

Решение. Данный ряд является степенным. Он содержит только четные степени , поэтому искать радиус интервала сходимости по соответствующей формуле нельзя. Зафиксируем и исследуем сходимость получившегося числового ряда по признаку Даламбера.

Ряд сходится, если , т.е. , откуда .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При функциональный ряд принимает вид

Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости: . Поэтому область сходимости данного ряда .

Пример 3. Найти сумму ряда .

Решение. Представим коэффициент перед переменной в виде суммы простейших дробей . Теперь данный ряд можно представить в виде алгебраической суммы двух рядов:

. Степенные ряды почленно интегрируются, поэтому

при При замене ряда функцией воспользовались известной формулой – суммы бесконечно убывающей прогрессии , .

Пример 4. Найти сумму ряда .

Решение. Представим коэффициент перед переменной в следующем виде . Тогда данная сумма распадается на три:

Степенные ряды можно почленно дифференцировать, поэтому

При замене суммы функцией воспользовались известной формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: при .

= при n (-1; 1).

Задания для самостоятельной работы

10.11. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

10.12. Найти сумму ряда:

а) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) ;
ж) ;	з) .

Ответы

10.11. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

Разложение функций в ряды

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Разложить функцию в степенной ряд по степеням (х – а) при а = 1. Определить область сходимости полученного ряда.

Решение. Ряд Тейлора для функции имеет вид:

Получаем разложение в ряд:

Для определения области сходимости полученного ряда воспользуемся признаком Даламбера.

Следовательно, ряд сходится при любом конечном значении х.

Тот же факт можно доказать, если воспользоваться формулой для нахождения радиуса сходимости:

Понятие числового ряда

Cлагаемые – это ЧИСЛА, которые называются членами ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю), то такой ряд называют положительным числовым рядом.

Записать первые три члена ряда

Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:

Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.

Записать первые три члена ряда

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:

Записать первые три члена ряда

На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:

Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: , , . Почему? Ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.

Иногда встречается обратное задание

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть.
В данном случае:

А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде

Сходимость числовых рядов

Одной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость. При этом возможны два случая:

1) Ряд расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: либо суммы вообще не существует, как, например, у ряда
(вот, кстати, и пример ряда с отрицательными членами). Хороший образец расходящегося числового ряда встретился в начале урока: . Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится. Ещё более тривиальный пример: .

2) Ряд сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . Пожалуйста: – этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного примера можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы: . Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: , где – первый член прогрессии, а – её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной дроби. В данном случае: , . Таким образом: Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.

Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать, что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида . Для повторения или изучения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений.

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: .

Обратное в общем случае неверно, т.е., если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда:

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится

Или короче: если , то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела . Вот сразу и обосновали расходимость одного ряда :)

Докажем, что ряд из первого примера расходится.
Общий член ряда:

Вывод: ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях:

Исследовать ряд на сходимость

В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности в статье Пределы. Примеры решений, наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны, тогда предел равен конечному числу.

Делим числитель и знаменатель на

Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится.

Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде или . Также расходятся ряды из примеров № 6, 7: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя. Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.

Почему признак называется необходимым? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно. Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться!

Данный ряд называется гармоническим рядом. Пожалуйста, запомните! Среди числовых рядов он является прима-балериной. Точнее, балеруном =)

Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится.

Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:

1) Данный ряд расходится при . Например, расходятся ряды , , .
2) Данный ряд сходится при . Например, сходятся ряды , , . Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма, например, ряда , важен сам факт его сходимости.

Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда или сходимость ряда .

Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов, и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:)

Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости:

Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Заостряю ваше внимание, что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами).

Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения.

Сначала рассмотрим признак сравнения, а точнее, первую его часть:

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно, что ряд – сходится, и, начиная с некоторого номера , выполнено неравенство , то ряд тоже сходится.

Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами. На практике неравенство часто выполнено вообще для всех значений :

Исследовать ряд на сходимость

Внимание! Далее такая проверка будет подразумеваться по умолчанию, и далее я на этом не останавливаюсь!

Для всех натуральных номеров справедливо очевидное неравенство:

а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму : . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!

Исследовать ряд на сходимость

И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения:

Если известно, что ряд – расходится, и, начиная с некоторого номера (часто с самого первого), выполнено неравенство , то ряд тоже расходится.

Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами.

Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для лучшего понимания постройте несколько конкретных неравенств и убедитесь в справедливаости неравенства .

Решение и образец оформления в конце урока.

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения.

Исследовать ряд на сходимость

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Примечание: когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.

Предельный признак сравнения применим почти для всех рядов, которые мы рассмотрели в предыдущем пункте:
, , , .
Данные ряды по только что рассмотренной трафаретной схеме нужно предельно сравнить соответственно со сходящимися рядами:
, , , .

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

Исследовать ряд на сходимость

Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Подбираем ряд для сравнения .

1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Об этом я уже рассказывал на уроке Методы решения пределов. Повторение – мать учения: мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего: . Если есть константа, её тоже отбрасываем: . Теперь извлекаем корень: . Таким образом, старшая степень знаменателя равна двум.

2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, что она равна единице.

3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1

Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом , то есть, с расходящимся гармоническим рядом.

По мере накопления опыта решения эти три пункта можно и нужно проводить мысленно.

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:

”
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом .

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения.

В недалёком будущем вы будете сразу видеть, сходится такой ряд или расходится. Например, рассмотрим ряд . Ага, 3 – 1 = 2, значит, ряд нужно сравнить со сходящимся рядом , и сразу можно сказать, что наш исследуемый ряд тоже сходится. Дело за малым – осталось аккуратно оформить стандартное рутинное решение.

Вот, пожалуй, и все начальные сведения о положительных числовых рядах, которые потребуются вам при решении практических примеров. Следующий урок по теме числовых рядов – Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши

Решения и ответы:

Пример 2:

Пример 5:

Пример 7: Проверим выполнение необходимого признака сравнения:

Делим числитель и знаменатель на

Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пример 9: Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для любого номера выполнено неравенство , а меньшим знаменателям соответствуют бОльшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Примечание: и здесь тоже есть неформальный смысл. Так как гармонический ряд расходится, то сумма его членов: . Мы показали, что члены ряда ещё больше членов ряда , и совершенно понятно, что сумма ряда не может быть меньше бесконечности.

Пример 11: Сравним данный ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .

Пример 13: Эти три пункта выполняем мысленно или на черновике:
1) Старшая степень знаменателя:4
2) Старшая степень числителя: 1
3) 4 – 1 = 3
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

— формула Стирлинга.

Геометрическая прогрессия:

|q| 0)

Функциональные ряды

При ~D" />
из функционального ряда получается числовой ряд ." />

Если для ~D" />
числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда. Если в каждой точке ~D_1~~D" />
числовые ряды сходятся, то функциональный ряд называется сходящимся в области . Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда.

" />
– частичные суммы ряда. Функциональный ряд сходится к функции f(x), если >=f(x)." />

Равномерная сходимость

" />
— называется мажорируемым в области , если существует такой сходящийся числовой ряд ," />
u_n > 0, что для ∀x ∈ D f_n(x) ≤ u_n, n = 1, 2, …. Ряд " />
называется мажорантой ряда ." />

Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда): функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.

Степенные ряды:
" />
— степенной ряд по степеням
При >" />
– степенной ряд по степеням x.

Область сходимости степенного ряда:
Радиус сходимости, интервал сходимости R, x ∈ (-R, R):
>>/><|>>>=>><|>>>" />
или ><|>>>>" />

При |x| R – расходится;
в точках x = ±R – дополнительное исследование.

сходится абсолютно;
на любом отрезке из интервала сходимости он сходится равномерно.

— формула Стирлинга.

Геометрическая прогрессия:

|q| 0)

Функциональные ряды

При ~D" />
из функционального ряда получается числовой ряд ." />

" />
– частичные суммы ряда. Функциональный ряд сходится к функции f(x), если >=f(x)." />

Равномерная сходимость

Степенные ряды:
" />
— степенной ряд по степеням
При >" />
– степенной ряд по степеням x.

сходится абсолютно;
на любом отрезке из интервала сходимости он сходится равномерно.

Читайте также:

Числовые и функциональные ряды кратко

Рекомендую следующий порядок изучения темы:

Понятие числового ряда

Сходимость числовых рядов

Необходимый признак сходимости ряда

Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов

Функциональные ряды

Равномерная сходимость

Функциональные ряды

Равномерная сходимость