Васильев лыткина мазуров высшая алгебра конспект лекций

Обновлено: 07.07.2024

Васильев А. В., Мазуров В. Д. Высшая алгебра: В 2 ч.: Конспект лекций / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2010, ч. 1. 143 c.

В дальнейшем рассматриваются примеры этих структур: группы подстановок, кольца (алгебры) матриц и многочленов, поле комплексных чисел, конечномерные векторные пространства. В рамках этого подхода изучаются классические алгебраические объекты: определители и системы линейных уравнений. Пособие предназначено для студентов математических специальностей университетов.

Упражнения, сопровождающие изложение, призваны помочь усвоению материала. Наиболее трудные из них помечены звёздочкой. Список литературы не претендует на полноту, его основная цель предоставить читателю дополнительную возможность ознакомиться с затрагиваемыми в курсе понятиями и идеями. В приложении для удобства приводится программа курса Высшая алгебра на 2010–11 учебный год (два семестра). Ссылки на соответствующие места из книг, указанных в списке литературы, находятся в этой программе. Пособие снабжено предметным указателем и указателем обозначений.

Глава Введение Под множеством понимается неупорядоченная совокупность мыслимых вместе объектов произвольной природы, которые мы умеем различать между собой. Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Обычно мы будем обозначать множества заглавными, а элементы строчными латинскими буквами. Свойство объекта быть элементом некоторого множества выражается словами элемент a принадлежит множеству A и записывается так: a A. Если элемент a не принадлежит множеству A, пишем a A. Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Множество можно задать перечислением всех его элементов или указанием некоторого свойства, которому элементы, его составляющие, должны удовлетворять. В последнем случае, если обозначить соответствующее свойство через P, запись того факта, что множество A состоит из тех и только тех элементов, которые обладают свойством P, выглядит следующим образом:

A = или кратко A = . Мы будем также использовать кванторы и, заменяя ими выражения для любого и существует соответственно. Например, запись a A : P (a) означает, что для любого элемента a A выполняется свойство P, а запись a A : P (a) означает, что найдётся хотя бы один элемент a A, обладающий свойством P.

Вам уже известны основные числовые множества: N = множество натуральных чисел, Z множество целых чисел, Q множество рациональных чисел и R множество действительных чисел.

Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B принадлежит множеству A. Мы будем обозначать этот факт так: B A. В случае, если найдётся хотя бы один элемент множества A, который не принадлежит подмножеству B, множество B называется собственным подмножеством множества A, что можно подчеркнуть, используя следующее обозначение: B A. Единственным множеством, не имеющим собственных подмножеств, является пустое множество, которое по определению не содержит ни одного элемента. Множество всех подмножеств данного множества A обозначается через P (A) или 2A.

Из двух и более множеств можно образовать новые множества. Если заданы множества A1, A2. An, то множество A1 A2. An = называется пересечением, а множество A1 A2. An = объединением множеств A1, A2. An. Под разностью множеств A и B мы будем понимать множество A \ B = . Если при этом множество B является подмножеством множества A, то мы будем называть множество A \ B дополнением множества B в множестве A.

Если множество A фиксировано, то дополнение в A его подмножества B мы будем также обозначать через B.

Напомним, что порядок элементов при записи множества не играет роли. Так, множества и равны, поскольку состоят из одних и тех же элементов. С другой стороны, в математике, как и в жизни, часто приходится рассматривать упорядоченные совокупности объектов. Упорядоченный набор из n элементов a1, a2. an мы будем обозначать (a1, a2. an ) и называть n-кой. В случае двух объектов будем употреблять термин упорядоченная пара. Две n-ки (a1, a2. an ) и (b1, b2. bn ) равны тогда и только тогда, когда a1 = b1, a2 = b2.

Определение 1.1.1. Если заданы множества A1, A2. An, то их декартовым произведением называется множество Декартовой n-ой степенью множества A называется множество В случае, когда n = 2, мы будем говорить о декартовом квадрате множества A.

Пусть заданы два множества X и Y. Правило f, по которому каждому элементу множества X сопоставляется однозначно определённый элемент множества Y, принято называть функцией или отображением из множества X в множество Y (обозначение f : X Y ). Мы будем в основном использовать термин отображение.

Тот факт, что элемент y множества Y является образом элемента x множества X при отображении f, можно записать разными способами:

f (x) = y, xf = y, xf = y. Мы будем в основном использовать обозначения, при которых символ отображения располагается справа от символа элемента, т. е. предпочитать обозначение xf обозначению f (x).

Если Z X, обозначим через Zf множество , которое называется образом Z в Y. Если Z = X, то образ Xf мы будем также обозначать через Im f.

Пусть имеется два отображения f : X Y и g : Y Z. Композицией (или произведением) отображений f и g называется отображение f g : X Z, определяемое x X равенством x(f g) = (xf )g. Таким образом, отображение f g есть результат последовательного выполнения сначала отображения f, а затем отображения g. Иногда по аналогии с умножением чисел мы будем опускать символ и писать просто f g вместо f g.

Замечание. При расположении символа отображения слева от символа элемента запись f g композиции отображений f и g уже означала бы, что сначала выполняется отображение g, а потом f :

(f g)x = f (g(x)). Таким образом, нам пришлось бы читать запись f g справа налево, что не слишком удобно. Это одна из причин, почему мы отдаём предпочтение правостороннему расположению символа отображения. Отметим, что с другой стороны имеются достаточно веские причины и для использования левосторонней записи.

Вернёмся к определению отображения. Оно требует, чтобы каждый элемент x множества X имел образ y = xf в Y. Обратное верно не всегда: могут существовать элементы множества Y, которые не имеют прообразов в X. Те отображения, для которых таких элементов в Y нет, носят специальное название.

Определение 1.1.2. Отображение f : X Y называется отображением множества X на множество Y или сюръекцией, если для каждого элемента y Y существует элемент x X такой, что y = xf.

Соответствующее обозначение: f : X Y.

Определение отображения также требует, чтобы каждый элемент множества X имел ровно один образ в Y. Иными словами, если xf = y1 и xf = y2, то y1 = y2. Обратное снова в общем случае неверно: у одного элемента из Y может быть несколько прообразов в X. Например, если рассмотреть отображение f : R R, действующее по правилу xf = x2, то у числа 4 имеется два прообраза: 2 и 2. Мы опять выделим отображения, для которых такая ситуация невозможна.

Определение 1.1.3. Отображение f : X Y называется взаимно однозначным отображением из множества X в множество Y или инъекцией, если для любых элементов x1, x2 X из равенства x1 f = x2 f следует равенство x1 = x2. Соответствующее обозначение: f : X Y.

Отображения, которые удовлетворяют определениям 1.1.2 и 1.1.3 одновременно, также имеют специальное название.

Определение 1.1.4. Отображение f : X Y называется взаимно однозначным отображением множества X на множество Y или биекцией, если оно является сюръекцией и инъекцией одновременно.

Соответствующее обозначение: f : X Y.

Если отображение f : X Y является биекцией, то, как следует из определения отображения, существует обратное к нему отображение f 1 : Y X, действующее по правилу: x = yf 1 тогда и только тогда, когда y = xf. Обратное отображение снова является биекцией. Множества X и Y, между которыми можно установить биекцию, принято называть равномощными.

Упражнение 1.1.2. Приведите пример отображения, которое 1) не является ни сюръекцией, ни инъекцией;

2) является сюръекцией, но не является инъекцией;

3) является инъекцией, но не является сюръекцией;

4) является биекцией.

Упражнение 1.1.3. Докажите, что композиция двух биекций снова является биекцией.

Васильев А. В., Мазуров В. Д. Высшая алгебра : конспект лекций : [в 2 ч.] / А.В. Васильев, В.Д. Мазуров; Федер. агентство по образованию, Новосоиб. гос. ун-т, Мех.-мат. фак. - Новосибирск : Редакционно-издательский центр НГУ, 2010. - 20 см

Купить

Реферат по теме Высшая алгебра : конспект лекций : в 2 ч.

Курсовая по теме Высшая алгебра : конспект лекций : в 2 ч.

ВКР/Диплом по теме Высшая алгебра : конспект лекций : в 2 ч.

Диссертация по теме Высшая алгебра : конспект лекций : в 2 ч.

Заработать на знаниях по теме Высшая алгебра : конспект лекций : в 2 ч.

Помогите сайту стать лучше, ответьте на несколько вопросов про книгу:
Высшая алгебра : конспект лекций : в 2 ч.

Объявление о покупке
Книги этих же авторов
Наличие в библиотеках
Рецензии и отзывы
Похожие книги
Наличие в магазинах
Информация от пользователей
Книга находится в категориях

санитарный день: последний день месяца
Пн: 10:00-17:00
Вт: 10:00-17:00
Ср: 10:00-17:00
Чт: 10:00-17:00
Пт: 10:00-16:00

санитарный день: последняя пт месяца
Вт: 12:00-22:00
Ср: 12:00-22:00
Чт: 12:00-22:00
Пт: 12:00-22:00
Сб: 12:00-22:00
Вс: 12:00-20:00

санитарный день: последняя пт месяца
Пн: 09:00-12:00 14:00-18:00
Вт: 09:00-12:00 14:00-18:00
Ср: 09:00-12:00 14:00-18:00
Чт: 09:00-12:00 14:00-18:00
Пт: 09:00-12:00 14:00-18:00

--> --> Новосибирская область, Новосибирск городской округ, Новосибирск, Ленинский район, Сад Кирова м-н
Станиславского, 4

санитарный день: последний день месяца
Пн: 10:00-18:00
Вт: 10:00-18:00
Ср: 10:00-18:00
Чт: 10:00-18:00
Пт: 10:00-17:00

зимний период: вт-пт 11:00-19:00, перерыв: 15:00-16:00; сб 10:00-18:00, перерыв: 14:00-15:00; пн выходной
Пн: 10:00-14:00 15:00-18:00
Вт: 10:00-14:00 15:00-18:00
Ср: 10:00-14:00 15:00-18:00
Чт: 10:00-14:00 15:00-18:00
Пт: 10:00-14:00 15:00-18:00

--> --> Кемеровская область, Новокузнецкий городской округ, Новокузнецк, Новоильинский район
Косыгина, 35Б

санитарный день: последняя ср месяца; летний период: пн-пт 10:00-18:00
Пн: 10:00-19:00
Вт: 10:00-19:00
Ср: 10:00-19:00
Чт: 10:00-19:00
Пт: 10:00-19:00
Сб: 10:00-18:00

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве. Методические указания и контрольные задания по высшей математике для всех специальностей

Дидактические материалы к практическим занятиям по высшей математике по темам ''Векторная алгебра и аналитическая геометрия'' и ''Кривые второго порядка''

Алгебра событий. Методические указания по высшей математике для студентов заочного отделения биолого-почвенного факультета

Алгебра. Топология. Геометрия 1968

Алгебра. Топология. Геометрия 1970

Алгебра. Топология. Геометрия

Международная система обеспечения качества и признания квалификаций в высшем образовании в Европе: Материал форума ОЭСР ''Интернационализация высшего образования: управление процессом''

Финансовый менеджмент в сфере высшего образования: Сравнительное исследование взаимоотношений вузов и штатов в США: Материал проекта ОЭСР ''Финансовое управление в высшем образовании''

Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

Лекции по линейной алгебре

Конечномерные алгебры

Линейная алгебра и многомерная геометрия

Алгебры Ли и группы Ли

Элементы общей алгебры

Основы алгебры и теории представлений

Теория алгебр Ли. Топология групп Ли

Алгебра. Підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів

Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

Сборник задач по высшей математике с контрольными работами. 2 курс :ряды и интегралы, векторный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, теория вероятностей, операционное исчисление

Универсальные обертывающие алгебры

Пособие по векторной алгебре

Алгебра и ее приложения. Методические указания по типовому расчету

Линейная алгебра: Учебно-методическое пособие

Линейная алгебра: Методические указания по курсу для студентов ОЗО экономического факультета специальности ''Экономическая теория''. Часть 1

Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 4: Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов

Математика. Раздел 3. Линейная алгебра. Тетрадь 5: Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов

Основы алгебры матриц и векторов. Линейное программирование: Учебное пособие

Проблемы профессионального высшего образования на рубеже ХX-XXI вв.: Тезисы докладов Международной научно-методической конференции. Т.2

Алгебра: Рабочая учебная программа дисциплины для направления ''540201 - Математика''

Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс): Учебное пособие

Алгебра. Многочлены от одной и нескольких переменных: Учебно-методическое пособие

Избранные вопросы курса геометрии и алгебры. Элементы теории определителей. Перестановки и подстановки: Учебное пособие

Высшие водные растения озера Байкал

Алгебра: Учебное пособие

Контрольные работы по линейной алгебре

Сборник задач по линейной алгебре: Учебное пособие

Систематика высших растений: Рабочая программа дисциплины

Ботаника. Систематика высших растений: Практикум

Ботаника. Основы анатомии высших растений: Практикум

Ботаника. Основы анатомии и морфологии высших растений: Практикум

Основы систематики высших растений: Методические указания для лабораторных работ

Основы систематики высших растений: Учебно-методическое пособие

Показаны далеко не все результаты, удовлетворяющие вашему запросу. Чтобы увидеть другие результаты, пожалуйста, уточните запрос.

Л.Я. Окунев

Эта книга предназначена для студентов педагогических институтов и университетов и в отношении как характера, так и плана изложения во многом существенно отличается от моего учебника „Высшая алгебра", выдержавшего несколько изданий. Не останавливаясь на деталях, отмечу следующее.
В главу II внесен ряд методических улучшений, позволяющих, на мой взгляд, более отчетливо изложить линейную зависимость /г-мерных векторов.
Поскольку в главе IV излагается общая теория многочленов над произвольным числовым полем, я счел целесообразным начать эту главу с комплексных чисел. Материал этой главы подвергся основательной переработке.
Глава V посвящена основной теореме алгебры и вопросу решения алгебраических уравнений в радикалах. В § 33 и 34 этой главы дается представление о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и рассматриваются уравнения третьей и четвертой степени, а в § 35 излагаются необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений третьей степени в квадратных радикалах. Затем эти условия применяются к некоторым классическим задачам из теории геометрических построений. Заключительный параграф (§ 36) главы V содержит некоторые исторические сведения, относящиеся к вопросу решения уравнений в радикалах, а также краткое изложение идеи метода Лобачевского приближенного вычисления комплексных корней.
Глава VI посвящена численному решению алгебраических уравнений. При этом способы Ньютона и прямолинейного интерполирования излагаются в тесной связи с методом итераций, что мне кажется вполне оправданным.
Глава VII написана мною заново. В нее я включил параграфы, посвященные результанту и исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений высших степеней с двумя неизвестными. Понятие результанта вводится здесь по Сильвестеру и с меньшей громоздкостью. Попутно отмечу, что лемма о высшем члене произведения двух многочленов излагается уже в § 42, так как она используется не только для доказательства основной теоремы о симметрических многочленах, но и для простого доказательства теоремы об отсутствии делителей нуля в. кольце многочленов от нескольких неизвестных над числовым полем. Доказательство леммы проводится методом математической индукции.
В конце книги помещено приложение, посвященное вопросу неразрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это
приложение уже выходит за пределы программы курса высшей алгебры и по своему содержанию труднее, чем предшествующие
главы книги. Оно предназначено для читателей несколько более узкого круга, желающих углубить и дополнить свои знания по высшей алгебре. Изложение я здесь сознательно сделал более лаконичным,—это будет способствовать более
активному и глубокому восприятию материала.
В книге содержится ряд упражнений, необходимых для усвоения курса.

Математический анализ. Продолжение курса
В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов

Математический анализ. Начальный курс
В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов

Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. III
Г.М. Фихтенгольц

Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. II
Г.М. Фихтенгольц

Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. I
Г.М. Фихтенгольц

Сборник задач по высшей математике. 2 курс
К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко, С.Н. Федин

Сборник задач по высшей математике. 1 курс
К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко

Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами
А.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин

Конспект лекций по высшей математике (полный курс)
Д.Т. Письменный

Читайте также: