Векторы модуль вектора равенство векторов сложение векторов умножение вектора на число конспект

Обновлено: 05.07.2024

В этом видеоуроке мы вспомним, что называют вектором, модулем вектора. Поговорим о сложении векторов и умножении вектора на число. Вспомним о коллинеарных векторах и разложении вектора по двум неколлинеарным векторам. Также напомним о компланарных векторах и разложении вектора по трём некомпланарным векторам. Вспомним о координатах вектора, скалярном произведении векторов и его свойствах.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Вектор, модуль вектора. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Координаты вектора"

Напомним, что вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определённое направление. Если начало вектора находится в точке , а конец в точке , то такой вектор обозначается: . Часто векторы обозначаются и вот таким образом: .

Модулем, или длиной вектора, называется длина отрезка, который изображает вектор (, ).

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают ().

Направления нулевой вектор не имеет, а его длина равна нулю ().

Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. При этом два коллинеарных вектора могут быть сонаправленными () или противоположно направленными (, ).

Векторы называются равными, если они одинаково направлены и их длины равны.

Сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника:

А также по правилу параллелограмма:

Отметим, что для любого вектора справедливо равенство .

Также напомним, что для любых векторов , и справедливы:

1. (переместительный закон).

2. (сочетательный закон).

Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором даст вектор .

Для любых векторов и справедливо следующее равенство .

Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор , длина которого равна произведению .

При этом векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Основные свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел , и любых векторов , справедливы:

1. (сочетательный закон).

2. (первый распределительный закон).

3. (второй распределительный закон).

Теорема. На плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

, – неколлинеарные векторы,

, – коэффициенты разложения.

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.

При этом, если вектор можно разложить по векторам и , то есть представить в виде

где и – некоторые числа, то векторы , и компланарны.

Для сложения трёх некомпланарных векторов можно использовать правило параллелепипеда:

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

, , – некомпланарные векторы,

, , – коэффициенты разложения.

Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат.

, .

Также напомним, что координатами вектора с началом в точке и концом в точке называются числа , .

В пространстве координатами вектора с началом в точке и концом в точке называются числа , , .

Теперь вспомним следующие правила.

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

, ,

вектор имеет координаты .

, ,

вектор имеет координаты .

Каждая координата разности равна разности соответствующих координат этих векторов.

, ,

вектор имеет координаты .

, ,

вектор имеет координаты .

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

, – произвольное число,

вектор имеет координаты .

, – произвольное число,

вектор имеет координаты .

Также напомним, что длина вектора вычисляется .

В пространстве длина вектора по его координатам вычисляется аналогично.

, .

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора (то есть скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов. Скалярное произведение векторов и выражается следующей формулой:

В пространстве скалярное произведение векторов определяется аналогичным образом.

, , .

И напомним свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов , , и любого числа справедливы соотношения:

1. , причём при .

2. (переместительный закон).

3. (распределительный закон).

4. (сочетательный закон).

Отметим, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых.

Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задание первое. Стороны равностороннего треугольника равны . Найдите длину вектора, равного сумме векторов и .

Задание второе. Найдите координаты вектора и его модуль, если , .

Задание третье. Даны векторы и . Найдите координаты вектора и его модуль.

Задание четвёртое. При каких значениях векторы и взаимно перпендикулярны?

Задание пятое. Найдите модуль суммы и модуль разности векторов и .

знакомство с правилами действий с векторами в пространстве.

- познакомиться с основными понятиями, используемыми в данной теме;

- сформировать представление о векторных и скалярных величинах;

- научиться выполнять действия с векторами, преобразовывать векторные выражения.

учащиеся научатся различать векторные и скалярные величины, выполнять действия с векторами в пространстве и применять законы действий с векторами для преобразования и упрощения векторных выражений.

Сортировка по категориям скалярных и векторных величин. Отличительные особенности векторных величин. Повторяется определение вектора из курса планиметрии.

Основная литература:

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11классов - М.: Просвещение, 2017. C. 77-85.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

1)Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом.

КК - нулевой вектор, обозначается . Длина вектора обозначается ||.

2)Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Пусть два ненулевых вектора и коллинеарные. Если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то и называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправленными, то векторы и называются противоположно направленными.
Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись означает, что векторы и сонаправлены, а запись - что векторы с и d противоположно направлены.

3)Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Интерактивная модель "Равные, противоположные, нулевые, сонаправленные, противоположно направленные векторы ".

4)Действия над векторами. Сложение векторов по правилу треугольника.

Для этого нужно от произвольной точки пространства отложить вектор , равный , затем от точки В отложить вектор , равный . Вектор называется суммой и . Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство +=

5)Сложение векторов по правилу параллелограмма:

Для этого векторы откладывают от одной точки. Это правило пояснено на рисунке.

Интерактивная модель "Законы действия с векторами".

Сумма нескольких векторов в пространстве находится так же, как и на плоскости и не зависит от порядка слагаемых.

Интерактивная модель "Правило многоугольника".

6)Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

7)Вычитание векторов: Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .
Разность - можно найти по формуле - = + (-), где (-) - вектор, противоположный вектору .
-=.

Точку, из которой стрелка выходит, называют началом вектора . Точку, в которую стрелка входит, называют концом вектора .

Чтобы отличить вектор от отрезка с концами в тех же точках, используют обозначение (рис.2) или (рис.3).


Рис.2	Рис.3

Рис.3

Иногда для вектора используют обозначения (рис.4) или (рис.5).


Рис.4	Рис.5

Рис.4

Рис.5

Если две точки (начало и конец вектора) совпадают, то говорят, что эти точки задают нулевой вектор.

Координаты вектора

Рассмотрим произвольный вектор и предположим, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz (рис.6).

Если в системе координат Oxyz точки A и B имеют координаты

A = (a₁; a₂; a₃) и B = (b₁; b₂; b₃) ,

(1)

то координатами вектора называют набор чисел

Замечание . В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной плоскости, в формулах (1) и (2) не будет третьих координат. Если же рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной прямой, то в формулах (1) и (2) останутся только первые координаты.

Длина вектора

Длиной (модулем) произвольного вектора называют длину отрезка AB

Длина вектора , координаты которого имеют вид

вычисляется по формуле

Замечание . В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной плоскости, формула (3) принимает вид

и совпадает с формулой, позволяющей найти расстояние между двумя точками координатной плоскости.

В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной прямой, формулы (3) и (4) принимают вид

Равенство векторов

Векторы называют коллинеарными векторами , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

являются коллинеарными векторами тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Другими словами, векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t , что выполняются равенства

Два вектора называют сонаправленными , если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 7.

Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в одну сторону (концы векторов будут лежать на одном луче).

Два вектора называют противоположно направленными , если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 8.

Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в разные стороны (концы векторов будут лежать по разные стороны от их общего начала).

Определение . Два вектора равны , если, во-первых, они сонаправленные, а, во-вторых, имеют одинаковую длину.

Другими словами, если совместить начала этих векторов, то их концы совпадут.

Замечание . Два вектора равны тогда и только тогда, когда у них совпадают наборы координат.

Умножение вектора на число

В результате умножения любого вектора на любое действительное число k получается такой вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

При k > 0 вектор сонаправлен с вектором ;
При k вектор противоположно направлен с вектором ;
Длина вектора равна длине вектора , умноженной на число |k|.

Если вектор имеет координаты

то вектор имеет координаты

Другими словами, если вектор умножается на число, то и все его координаты умножаются на это число.

Сложение и вычитание векторов

Для того, чтобы найти сумму двух произвольных векторов и нужно совместить начало вектора с концом вектора . Тогда началом вектора будет начало вектора , а концом вектора будет конец вектора (рис.9).

Для того, чтобы найти разность двух произвольных векторов и нужно воспользоваться формулой

Операция вычитания двух векторов наглядно изображена на рисунке 10.

Скалярное произведение векторов

Определение . Скалярным произведением векторов и , которое обозначается называют число, равное произведению длин векторов и , умноженному на косинус угла между этими векторами (рис.11).

Из формулы (5) вытекает соотношение

Следствие 1 . Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Утверждение . Если в декартовой прямоугольной системе координат векторы имеют координаты

то их скалярное произведение выражается формулой:

Другими словами, в декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Замечание . Зная координаты векторов (6), из формул (3), (5) и (7) можно найти косинус угла между векторами и

Примеры решения задач

Пример 1 . При каких значениях параметра p векторы и перпендикулярны?

Решение . Воспользовавшись формулой (7), получим

Пример 2 . При каких значениях параметров α и β векторы (α; – 2; 5) и (1; β; – 4) коллинеарны?

Решение . Векторы, в силу изложенного выше, являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t , что выполняются равенства:

Пример 3 . Длины векторов и равны 2 и 1 , соответственно, а угол между ними равен 60° . Найти длину вектора .

Решение . Рассмотрим рисунок 12.

Пример 4 . Длины векторов и равны 3 и 1, соответственно, а угол между ними равен 60°. Найти длину вектора .

От конца вектора a → откладываем вектор, равный b → . Соединяем начало первого вектора и конец второго. Получившийся вектор, начало которого совпадает с началом вектора a → , а конец — с концом вектора b → , называется суммой этих векторов.

Векторы откладываются от одной точки. Достраивается параллелограмм со сторонами, параллельными данным векторам. Диагональ получившегося параллелограмма, идущая из их общего начала в противоположную вершину, является суммой исходных векторов.

Два ненулевых вектора называются противоположными, если они равны по длине и противоположно направлены. Например, векторы AB → и BA → противоположны.

Разностью двух векторов a → и b → называется такой вектор c → , сумма которого с вектором b → равна вектору a → .

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Для нахождения разности векторов вторым способом можно воспользоваться формулой: a → − b → = a → + ( − b → ) .

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Произведением вектора a → на число \(k\) называется такой вектор b → , длина которого равна k ⋅ a → , причём векторы сонаправлены, если \(k>0\), и противоположно направлены, если \(k нулевой вектор .

Векторы a → и \(k\) a → коллинеарны для любого \(k\). Если два вектора a → и b → коллинеарны, то существует такое число \(k\), что a → \(=k\) b → .
Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
Для любых векторов a → и b → и чисел \(k\) и \(l\) справедливы следующие законы:

Читайте также: