Обновлено: 05.07.2024

Электрические измерения, класс точности, погрешность приборов измерения.

В системах электроснабжения измеряют ток (I), напряжение (U), активную и реактивную мощности (Р, ), электроэнергию, активное, реактивное и полное сопротивление (P, Q), частоту (f), коэффициент мощности (cosφ); при энергоснабжении измеряют температуру (Ө), давление (р), расход энергоносителя (G), тепловую энергию (Е), перемещение (Х) и др.

В условиях эксплуатации обычно используют методы непосредственной оценки для измерения электрических величин и нулевой — для неэлектрических величин.

Электрические величины измеряют электроизмерительными приборами.

Электроизмерительным прибором называется устройство, предназначенное для измерения электрической величины, например, напряжения, тока, сопротивления, мощности и т. д.

По принципу действия и конструктивным особенностям приборы бывают: магнитоэлектрические, электромагнитные, электродинамические, ферродинамические, индукционные, вибрационные и другие. Электроизмерительные приборы классифицируются также по степени защищенности измерительного механизма от влияния внешних магнитных и электрических полей на точность его показаний, по способу создания противодействующего момента, по характеру шкалы, по конструкции отсчетного устройства, по положению нулевой отметки на шкале и другим признакам.

На шкале электроизмерительных приборов нанесены условные обозначения, определяющие систему прибора, его техническую характеристику.

Измерение электрической энергии, вырабатываемой генераторами или потребляемой потребителями, осуществляется счетчиками.

для измерения электрической энергии переменного тока в основном применяют счетчики с измерительным механизмом индукционной системы и электронные. Отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины называют погрешностью измерения.

Точность измерения — качество измерения, отражающее близость его результатов к истинному значению измеряемой величины. Высокая точность измерений соответствует малой погрешности.

Погрешность измерительного прибора — разность между показаниями прибора и истинным значением измеряемой величины.

Результат измерения — значение величины, найденное путем ее измерения.

При однократном измерении показание прибора является результатом измерения, а при многократном — результат измерения находят путем статистической обработки результатов каждого наблюдения. По точности результатов измерения подразделяют на три вида: очные (прецизионные), результат которых должен иметь минимальную погрешность; контрольно-поверочные, погрешность которых не должна превышать некоторого заданного значения; технические, результат которых содержит погрешность, определяемую погрешностью измерительного прибора. Как правило, точные и контрольно-оверочные измерения требуют многократных наблюдений.

По способу выражения погрешности средств измерений разделяют на абсолютные, относительные и приведенные.

Абсолютная погрешность ΔА — разность между показанием прибора А и действительным значением измеряемой величины А.

Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности ΔА к значению измеряемой величины А, выраженное в процентах:

.

Приведенная погрешность (в процентах) — отношение абсолютной погрешности ЛА к нормирующему значению :

.

Для приборов с нулевой отметкой на краю или вне шкалы нормирующее значение равно конечному значению диапазона измерений. Для приборов с двухсторонней шкалой, т. е. с отметками шкалы, расположенными по обе стороны от нуля, оно равно арифметической сумме конечных значений диапазона измерений. Для приборов с логарифмической или гиперболической шкалой нормирующее значение равно длине всей шкалы.

Таблица 1. Классы точности* средств измерений

Класс точности прибора

Класс точности шунта, добавочного резистора

Класс точности измерительного преобразователя

Класс точности измерительного трансформатора

*Класс точности численно равен наибольшей допустимой приведенной основной погрешности, выраженной в процентах.

Средства измерений электрических величин должны удовлетворять следующим основным требованиям (ПУЭ):

1) класс точности измерительных приборов должен быть не хуже 2,5;

2) классы точности измерительных шунтов, добавочных резисторов, трансформаторов и преобразователей должны быть не хуже приведенных в табл. 1.;

3) пределы измерения приборов должны выбираться с учетом возможных наибольших длительных отклонений измеряемых величин от номинальных значений.

Учет активной электрической энергии должен обеспечивать определение количества энергии: выработанной генераторами ЭС; потребленной на с. н. и хозяйственные нужды (раздельно) ЭС и ПС; отпущенной потребителям по линиям, отходящим от шин ЭС непосредственно к потребителям; переданной в др. энергосистемы или полученной от них; отпущенной потребителям из электрической сети. Кроме того, учет активной электрической энергии должен обеспечивать возможность: определения поступления электрической энергии в электрические сети разных классов напряжений энергосистемы; составления балансов электрической энергии для хозрасчетных подразделений энергосистемы; контроля за соблюдением потребителями заданных им режимов потребления и баланса электрической энергии.

Учет реактивной электрической энергии должен обеспечивать возможность определения количества реактивной электрической энергии, полученной потребителем от электроснабжающей организации или переданной ей, только в том случае, если по этим данным производятся расчеты или контроль соблюдения заданного режима работы компенсирующих устройств.

Измерение тока должно производиться в цепях всех напряжений, где оно необходимо для систематического контроля технологического процесса или оборудования.

Измерение постоянного тока в цепях: генераторов постоянного тока и силовых преобразователей; АБ, зарядных, подзарядных и разрядных устройств; возбуждения СГ, СК, а также электродвигателей с регулируемым возбуждением.

Амперметры постоянного тока должны иметь двусторонние шкалы, если возможно изменение направления тока.

В цепях трехфазного тока следует, как правило, измерять ток одной фазы.

Измерение тока каждой фазы должно производиться:

для ТГ 12 МВт и более; для ВЛ с пофазным управлением, линий с продольной компенсацией и линий, для которых предусматривается возможность длительной работы в неполнофазном режиме; в обоснованных случаях может быть предусмотрено измерение тока каждой фазы ВЛ 330 кВ и выше с трехфазным управлением; для дуговых электропечей.

Измерение напряжения должно производиться:

1. На секциях сборных шин постоянного и переменного тока, которые могут работать раздельно. допускается установка одного прибора с переключением на несколько точек измерения. На ПС напряжение допускается измерять только на стороне НН, если установка ТН на стороне ВН не требуется для других целей.

2. В цепях генераторов постоянного и переменного тока, СК, а также в отдельных случаях в цепях агрегатов специального назначения.

При автоматизированном пуске генераторов или др. агрегатов установка на них приборов для непрерывного измерения напряжения не обязательна.

3. В цепях возбуждения СМ от 1 МВт и более.

4. В цепях силовых преобразователей, АБ, зарядных и подзарядных устройств.

5. В цепях дугогасящих катушек.

В трехфазных сетях производится измерение, как правило, одного междуфазного напряжения. В сетях выше 1 кВ с эффективно заземленной нейтралью допускается измерение трех междуфазных напряжений для контроля исправности цепей напряжения одним прибором (с переключением).

Должна производиться регистрация значений одного междуфазного напряжения сборных шин 110 кВ и выше (либо отклонения напряжения от заданного значения) ЭС и подстанций, по напряжению на которых ведется режим энергосистемы.

Контроль изоляции. В сетях переменного тока выше 1 кВ с изолированной или заземленной через дугогасящий реактор нейтралью, в сетях переменного тока до 1 кВ с изолированной нейтралью и в сетях постоянного тока с изолированными полюсами или с изолированной средней точкой, как правило, должен выполняться автоматический контроль изоляции, действующий на сигнал при снижении сопротивления изоляции одной из фаз (или полюса) ниже заданного значения, с последующим контролем асимметрии напряжения при помощи показывающего прибора (с переключением). допускается осуществлять контроль изоляции путем периодических измерений напряжений с целью визуального контроля асимметрии напряжения.

Измерение мощности:

1. Генераторов активной и реактивной мощности.

При установке на ТГ 100 МВт и более щитовых показываю- щих приборов их класс точности должен быть не ниже 1,0.

ЭС 200 МВт и более — суммарной активной мощности.

Рекомендуется измерять суммарную активную мощность ЭС менее 200 МВт при необходимости автоматической передачи этого параметра на вышестоящий уровень оперативного управления.

2. Конденсаторных батарей 25 Мвар и более и СК реактивной мощности.

3. Трансформаторов и линий, питающих с. н. б кВ и выше ЭС, активной мощности.

4. Повышающих двухобмоточных трансформаторов ЭС — активной и реактивной. В цепях повышающих трехобмоточных трансформаторов (или автотрансформаторов с использованием обмотки НН) измерение активной и реактивной мощности должно производиться со стороны СН и НН. для трансформатора, работающего в блоке с генератором, измерение мощности со стороны НИ следует производить в цепи генератора.

5. Понижающих трансформаторов 220 кВ и выше — активной и реактивной, 110—150 кВ — активной мощности.

В цепях понижающих двухобмоточных трансформаторов измерение мощности должно производиться со стороны НН, а в цепях понижающих трехобмоточных трансформаторов — со стороны СН и НН.

На ПС 110—220 кВ без выключателей на стороне ВП измерение мощности допускается не выполнять.

6. Линий 110 кВ и выше с двусторонним питанием, а также обходных выключателей - активной и реактивной мощности.

7. На других элементах ПС, где для периодического контроля режимов сети необходимы измерения перетоков активной и реактивной мощности, должна предусматриваться возможность присоединения контрольных переносных приборов.

должна производиться регистрация: активной мощности ТГ 60 МВт и более; суммарной мощности ЭС (200 МВт и более).

Измерение частоты:

1. На каждой секции шин генераторного напряжения.

2. На каждом ТГ блочной ЭС или АЭС.

3. На каждой системе (секции) шин ВН ЭС.

4. В узлах возможного деления энергосистемы на несинхронно работающие части.

Абсолютная погрешность регистрирующих частотомеров на ЭС, участвующих в регулировании мощности, должно быть не более 0,1 Гц.

Измерения при синхронизации. Для измерения при точной (ручной или полуавтоматической) синхронизации должны предусматриваться следующие приборы: два вольтметра (или двойной вольтметр); два частотомера (или двойной частотомер); синхроноскоп.

Для определения мест повреждений на ВЛ 110 кВ и выше длиной более 20 км должны предусматриваться фиксирующие приборы.

Таблица 2. Характеристика измерительных приборов

, — токи катушек

, — токи катушек

, — токи катушек

— ток неподвижной катушки

— ток неподвижной катушки

,

N — обороты диска

Современные промышленные предприятия и жилищно-коммунальные хозяйства характеризуются потреблением различных видов энергии: электроэнергии, тепла, газа, сжатого воздуха и др. для наблюдения за режимом потребления энергии необходимо измерять и регистрировать электрические и неэлектрические величины с целью дальнейшей обработки информации.

В электроснабжении измеряют ток (I), напряжение (U), активную и реактивную мощности (Р, Q), электроэнергию (W), активное, реактивное и полное сопротивления (R, Х, Z), частоту (f), коэффициент мощности (cosφ); в энергоснабжении — температуру (Ө), давление (р), расход энергоносителя (G), тепловую энергию (Е), перемещение (Х) и др.

Номенклатура приборов, используемых в энергоснабжении для измерения электрических и неэлектрических величин, весьма разнообразна как по методам измерений, так и по сложности преобразователей. Наряду с методом непосредственной оценки часто используют нулевой и дифференциальный методы, повышающие точность.

Ниже дана краткая характеристика измерительных приборов по принципу действия.

Магнитоэлектрические приборы имеют высокую чувствительность, малое потребление тока, плохую перегрузочную способность, высокую точность измерений. Амперметры и вольтметры имеют линейные шкалы, и используются часто как образцовые приборы, имеют малую чувствительность к внешним магнитным полям.

Электромагнитные приборы имеют невысокую чувствительность, значительное потребление тока, хорошую перегрузочную способность, невысокую точность измерений. Шкалы не линейны и линеаризуются в верхней части специальным выполнением механизма. Чаще используются как щитовые технические приборы, просты и надежны в эксплуатации; чувствительны к внешним магнитным полям.

Электродинамические и ферродинамические приборы обладают невысокой чувствительностью, большим потреблением тока, чувствительностью к перегрузкам, высокой точностью. У амперметров и вольтметров — нелинейные шкалы. Важной положительной особенностью являются одинаковые показания на постоянном и переменном токах, что позволяет поверять их на постоянном токе. Чаще они используются как лабораторные приборы.

Приборы индукционной системы характеризуются невысокой чувствительностью, существенным потреблением тока, нечувствительностью к перегрузкам. Преимущественно они служат счетчиками энергии переменного тока. Такие приборы выпускаются одно-, двух- и трехэлементными для работы в цепях однофазных, трехфазных трехпроводных, трехфазных четырехпроводных. для расширения пределов используются трансформаторы тока и напряжения.

Электростатические приборы имеют невысокую чувствительность, но чувствительны к перегрузкам и служат для измерения напряжения на постоянном и переменном токах. для расширения пределов используются емкостные и резистивные делители.

Термоэлектрические приборы характеризуются низкой чувствительностью, большим потреблением тока, низкой перегрузочной способностью, невысокой точностью и нелинейностью шкалы. Однако их показания не зависят от формы тока в широком диапазоне частот. для расширения пределов амперметров используют высокочастотные трансформаторы тока.

Выпрямительные приборы характеризуются высокой чувствительностью, малым потреблением тока, небольшой перегрузочной способностью, линейностью шкалы. Показания приборов зависят от формы тока. Используются они в качестве амперметров и вольтметров.

Цифровые электронные измерительные приборы преобразуют аналоговый входной сигнал в дискретный, представляя его в цифровой форме с помощью цифрового отсчетного устройства (ЦОУ) и могут выводить информацию на внешнее устройство — дисплей, цифропечать. преимуществами цифровых измерительных приборов (ЦИИ) являются:

Процесс измерения каких-либо величин характеризуется тем, что показания приборов отличаются от истинных значений. Разность между этими значениями называется погрешностью.

Классифицируются погрешности приборов по различным признакам.

По способу выражения погрешности электроизмерительных приборов делятся на абсолютные, относительные и приведенные.
Абсолютная погрешность ∆ — это разность между показанием прибора A и действительным значением измеряемой величины A_Д, т. е. ∆ = А-А_Д.

Относительная погрешность δ представляет собой отношение абсолютной погрешности ∆ к истинному, или действительному, значению измеряемой величины A_Д. Обычно относительная погрешность выражается в процентах:

Приведенная погрешность γ, выраженная в процентах, есть отношение абсолютной погрешности ∆ к верхнему пределу рабочей части шкалы A_N.

Численное значение приведенной погрешности определяет класс точности приборов, характеризующих уровень их точности. Чем выше число, характеризующее класс точности, тем грубее прибор.

Систематическая погрешность — это погрешность, остающаяся постоянной или изменяющаяся по определенному закону. Ее значение всегда можно учесть путем введения соответствующих поправок.

Случайная погрешность — это погрешность, изменяющаяся по случайному, заранее не известному закону. Случайные погрешности исключить нельзя, можно только уменьшить их значение в результате многократных измерений.

В зависимости от условий эксплуатации различают основную и дополнительную погрешности электроизмерительных приборов.

Основная погрешность — это погрешность прибора в нормальных условиях эксплуатации, под которыми понимаются определенные температура внешней среды, влажность, атмосферное давление и др.

Дополнительная погрешность — это погрешность прибора, возникающая при отклонении условий эксплуатации.

Неотъемлемой частью любого измерения является погрешность измерений. С развитием приборостроения и методик измерений человечество стремиться снизить влияние данного явления на конечный результат измерений. Предлагаю более детально разобраться в вопросе, что же это такое погрешность измерений.

Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешность измерений представляет собой сумму погрешностей, каждая из которых имеет свою причину.

По форме числового выражения погрешности измерений подразделяются на абсолютные и относительные

Абсолютная погрешность – это погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины. Она определяется выражением.

(1.2), где X — результат измерения; Х₀ — истинное значение этой величины.

Поскольку истинное значение измеряемой величины остается неизвестным, на практике пользуются лишь приближенной оценкой абсолютной погрешности измерения, определяемой выражением

(1.3), где Х_д — действительное значение этой измеряемой величины, которое с погрешностью ее определения принимают за истинное значение.

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины:

(1.4)

По закономерности появления погрешности измерения подразделяются на систематические, прогрессирующие, и случайные .

Систематическая погрешность – это погрешность измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющейся при повторных измерениях одной и той же величины.

Прогрессирующая погрешность – это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени.

Систематические и прогрессирующие погрешности средств измерений вызываются:

• первые — погрешностью градуировки шкалы или ее небольшим сдвигом;
• вторые — старением элементов средства измерения.

Систематическая погрешность остается постоянной или закономерно изменяющейся при многократных измерениях одной и той же величины. Особенность систематической погрешности состоит в том, что она может быть полностью устранена введением поправок. Особенностью прогрессирующих погрешностей является то, что они могут быть скорректированы только в данный момент времени. Они требуют непрерывной коррекции.

Случайная погрешность – это погрешность измерения изменяется случайным образом. При повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности можно обнаружить только при многократных измерениях. В отличии от систематических погрешностей случайные нельзя устранить из результатов измерений.

По происхождению различают инструментальные и методические погрешности средств измерений.

Инструментальные погрешности — это погрешности, вызываемые особенностями свойств средств измерений. Они возникают вследствие недостаточно высокого качества элементов средств измерений. К данным погрешностям можно отнести изготовление и сборку элементов средств измерений; погрешности из-за трения в механизме прибора, недостаточной жесткости его элементов и деталей и др. Подчеркнем, что инструментальная погрешность индивидуальна для каждого средства измерений.

Методическая погрешность — это погрешность средства измерения, возникающая из-за несовершенства метода измерения, неточности соотношения, используемого для оценки измеряемой величины.

Погрешности средств измерений.

Абсолютная погрешность меры – это разность между номинальным ее значением и истинным (действительным) значением воспроизводимой ею величины:

(1.5), где X_н – номинальное значение меры; Х_д – действительное значение меры

Абсолютная погрешность измерительного прибора – это разность между показанием прибора и истинным (действительным) значением измеряемой величины:

(1.6), где X_п – показания прибора; Х_д – действительное значение измеряемой величины.

Относительная погрешность меры или измерительного прибора – это отношение абсолютной погрешности меры или измерительного прибора к истинному

(действительному) значению воспроизводимой или измеряемой величины. Относительная погрешность меры или измерительного прибора может быть выражена в ( % ).

(1.7)

Приведенная погрешность измерительного прибора – отношение погрешности измерительного прибора к нормирующему значению. Нормирующие значение XN – это условно принятое значение, равное или верхнему пределу измерений, или диапазону измерений, или длине шкалы. Приведенная погрешность обычно выражается в ( % ).

(1.8)

Предел допускаемой погрешности средств измерений – наибольшая без учета знака погрешность средства измерений, при которой оно может быть признано и допущено к применению. Данное определение применяют к основной и дополнительной погрешности, а также к вариации показаний. Поскольку свойства средств измерений зависят от внешних условий, их погрешности также зависят от этих условий, поэтому погрешности средств измерений принято делить на основные и дополнительные .

Основная – это погрешность средства измерений, используемого в нормальных условиях, которые обычно определены в нормативно-технических документах на данное средство измерений.

Дополнительная – это изменение погрешности средства измерений вследствии отклонения влияющих величин от нормальных значений.

Погрешности средств измерений подразделяются также на статические и динамические .

Статическая – это погрешность средства измерений, используемого для измерения постоянной величины. Если измеряемая величина является функцией времени, то вследствие инерционности средств измерений возникает составляющая общей погрешности, называется динамической погрешностью средств измерений.

Также существуют систематические и случайные погрешности средств измерений они аналогичны с такими же погрешностями измерений.

Факторы влияющие на погрешность измерений.

Погрешности возникают по разным причинам: это могут быть ошибки экспериментатора или ошибки из-за применения прибора не по назначению и т.д. Существует ряд понятий которые определяют факторы влияющие на погрешность измерений

Вариация показаний прибора – это наибольшая разность показаний полученных при прямом и обратном ходе при одном и том же действительном значении измеряемой величины и неизменных внешних условиях.

Класс точности прибора – это обобщенная характеристика средств измерений (прибора), определяемая пределами допускаемых основной и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющих на точность, значение которой устанавливаются на отдельные виды средств измерений.

Классы точности прибора устанавливают при выпуске, градуируя его по образцовому прибору в нормальных условиях.

Прецизионность — показывает, как точно или отчетливо можно произвести отсчет. Она определяется, тем насколько близки друг к другу результаты двух идентичных измерений.

Разрешение прибора — это наименьшее изменение измеряемого значения, на которое прибор будет реагировать.

Диапазон прибора — определяется минимальным и максимальным значением входного сигнала, для которого он предназначен.

Полоса пропускания прибора — это разность между минимальной и максимальной частотой, для которых он предназначен.

Чувствительность прибора — определяется, как отношение выходного сигнала или показания прибора к входному сигналу или измеряемой величине.

Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.

Примеры шкал различных приборов:

Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала

Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала

Индикатор громкости звука, линейная шкала

п.2. Цена деления

Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.

Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ \triangle=\frac $$ Найденное значение \(\triangle\) и есть цена деления данного прибора.

Пример определения цены деления:

п.3. Виды измерений

Прямое измерение

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Косвенное измерение

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=\frac $$

Если величина \(a_0\) - это истинное значение, а \(\triangle a\) - погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде \(a=a_0\pm\triangle a\).

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ \triangle a=|a-a_0| $$

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ \delta=\frac\cdot 100\text $$

Относительная погрешность является мерой точности измерения : чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком , т.е. всегда в сторону увеличения.

Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

• определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
• определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac>=0,5\ \text \end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac=\frac=0,25\ \text \end Истинное значение: \(L_0=4\ \text\) Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,00\pm 0,25)\ \text $$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac\cdot 100\text=6,25\text\approx 6,3\text $$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac>=0,1\ \text \end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac=\frac=0,05\ \text \end Истинное значение: \(L_0=4,15\ \text\) Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,15\pm 0,05)\ \text $$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac\cdot 100\text\approx 1,2\text $$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из \(N\) измерений, в каждом из которых получаем значение величины \(x_1,x_2,…,x_N\)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_=\frac $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ \triangle_1=|x_0-x_1|,\ \ \triangle_2=|x_0-x_2|,\ \ . \ \ \triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ \triangle_=\frac $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину \(\triangle_\) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ \triangle x=max\left\<\triangle_; d\right\> $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: \(x=x_0\pm\triangle x\).

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin m_0=\frac=\frac\approx 100,4\ \text \end Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin \triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\\ \triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\\ \triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 \end Находим среднее абсолютное отклонение: \begin \triangle_=\frac=\frac=0,5\ \text \end Мы видим, что полученное значение \(\triangle_\) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin \triangle m=max\left\<\triangle_; d\right\>=max\left\\ \text \end Записываем результат: \begin m=m_0\pm\triangle m\\ m=(100,4\pm 0,5)\ \text \end Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): \begin \delta_m=\frac\cdot 100\text\approx 0,050\text \end

п.6. Представление результатов эксперимента

Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0\pm\triangle a $$ где \(a_0\) – истинное значение, \(\triangle a\) – абсолютная погрешность измерения.

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

• абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей

• абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей

• относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей

• относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей

• относительная погрешность квадрата \(a^2\) равна удвоенной относительной погрешности

• относительная погрешность куба \(a^3\) равна утроенной относительной погрешности

• относительная погрешность произвольной натуральной степени \(a^n\) равна

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки	a, мл	b, мл	n	\(\triangle=\frac\), мл
1	20	40	4	\(\frac=4\)
2	100	200	4	\(\frac=20\)
3	15	30	4	\(\frac=3\)
4	200	400	4	\(\frac=40\)

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки	Объем \(V_0\), мл	Абсолютная погрешность \(\triangle V=\frac\), мл	Относительная погрешность \(\delta_V=\frac\cdot 100\text\)
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0\pm 0,1)\ \text,\ \ x_2=(4,0\pm 0,03)\ \text $$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin \delta_1=\frac\cdot 100\text=2,5\text\\ \delta_2=\frac\cdot 100\text=0,75\text \end Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки \(d=\frac=0,05\ \text\)
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20\pm 0,05)\ \text,\ \ b=(60,10\pm 0,05)\ \text $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): \begin \delta_1=\frac\cdot 100\text\approx 0,0554\text\approx \uparrow 0,056\text\\ \delta_2=\frac\cdot 100\text\approx 0,0832\text\approx \uparrow 0,084\text \end Площадь столешницы: $$ S=ab,\ \ S=90,2\cdot 60,1 = 5421,01\ \text^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ \delta_S=\delta_a+\delta_b=0,056\text+0,084\text=0,140\text=0,14\text $$ Абсолютная погрешность: \begin \triangle S=S\cdot \delta_S=5421,01\cdot 0,0014=7,59\approx 7,6\ \text^2\\ S=(5421,0\pm 7,6)\ \text^2 \end Ответ: \(S=(5421,0\pm 7,6)\ \text^2,\ \ \delta_S\approx 0,14\text\)

Читайте также:

  
• Каковы пути решения проблемы равенства полов в россии кратко
  
• Борьба против ордынского ига xiv первая половина xv в куликовская битва кратко
  
• Тектоническое строение индийского океана кратко
  
• Геродот географические открытия 5 класс кратко
  
• Волны в океане возникают под воздействием силы тяжести или ветра ответ кратко