Числовое выражение 7 класс алгебра кратко

Обновлено: 08.07.2024

Выражения в математике определяют как запись утверждения с помощью чисел, букв алфавитов или переменных и знаков, которые обозначают действия.

Математические выражения бывают:

• числовыми;
• буквенными или выражениями с переменными.

Маша решает 5 однотипных заданий за час. Сколько заданий может решить Маша за 2 часа?

Чтобы узнать, сколько заданий может решить Маша, нужно 5 заданий умножить на 2 часа усилий. Значит, 10 заданий Маша решит за два часа.

Решением этой задачи стало числовое выражение 5 * 2 .

Числовые выражения записываются с помощью чисел.

Числовым выражением называется запись, которою составили с помощью чисел, арифметических знаков и скобок.

Числовые выражения: 13 + 546 - 324 ; 34 * 98 : 2 ; 4587 : ( 235 + 345 ) ; 34 , 87 + 2 , 3 * 34 : 5 ; 54 656 .

Число — это абстрактное выражения количества чего-либо. Не несет определяющей смысловой нагрузки о качественной характеристике объекта или предмета.

К арифметическим знакам относят — плюс, минус, деление, умножение.

Действия выполняются по арифметическим правилам слева направо. Сначала выполняют умножение / деление по порядку. После этого — сложение или вычитание.

После выполнения действий в правильном порядке, получают число, которое называют значением числового выражения.

Значением числового выражения называют конечный результат вычисления.

Рассмотрим равенство 3+11=14.

3+11 — пример числового выражения.

Число 14 — значение выражения 3+11.

В случае, если в выражении встречается деление на нуль, то это выражение не имеет числового значения. На нуль делить нельзя. Такие выражения не имеют смысла.

Выражение 45 : ( 5 * 4 - 20 ) не имеет смысла.

Виды числовых выражений в математике и их преобразование

Преобразование числовых выражений заключается в выполнении действий, которые даны в выражении.

Действия выполняют согласно правилам, применимым в математической науке.

Правила или свойства преобразования выражений:

1. Переместительный закон сложения (умножения) — от перестановки мест слагаемых (множителей) сумма (произведение) не меняется.
2. Сочетательный закон сложения — чтобы к одному числу прибавить сумму двух других чисел, можно к числу прибавить первое слагаемое суммы, а потом второе слагаемое.
3. Сочетательный закон умножения — чтобы одно число умножить на произведение двух других, можно сначала данное число умножить на первый множитель, а потом умножить на второй.
4. Распределительный закон — чтобы число умножить на сумму двух других чисел, можно сначала умножить число на каждое слагаемое, которое стоит в скобках. И потом сложить полученные результаты.
5. Если к числу прибавить или вычесть из него ноль, в результате получается исходное число.
6. При умножении на ноль получается ноль.
7. Делить на ноль нельзя — выражение не имеет смысла.
8. Умножение и деление числа на единицу дает исходное число.

Порядок действий, сравнение и решение

Чтобы упростить числовое выражение, нужно:

1. Записать выражение.
2. Расставить порядок действий слева направо:

• вначале выполняются действия в скобках, если они есть. Если в скобках представлено несколько действий, то они выполняются по порядку слева направо. Начинают с умножения и деления, заканчивают сложением или вычитанием;
• потом выполняют умножение или деление вне скобок;
• после — сложение или вычитание.
• Записать ответ.

Расставьте порядок действий в выражении: 547 - 345 + ( 3456 - 235 ) * 65 - 45 : 9 .

Действуем по алгоритму и получаем:

1 действие — 3456-235 — считаем разность чисел 3456 и 235, записываем, сколько получится в скобках.

2 действие — число, которое получили в скобках, умножаем на 65 — ( 3456 - 235 ) * 65 .

3 действие — находим частное двух чисел 45 и 9: 45:9.

4 действие — считаем разность двух чисел 547 и 345 — 547-345.

5 действие — к результату 4 действия прибавляем результат 2 действия.

6 действие — из числа, которое получили в пятом действии, вычитаем результат 3 действия.

7 действие — записываем ответ.

Найдите значение выражения: 4,37+15,4.

Значением данного выражения будет результат суммы чисел 4,37 и 15,4.

Чтобы сложить десятичные дроби, нужно уравнять количество знаков после запятой. В числе 4,37 — два знака после запятой, в 15,4 — один знак. Тогда дописываем нуль в 15,4. Получим дробь 15,40.

Считаем в столбик: записываем числа друг под другом — разряд под разрядом, запятая под запятой.

+ 15 , 40 4 , 37 19 , 77 .

Числовые выражения можно сравнивать между собой.

Чтобы сравнить числовые выражения между собой:

1. Находят значения каждого выражения.
2. Сравнивают полученные значения и ставят знак.
3. Ставят соответствующий знак между выражениями.

Сравните выражения: 45+36 и 45-56.

1. Сравниваем полученные числа: 81>-11.
2. Тогда 45+36>45-56.

Примеры для 7 класса, таблица

Упростите выражение: 21,97-17,88.

Чтобы найти разность десятичных дробей, нужно:

1. Уравниваем количество знаков после запятой — в данном случае у дробей одинаковое количество знаков.
2. Записываем решение в столбик: разряд под разрядом, запятая под запятой:

- 17 , 88 21 , 97 4 , 09 .

Уравниваем количество знаков после запятой в двух дробях. Записываем пример в столбик разряд под разрядом, запятая под запятой.

- 0 , 25 5 , 00 4 , 75 .

Найдите значение выражения: 6 , 7 * 2 .

Чтобы умножить десятичную дробь на число, нужно:

1. Записать умножение в столбик так, чтобы с правой стороны был ровный край.
2. Не обращая внимания на запятую, перемножить числа.
3. Посчитать количество знаков после запятой в десятичной дроби.
4. Отделить запятой справа столько знаков в ответе, сколько их после запятой в десятичной дроби.

Вычислите: - 52 , 48 : ( - 4 ) .

При делении двух отрицательных чисел, получаем положительное число.

Чтобы разделить десятичную дробь на число:

1. Записываем деление в столбик.
2. Вначале делим на делитель целую часть.
3. Когда деление целой части закончилось, ставим запятую в частном.
4. Продолжаем деление, пока в остатке не получим нуль.
5. Записываем ответ.

- 4 13 , 12 52 , 48 4 ¯ - 12 12 - 4 4 - 8 8 0

Найдите значение выражения: 1 , 53 + 2 , 7 * 2

Расставляем порядок действий. Первым действием будет произведение чисел 2,7 и 2. Вторым действием — сумма результата и 1,53.

× 2 2 , 7 5 , 4 ; 1 , 53 + 5 , 4 = 6 , 93

Выполните действия: 3,73:3-0,75.

Первое действие — частное чисел 3,73 и 3. Находим значение данного выражения — 1,25.

Второе действие — от результата первого действия (1,25) отнимаем 0,75. Получаем 0,5.

Самостоятельно вычислите: 6 2 3 : 2 4 7 .

Чтобы разделить два смешанных числа, нужно сначала их перевести в неправильные дроби.

Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь:

• в числителе: умножаем целую часть на знаменатель и прибавляем числитель;
• знаменатель дроби оставляем без изменений.

6 2 3 = 6 * 3 + 2 3 = 20 3

2 4 7 = 2 * 7 + 4 7 = 18 7

Записываем деление: 20 3 : 18 7

Чтобы разделить две обыкновенные дроби: первую дробь переписываем и умножаем на обратную второй дроби (перевернутую вторую).

20 3 : 18 7 = 20 * 7 3 * 18 = 10 * 7 3 * 9 = 70 27

Получили неправильную дробь, в которой числитель больше знаменателя — 70 27 . Выделяем целую часть: делим числитель на знаменатель. Неполное частное записываем в целую часть, остаток от деления — в числитель, знаменатель сохраняем.

Вся цепочка решения: 6 2 3 : 2 4 7 = 6 * 3 + 2 3 : 2 * 7 + 4 7 = 20 3 : 18 7 = 20 * 7 3 * 18 = 10 * 7 3 * 9 = 70 27 = 2 16 27

Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы уже неоднократно решали задачи, в которых над заданными числовыми значениями приходится выполнять арифметические действия, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Иногда в том или ином задании все перечисленные действия встречаются одновременно, поэтому чтобы верно вычислить значение того или иного выражения или решить задачу, нужно сначала задать правильный порядок действий.

Порядок арифметических действий.

Арифметические действия выполняются слева направо:

1) действие в скобках;

2) операции умножения или деления;

3) сложения или вычитания.

Таким образом, мы подошли к определению понятия числового выражения.

Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Например, числовые выражения могут выглядеть так:

25 – 67 : 2 + 17 = 8,5

245 – (25 : 0,5) = 195

Если в данных выражениях выполнить все действия, т.е. получить ответ в виде действительного числа, то говорят, что получено значение числового выражения. Например, в этих числовых выражениях значения соответственно равны 8,5 и 195.

Но всегда ли можно получить значение числового выражения?

Рассмотрим следующее выражение:

245 : (25 – 12,5 : 0,5).

В данном случае выражение не имеет смысла, т.к. на некотором этапе вычисления требуется делить на ноль, но на ноль делить нельзя. Таким образом, числовое выражение имеет смысл при условии что делитель (если таковой есть) не равен нулю.

Стоит отметить, что числовое выражение может состоять только из числа.

Например, 45 и 1/2 – тоже числовые выражения.

Как уже отмечалось ранее, числовые выражения иногда используют и для решения задач.

Решим такую задачу:

Автомобиль двигался по трассе 20 км со скоростью 100 км/ч, а затем ещё 30 км со скоростью 90 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля на всём участке?

Для решения задачи нужно вспомнить, что средняя скорость – это отношение всего пути, пройденного телом ко времени прохождения всего пути.

Исходя из этого, составим числовые выражения, необходимые для решения задачи.

Основой математики являются числовые выражения. В 7 классе они изучаются подробнее, поскольку к ним применяются специальные методики, позволяющие выполнять операции упрощения. Последние используются для оптимизации вычислений при решении задач по различным дисциплинам с физико-математическим уклоном. Однако специалисты рекомендуют изучить теорию, которая поможет избежать множества ошибок при расчетах величин.

Общие сведения

Математическим выражением не является набор символов, не имеющий логического завершения. Например, 234±4678++* - обыкновенный ряд, который можно составить из цифр и знаков арифметических операций. Последние имеют следующие обозначения:

1. * — произведение.
2. / — деление.
3. + — сложение.
4. — — вычитание.

Произведение — вид арифметической операции, позволяющей умножить одну величину на другую. Она состоит из трех основных элементов. К ним относятся: I множитель, II множитель и произведение (результат). Математики утверждают, что для сокращения сложения применяется умножение, то есть 3+3+3+3+3+3=3*6=18. Если рассчитать оба выражения, то они будут равными между собой.

Деление — арифметическая операция, используемая для поиска сомножителей искомого числа. Она состоит из следующих обязательных компонентов: делимого, делителя и частного. Первый элемент — составное значение, второй — один из множителей первого, а частное — результат операции деления.

Сложение — простейшая арифметическая операция, составление которой осуществляется минимум из трех элементов и позволяющая увеличивать искомую величину на определенное значение. Компоненты имеют следующие названия: два слагаемых и результат, который называется суммой.

Вычитание — операция, необходимая для уменьшения искомого числа на заданную величину. Она состоит из трех компонентов: уменьшаемого, вычитаемого и разности. Первое — числовое значение, от которого отнимается вычитаемое.

Однако у каждой операции есть определенный приоритет.

Приоритет операций

В первом случае операция займет больше ресурсов: сначала требуется 2 умножить на 26, высчитать результат, а затем его поделить на 13. Это не слишком удобно. Однако для оптимизации вычислений рекомендуется применять второй способ, поскольку особого труда не составляет 26 разделить на 13, а затем результат перемножить с двойкой.

Сложение и вычитание имеют также одинаковый уровень приоритета. Можно сначала для удобства выполнить сложение, а затем вычитание или наоборот. Специалисты рекомендуют руководствоваться важным принципом: вычисления должны быть максимально упрощены. Чтобы задать приоритет какому-либо математическому действию, необходимо взять часть выражения в скобки (сгруппировать). В результате этого первой будет выполняться операция, находящаяся в скобках.

Для примера нужно найти значение выражения: 2*2−2 (3−2)*7/14−25/5. Решать его правильно по такой методике с учетом приоритета:

1. 3−2=1.
2. 1*2*7/14=1.
3. 2*2=4.
4. 25/5=5.
5. 4−1−5=2.

Если не учитывать приоритет выполнения операций, то найти значение числового выражения можно по такой схеме:

1. 2*2=4.
2. 4−2=2.
3. 2*1=2.
4. 2*7/14=1.
5. 1−25=24.
6. 24/5=4,8.

Если сравнить два результата, то они не совпадают. На основании этого можно сделать вывод, что приоритет имеет значение при выполнении вычислений и нарушать его нельзя, поскольку исчезнет логика выражения. Однако не только скобки позволяют установить очередность операций. Существуют некоторые исключения.

Частные случаи или исключения

В алгебре, как и во всех дисциплинах с физико-математическим уклоном, учитывается скорость вычислений. Это существенно влияет на время выполнения какого-либо задания. В некоторых случаях выражение можно упростить, используя формулы сокращенного умножения и выполняя математические преобразования с элементами тождества. Для этих целей рекомендуется пользоваться соответствующими правилами:

1. Если выражение представлено в виде дробного рационального тождества, то следует вынести общий множитель, а затем сократить на него.
2. Необходимо применять формулы сокращенного умножения.
3. Раскрытие скобок и приведение подобных компонентов выполняется в том случае, когда в этом есть необходимость.
4. Числовое выражение необходимо вычислять, а алгебраическое — приводить к простой форме.

Следует отметить, что в первом случае обязательно требуется проверить равенство знаменателя нулевому значению. Для этого следует указать величину переменной, которая не должна превращать знаменатель в 0.

Методика вычисления

Математики разработали специальную методику нахождения значения выражения. Она сводится к разбиению числового выражения на части. Этот подход впервые использовал Пифагор. Суть его состоит в следующем:

1. Разбить тождество на части, обозначив каждую из них определенной литерой.
2. Найти величину каждого компонента.
3. Вычислить окончательный результат.

Для демонстрации алгоритма необходимо решить пример: 9*7−21 (74/(43+31))/7−64-(27−3*9). Практическая реализация методики имеет следующий вид:

1. Разбить тождество по частям: K=9*7, L=(74/(43+31))/7, M=21, N=64, O=27−3*9.
2. Записать в полной форме с учетом замен: K-L*M-N-O.
3. Вычислить первый элемент: К=63.
4. Найти II компонент: L=1/7.
5. Рассчитать III и II: 21/7=3.
6. Найти О: О=0.
7. Определить результат, подставив в выражение замен найденные величины: 63−3−64−0=-4.

Таким образом, для расчета значения числового выражения нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который позволит существенно оптимизировать вычисления.

В данном уроке будет рассмотрено понятие алгебраических выражений. В их состав входят буквенные переменные, которые могут принимать разные числовые значения. Поэтому для правильного решения алгебраических выражений необходимо ориентироваться в действиях с числовыми.

При решении алгебраических выражений буквенные переменные не всегда принимают произвольное значение. В таких случаях появляются понятия допустимые значения букв и недопустимые значения букв.

Понимание данной темы позволит совершать базовые действия с алгебраическими выражениями, а также укрепит навыки решения числовых примеров.

Читайте также:

  
• Впечатление от мюзикла кошки кратко
  
• Значение слова цель кратко
  
• Муаммар каддафи биография кратко
  
• Иван мещеряков подвиг кратко
  
• Религиозный этикет буддизма кратко