Уравнения и неравенства первой степени конспект
Обновлено: 20.05.2024
Тип урока: урок применения знаний на практике.
Форма урока: урок - практикум.
Используемые технологии: дифференцированного обучения, коммуникативного общения, развивающее обучение.
Оборудование: персональный компьютер у каждого ученика (или на 1-2 человека), компьютер у учителя, экран, мультимедийный проектор, на столах: листы с заданиями, сигнальные карточки, опросные листы, листы и карточки для выполнения 3 части.
1. Организационный момент
2. Обобщение теоретического материала по теме урока.
Презентация (выполняют двое учащихся с применением компьютерных технологий).
3. Актуализация знаний. Презентация, подготовленная учителем (Приложение 1).
1. Указать метод решения показательного уравнения
1. функционально-графический;
2. уравнивания показателей;
3. введения новой переменной;
4. вынесения общего множителя за скобку.
2. Указать метод решения показательного уравнения
1. функционально-графический;
2. уравнивания показателей;
3. введения новой переменной;
4. вынесения общего множителя за скобку.
3. Найдите корень уравнения или сумму корней
4. Используя графики функций решить неравенство 6 х > 6
5. Используя графики функций решить неравенство > 1
Часть 1 – задания тестового характера. По окончании работы вы проверяете ответы и количество балов вносите в опросный лист.
Часть 2 – выполняете задания в тетради, ответ вписываете в квадратик. По окончании работы проверяете ответы и количество балов вносите в опросный лист.
Ключевые слова: основные понятия, неравенства первой степени, решение неравенств первой степени, примеры решения задач. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.2. Неравенство с одной переменной. Решение неравенства.
Неравенства с одной переменной решают почти так же, как и уравнения. Значение переменной, при подстановке которой в неравенство получается верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство – это значит найти все его решения или показать, что их нет.
Неравенства, у которых множества решений совпадают, называют равносильными. При решении неравенств пользуются следующими правилами, которые позволяют заменять одно неравенство другим, ему равносильным:
- члены неравенства можно переносить из одной его части в другую с противоположным знаком;
- обе части неравенства можно умножать или делить на одно и то же положительное число;
- обе части неравенства можно умножать или делить на одно и то же отрицательное число и заменять при этом знак неравенства на противоположный.
Сначала мы раскрыли скобки в левой части неравенства, затем из правой части в левую перенесли слагаемые с противоположными знаками, после приведения подобных разделили обе части неравенства на одно и то же положительное число 3. Получили квадратное неравенство (способ решения таких неравенств в следующем параграфе).
Решение неравенств первой степени
Неравенства первой степени – это неравенства вида ах + b > 0 или ах + b ≥ 0, ах + b 0; 0,3x +1,2 > 0; 5 – 10x ≤ 0 являются неравенствами первой степени.
Множеством решений неравенства первой степени всегда является числовой луч – или с принадлежащим ему началом, как в данном случае, или с непринадлежащим (в случае строгого неравенства).
Примеры решения задач
Пример 1. Определим, в каком случае на координатной прямой изображено множество решений неравенства 19 – 7x > 20 – 3(x – 5).
Самая правильная стратегия поиска ответа на вопрос состоит в том, чтобы просто решить неравенство.
19 – 7x > 20 – 3(x – 5),
19 – 7x > 20 – 3x +15,
–4x > 16,
4x √80, то 9 – 4√5 > 0. Разделив обе части неравенства на положительное число 9 – 4√5, получаем неравенство 6 + 2x
Свою профессию я выбрала по велению сердца. И всё больше и больше убеждаюсь в правоте слов римского историка:
Почему нравится работать учителем математики в школе: потому что школа - это место, куда привели меня мои жизненные убеждения, потому что на работу всегда иду с желанием нести знания своим ученикам. Как только переступаю порог школы, начинаю жить в особом измерении, так как дети дают мне заряд энергии, бодрости. Работа в школе - для меня постоянный творческий поиск, совершенствование педагогического мастерства.
Чтобы обучение было эффективным, на своих уроках стараюсь научить каждого ученика добывать знания, передавая им образ своих мыслей.
Мое педагогическое кредо - это тезисы и афоризмы, на которые опираюсь в своей повседневной деятельности:
- учитель перестаёт быть учителем, если не постигает ничего нового;
- ценю свое и чужое время, люблю, когда заданное сделано своевременно, ибо только тогда оно и имеет смысл;
- придерживаюсь в основном мысли о том, что у человека есть все, для осуществления мечты.
В своей работе пытаюсь организовать деятельность учащихся следующим образом:
- перехожу с позиции носителя знаний на организатора познавательной деятельности;
- организую коллективные, групповые и индивидуальные способы учебной деятельности; создаю ситуацию успеха;
- развиваю индивидуальные особенности учащихся, в первую очередь их специальные умения, мыслительные приёмы и логические операции.
А главное - углубляю эмоциональное восприятие изучаемого материала .
Изучив особенности технологии сотрудничества, мы отметили, что она хорошо вписывается в урочную систему и при этом намного повышается эффективность учебного процесса. На таких уроках работает каждый учащийся, развивая навыки самостоятельного труда, сотрудничества. Технологию применяем на различных типах урока: при усвоении нового материала, при закреплении, систематизации и обобщении знаний .
Тип урока: урок систематизации и обобщения изученного материала
(по Ю.А. Конаржевскому)
Цель урока: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия для коррекции, контроля знаний и умений учащихся.
1) Обеспечивать системное обобщение знаний по теме и совершенствовать умение применять их на практике.
2) Развивать приемы логического мышления (умение выделять главное, анализ, синтез, обобщение) и творческие способности.
3) Воспитывать аккуратность и дисциплинированность школьников, умение работать в группе, сотрудничать, развивать навыки коммуникаций.
Методы: частично-поисковый, технология сотрудничества, наглядности, тестовая проверка знаний, самопроверка, взаимопроверка.
Оборудование: интерактивная доска, схемы, презентация в программе Power Point;
Формы обучения : коллективные, групповые, индивидуальные.
І. Организационное начало урока -1 мин.
ІІ. Постановка цели урока - 2 мин.
ІІІ. Подготовка учащихся к активному усвоению знаний – 10 мин.
ІҮ . Обобщающее и системное изучение - 17 мин.
Ү. Тестовый контроль -10 мин.
ҮІ. Оценка деятельности,определение домашнего задания -3 мин.
ҮІІ. Подведение итогов урока. Рефлексия – 2 мин.
«То,что вы были вынуждены открыть сами,
оставляет в вашем уме дорожку,
который вы можете снова воспользоваться,
Г.Лихтенберг(г.Берлин, 1902-1906 г.г.)
І. Организационное начало урока
1.Учитель читает эпиграф и проводит совместный анализ его содержания
2. Экспресс-диагностика готовности учащихся к работе на уроке
ІІ. Постановка цели урока
ІІІ. Основная часть
Выполнение заданий в парах и индивидуально на основе алгоритма (Приложение №1)
ІҮ. Определение домашнего задания
ҮІІ. Подведение итогов урока. Оценивание деятельности учащихся.
Цель: повторить и систематизировать ранее изученные темы
Какие знания необходимы для усвоения темы урока?
Определите связь между ранее изученным материалом и темой урока
Теоретический материал , изучаемый в теме (2,3 столбцы структурной схемы №1)
Перечислите названия ранее изученных тем, используемых при изучении темы урока
(1 столбец структурной схемы №1 )
Цель:проанализировать умение применять теорию на практике
Проверьте понимание теоретического материала
Найди идеи решения показательных уравнения и неравенства
(3 столбец схемы 2)
(2 столбец структурной схемы №2)
Выполнить задания устного опроса
(1 столбец структурной схемы №2)
Цель: повторить и закрепить алгоритмы решений показательных уравнений и неравенств
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Управление образования и науки Липецкой области
Государственное областное бюджетное профессиональное
План-конспект открытого урока математики по теме:
Добринка 2017 год
“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и далее подтвердить, что следуя этому методу, мы достигнем цели”.
Го́тфрид Ви́льгель Лейбниц
Образовательные:
- обобщение знаний и умений учащихся по применению методов решения показательных уравнений и неравенств;
- закрепление свойств показательной функции в процессе решения показательных неравенств;
- формирование заинтересованности учащихся в решении нестандартных показательных уравнений и неравенств при подготовке к экзамену.
Развивающие:
- развивать у учащихся умения анализа условия задачи перед выбором способа её решения;
- развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения;
- активизация познавательной деятельности посредством использования компьютерных технологий;
- развитие навыков самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.
Воспитательные:
- формирование умения работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы;
- воспитание устремленности к самообразованию и самосовершенствованию;
- осознание учащимися социальной, практической и личной значимости учебного материала по изучаемой теме.
Тип урока: урок обобщения, систематизации и коррекции знаний.
Форма урока : урок – практикум.
Оборудование урока, средства обучения:
1. Технические средства: компьютер, видеопроектор, экран.
2. Презентация MicrosoftPowerPoint.
3. Раздаточный материал для самостоятельной работы.
Распределение урока по времени.
1) Организационный момент (2 мин.)
3) Актуализация знаний (10 мин)
4) Решение уравнений и неравенств(15 мин)
5) Самостоятельная работа (7 мин)
6) Подведение итогов урока и информирование о домашнем задании (3 мин.)
1. Организационный момент.
Преподаватель сообщает тему урока. ( Слайд 1, 2)
“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и далее подтвердить, что следуя этому методу, мы достигнем цели”.-
Сказал Го́тфрид Ви́льгель Лейбниц.
Го́тфрид Ви́льгель Лейбниц – саксонский философ , логик , математик , механик , физик , юрист , историк , дипломат , изобретатель и языковед , создавший математический анализ, комбинаторику, заложил основы математической логики.
В 1673 году , после знакомства с Христианом Гюйгенсом , Лейбниц создал механический калькулятор (арифмометр), выполняющий сложение , вычитание , умножение и деление чисел, а также извлечение корней и возведение в степень .
Лейбниц подсказал Дени Папену конструкцию паровой машины (цилиндр и поршень ). Сам Готфрид Лейбниц с переменным успехом пытался создать паровой насос на рубеже XVII и XVIII веков .
Лейбниц мог за неделю предложить с полдюжины гениальных идей: от подводной лодки до абсолютно новой формы часов, от новаторской модели фонарика до повозки, которая могла двигаться с такой же скоростью, как и современные автомобили (даже во времена, когда дороги представляли собой колейные пути), однако ни одно из этих изобретений так и не было завершено.
Как инженер , Лейбниц работал над вычислительными машинами, часами и даже над оборудованием для горнодобывающей промышленности. Как библиотекарь, он более или менее изобрёл современное представление о каталогизации.
Среди изобретений Лейбница можно также отметить:
( Слайд 3) Преподаватель сообщает цели урока.
2. Актуализация знаний .
1) Дайте определение показательных уравнений. (Слайд 4)
(Определение: Показательным уравнением называется уравнение вида
a = b , где a > 0, a ≠ 1 и уравнения, сводящиеся к этому виду ).
2) Сколько решений может иметь показательное уравнение?
(Так как область значений функции у = a - множество положительных чисел, то при b b = 0 – корней нет, при b > 0 – один корень.)
3) Решите устно уравнения: (Слайд 5)
10 x = 1000000 (х=6)
4) Назовите методы решения показательных уравнений (слайд 6)
а) Метод уравнивания оснований.
б)Метод вынесения общего множителя за скобки.
в) Метод введения новой переменной
г)Графический метод, метод подбора
2. Самостоятельная работа. ( Слайд 7)
1) Решить уравнения .
Запишите решение уравнений в тетради. (3 мин)
Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте и сделайте проверку.
- На каком свойстве функции y = a основано решение простейших показательных неравенств?
(Показательная функция y = a возрастает при a > 1 и убывает при 0 a
Используя свойство монотонности показательной функции делаем вывод, что неравенство при равносильно неравенству а при равносильно неравенству
2) Решить неравенства. Слайд 10.
Запишите решение неравенств в тетради. (3 мин)
Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте и сделайте проверку.
- Каким методом решения показательных уравнений и неравенств вы пользовались решая данные уравнения?
(Уравнивания оснований, или приведение к общему основанию)
3. Решение показательных уравнений и неравенств.
Какой метод будем использовать при решении этого уравнения? (Графический)
- В чем он заключается?
-Построим сначала график показательной функции у=4 х
Это будет возрастающая экспонента.
Затем построим график линейной функции у=5-х, получим прямую. Точка пересечения полученных графиков будет решением уравнения.
2. Решить уравнение: (Слайд 12)
5 2х-1 + 2 2х = 5 2х – 2 2х+2 .
Приведем все степени в данном уравнении к одному основанию, разделив обе части уравнения на 5 2х 0.
3. Решить неравенство 4 х – 10 2 х +16 0.
Заметим, что 4 х = 2 2х , тогда можно выполнить замену переменной.
Пусть 2 х = у, тогда получаем следующее неравенство: у 2 -10у +16 0.
Решим неравенство методом интервалов.
Рассмотрим функцию f ( y ) = у 2 -10у +16. Найдем нули данной функции, следовательно решим уравнение: у 2 -10у +16 = 0,
следовательно возвращаемся в замену, получаем:
2 х = 8 и 2 х = 2,
Наносим нули функции на числовую ось Х.+ ___ +
Определяем знак на каждом промежутке 1 3 х
Ответ: х ( 1 ; 3).
4. Решите неравенство -28 + 0 .
Найдем ОДЗ: х + 1 0,
х - 1, следовательно, х
Обозначим = у, где у 0.
Тогда исходное равенство примет вид
3у - 28 + 0. Решим неравенство методом интервалов, следовательно, решим уравнение
Приведем к общему знаменателю.
Получаем 3у 2 -28у + 9 = 0 и у 0
Возвращаемся к замене, получаем
Наносим х=3 на числовую ось Х. С учетом ОДЗ, определяем знаки на промежутках.
Ответ: .
4. Физкультминутка:
Сначала выполняются задания на дыхательную гимнастику, затем упражнения зрительной гимнастики. В это время экран должен быть выключен.
5. Математический диктант ( по вариантам) 6- 7 мин .(Слайд 6)
У каждого студента на парте приготовлен бланк для выполнения математического диктанта. В этих бланках обучающийся либо сразу записывает ответ, либо выполняет решение, если это требуется. Перед проведением математического диктанта преподаватель напоминает правила проведения математического диктанта.
Задания математического диктанта:
1. Какие из указанных функций являются: 1) возрастающими; 2) убывающими?
Вариант1 Вариант 2
а) ; б) ; в) ; а) у = ; б) у= ; в) у =2 х ;
г) ; д) . г) у = ; д) у =
2. Приведите к основанию 2; 2. Приведите к основанию 4;
25 к основанию 5; 49 5 – х к основанию 7;
к основанию 2. к основанию 6.
3. Решите уравнение: 3. Решите уравнение:
а) ; б)5 х-2 = 25; в) ; а) 5 х = 625; б) 3 х – 8 = 27; в) 6 х + 12 = ;
г) ;д) 6 х- 4 = -6; е) 3 х + 2 + 3 х = 90. г) ; д) 56 х+23 = - 56 ; е) 2 х – 1 + 2 х = 6.
4. Решите неравенство: 4. Решите неравенство:
а) ; б) ; а) 5 х ≤ 125 ; б) 5 х > - 5 ; в) 3 х ≤ -3
в) ; г) 0,2 х ≤ . г) 0,25 х ≥ .
Проверка выполнения математического диктанта осуществляется обучающимися, которые сидят за одной партой обмениваются своими бланками с решениями. Преподаватель с помощью проектора выводит правильные ответы к заданиям математического диктанта на экран. Также на доске записаны критерии выставления оценки. После того как студенты выставили оценки, они сдают работу преподавателю.
Обобщение знаний и умений учащихся по применению методов решения показательных уравнений; закрепление свойств показательной функции в процессе решения показательных неравенств; формирование у учащихся умений применять знания в новой ситуации при решении нестандартных показательных уравнениях и неравенств при подготовке к ЕГЭ.
Развитие навыков самоконтроля и самооценки, самоанализа своей деятельности.
Воспитательные:
Воспитывать стремление к самообразованию и саморазвитию;
Формирование умений работать самостоятельно, анализировать и делать выводы.
Тип урока: Урок применения знаний.
Форма урока: урок-практикум.
Технология: Дифференцированного обучения, модульного обучения по Третьякову.
Оборудование: Экран, мультимедийный проектор, технологические карты для учащихся, опросные листы, справочный материал, листы самоконтроля, презентация к уроку.
1.Организационный момент.
Приветствие учителя. Объяснение структуры урока и его основных моментов. Постановка целей, задач.
2. Повторение теоретического материала по теме урока.
(С помощью презентации, подготовленной учеником).
Какую показательную функцию называют возрастающей? Убывающей?
Важен ли характер монотонности показательной функции при решении показательных уравнений?
Какие свойства показательной функции применяются при решении показательных уравнений?
3. Актуализация знаний.
Учитель предлагает учащимся выполнить тест.
Указать метод решения показательного уравнения - = 26
а) функционально -графический; б)уравнивание показателей;
в) введение новой переменной: г) вынесение общего множителя за скобки.
2. Указать метод решения показательного уравнения -7· -32 =0.
а) функционально-графический; б)уравнивание показателей;
в)введение новой переменной: г) вынесение общего множителя за скобки.
3. Найдите корень уравнения или сумму корней -1 =
4.Используя графики функций решить неравенство 6
5. Используя графики функций решить неравенство 1.
Практическая работа.
Часть 1- задания базового уровня. По окончании работы учащиеся проверяют ответы по листам самоконтроля и количество заработанных баллов вносят в опросный лист.
Часть 2. Выполняют задания в тетради, ответ вписывают в квадратик. По окончании работы учащиеся проверяют ответы по листам самоконтроля и количество заработанных баллов вносят в опросный лист.
Часть3. Выполняют задания на отдельных листах и сдают на проверку учителю
Часть 1- задания базового уровня.
Решите уравнение ;
Решите уравнение ;
Решите уравнение
Решите неравенство:
Решите неравенство:
Решите уравнение
2.Решите уравнение
3. Решите уравнение:
4. Решите неравенство:
5. Решите неравенство:
Часть 2 – повышенный уровень.
1.Сколько корней имеет уравнение
2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения 49 х = 6·7 х + 7
3. Решите неравенство .
1. Сколько корней имеет уравнение ?
2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения
3. Решите неравенство
Ответы. Вариант 1 : 1) 1; 2)1; 3) х≥1.
Вариант 2 : 1) 1; 2)2; 3) х≥0.
Часть 3.- Высокий уровень.
Решите уравнение 3·16 х + 2·81 х = 5·36 х
1.Оцени свою деятельность на уроке.
2.Посчитай заработанные баллы.
4. Какие пожелания на следующий урок?
6.Итог урока. Домашнее задание. А.Н.Колмогоров:∆ № 461(в, г); № 463( а, в); № 466( а, в).
Приложение1. Технологическая карта ученику.
Учебный элемент.
Учебный материал с указанием цели и задания.
Руководство по усвоению учебного материала.
Цель: Обобщение знаний и умений по применению методов решения показательных уравнений и неравенств. Показать, как уравнения и неравенства (показательные) реализуются в содержании ЕГЭ
Цели: Активизация опорных знаний, создание ситуации успеха для последующей деятельности.
Получи ответ на следующие вопросы:
Какая функция называется показательной?
Каковы область определения и множество значений показательной функции?
Какую показательную функцию называют возрастающей?
Важен ли характер монотонности показательной функции при решении уравнений?
Как используется характер монотонности при решении показательных неравенств?
Самоопределение к деятельности.
(Просмотр презентации, подготовленной ученицей).
Будь внимателен, ищи на вопросы правильный ответ.
Цели: Повторение способа решения показательных уравнений и неравенств графическим методом.
Выполни тестовую работу
1.Указать метод решения показательного уравнения
- = 26
а) функционально-графический; б)уравнивание показателей;
в) введение новой переменной: г) вынесение общего множителя за скобки.
2. Указать метод решения показательного уравнения
а) функционально-графический; б)уравнивание показателей;
в) введение новой переменной: г) вынесение общего множителя за скобки.
3. Найдите корень уравнения или сумму корней -1 =
4.Используя графики функций решить неравенство 6
5. Используя графики функций решить неравенство 1
Индивидуальная работа с дальнейшей взаимопроверкой .
I часть- базовый уровень.
Цель: Отработка заданий базового уровня.
1 вариант. 2 вариант.
1. Решите уравнение ; 1. Решите уравнение
2. Решите уравнение ; 2. Решите уравнение
3. Решите уравнение 3. Решите уравнение:
4. Решите неравенство: 4. Решите неравенство:
5. Решите неравенство: 5. Решите неравенство:
Индивидуальная работа с учебным элементом.
Проверь по листу С.К. №1.
За каждый верный ответ поставь себе по 1 баллу в опросном листе.
Если ты справился с
УЭ-3, приступай к следующему У Э.
II часть- повышен-ный уровень
Цель: Решение показательных уравнений и неравенств различными методами.
1.Сколько корней имеет уравнение
2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения
3. Решите неравенство .
1. Сколько корней имеет уравнение ?
2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения
3. Решите неравенство
За каждое верно решенное задание получи 1 балл!
Индивидуальная работа с учебным элементом. Выполни задание в тетради, ответ впиши в . Проверь себя по Л.С. № 2. Оцени себя.
Выбери самостоятельно метод решения! При
необходимости, получи
консультацию
в справочном материале или у учителя.
Цель: формирование заинтересованности учащихся в решении нестандартных показательных уравнений и неравенств при подготовке к ЕГЭ.
Читайте также: