Арифметическая прогрессия 9 класс кратко

Обновлено: 05.07.2024

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой a_n, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена a_n-1 и некоторого постоянного числа d: $$ \mathrm< a_n=a_+d,\ \ n\in\mathbb,\ \ n\leq 2 > $$ Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Например:
1. Последовательность 2, 5, 8, 11, 14, . является арифметической прогрессией с разностью d = 3.

2. Последовательность 12, 9, 6, 3, 0, –3, –6, . является арифметической прогрессией с разностью d = –3.

п.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: a_n = a_n-1 + d. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

Например:
Найдём a₇, если известно, что a₁ = 5, d = 3.
По формуле n-го члена получаем: a₇ = a₁ + 6d = 5 + 6 · 3 = 23

п.3. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. Линейность

Арифметическая прогрессия является линейной функцией f(n) = kn + b:

с угловым коэффициентом k = d и свободным членом b = a₁ – d.

Свойство 2. Признак арифметической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним арифметическим предыдущего и последующего членов: $$ \mathrm < \left\- \text\ \Leftrightarrow\ a_n=\frac+a_>,\ \ n\in\mathbb,\ \ n \geq 2 > $$ Следствие: каждый член прогрессии является средним арифметическим двух равноудалённых от него членов: $$ \mathrm< a_n=\frac+a_>,\ \ n\in\mathbb,\ \ n\in\mathbb,\ \ n \geq k+1 > $$

Например:
Найдём a₉, если известно, что a₇ = 10, a₁₁ = 15
По следствию из признака арифметической прогрессии: $\mathrm>=\frac=12,5>$

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если n> – арифметическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство сумм членов: $$ \mathrm < m+k=p+q \Rightarrow a_m+a_k=a_p+a_q >$$ Следствие: сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ \mathrm< a_1 + a_n=a_2+a_=a_3+a_=. > $$

Например:
Найдём a₆, если известно, что a₂ = 5, a₄ = 10, a₈ = 20
По равенству сумм индексов a₂ + a₈ = a₄ + a₆
Откуда a₆ = a₂ + a₈ – a₄ = 5 + 20 – 10 = 15

п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна произведению среднего арифметического её крайних членов и количества членов: $$\mathrm< S_n=\fracn> $$

Например:
Найдём сумму первых 100 натуральных чисел: 1 + 2 +. + 100
В этом случае a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100
$\mathrm< S_=\frac\cdot 100=5050>$

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:
а) a₇ = 10, a₁₅ = 42
Найдем разность данных членов: a₁₅ – a₇ = (a₁ + 14d) – (a₁ + 6d) = 8d
Получаем разность прогрессии: 42 – 10 = 8d ⇒ d = 32 : 8 = 4
7-й член: a₇ = a₁ + 6d = a₁ + 6 · 4 = 10 ⇒ a₁ = 10 – 24 = –14
Ответ: a₁ = –14, d = 4

б) a₁₀ = 95, S₁₀ = 500
Сумма прогрессии: $\mathrm=\frac>\cdot 10\Rightarrow 500=(a_1+95)\cdot 5\Rightarrow a_1+95=100\Rightarrow a_1=5>$
10-й член: $\mathrm=a_1+9d\Rightarrow95=5+9d\Rightarrow 9d=90\Rightarrow d=10>$
Ответ: a₁ = 5, d = 10

Пример 2. Найдите сумму первых 100 нечётных натуральных чисел.
Чему равно последнее слагаемое этой суммы?
Ищем сумму $\mathrm<\underbrace<1+3+5+. >_>>$
По условию a₁ = 1, d = 2, n = 100. Получаем:
$\mathrm=\fracn=\frac\cdot 100=10000>$
Формула n-го члена данной прогрессии: $\mathrm$
100-й член $\mathrm=2\cdot 100-1=199>$
Ответ: S₁₀₀ = 10000, a₁₀₀ = 199

n = m – k + 1 = 56 – 18 + 1 = 39

Пример 4. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 7.
Найдите сумму её первых 21 членов.
По свойству суммы индексов: a₁₁ + a₁₁ = a₁ + a₂₁
Откуда a₁ + a₂₁ = 2a₁₁ = 14
Искомая сумма: $\mathrm=\frac>\cdot 21=\frac\cdot 21=147>$
Ответ: 147

Пример 6. При каких значениях x числа x 2 – 11, 2x 2 + 29, x 4 – 139 в заданной последовательности являются членами арифметической прогрессии?
Для последовательных членов получаем уравнение:

a₂ – a₁ = a₃ – a₂
(2x 2 + 29) – (x 2 – 11) = (x 4 – 139) – (2x 2 + 29)
x 4 – 3x 2 – 208 = 0 ⇒ (x 2 + 13)(x 2 – 16) = 0 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ±4

Ответ: x = ±4

Пример 7. Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите седьмой член прогрессии.
По условию d 3a₂ = 9 ⇒ a_2 = 3

Тогда a₁ = a₂ – d = 3 – d, a₃ = a₂ + d = 3 + d. Подставляем во второе уравнение:

(3 – d) 2 + 3 2 + (3 + d) 2 = 99
9 – 6d + d 2 + 9 + 9 + 6d + d 2 = 99
2d 2 = 72 ⇒ d 2 = 36 ⇒ d = ±6

Выбираем отрицательное значение d = –6
1-й член прогрессии: a₁ = a₂ – d = 3 + 6 = 9
7-й член прогрессии: a₇ = a₁ + 6d = 9 + 6(–6) = –27
Ответ: x = –27

Код ОГЭ по математике: 4.2.1. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии. 4.2.2. Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии

Определения и обозначения

Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа.

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами одна и та же. Эту разность называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Правило, по которому образуются члены арифметической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

а_n₊₁ – a_n = d. Или иначе: a_n₊₁ = a_n + d.

Пример 1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; 9; 11; … разность положительна: d = 3 – 1 = 2. В этой последовательности каждый следующий член больше предыдущего; такую последовательность называют возрастающей.

Пример 2. В арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; 60; … разность отрицательна: d = 90 – 100 = –10. Каждый следующий член этой последовательности меньше предыдущего, и поэтому последовательность называют убывающей.

Пример 3. Последовательность 5; 5; 5; 5; 5; … , все члены которой равны между собой, тоже является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя её членами одна и та же: d = 5 – 5 = 0.

Свойство арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Формулы n–го члена арифметической прогрессии

Формула n–го члена арифметической прогрессии (а_n), первый член которой равен а₁ и разность равна d:

а_n = а₁ + d(n – 1).

Формула содержит четыре переменные. Если известны значения трёх из них, то можно вычислить и значение четвёртой. Убедитесь в этом, решив следующие четыре задачи (в каждом случае укажите, какие переменные известны, и получите ответ):

В арифметической прогрессии а₁ = 2 и d = 3. Найдите а₆₅. (Ответ: 194.)
В арифметической прогрессии а₈₆ = 100 и d = –4. Найдите а₁. (Ответ: 440.)
В арифметической прогрессии а₁ = 65 и а₂₁ = –55. Найдите d. (Ответ: –6.)
В арифметической прогрессии а₁ = 1 и d=4. Найдите номер члена, равного 397. (Ответ: 100.)

Пример 4. Дана арифметическая прогрессия: 1,5; 4,5; 7,5; 10,5; … . Начиная с какого номера члены этой прогрессии превосходят 1000?

В данной прогрессии а₁ = 1,5 и d = 4,5 – 1,5 = 3. Составим формулу n–го члена: а_n = 1,5 + 3(n – 1), т.е. а_n = 3_n – 1,5.

Найдём значения n, при которых выполняется условие а_n > 1000. Для этого решим неравенство 3n – 1,5 > 1000; n > 333. Таким образом, члены данной прогрессии превосходят 1000, начиная с члена, номер которого равен 334. (Для самопроверки можно вычислить а₃₃₄: имеем a₃₃₄ = 3 • 334 – 1,5 = 1000,5).

Способ 1. Выразив а₁₅ и a₂₀ через а₁ и d, составим систему уравнений:

Решив её, найдём, что а₁ = 138, d = –7. (Получите этот результат самостоятельно.) Воспользовавшись формулой n–го члена, найдём a₃₀, a именно: а₃₀ = 138 – 7 • 29 = –65.

Способ 2. Выразим а₂₀ через а₁₅ и d: a₂₀ = а₁₅ + 5d. Подставив значения а₂₀ и а₁₅, получим: 5 = 40 + 5d, откуда d = –7. Теперь найдём а₃₀. Это можно сделать, например, так:
а₃₀ = а₂₀ + 10d = 5 – 7 • 10 = –65.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались приёмом, основанным на следующим утверждении: если последовательность (а_n) – арифметическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство:

а_n = а_m + (n – m)d.

Если вы эту формулу забудете, то в каждом конкретном случае можно выразить один член прогрессии через другой, выполнив несложные преобразования. Например, выразим а₂₀ через а₅:
а₂₀ = а₁ + 19d = (a₁ + 4d) + 15d = а₅ + 15d.

Изображение членов арифметической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

Если последовательность – арифметическая прогрессия, то точки, изображающие её члены, лежат на одной прямой. Дело в том, что зависимость n–го члена арифметической прогрессии от номера члена n является линейной. В самом деле:

a_n = a₁ + d(n – 1) = d_n + (a₁ – 1).

Например, если в арифметической прогрессии а₁ = 1 и d = 3, то а_n = 1 + 3(n – 1), т.е. а_n = 3n – 2. Значит, точки, изображающие члены этой прогрессии, лежат на прямой y = 3x – 2 (см. рис.).

Изменение членов арифметической прогрессии происходит равномерно: с каждым шагом по горизонтальной оси изображающие их точки поднимаются или опускаются на одно и то же число единиц вдоль вертикальной оси.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Если известны первый и последний из суммируемых членов, то удобно пользоваться формулой

Пример 6. Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000.

Слагаемые в сумме 1 + 2 + 3 + … + 1000 образуют арифметическую прогрессию. Подставив в формулу суммы а₁ = 1, а_n = 1000, n = 1000, получим:

Формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии можно записать в другом виде, выразив S_n через а₁, d и n:

Пример 7. Найдём сумму всех двузначных чисел, кратных 3.

Последовательность 12; 15; 18; … ; 99 является арифметической прогрессией, в которой а₁ = 12, а_n = 99, d= 3. Найдём номер последнего члена. Подставив в формулу а_n = а₁ + d(n – 1) указанные значения, получим уравнение 99 = 12 + 3(n – 1). Решив его, найдём, что n = 30. Теперь можно вычислить искомую сумму:

9 класс — самое насыщенное время за все школьные годы: нужно запомнить множество формул и научиться их применять. В этом материале расскажем самое главное об арифметической прогрессии.

О чем эта статья:

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности можно задавать разными способами:

Последовательность y_n = C называют постоянной или стационарной.

Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: a_n+1 = a_n + a_n-1.

Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Свойства числовых последовательностей:

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, −1, −2, −11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:

В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a₁, a₂. a₁₀. a_n.

N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

Формула a_n = 3n − 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
Формула a_n = 1 : (n + 2) задает последовательность: 1/3, 1/4, 1/5, 1/6.

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

a_n+1= a_n + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23. — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

Свойство арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу a_n = a₁ + d * (n - 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (a_n), где a₁ = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

a₁₀ = a₁ + 2 * (10 - 1) = 0 + 2⋅9 = 18.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

b_n+1 = b_n * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

b_n = b₁ * q n−1 , где n — порядковый номер члена прогрессии, b₁ — первый член прогрессии, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Прогрессия — последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Арифметическая прогрессия .

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:

т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа (шаг либо разность прогрессии):

Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:

Арифметическая прогрессия - это монотонная последовательность. При она возрастает, а при — убывает. Если , то последовательность - стационарная. Это следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии.

1. Общий член арифметической прогрессии.

Член арифметической прогрессии с номером можно найти с помощью формулы:

где — 1-й член прогрессии, — разность прогрессии.

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность - это арифметическая прогрессия для элементов этой прогрессии выполняется условие:

3. Сумма 1-х членов арифметической прогрессии.

Сумму 1-х членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формул:

где — 1-й член прогрессии,

— член с номером ,

— число суммируемых членов.

где — 1-й член прогрессии,

— разность прогрессии,

— число суммируемых членов.

4. Сходимость арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия является расходящейся при и сходящейся при . При этом:

5. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.

Есть — арифметическая прогрессия с разностью , где число . Тогда последовательность, которая имеет вид является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель .

Примеры арифметических прогрессий.

1. Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией, в которой 1-й член , а разность .

1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой и .

2. Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такую же величину, как и остальные элементы этой системы и равен некоторому числу , тогда это является арифметической прогрессией, в которой и . В частности, является арифметической прогрессией с разностью .

3. Сумма 1-х натуральных чисел выражают формулой:

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : .

Или другими словами: геометрическая прогрессия - это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:

Когда и , значит, прогрессия возрастает , когда , значит, прогрессия убывает, а при — знакочередуется.

Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:

т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.

Свойства геометрической прогрессии.

1. Логарифмы членов геометрической прогрессии (если они определены) образуют арифметическую прогрессию:

2. Произведение 1-х n членов геометрической прогрессии рассчитывают при помощи формулы:

3. Произведение элементов геометрической прогрессии, начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, рассчитывают при помощи формулы:

4. Сумма n 1-х членов геометрической прогрессии:

5. Если , то при , и при .

Примеры геометрических прогрессий.

1. Последовательность площадей квадратов, в которой каждый последующий квадрат получают соединением середин сторон предыдущего — геометрическая прогрессия со знаменателем ½, не имеющая предела. Площади образующихся на каждом этапе треугольников тоже образуют нескончаемую геометрическую прогрессию со знаменателем ½, сумма которой равняется площади начального квадрата.

2. Последовательность числа зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.

3. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из 13 членов.

4. 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — нескончаемо убывающая прогрессия со знаменателем -½.

5. — геометрическая прогрессия со знаменателем равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Читайте также: