Целые выражения это кратко и понятно

Обновлено: 05.07.2024

Целое выражение – это математическое выражение, составленное из чисел и буквенных переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Также к целым относятся выражения, которые имеют в своем составе деление на какое либо число, отличное от нуля.

Примеры целого выражения

Ниже представлены несколько примеров целых выражений:

Дробные выражения

Если же в выражении присутствует деление на переменную или на другое выражение содержащее переменную, то такое выражение не является целым. Такое выражение называется дробным. Дадим полное определение дробного выражения.

Дробное выражение - это математическое выражение, которое помимо действий сложения, вычитания и умножения, выполненных с числами и буквенными переменными, а также деления на число не равное нулю, содержит так же деление на выражения с буквенными переменными.

Примеры дробных выражений:

Дробные и целые выражения составляют два больших множества математических выражений. Если эти множества объединить, то получим новое множество, которое называется рациональными выражениями. То есть рациональные выражения это все целый и дробные выражения.

Нам известно, что целые выражения имеют смысл при любых значениях переменных, которые в него входят. Это следует из того, что для нахождения значения целого выражения необходимо выполнять действия, которые всегда возможны: сложение, вычитание, умножение, деление на число отличное от нуля.

Дробные же выражения, в отличии от целых, могут и не иметь смысла. Так как присутствует операция деления на переменную или выражение содержащее переменные, и это выражение может обратится в нуль, а делить на нуль нельзя. Значения переменных, при которых дробное выражение будет иметь смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Рациональная дробь

Одним из частных случаев рациональных выражений будет являться дробь, числитель и знаменатель которой многочлены. Для такой дроби в математике тоже существует свое название – рациональная дробь.

Рациональная дробь будет иметь смысл в том случае, если её знаменатель не равен нулю. То есть допустимыми будут являться все значения переменных, при которых знаменатель дроби отличен от нуля.

Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.

Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены этих многочленов.

Разность двух многочленов – это сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена многочлена.

Правило приведения многочлена к стандартному виду:

1)каждый член многочлена привести к стандартному виду;

2)привести подобные члены.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить общее выражение, соединяя их знаками сложения, вычитания и умножения?

Безусловно. Данные действия мы научились выполнять на предыдущих занятиях.

Одно из выражений, которое может быть получено: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у)

Мы узнаем, как называется полученное выражение, и научимся упрощать подобные выражения.

Начнём с определения.

Например, полученное при выполнении задания выражение является целым, т.к. многочлены соединены знаками сложения, вычитания и умножения:

(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) – целое выражение.

Выражение, которое содержит многочлены, соединённые знаком деления, не будет являться целым.

Например, выражение (7 + 14а) + (23 – с) : (х + у) – не является целым.

8х + 12 – целое выражение.

Целые выражения можно упрощать, используя правила сложения, вычитания и умножения многочленов.

Во-первых, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена одного многочлена и каждого члена другого многочлена Т.е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.

Например, так выполняется умножение многочленов.

(а + с)(х + у) = ах + ау + сх +су

Во-вторых, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.

Например, так находится сумма многочленов:

(а + с) + (к + х) = а + с + к + х

И, наконец, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.

Например, так находится разность двух многочленов.

(а + с) – (к + х) = а + с – к – х

Выражение, полученное в результате выполнения этих действий, нужно приводить к стандартному виду.

Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.

Рассмотрим, как упрощать целое выражение.

Упростите выражение: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у).

Сначала выполним умножение двух первых многочленов, затем раскроем скобки у оставшихся многочленов. Т.к. перед третьей скобкой стоит знак минус, то знаки членов данного многочлена поменяются на противоположные.

(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) = 17 · 16а + 17·(-15)х + 16ас +(-15)сх – 3 – 4ас + х+ у =

Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду

= 272а – 255х + 16ас – 15сх – 3 – 4ас + х + у = 272а – 254х + 12ас –15сх + у –3

Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое целое выражение, научились его упрощать.

Рассмотрим дополнительно, как доказать, что целое выражение является нулевым многочленом.

Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом.

(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к 2 + у 2 – 8х 2 )

Для доказательства этого утверждения упростим выражение.

Для этого раскроем скобки и приведем к стандартному виду полученное выражение.

(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к 2 + у 2 – 8х 2 ) = 2х2х + 2х(-у) + 2ху – уу – (кк + к( -2х) + 2кх + 2х(-2х)) + к 2 + у 2 – 8х 2 = 4х 2 – у 2 – (к 2 – 4х 2 ) + к 2 + у 2 – 8х 2 = 4х 2 – у 2 – к 2 + 4х 2 + к 2 + у 2 – 8х 2 = (4 + 4 – 8)х 2 + (1 – 1)у 2 + (1 – 1)к 2 = 0х 2 + 0у 2 + 0к 2 = 0

Полученный многочлен является нулевым, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Составьте целое выражение по тексту задачи.

Найдите площадь прямоугольника со сторонами (а + с) и (к + х).

Для решения задачи, нужно вспомнить, что площадь прямоугольника находят как произведение двух его смежных сторон. Исходя из условия задачи, площадь находим как (а + с)(к + х). Это и есть искомый ответ.

2. Упростите целое выражение и найдите его степень: 3 · (х + 3)(х – 6) – 5х 2

Вначале упростим целое выражение, используя свойства умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен. Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду, а затем найдём степень полученного многочлена.

3 · (х + 3)(х –6) – 5х 2 = 3(хх + х·(-6) + 3х + 3·(-6)) – 5х 2 = 3·(х 2 –6х + 3х –18) – 5х 2 = 3х 2 + 3·(-6)х + 3 · 3х + 3 · (-18) – 5х 2 = 3х 2 – 18х + 9х – 54 – 5х 2 = -2х 2 – 9х – 54

Что такое целое выражение? Как вы понимаете термин целое выражение?

Рассмотрим целые выражения на примерах.

Целые выражения определение

В курсе алгебры 7 и 8 класса мы встречаемся с понятием целого выражения.

Целые выражения определение:

То есть целые выражения – это рациональные выражения, в которых нет деления на переменные.

Примеры целых выражений помогут понять лучше определение.

Целое выражение примеры

Рассмотрим простой пример целого выражения:

Это целое выражение не содержит деление на выражения с переменными.

Ещё пример целого выражения:

Это целое выражение не содержит деление на выражения с переменными.

Пример целого выражения:

Это целое выражение содержит деление на число 357, но не содержит деление на переменные.

Пример: является ли данное выражение целым?

Нет, данное выражение не является целым. Почему? Целые выражения не могут содержать деление на переменные. Здесь же мы имеем деление на переменную y.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Зарегистрироваться 15–17 марта 2022 г.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Любой многочлен, как и любой одночлен, являются целыми выражениями.
Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.
Целым выражением называют числа, переменные, а также всевозможные выражения, составленные из них при помощи действий сложения, вычитания и умножения.
Числа 9, 0, −12, 7/11, и др., переменные a, b, c, x и т.п. можно считать целыми выражениями.
Их разнообразные суммы, разности и произведения будут также давать целые выражения, например, x+1, 5·y−2·y−3, 3+x·z

ЦЕЛЫМ ВЫРАЖЕНИЕМ называют числа, переменные, а также всевозможные выражения, составленные из них при помощи действий сложения, вычитания и умножения.
Выражение x:5+5:x не является целым, так как содержит деление на переменную x.
не является целым, так как содержит деление на выражение с переменными.

ВОПРОС: Какие из данных выражений не являются целыми?

7ab2c, 15, ab, (1/4)x, 5/(a+d), y+5

№328 Вычислить значение выражения
а) (a+b+c)(a2+b2), a=-3, b=-2, c=4
б) (a+b-c)(a2-b2), a=3, b=2, c=-4
в) (0,1-x)(0,1+y)(0,1+z), x=2, y=-1, z=2
г) (x+0,1y)(0,1x+y)(0,1x+y), x=-2, y=1
д) (1/2-x)(1/2-x)(1/2-x), x=4
е) ((1/3)p+(1/2)q)((1/3)p+(1/2)q)((1/3)p+(1/2)q), p=9, q=-1
ж) (1+x)(x+2)(3+x)(x+4), x=-1/3

№329 Вычислить значение выражения

а) a2 + 5a - 13, a=-3

б) 0,2a2 + 3b - (1/5)a + 7/4, a=1, b=-2

в) x – y + (z - x) + z(t + y), x=0, y=-1, z=-3, t=2

а) (-3)2 + 5(-3) - 13 = -19

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида и определите его степень:

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 922 человека из 80 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 28 человек из 18 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 611 536 материалов в базе

Материал подходит для УМК

5.7. Целые выражения

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

27.01.2021 253
PPTX 2.4 мбайт
9 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Копышева Наталья Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Госдуме предложили ввести сертификаты на отдых детей от 8 до 17 лет

Время чтения: 1 минута

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: преподавание блогинга и архитектуры, подготовка аспирантов и другие

Время чтения: 16 минут

В Россию приехали 10 тысяч детей из Луганской и Донецкой Народных республик

Время чтения: 2 минуты

ГИА для школьников, находящихся за рубежом, может стать дистанционным

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Определение
Составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а так же деления на ненулевое число.

Правило
Подразделяются на целые выражения и дробные выражения.

Примеры
1. 2nm 2 k;

2. ( x + y ) ( a 2 - bc3 );

4. 12 a 2 • b : 7 + d.

Дробные выражения

Определение
Это выражения составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на выражения с переменными.

Примеры
1. 1a + 2ab 2 ;

2. m - 5nk : z 2 ;

3. 2x (a - b)ax + b + 7a 3 x 9 .

Область определения выражения

Правило
Или область допустимых значений переменных - те значения
переменных, при которых выражение имеет смысл.

Область определения целогог выражения

Правило
Это любые значения переменных.

Целое выражение ab 2 : 7 + 3c 4 z имеет смысл при любых
действительных a, b, c, z .

Область определения дробного выражения

Правило
Это все значения переменных, при которых делители этого выражения
не равны нулю.

Область определения выражения 12a a - 3b + 2a - все пары действительных чисел ( a, b ) , для которых a ? 0 и a ? 3b .

Читайте также: