Аналитическая геометрия кратко и понятно
Обновлено: 05.07.2024
Аналитическая геометрия – это геометрия, изучаемая средствами алгебры с использованием систем координат. В аналитической геометрии устанавливаются соответствия:
между множеством линий на плоскости и множеством уравнений с двумя переменными (уравнений вида );
между множеством поверхностей в пространстве и множеством уравнений с тремя переменными (уравнений вида ).
Уравнением линии на плоскости ( уравнением поверхности в пространстве) называют уравнение, которому удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат линии (поверхности).
Каждому уравнению с двумя (тремя) переменными соответствует линия на плоскости (поверхность в пространстве), являющаяся геометрическим местом тех и только тех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.
Пусть дана окружность на плоскости с центром в точке и радиусом R .
Для тех и только тех точек M , которые принадлежат окружности , или, в силу :
Последнее уравнение является общим уравнением окружности .
Аналогично для сферы в пространстве может быть получено уравнение:
где a , b , c – координаты центра сферы.
2.2Общие уравнения плоскости в пространстве и прямой на плоскости
Найдем уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку и ортогональной вектору нормали .
Пусть – произвольная точка. Для тех и только тех точек M , которые принадлежат плоскости, вектор n ортогонален вектору :
полученное уравнение называется общим уравнением плоскости .
уравнение плоскости можно записать в виде:
Аналогично может быть получено общее уравнение прямой на плоскости:
Проведем исследование общего уравнения плоскости.
1. Пусть . Уравнение принимает вид:
Плоскость проходит через начало координат.
2. Пусть только одна из координат вектора нормали равна нулю; пусть, например, . Уравнение принимает вид:
Плоскость параллельна оси абсцисс и пересекается с координатной плоскостью yOz по прямой .
3. Пусть только одна из координат вектора нормали отлична от нуля; пусть, например, . Уравнение принимает вид:
Плоскость параллельна плоскости xOy и находится от нее на расстоянии .
4. Пусть все координаты вектора нормали отличны от нуля. Тогда плоскость не параллельна ни одной из координатных осей и отсекает на них отрезки , и (рис. 3.3).
2.3Параметрическое и каноническое уравнения прямой
Найдем уравнение прямой, параллельной направляющему вектору и проходящей через фиксированную точку .
Пусть – произвольная точка. Для тех и только тех точек M , которые принадлежат прямой, вектор d коллинеарен вектору :
где t – число, называемое параметром . Последнее уравнение называется параметрическим уравнением прямой.
Если все координаты направляющего вектора – ненулевые, то параметр можно исключить:
Последнее уравнение называется каноническим уравнением прямой.
2.4Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть прямая на плоскости не ортогональна оси абсцисс. Тогда в общем уравнении прямой
коэффициент при второй координате отличен от нуля: . Разделим уравнение на B :
Положим , . Уравнение примет вид:
Последнее уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Угловой коэффициент k равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс. При правая часть равна b ; следовательно, b есть ордината точки пересечения прямой с осью Oy .
2.5Параметрическое уравнение плоскости
Найдем уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку и параллельной векторам и .
Пусть – произвольная точка. Для тех и только тех точек M , которые принадлежат плоскости, вектор есть линейная комбинация векторов d 1 и d 2 (см. п. 2.2):
Последнее уравнение называется параметрическим уравнением плоскости .
Замечание 3.5.1. Нетрудно видеть, что параметрическое уравнение плоскости, в отличие от параметрического уравнения прямой, содержит два параметра p и q .
Замечание 3.5.2. Параметрическое уравнение плоскости, в отличие от параметрического уравнения прямой, не является удобным для практического использования. Поэтому, если известны два параллельных плоскости вектора d 1 и d 2 , то следует найти их векторное произведение и полученный вектор использовать в качестве вектора нормали при построении общего уравнения (см. также п. 3.2).
2.6Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
В общем уравнении плоскости
числа A , B и C являются координатами вектора нормали. Часто оказывается удобным наложить на вектор нормали два дополнительных ограничения:
1. Вектор нормали должен иметь единичную длину.
2. Вектор нормали должен быть направлен в полупространство, не содержащее начала координат.
При выполнении указанных ограничений говорят, что уравнение плоскости приведено к нормальному виду .
Для приведения уравнения к нормальному виду следует умножить обе части на нормирующий множитель , знак которого противоположен знаку свободного члена:
Пусть даны точка и плоскость . Пусть d – расстояние от точки M 1 до плоскости:
Так как точка принадлежит плоскости, то . Умножая обе части равенства скалярно на вектор n 0 , получим
или, в развернутой форме
Аналогично определяется расстояние от точки до прямой на плоскости:
Таким образом, расстояние от точки до плоскости (до прямой на плоскости) равно абсолютной величине результата подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости (прямой).
2.7Углы между прямыми и плоскостями
Так как вектор нормали прямой или плоскости может иметь любое из двух противоположных направлений, то углы определяются с точностью до слагаемого, кратного .
Пусть на плоскости даны две прямые:
Угол между ними есть угол между их векторами нормали:
Условие перпендикулярности прямых:
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их векторы нормали коллинеарны: , или:
то прямые совпадают.
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:
Тогда угол между прямыми удобно определить из соотношения:
Пусть даны две плоскости:
Угол между двумя плоскостями есть угол между их векторами нормали:
Условие перпендикулярности плоскостей:
Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их векторы нормали коллинеарны: , или:
то плоскости совпадают.
2.8Кривые второго порядка. Эллипс
Кривой второго порядка называется кривая, заданная уравнением второй степени:
Коэффициенты A , B и C не равны нулю одновременно. Коэффициенты при произведении переменных и при первых степенях обозначены 2B , 2D и 2E , так как в большинстве соотношений встречаются половины этих коэффициентов.
Если точек с координатами, удовлетворяющими уравнению, не существует, то говорят, что уравнение определяет мнимую кривую. Пример такого уравнения – .
Отметим на оси Ox точки и . Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек – фокусов эллипса F 1 и F 2 – есть величина постоянная и равная 2a .
Возведем обе части в квадрат:
Повторно возводя в квадрат:
Разделив последнее равенство на , получим:
Последнее уравнение называется каноническим уравнением эллипса .
Замена в уравнении эллипса x и y на -x и -y соответственно не приводит к изменению уравнения эллипса. Эллипс симметричен относительно координатных осей.
Уравнение эллипса можно записать в параметрической форме:
Действительно, подставляя координаты точки в уравнение эллипса, получим:
Следовательно, точка принадлежит эллипсу.
2.9Гипербола
Отметим на оси Ox точки и .
Гиперболой называется множество точек, разность расстояний которых до двух фиксированных точек – фокусов гиперболы и – есть величина постоянная и равная 2a .
Перенося радикал в правую часть и возводя уравнение в квадрат, получим:
Обозначим и повторно возведем обе части в квадрат:
Разделив обе части на , получим
Последнее уравнение называется каноническим уравнением гиперболы . Точка M в рассмотренном случае принадлежала правой ветви. Из симметрии гиперболы относительно Oy следует существование левой ветви, уравнение которой может быть получено из рассмотрения равенства:
Прямая называется асимптотой кривой, если расстояния точек кривой до прямой сколь угодно малы при достаточном удалении точек кривой от начала координат.
Докажем, что прямые являются асимптотами гиперболы.. Достаточно показать, что разность ординат прямой и гиперболы в первой четверти стремиться к нулю при неограниченном увеличении абсциссы: при .
Числитель последнего выражения есть величина постоянная, и знаменатель при неограниченно возрастает. Поэтому:
при , что и требовалось доказать.
Можно записать уравнение гиперболы в параметрической форме. Для правой ветви:
Функции и носят название гиперболического косинуса и гиперболического синуса .
2.10Парабола
Отметим на оси Ox точку . Проведем прямую – директрису параболы.
Параболой называется множество точек , равноудаленных от директрисы и фиксированной точки – фокуса параболы .
Последнее уравнение называется каноническим уравнением параболы . Парабола асимптот не имеет.
2.11Поверхности второго порядка. Эллипсоид, конус
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид:
Ax 2 +By 2 +Cz 2 +2Dyz+2Exz+2Fxy+2Gx+2Hy+2Kz+L=0 .
Это уравнение может определять эллипсоид, однополостной или двуполостной гиперболоиды, эллиптический или гиперболический параболоиды, цилиндрическую или коническую поверхность; совокупность двух плоскостей, прямую, точку, или же не определять ни одной точки.
Эллипсоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
Из уравнения эллипсоида следуют неравенства , , . Эллипсоид целиком содержится внутри прямоугольного параллелепипеда размеров 2a , 2b и 2c .
Замена в уравнении эллипсоида x , y и z на –x , –y и –z не меняет уравнения. Эллипсоид симметричен относительно любой координатной плоскости, любой координатной оси и начала координат.
Для исследования формы эллипсоида воспользуемся методом сечений . Сечение эллипсоида плоскостью z=h есть эллипс:
При : ; сечения эллипсоида плоскостями есть точки . При плоскость не пересекается с эллипсоидом.
Аналогично устанавливается характер сечений плоскостями и .
Если все полуоси a , b , c различны, то эллипсоид называется трехосным ; если две полуоси одинаковы, то он называется эллипсоидом вращения . Например, при , уравнение эллипсоида определяет поверхность, полученную вращением эллипса вокруг оси .
Если все полуоси одинаковы, то уравнение эллипсоида определяет сферу с центром в начале координат и радиусом .
Конусом второго порядка ( эллиптическим конусом ) называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:
Если координаты точки удовлетворяют уравнению конуса, то этому уравнению также удовлетворяют координаты точки . Поэтому конус является множеством прямолинейных образующих, проходящих через начало координат и точки направляющего эллипса
Конус симметричен относительно любой координатной плоскости, любой координатной оси и начала координат.
2.12Однополостной и двуполостной гиперболоиды
Однополостным гиперболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
Однополостной гиперболоид симметричен относительно любой координатной плоскости, любой координатной оси и начала координат. При уравнение определяет однополостной гиперболоид вращения .
Сечение однополостного гиперболоида плоскостью есть эллипс
Сечение плоскостью z=0
называется горловым эллипсом.
Сечения плоскостями и есть гиперболы и .
целиком содержащийся внутри однополостного гиперболоида, называется его асимптотическим конусом .
Двуполостным гиперболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:
При это уравнение определяет двуполостной гиперболоид вращения . Пересечение с плоскостью при есть эллипс:
с полуосями , . При неограниченном увеличении двуполостной гиперболоид неограниченно приближается к поверхности асимптотического конуса
находясь внутри него.
Плоскости и пересекают двуполостной гиперболоид по гиперболам
2.13Нецентральные поверхности
Эллиптическим параболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
Из последнего уравнения следует . Эллиптический параболоид лежит по одну сторону от плоскости . Сечения плоскостями ( ) есть эллипсы
с полуосями , . Сечения плоскостями и есть параболы: и соответственно.
Гиперболическим параболоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
Сечения плоскостями и есть параболы:
Сечение плоскостью есть гипербола:
Цилиндром называется поверхность, в уравнении которой отсутствует одна из координат, например, координата z . В последнем случае цилиндр состоит из параллельных оси Oz образующих , проходящих через кривую второго порядка – направляющую .
Уравнение эллиптического цилиндра (рис. 3.13):
Уравнение параболического цилиндра (рис. 3.14):
Уравнение гиперболического цилиндра:
Похожие документы:
Профессиональной деятельности. В пятом семестре изучаются темы 1 – 6 раздела I и 1 – 12 раздела II учебной программы согласно приведенной ниже выдержки из тематического плана. Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
. обучаемый должен знать: основы линейной алгебры; основы аналитической геометрии; основы векторной алгебры; основы дифференциального исчисления функций .
Аналитическая геометрия (1)
. -6, АКФ-3, Юр АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Литература Основная литература (ОЛ) Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. – М., Изд. МГТУ . математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для .
Рабочая программа унифицированной дисциплины линейная алгебра и аналитическая геометрия направление ооп
. : знать: основы линейной алгебры и аналитической геометрии (З.1.2); уметь применять методы линейной алгебры и аналитической геометрии для решения .
Задачи дисциплины : Ознакомление студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры и геометрии
. дисциплины: Системы линейных уравнений. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном . следующие разделы: Раздел 1. Основы аналитической геометрии. Раздел 2. Матрицы и определители. Раздел 3. Основы теории линейных и евклидовых .
І. элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
. достижение векторов §8 Линейное пространство Глава ІІІ. Аналитическая геометрия §1 Соответствие между геометрическими образами и . и элементы, расположенные в вершинах треугольников с основой параллельной побочной диагонали. Непосредственной проверкой .
Настоящая книга позволит вам в сжатые сроки (2-3 недели) освоить основы аналитической геометрии и научиться решать наиболее распространённые задачи по теме. Материал предназначен для студентов-заочников и других читателей, которые хотят быстро освоить минимум теории и максимум практики
Графический метод связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решения многих задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.
авторы А.Н. Канатников, А.П. Крищенко
Это расширенный вариант лекций, читаемых студентам большинства специальностей в МГТУ имени Н.Э. Баумана. Дополнительный материал, включенный в этот вариант, представлен теми вопросами, которые вынесены на самостоятельное изучение и в аудитории, как правило, не рассматриваются (исключение — теория определителей, не отраженная в данных лекциях). Кроме того, увеличено количество примеров решения типовых задач, что, на наш взгляд, также будет полезным при изучении курса (но при этом не отменяет семинарские занятия). Пока в текст не включена заключительная лекция по комплексным числам и многочленам, которая на экзамен не выносится и необходима для изучения математики во 2-м семестре.
pdf Лекция 1 . Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора (направленного отрезка). Нуль-вектор, единичный вектор (орт). Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Связанные, скользящие, свободные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций. Ортогональная проекция векторов на направление. Теоремы о проекциях.
pdf Лекция 2 . Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость векторов. Критерий линейной зависимости двух и трех векторов, линейная зависимость четырех векторов. Векторные пространства V1, V2, V3 и базисы в них. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами, заданными своими координатами. Ортонормированный базис. Скалярное произведение векторов, его механический смысл. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе. Вычисление длины вектора, косинуса угла между векторами и проекции вектора на направление. Координаты вектора в ортонормированном базисе как проекции этого вектора на направление базисных векторов. Направляющие косинусы вектора.
pdf Лекция 3 . Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его механический и геометрический смысл. Свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл. Объем тетраэдра. Свойства смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе. Условие компланарности трех векторов.
pdf Лекция 6 . Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой; векторное уравнение прямой; канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взаимное расположение прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми.
Лекции 7-8. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Вывод их канонических уравнений. Исследование формы кривых второго порядка. Параметры кривых второго порядка (полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет). Оптическое свойство. Смещенные кривые второго порядка. Исследование неполного уравнения кривой второго порядка.
pdf Лекция 9 . Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения. Эллипсоид. Конус. Гиперболоиды. Параболоиды. Их канонические уравнения. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.
pdf Лекция 10 . Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции с матрицами и их свойства. Транспонирование матриц. Операция умножения и ее свойства. Элементарные преобразования матриц, приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Блочные матрицы и операции с ними. *Прямая сумма матриц и ее свойства.
pdf Лекция 11 . Обратная матрица. Теорема о ее единственности. Критерий существования обратной матрицы. Присоединенная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Матрица, обратная произведению двух обратимых матриц. Решение матричных уравнений вида AX=B и XA=B с невырожденной матрицей А. Формулы Крамера.
pdf Лекция 12 . Минор матрицы. Ранг матрицы. Базисный минор. Линейная зависимость и линейная независимость строк и столбцов матрицы. Критерий линейной зависимости. Теорема о базисном миноре и ее следствия. Инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований. Способы вычисления ранга матрицы. (pdf)
pdf Лекция 13 . Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Координатная, матричная и векторная формы записи. Критерий Кронекера - Капелли совместности СЛАУ. Однородные СЛАУ. Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ.
pdf Лекция 14 . Свойства решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ, теорема о ее существовании. Нормальная фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ. Теорема о структуре общего решения неоднородной СЛАУ.
Аналити́ческая геоме́трия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.
В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела.
Содержание
Историческая справка
Идея координат и уравнения кривой была не чужда ещё древним грекам. Архимед, и особенно Аполлоний Пергский, в своих сочинениях приводили так называемые симптомы конических сечений, которые в ряде случаев совпадают с нашими уравнениями. Однако дальше дело не пошло — из-за невысокого уровня древнегреческой алгебры и слабого интереса к кривым, отличным от прямой и окружности.
В Европе первым использовал координатное изображение (для функции, зависящей от времени) Николай Орезмский (XIV век), который называл координаты, по аналогии с географическими, долготой и широтой. К этому времени развитое понятие о координатах уже существовало в астрономии и географии.
Решающий шаг был сделан после того, как Виет (XVI век) сконструировал символический язык для записи уравнений и положил начало системной алгебре.
Система координат Ньютона уже ничем не отличается от современной. Для каждой кривой определяются диаметр, ось симметрии, вершины, центр, асимптоты, особые точки и т. п.
В первой половине XVIII века в основном продолжалось изучение алгебраических кривых высших порядков; Стирлинг обнаружил 4 новых типа, не замеченных Ньютоном. Были выявлены и классифицированы особые точки.
Во второй половине XVIII века аналитическая геометрия, получив мощную поддержку зрелого анализа, завоевала новые вершины (Эйлер, Лагранж, Монж), однако рассматривается уже скорее как аппарат дифференциальной геометрии.
Читайте также: