Числовая окружность это кратко

Обновлено: 30.06.2024

Тригонометрия – это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0).
Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0.
Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90°, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла и центром в вершине угла, к радиусу этой окружности.
От радиуса окружности это отношение не зависит.

Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°.
Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr.
Длина дуги AB: $l_=\frac=\frac<2\pi r>=\frac<\pi r>.$
Тогда радианная мера угла: $$ \angle AOB=\frac=\frac<\pi r>=\frac<\pi> $$

30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
$\frac<\pi>$	$\frac<\pi>$	$\frac<\pi>$	$\frac<\pi>$	$\frac<2\pi>$	$\frac<3\pi>$	$\frac<5\pi>$	$\pi$	$\frac<3\pi>$	$2\pi$

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие $\frac<\pi>,\ \frac<\pi>,\ \frac<\pi>,\ \frac<2\pi>,\ \pi$, а также $-\frac<\pi>,\ -\frac<\pi>,\ -\frac<\pi>,\ -\frac<2\pi>,\ -\pi$
Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.

Каждой точке M(t) на числовой окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел t с точностью до полного периода 2π:
$$ M(t) = M(t+2\pi k),\ \ k\in\mathbb $$

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие $\frac<\pi>,\ \frac<13\pi>,\ \frac<25\pi>$, и $-\frac<11\pi>$.
Все четыре точки совпадают, т.к. \begin M\left(\frac<\pi>\right)=M\left(\frac<\pi>+2\pi k\right)\\ \frac<\pi>-2\pi=-\frac<11\pi>\\ \frac<\pi>+2\pi=\frac<13\pi>\\ \frac<\pi>+4\pi=\frac<25\pi> \end

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: \begin BE=30^=\frac<\pi>.\\ EC=60^=\frac<\pi>.\\ AE=EC+CD=90^+30^=120^=\frac<2\pi>.\\ ED=EC+CD=60^+90^=150^=\frac<5\pi>. \end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: $-\frac<\pi>;\ \frac<3\pi>;\ \frac<7\pi>;\ \frac<7\pi>$.

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. \begin -\frac<\pi>=-90^,\ \ \frac<3\pi>=135^\\ \frac<7\pi>=210^,\ \ \frac<7\pi>=315^ \end

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: $-\frac<11\pi>;\ 5\pi;\ \frac<17\pi>;\ \frac<27\pi>$.

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk - четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π.
Далее – действуем, как в примере 2. \begin -\frac<11\pi>=\frac\cdot\pi=-6\pi+\frac<\pi>\rightarrow \frac<\pi>=90^\\ 5\pi=4\pi+\pi\rightarrow \pi=180^\\ \frac<17\pi>=\frac\pi=3\pi-\frac<\pi>\rightarrow \pi-\frac<\pi>=\frac<5\pi>\\ \frac<27\pi>=\frac\pi=7\pi-\frac<\pi>\rightarrow \pi-\frac<\pi>=\frac<3\pi> \end

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: \begin 0,\ \ \frac\pi2\approx\frac=1,57,\ \ \pi\approx 3,14\\ 3\pi\ \ 3\cdot 3,14\\ \frac<3\pi>\approx \frac=4,71,\ \ 2\pi\approx 6,28 \end

$\frac\pi2\lt 2\lt \pi \Rightarrow $ угол 2 радиана находится во 2-й четверти
$\pi\lt 4\lt \frac<3\pi> \Rightarrow $ угол 4 радиана находится в 3-й четверти
$\frac<3\pi>\lt 5\lt 2\pi \Rightarrow $ угол 5 радиана находится в 4-й четверти
$7\gt 2\pi$, отнимаем полный оборот: $0\lt 7-2\pi\lt \frac\pi2\Rightarrow$ угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек $(k\in\mathbb)$, запишите количество полученных базовых точек.

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, $\frac, \frac, \frac, 10π, -\frac$) разбирается в этой статье .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние $t$, то мы попадем в точку со значением $t$;

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние $t$, то мы попадем в точку со значением $–t$.

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы $l=2πR$ мы получим:

Длина числовой окружности равна $2π$ или примерно $6,28$.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте $1$ на оси $x$ и $0$ на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам $1$, $2$ и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен $1$? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу $2$, нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы $3$ – расстояние равное трем радиусам и т.д.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: $2π$. И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа $π$ : $ \frac$,$-\frac$,$\frac$, $2π$. Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с $π$. Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

Если взять π ≈ 3,14 , то длина окружности $l$ может быть выражена числом 2 π ≈ 2 ⋅ 3,14 = 6,28 .

В единичной окружности $CA$ является горизонтальным диаметром, $DB$ — вертикальным диаметром (см. рис.)

Дуга $AB$ соответствует первой четверти, дуга $BC$ — второй четверти, дуга $CD$ — третьей четверти, дуга $DA$ — четвёртой четверти, причём это открытые дуги, т. е. дуги без их концов.

Принято в обозначении дуги на первом месте писать букву, обозначающую начало дуги, а на втором месте писать букву, обозначающую конец дуги.

Разобьём каждую четверть числовой окружности пополам, получим $8$ точек, возле каждой напишем соответствующее число:

Разделим каждую четверть на три равные части, вся числовая окружность будет поделена на $12$ равных частей. Каждую полученную точку подпишем соответствующим числом промежутка 0 ; 2 π (первый обход числовой окружности в положительном направлении).

если точка $M$ числовой окружности соответствует числу $t$, то она соответствует и числу вида t + 2 π k , k ∈ ℤ .

единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называется числовой окружностью .

Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см.рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть – это дуга AB

вторая четверть – дуга BC

третья четверть – дуга CD

четвертая четверть – дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности – точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением.
Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x, вертикальный – оси y.

Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Значения x и y в четвертях числовой окружности:

x 0, y Основные величины числовой окружности:

Величина
в радианах

Величина
в радиусах

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка – это 2π (крайняя правая точка на оси х, равная 1).

Как вы знаете, 2π – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х, равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π, то половина полуокружности – это π/2.

Одновременно π/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у, равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель – причем это противоположные точки и относительно оси у, и относительно центра осей, и относительно оси х. Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) – то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

- Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше – то есть это 7π/6.

Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 – то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 – то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти – это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти – это 3π. Числитель середины третьей четверти – это 5π. Числитель середины четвертой четверти – это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей – четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой k, то получим новое выражение:
t = t + 2πk.

Отсюда формула:

Если точка M числовой окружности равна числу t, то она равна и числу вида t + 2πk, где k – любое целое число:

M(t) = M(t + 2πk),

где k ∈ Z.

Число k называется параметром.

Урок и презентация на тему: "Числовая окружность: определение, общий вид, длина. Единичная окружность"

Что будем изучать:
1. Числовая окружность в жизни.
2. Определение числовой окружности.
3. Общий вид и длина числовой окружности.
4. Местонахождение основных точек окружности.

Числовая окружность и жизнь

В реальной жизни часто встречается движение по окружности. Например, соревнования велосипедистов, которые проезжают определенный круг на время или соревнования гоночных автомобилей, которым надо проехать наибольшее количество кругов за отведенное время.

Рассмотрим конкретный пример…

Бегун бежит по кругу длиной 400 метров. Спортсмен стартует в точке А (рис. 1) и движется против часовой стрелки. Где он будет находится через 200 м, 800 м, 1500 м? А где провести финишную черту, если бегуну необходимо пробежать 4195 м?
Решение:
Через 200 м бегун будет находиться в точке С. Так как он пробежит ровно половину дистанции.

Пробежав 800 м, бегун сделает ровно два круга и окажется в точке А.

1500м – это 3 круга по 400 м (1200 м) и еще 300 м , то есть $\frac$ от беговой дорожки, финиш этой дистанции в точке D.

Где будет находиться наш бегун пробежав 4195 м? 10 кругов – это 4000 м, останется пробежать 195 м, это на 5 м меньше, чем половина дистанции. Значит финиш будет в точки K, расположенной около точки С.

Определение числовой окружности

Запомните!
Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам. Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности

1) Радиус окружности принимается за единицу измерения.
2) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.

Диаметры АС и BD делят окружность на четыре четверти:
первая четверть – это дуга AB.
вторая четверть – дуга BC.
третья четверть – дуга CD.
четвертая четверть – дуга DA.

3) Начальная точка числовой окружности – точка А.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением. Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

Длина числовой окружности

Длина числовой окружности вычисляется по формуле:
$L = 2 π * R = 2 π * 1 = 2 π$.
Так как это единичная окружность, то $R = 1$.
Если взять $π ≈ 3,14$, то длина окружности L может быть выражена числом:
$2 π ≈ 2 * 3,14 = 6,28$.
Длина каждой четверти равна: $\frac*2π=\frac$.

Местонахождение основных точек окружности

Основные точки на окружности и их названия представлены на рисунке:

Каждая из четырёх четвертей числовой окружности разделена на три равные части. Около каждой из полученных двенадцати точек записано число, которому она соответствует.

Для числовой окружности верно следующее утверждение:

Если точка $М$ числовой окружности соответствует числу $t$ , то она соответствует и числу вида $t+2π *k$, где $k$ – целое число. $М(t) = M(t+2π*k)$.

Рассмотрим пример.
В единичной окружности дуга АВ разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р — на три равные части. Чему равна длина дуги: AM, МВ, АК, КР, РB, АР, КМ?

Длина дуги $АВ =\frac$. Разделив ее на две равные части точкой М, получим две дуги, длиной $\frac$ каждая. Значит, $AM =МВ=\frac$.

Дуга АВ разбита на три равные части точками К и Р. Длина каждой полученной части равна $\frac* \frac$, т. е. $\frac$. Значит, $АК = КР = РВ =\frac$.

Дуга АР состоит из двух дуг АК и КР длиной — $\frac$. Значит, $АР = 2 *\frac =\frac$.

Осталось вычислить длину дуги КМ. Эта дуга получается из дуги AM исключением дуги АК. Таким образом, $КМ = AM – АК =\frac - \frac = \frac$.

Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
$2π$, $\frac$, $\frac$, $-\frac$.

Решение:

Числу $2π$ соответствует точка А, т.к. пройдя по окружности путь длиной $2π$, т.е. ровно одну окружность, мы опять попадем в точку А.

Числу $\frac$ соответствует точка D, т.к. $\frac=2π+\frac$, т.е. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти целую окружность и дополнительно путь длиной $\frac$, который закончится в точке D.

Числу $\frac$ соответствует точка М, т.к. двигаясь в положительном направлении, нужно пройти путь в половину дуги АВ длиной $\frac$, который закончится в точке M.

Числу $-\frac$ соответствует точка В, т.к. двигаясь в отрицательном направлении из точки А, нужно пройти путь длиной $\frac$, который закончится в точке В.

Найти на числовой окружности точки:
а) $21\frac$;
б) $-37\frac$.

Решение:
Воспользуемся формулой: $М(t) = M(t+2π*k)$ (8 слайд) получим:

а) $\frac = (4+\frac)*π = 4π +\frac = 2*2π +\frac$, значит числу $\frac$ соответствует такое же число, что и числу $\frac$ – середина третьей четверти.

б) $-\frac=-(6+\frac)*π =-(6π +\frac) = -3*2π - \frac$. Значит, числу $-\frac$ соответствует такое же число, что и числу $-\frac$. Тоже самое, что и $\frac$.

Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге:
а) ВА;
б) МK.

а) Дуга ВА – это дуга с началом в точке В и концом в точке А, при движении по окружности против часовой стрелки. Точка В соответственно равна $\frac$, а точка А равна $2π$. Значит, для точек t имеем: $\frac ≤ t ≤ 2π$. Но согласно формуле на слайде 8, числам $\frac$ и $2π$ соответствуют числа вида $\frac+2π*k$ и $2π+2π*k$ соответственно.
Тогда наше число t принимает значения:
$\frac +2π*k ≤ t ≤ 2π +2π*k$, где $к$ – целое число.

б) Дуга МK – это дуга с началом в точке М и концом в точке К. Точка М соответственно равна $-\frac$, а точка К равна $\frac$.
Значит для точек t имеем:
$\frac ≤ t ≤\frac$.
Согласно формуле на слайде 8 числам $-\frac$ и $\frac$ соответствуют числа вида: $-\frac+2π*k$ и $\frac+2π*k$ соответственно.
Тогда наше число t принимает значения:
$-\frac+2π*k ≤ t ≤ \frac +2π*k$, где $к$ – целое число.

Задачи для самостоятельного решения

1) На единичной окружности дуга ВС разделена точкой Т на две равные части, а точками К и Р на три равные части. Чему равна длина дуги: ВТ, ТС, ВК, КР, РС, ВР, КТ?

2) Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
$π$, $\frac$, $\frac$, $-\frac$, $\frac$.

3) Найти все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге:
а) АВ;
б) АС;
в) PM, где P – середина дуги АВ, а точка М – середина DA.

Читайте также: