Вписанные и описанные многогранники конспект

Обновлено: 06.07.2024

Тип урока: урок совершенствования умений и навыков. Цели урока: дидактическая: совершенствовать навыки решения задач на сечения круглых тел, совершенствовать навыки применения полученных ранее знаний при решении задач на комбинации тел; развивающая: развивать логическое мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения), математически грамотную речь, культуру оформления чертежей и решений; воспитательная: воспитывать умение выслушивать других, прививать аккуратность, трудолюбие и упорство в достижении цели. Оборудование: персональный компьютер и проектор.

Вложение	Размер
model_uroka.doc	1.43 МБ
prilozheniya_k_uroku_matematiki.rar	1.35 МБ

Предварительный просмотр:

ЗАДАЧА №1. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите радиус описанной около этой пирамиды

Решение: Из построения видно, что R = АВ : 2 = = = = 5см.

ЗАДАЧА №2. Основанием пирамиды является ромб с острым углом 60°, боковые грани составляют с плоскостью основания углы по 60°. Найдите высоту пирамиды и сторону основания, если площадь поверхности вписанного в нее шара равна 64 p .

Решение: Вершина S пирамиды проектируется в центр Р вписанной в ромб АВСD окружности. Центр О вписанного в пирамиду шара лежит на высоте SP. Точки M и Р – точки касания . Сделаем выносные чертежи.

OP – радиус R шара.

4πR² = 64π, R = 4, ОР = 4;

2. ∆MSK – равносторонний, SР – высота,

SР = ; МК = 2РК; РК = ОР : tg ОКР =

= 4 ; МК = 8 ; SP = 12;

3. АВСD – ромб: ∆СРD – прямоугольный, СD =DК+КС.

Из ∆РКС: КС = = 4 × =12;

DК = = = 8; СD = 12 + 8 = 20

ЗАДАЧА №4. В шар диаметром 4 дм вписана правильная треугольная призма со стороной основания 3 дм. Найдите высоту призмы.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Проверила:
Третьякова Н. А.

Правильные многогранники
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Многогранники, вписанные в шар
Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника. Центр этой сферы является точкой, равноудаленной от вершин многогранника. Она является точкой пересечения плоскостей, каждая из которых проходит через середину ребра многогранника перпендикулярно ему.

Пирамида, вписанная в шар
Теорема:
Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Формула для нахождения радиуса описанной сферы
Пусть SABC - пирамида с равными боковыми ребрами, h - ее высота, R - радиус окружности, описанной около основания. Найдем радиус описанной сферы.
Заметим подобие прямоугольных треугольников SKO1 и SAO.
Тогда
SO1/SA = KS/SO;
R1 = KS · SA/SO
Но KS = SA/2.
Тогда
R1 = SA2/(2SO);
R1 = (h2 +R2)/(2h);
R1 = b2/(2h), где b - боковое ребро.

Призма, вписанная в шар
Теорема:
Около призмы можно описать шар только в том случае, если призма является прямой и около ее основания можно описать окружность.

Параллелепипед, вписанный в шар
Теорема:
Сфера может быть описана около параллелепипеда тогда и только тогда, когда параллелепипед прямоугольный, так как в данном случае он является прямым и около его основания - параллелограмма - может быть описана окружность (т. к. основание - прямоугольник).

Конус и цилиндр, вписанные в шар
Теорема:
Около всякого конуса можно описать сферу.
Теорема:
Около любого цилиндра можно описать сферу.

Задача 1
Найти радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а.
Решение:
SO1 = SA2/(2SO);
SO =
SO =
=
= a
SO1 = a2/(2 a
) = a
/4.
Ответ:
SO1 = a
/4.
Предварительно построим на изображении правильного тетраэдра SABC изображение центра описанного шара. Проведем апофемы SD и AD (SD = AD). В равнобедренном треугольнике ASD каждая точка медианы DN равноудалена от концов отрезка AS. Поэтому точка O1 есть пересечение высоты SO и отрезка DN.
Используя формулу из R1 = b2/(2h), получим:

Задача 2
Решение:
По формуле R1=b2/(2h) для нахождения радиуса описанного шара найдем SC и SO.
SC = a/(2sin(α/2));
SO2 = (a/(2sin(α/2))2 – (a
/2)2 =
= a2/(4sin2(α/2)) – 2a2/4 =
= a2/(4sin2(α/2)) · (1 – 2sin2(α/2)) =
= a2/(4sin2(α/2)) · cosα
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α. Найти радиус описанного шара.
R1 = a2/(4sin2(α/2)) · 1/(2a
/(2sin(α/2))) =
a/(4sin(α/2) ·
).
Ответ:
R1 = a/(4sin(α/2) ·
).

Многогранники, описанные около шара
Выпуклый многогранник называется описанным, если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника. Центром вписанной сферы является точка, равноудаленная от всех граней многогранника.

Положение центра вписанной сферы
Понятие биссекторной плоскости двугранного угла.
Биссекторной называется плоскость, делящая двугранный угол на два равных двугранных угла.
Каждая точка этой плоскости равноудалена от граней двугранного угла.
В общем случае центр вписанной в многогранник сферы является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он всегда лежит внутри многогранника.

Пирамида, описанная около шара
Шар, называется вписанным в (произвольную) пирамиду, если он касается всех граней пирамиды (как боковых, так и основания).
Теорема:
Если боковые грани одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.

Так как двугранные углы при основании равны, то их половинки тоже равны  биссектрисы пересекаются в одной точке на высоте пирамиды. Эта точка принадлежит всем биссекторным плоскостям при основании пирамиды и  равноудалена от всех граней пирамиды – центр вписанного шара.

Формула для нахождения радиуса вписанной сферы
Пусть SABC - пирамида с равными боковыми ребрами, h - ее высота, r - радиус вписанной окружности. Найдем радиус описанной сферы.
Пусть SO = h, OH = r, O1O = r1.
Тогда по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника
O1O/OH = O1S/SH;
r1/r = (h – r1)/ ;
r1 · = rh – rr1;
r1 · ( + r) = rh;
r1 = rh/( + r).
Ответ: r1 = rh/( + r).

Призма, описанная около шара
Теорема:
Сферу можно вписать в призму тогда и только тогда, когда призма прямая и в основание можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы.

Параллелепипед и куб, описанные около шара
Теорема:
В параллелепипед можно вписать сферу тогда и только тогда, когда параллелепипед прямой и его основание - ромб, причем высота этого ромба есть диаметр вписанной сферы, который, в свою очередь, равен высоте параллелепипеда. (Из всех параллелограммов только в ромб можно вписать окружность)
Теорема:
В куб всегда можно вписать сферу. Центр этой сферы - точка пересечения диагоналей куба, а радиус равен половине длины ребра куба.

Цилиндр и конус, описанные около шара
Теорема:
Сферу можно вписать лишь в такой цилиндр, высота которого равна диаметру основания.
Теорема:
Во всякий конус можно вписать сферу.

Комбинации фигур
Вписанная и описанная призмы
Призма, описанная около цилиндра – призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.
Призма, вписанная в цилиндр – призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами – образующие цилиндра.
Касательная плоскость к цилиндру – плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Вписанная и описанная пирамиды
Пирамида, вписанная в конус – пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса.
Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус – образующие конуса.
Пирамида, описанная около конуса – пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.
Плоскости боковых граней описанной пирамиды – касательные плоскости конуса.
Касательная плоскость к конусу – плоскость, проходящая через образующую и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Другие виды конфигураций
Цилиндр вписан в пирамиду, если окружность одного его основания касается всех боковых граней пирамиды, а другое его основание лежит на основании пирамиды.
Конус вписан в призму, если его вершина лежит на верхнем основании призмы, а его основание – круг, вписанный в многоугольник – нижнее основание призмы.
Призма вписана в конус, если все вершины верхнего основания призмы лежат на боковой поверхности конуса, а нижнее основание призмы лежит на основании конуса.

Задача 1
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.
Решение:
Выразим стороны ∆SOK через а и α.
OK = a/2.
SK = KC · ctg(α/2);
SK = (a · ctg(α/2))/2.
SO =
SO =
= (a/2)
Использую формулу r1 = rh/(
+ r), найдем радиус вписанного шара:
r1 = OK · SO/(SK + OK);
r1 = (a/2) · (a/2)
/((a/2) · ctg(α/2) + (a/2)) =
= (a/2)
/(ctg(α/2) + 1) =
(a/2)
=
= (a/2)
Ответ: r1 = (a/2)

- образовательная - обеспечить на уроке повторение, закрепление и проверку усвоения учащимися определений шара и сферы, и связанных с ними понятий (центр, радиусы, диаметры, диаметрально противоположные точки, касательные плоскости и прямые); понятий вписанного и описанного многогранников, знания теорем о сечении шара плоскостью (20.3), о симметрии шара (20.4), о касательной плоскости к шару (20.5), о пересечении двух сфер (20.6), о построении центра сферы описанной (вписанной) в правильную пирамиду и о построении центра сферы описанной около правильной призмы;

продолжить формирование умений самостоятельно применять всю совокупность этих знаний в вариативных ситуациях по образцу и нестандартных, требующих творческой деятельности;

воспитательная - воспитывать у учащихся ответственность за результаты учения, упорство в достижении цели, уверенность в своих силах, желание добиваться больших результатов, чувство прекрасного (красота геометрических форм, изящное, красивое решение задачи).

развивающая - развивать у учащихся: способность к конкретному и обобщенному мышлению, творческое и пространственное воображение; ассоциативность (способность опираться на разные связи: по сходству, аналогии, контрасту, причинно-следственные), умение логично и последовательно излагать свою мысль, потребность в учении и развитии, создать на уроке условия для проявления познавательной активности учащихся.

Учитель математики средней школы №2,

города Талдыкоргана Н.Ю.Лозович

Открытый урок по геометрии

урок проверки и коррекции знаний и умений.

Методы обучения

Вступительная беседа (постановка цели урока, мотивация учебной деятельности учащихся, создание необходимой эмоционально - нравственной атмосферы, инструктаж учащихся по организации работы на уроке).

Фронтальный опрос (устная проверка знаний учащимися основных понятий, теорем, умений объяснять их сущность, аргументировать свои рассуждения).

Уровневая самостоятельная работа, исходящая из принципа постепенного нарастания уровня знаний и умений, т.е. от репродуктивного уровня до продуктивного и творческого. Сущность метода - постоянно контролируемая и поощряемая учителем индивидуальная самостоятельная работа учащихся.

Стереометрические модели геометрических тел, плакаты, рисунки, дидактические карточки для индивидуальной самостоятельной работы.

а) Опорные знания.

Необходимо активизировать понятия: касательной к окружности, выпуклых многоугольников, вписанных в окружность и описанных около окружности, вычисление радиусов вписанных и описанных окружностей для правильных многоугольников из планиметрии; из курса 10-го класса определение симметрии относительно плоскости, понятие фигур, симметричных относительно точки, оси (прямой), плоскости.

б) Способы формирования мотивов, возбуждения интереса.

При проверке работы используется следующая система обозначений:

- - задача не решена;

+ - задача не решена, но в работе есть некоторые разумные соображения;

+ - дан только ответ в задаче, где одного ответа явно недостаточно;

_{± -} задача решена, но решение содержит мелкие пропуски и неточности;

+ - задача полностью решена;

+! – решение задачи содержит неожиданные яркие идеи.

Большое значение придается листу открытого учета деятельности ребят, который заполняется по мере выполнения самостоятельной работы.

Внимание Скидка 50% на курсы! Спешите подать
заявку

Профессиональной переподготовки 30 курсов от 6900 руб.

Курсы для всех от 3000 руб. от 1500 руб.

Повышение квалификации 36 курсов от 1500 руб.

Лицензия №037267 от 17.03.2016 г.
выдана департаментом образования г. Москвы

Тема урока: Сфера, вписанная в пирамиду. Сфера, описанная около пирамиды.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника.

Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу.

Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы.

Сформировать навыки решения задач по теме.

Развитие у учащихся навыков самостоятельной работы.

Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

Условия задач в рисунках на доске.

Раздаточный материал (опорные конспекты).

Планиметрия. Вписанная и описанная окружность.

Стереометрия. Вписанная сфера

Стереометрия. Описанная сфера

Постановка целей урока (2 минуты).

Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос) (6 минут).

Объяснение нового материала (15 минут)

Постановка домашнего задания (2 минуты).

1. Постановка целей урока.

Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника.

Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу.

Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы.

Сформировать навыки решения задач по теме.

2. Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос).

Окружность, вписанная в многоугольник.

Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

Как называется многоугольник, в который вписана окружность?

Какая точка является центром окружности, вписанной в многоугольник?

Каким свойством обладает центр окружности, вписанной в многоугольник?

Где располагается центр окружности, вписанной в многоугольник?

Какой многоугольник можно описать около окружности, при каких условиях?

Окружность, описанная около многоугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника?

Как называется многоугольник, около которого описана окружность?

Какая точка является центром окружности, описанной около многоугольника?

Каким свойством обладает центр окружности, описанной около многоугольника?

Где может располагаться центр окружности, описанной около многоугольника?

Какой многоугольник можно вписать в окружность и при каких условиях?

3. Объяснение нового материала.

А . По аналогии учащиеся формулируют новые определения и отвечают на поставленные вопросы.

Сфера, вписанная в многогранник.

Сформулируйте определение сферы, вписанной в многогранник.

Как называется многогранник, в который можно вписать сферу?

Каким свойством обладает центр вписанной в многогранник сферы?

Что представляет множество точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла? (трехгранного угла?)

Какая точка является центром сферы, вписанной в многогранник?

В какой многогранник можно вписать сферу, при каких условиях?

В . Учащиеся доказывают теорему.

В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

В процессе работы на уроке учащиеся пользуются опорными конспектами.

С. Учащиеся анализируют решение задачи.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а , высота равна h . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

D . Учащиеся решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, боковые грани наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус, вписанной в эту пирамиду сферы.

Сформулируйте определение сферы, описанной около многогранника.

Как называется многогранник, около которого можно описать сферу?

Каким свойством обладает центр описанной около многогранника сферы?

Что представляет собой множество точек пространства, равноудаленных от двух точек?

Какая точка является центром сферы, описанной около многогранника?

Где может быть расположен центр сферы, описанной около пирамиды? (многогранника?)

Около какого многогранника можно описать сферу?

В. Учащиеся самостоятельно решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

С. Проверка составленного конспекта и анализ решения задачи.

А. Учащиеся самостоятельно подводят итоги урока.

В. Отвечают на дополнительные вопросы.

Можно ли описать сферу около четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом?

Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда? Если да, то где находится его центр?

Где в жизни применяется изученная на уроке теория (архитектура, сотовая телефонная связь, геостационарные спутники, система обнаружения GPS ).

6. Постановка домашнего задания.

В. Решить из учебника задачу № 640.

D . Дополнительное задание: Вариант №5 С12 (1).

7. Резервные задания.

Учебно – методический комплект

Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., М.: Просвещение, 2010г.

Читайте также: