Абсолютная величина действительного числа кратко

Обновлено: 02.07.2024

Данная статья посвящена теме "Действительные числа". В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Действительные числа - это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Действительные числа - числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Действительные числа - это любые рациональные и иррациональные числа. Приведем примеры таких чисел: 0 ; 6 ; 458 ; 1863 ; 0 , 578 ; - 3 8 ; 26 5 ; 0 , 145 ( 3 ) ; log 5 12 .

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел - вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

Натуральные числа.
Целые числа.
Десятичные дроби.
Обыкновенные дроби.
Смешанные числа.

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами.

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Например, значения выражений sin 2 3 π · e - 2 8 5 · 10 log 3 2 и t g 6 7 6 693 - 8 π 3 2 - действительные числа.

Определение . Абсолютной величиной (модулем) действительного числа a называют неотрицательное число | a | , которое определяется по формуле:

| 5 | = 5, | – 2 | = 2,
| 0 | = 0.

Свойства модуля

Если x и y – действительные числа, то справедливы равенства:

Кроме того, справедливо соотношение:

В то же время справедливы неравенства:

График функции y = | x |

График функции y = | x | имеет следующий вид:

Простейшее уравнение с модулем

Рассмотрим простейшее уравнение с модулем, имеющее вид:

то данное уравнение эквивалентно совокупности двух систем:

Для решения исходного уравнения остается лишь решить две этих системы и объединить полученные ответы.

Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.

Абсолютное значение величины - это само число (без знака), как например: температура, давление, скорость и т. п. Модуль - это число без направления, например: давление, скорость, сила и т. п.

Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.

Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:

Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:

Абсолютные величины, виды:

Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу совокупности,
Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц или всю совокупность.

Свойства модуля.

Модулю присущи некоторые характерные результаты - свойства модуля.
Модуль числа не бывает числом меньше нуля. Обоснование этого свойства: модуль числа – это расстояние, а расстояние не выражается числом ниже нуля.
Модуль числа = 0 только в том случае, если это число является нулем. Модуль нуля – это нуль по определению. Нуль – это начало отсчета, ни одна больше точка на координатной прямой нулем не является. Исходя из этого, каждому числу, не равному нулю, соответствует точка, не являющаяся началом отсчета. Значит, расстояние начало отсчета – любая точка, не соответствующая точке O, не равно нулю, т.к. расстояние между 2 точка и равно нулю только если они совпадают. Из этого следует, что нулю равен только модуль нуля.
Противоположные числа имеют одинаковые модули, т.е. , для каждого числа a. Так и есть, 2 точки на координатной прямой, координаты которых – противоположные числа, расположены на равном расстоянии от начала отсчета, т.о. модули противоположных чисел одинаковы.
По определению модуль произведения чиселa и b равен либо a·b, если , либо −(a·b), если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.
Модуль частного от деленияa на b = частному от деления модуля числа a на модуль числа b, т.е.,

Так как частное = , то . В силу предыдущего свойства имеем . Воспользуемся равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

Абсолютная величина – это модуль действительного числа (неотрицательное число), определение которого зависит от типа числа.

Абсолютная величина (модуль). Свойства абсолютных величин обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Абсолютная величина и свойства модуля

Абсолютная величина или модуль (обозначается ) называется отрицательное число, что совпадает с , если и взятое со знаком минус, если , то есть

В первом уравнении , если , а во втором уравнении , если .

Есть такие свойства модулей:

, тогда согласно (1) . В это же время , поэтому из первого свойства получается Значит . Теперь пусть , тогда из (1) имеем . В то же время , поэтому . Значит .

Доказательство неравенства (3).

а) Если , тогда в первом соотношении , а во втором – .

б) Если же , тогда , а .

Аналогично можно доказать (4).

а) тогда согласно (1) , а согласно (3) дальше у нас получается .

б) , поэтому снова согласно (1), (3), и (2) имеем:

Доказательство неравенства (5).

Так как , тогда из полученных соотношений получается неравенство (5).

По определению модуль произведения чисел и равен либо x , если , либо -( x ), если x . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел и равно либо x . , либо , если . что доказывает рассматриваемое свойство.

Рассмотрим (7) свойство:

Модуль частного от деления на = частному от деления модуля числа на модуль числа

Так как частное = , тогда

Определение и свойство вышеперечисленных модулей применяются при исследовании функций, построения их графиков, решения уравнений и неравенств с модулями.

Геометрические свойства абсолютной величины

Если смотреть с точки зрения геометрической абсолютной величины, тогда модуль вещественного (действительного) или комплексного чисел находится расстояние между числом и началом координат. Рассмотрим комплексные и вещественные (действительные числа.

Вещественные числа

Область определения – это .
Область значений – .
Чётная функция.
Функция дифференцируема везде, кроме нуля. Если точка , тогда функция претерпевает излом.

Комплексные числа

Область определения, то есть, вся комплексная плоскость.
Область значений – .
Модуль как комплексная функция ни в одной точке не дифференцируема

Обратим внимание, что абсолютной величине можно дать геометрическое объяснение: если задать на числовой оси точку с абсциссой , тогда – это расстояние этой точки к точке .

Алгебраические свойства абсолютной величины

Для любых вещественных чисел имеют место такие соотношения:

= <>.
.
.
Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: .
Только тогда , когда , но модуль совершенно любого числа равен или же больше нуля:.
Модули противоположных чисел всегда равны: .
Модуль произведения, где есть от двух чисел всегда равен произведению их модулей.
Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: .
Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:.
.
.
.
.
, если существует.

Примеры решения задач с модулем

Задача

1) Построить график функции .

2) Решить уравнение .

3) Решить неравенство .

4) Решить неравенство .

Решение

Сначала построим график функции , а за основу берём (1) неравенство:

При этом в первом уравнении , если , а , если . Поэтому графиком функции будет ломаная, см. рис. 1.

2) Первую часть задания выполнили, то есть, график построили а теперь нам необходимо решить уравнение .

Пользуясь изображением выше (рис. 1) по формуле (8) решим сначала уравнение на интервале . Так как , тогда .

Если же , тогда , поэтому .

Если , тогда у нас получается единственное решения .

Решили уравнение и получилось, что , .

Обратим ваше внимание, что решения и легко понять по рис. 1. А если выходить из геометрического содержания абсолютной величины, тогда очевидно, что на расстоянии от точки на оси находятся две точки и .

3) Решаем неравенство .

Можно осуществить на каждом из интервалов и или проще воспользоваться нашим уже построенным рисунком, из которого видно, что график ломаной находится не выше прямой для , то есть

4) Итак, решаем последнее неравенство .

Запишем, согласно с рис. 1:

Соотношение (9) и (10) будут использоваться и в дальнейшем.

Ответ

Решили уравнение и у нас получилось: , ;

Из первого неравенства получилось, что , где .

Задача

Записать без знака модуля для функции . Построить её график.

Решение

Приравняем подмодульное выражение к нулю .

Теперь разделим ось на два интервала и .

Если , тогда , поэтому, согласно с (1) .

Если же , тогда , поэтому . Значит

Строим отдельно графики: для и для . (см. рис. 2)

Мы видим, что график функции можно получить параллельным переносом графика влево вдоль оси на две единицы.

Очевидно, что по большому счёту график функции можно получить параллельным переносом графика по направлению оси на единиц вправо, если и влево, если .

Как и в примере 1 после построения графика можно легко найти решение уравнения , а также неравенств .

Ответ

Запишем: = и неравенство .

Задача

Построить график функции .

Решение

Аналогично предыдущему примеру, приравняем к нулю подмодульное выражение: .

Разбиваем на три интервала:

1. Если , тогда , поэтому ,

2. Если , тогда и , а и , поэтому .

3. Если , тогда , поэтому .

Значит, для нашей функции имеем:

её график см. на рис. 3.

Абсолютная величина (модуль). Свойства абсолютных величин обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Читайте также: