Уравнение касательной к графику функции конспект урока

Обновлено: 07.07.2024

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Развивать логическое мышление, математическую речь.
Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

к параболе в точке (Слайд № 13)
к графику функции в точке

Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
Вычислим .
Найдем и .
Подставим найденные числа , в формулу

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

4) Подставим найденные числа ,, в формулу.

№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .

Подставив значения ,, , получим , т.е.

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)

2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)

VI. Подведение итогов.

Что называется касательной к графику функции в точке?
В чем заключается геометрический смысл производной?
Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

Методы обучения: технология развивающего обучения, проблемный метод, контроля и взаимоконтроля, наглядный, частично-поисковый.

Осознание понятия касательной к графику функции в точке, геометрического смысла производной.

Вывод уравнения касательной; составление алгоритма уравнения касательной к графику функции у = f (x).

Рассмотрение трех типов задач на нахождение уравнения касательной к графику функции.

Отработка навыка в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.

Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.

Выработка коммуникативных навыков в работе, развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Задачи урока:

Отработать умения и навыки по применению производной;

Расширять кругозор; развивать математическую речь, внимание, скорость, память, логическое мышление.

Развивать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования.

Развивать навыки исследовательской работы.

1. Организационный момент

2. Мотивация учащихся

Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока.

Плохих идей не бывает

Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал. Внимание на экран.

3. Актуализация знаний.

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Давайте рассмотрим конкретные примеры:

1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = одну общую точку (1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

2) Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку (π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.

Попробуйте сами сформулировать цель урока.

На данном уроке, мы с вами должны понять, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной и рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

4. Изучение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1?

Сделайте вывод, что же такое касательная?

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости, нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Начнём с углового коэффициента

Примем за определение: касательная — это предельное положение секущей.

Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 0.

Существование производной функции в точке x₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x₀, f(x₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f '(x₀) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Определение касательной (записать в тетради)

Касательная к графику дифференцируемой в точке х₀функции у = f(х) — это прямая, проходящая через точку (x₀, f(x₀)) и имеющая угловой коэффициент f '(х₀).
Проведем касательные к графику функции y = f(x) в точках х₁, х₂, х₃, и отметим углы, которые они образуют с положительным направлением оси Ох.

Мы видим, что угол α₁ острый, угол α₃ тупой, а угол α₂ равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого - отрицателен. Поэтому

f '(х₁)0, f '(х₂) = 0, f '(х₃)

Раз касательная — это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то, что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой. (у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

То есть я могу записать tg α = yˈ(x₀).

Давайте проиллюстрируем это на чертеже.

Пусть дана функция y = f (x) и точка М, принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х= x₀, у= f (x₀), т.е. М (x₀, f (x₀)) и пусть существует производная f '(x₀), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную.

Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того, что там записано, можно ли найти к? (да, k = f '(x₀).)

Как теперь найти b? Искомая прямая походит через точку М x₀ (; f (x₀)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(x₀) = k x₀ +b , отсюда b = f(x₀) – k x₀,

т. к. к = tg α= yˈ(x), то b = f(x₀) – f '(x₀) x₀

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

y = f '(x₀)x + f(x₀) – f '(x₀) x₀, вынося за скобку общий множитель, получаем:

y = f(x₀) + f '(x₀) · (x- x₀).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = x₀.

Уравнение касательной к графику функции f в точке М(x₀, f(x₀)) имеет вид:

y = f '(х₀)(x - x₀) + f(x₀)

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом:

1. (x₀, f (x₀ )) – координаты точки касания

2. f '(x₀) = tg α = к - тангенс угла наклона или угловой коэффициент

3. (х,у) – координаты любой точки касательной

И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении. Зная эту формулу, не нужно каждый раз заново проводить рассуждения по отысканию уравнения касательной. Надо просто найти входящие в неё значения f (х₀) и f'(х₀) и подставить их.

Давайте попробуем теперь вывести алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x).

Предлагаю составить алгоритм самим учащимся.

Алгоритм нахождения уравнения касательной в точке (записать в тетради)

1.Найти производную функции
2.Найти значение функции в точке касания
3.Найти значение производной в точке касания
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.

(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.)

5. Первичное закрепление изученного материала

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана абсцисса точки касания х_0.

2. Дан угловой коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке х₀.

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой х₀ = -1.

Составим уравнение касательной (по алгоритму).

f(х₀) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

f '(х₀) = 2х – 3,
f '(х₀) = f '(-1) = -2 – 3 = -5;

y = 9 – 5 · (x + 1), y = 4 – 5x.

Пример 2. Дана функция f(x)=+3-2x-2. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x), параллельной прямой y=-2x+1.

Решение. Производная данной функции существует для любого х из R. Найдем ее:

(f(x))' = (+3 - 2x - 2) = 3 + 6x - 2.

Поскольку касательная параллельна y = -2x + 1, получим уравнение:

Подставим и в уравнение функции и найдем и .

Подставляем найденные координаты в уравнение касательной и вычислив, получим:

Ответ: y = -2x; y = -2x +10.

Пример 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не принадлежит графику функции, так как f(– 3) ≠ 6

х₀ – абсцисса точки касания. f(х₀) = – х₀ 2 – 4 х₀ + 2.
Производная данной функции существует для любого х из R. Найдем ее:

f '(x) = – 2x – 4, f '(х₀) = – 2 х₀ – 4.
4. y = – у=х₀ 2 – 4 х₀ + 2 – 2(х₀ + 2)( х₀ – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – х₀ 2 – 4 х₀ + 2 – 2(х₀ + 2)(– 3 – х₀ ),
х₀ 2 + 6 х₀ + 8 = 0; х₀ ₁ = – 4, х₀₂ = – 2. Это значит, что через точку М можно провести две касательные к графику функции.

Если х₀ = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если х₀ = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Ответ: y = 4x + 18; y = 6

6. Физкультминутка. Упражнение “Роняем руки” расслабляет мышцы всего корпуса. Дети поднимают руки в стороны и слегка наклоняются вперёд. По команде учителя снимают напряжение в спине, шее и плечах. Корпус, голова и руки падают вниз, колени слегка подгибаются. Затем дети выпрямляются, последовательно разгибаясь в тазобедренном, поясничном и плечевом поясе, и принимают исходное положение. Упражнение повторить несколько раз.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой на уроке.

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.

Вариант 1 Вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

Ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

8. Подведение итогов урока.

- что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке.

9. Домашнее задание. П.5.2; № 5.21; №5.35; Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 - 10

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Уравнение касательной к графику функции

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый, групповой.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

Развивать логическое мышление, математическую речь.

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”.

Пусть дана парабола y = x 2 и две прямые x = 2, y = 4 x - 4, имеющая с данной параболой одну общую точку A (2;4). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

III . Определение

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x₀ имеет конечную производную f(x₀). Тогда прямая, проходящая через точку (x₀; f (x₀)), имеющая угловой коэффициент f’(x₀), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x₀ не существует? Возможны два варианта:

Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция

y = =|x| в точке (0; 0).

Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции

y = arcsin x в точке (1;).

IV . Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x₀, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

V . Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(x₀).
3. Найти f '(x) и f '(x₀).
4. Подставить найденные числа x₀, f(x₀), f '(x₀) в общее уравнение касательной

y = f(x₀) + f '(x₀)(x – x₀).

В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:

касательная проходит через точку, лежащую на кривой (задача 1);

касательная проходит через точку, не лежащую на кривой (задача 2).

Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x 3 – 4 x + 1в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. x ₀ = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f '(x) = x 2 – 4, f '(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ≠ 6 (рис. 2).

1. x ₀ – абсцисса точки касания.
2. f ( x ₀) = – a 2 – 4 a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – x₀ 2 – 4x₀ + 2 – 2(x₀ + 2)(– 3 – x₀),
x₀ 2 + 6x₀ + 8 = 0 .

x₀= – 4, x₀ = – 2.

Если x ₀ = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если x ₀ = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:

касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);

касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).

Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x 3 – 3x 2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

x ₀ – абсцисса точки касания .

f(x ₀ ) = x ₀ 3 – 3x ₀ 2 + 3.

f '(x) = 3x 2 – 6x, f '(x ₀ ) = 3x ₀ 2 – 6x ₀ .

Но, с другой стороны, f '( x ₀) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3 x ₀ 2 – 6 x ₀ = 9. Его корни

x ₀ = – 1, x ₀ = 3 (рис. 3).

4. 1) x₀ = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f '(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение касательной;

1) x₀ = 3;
2) f(3) = 3;
3) f '(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

Решение. Из условия f '(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. x ₀= 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f '(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – уравнение касательной.

Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

Напишите уравнения касательных к параболе

y = 2x 2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).

Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.

1. x ₀= 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f '(x) = 4x – 5, f '(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.

2.Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7.

Найдем tg() = - ctg = -

Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен - .

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда

f´(c) = 4c – 5c = - => c =

c = – абсцисса второй точки касания.
2. f ( = -
3. f ´ ( = -
4. y = -

y = – уравнение второй касательной.

Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k₁•k₂ = – 1.

VI . Решение заданий в группах. (Приложение)

VII. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

Что называется касательной к графику функции в точке?

В чем заключается геометрический смысл производной?

Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление отметок.

Задачи для самостоятельного решения в группах (часть задач можно использовать для домашнего задания).

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x₀ = 1, проходит через точку M(2; 3)?

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2?

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x 2 + 6x + 10 и прямой

6. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.

7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж.

8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x 4 + 3x 2 + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками.

9. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x₁ = 1, x₂ = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

11. В каких точках касательная к графику функции образует с осью Ox угол в 135°?

Ответ: A(0; – 1), B(4; 3).

12. В точке A(1; 8) к кривой проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат.

13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5.

Ответ: y = – 3x и y = x.

14. Найдите расстояние между касательными к графику функции параллельными оси абсцисс.

15. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: q₁ = arctg 6, q₂ = arctg (– 6).

16. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки.

17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15?

19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x₀ = 2, проходит через точку M(1; 8)?

21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.

22. При каком значении коэффициента k парабола y = x 2 + kx + 1 касается оси Ox?

23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x 2 + 4x – 3.

24. Определите, под какими углами пересекаются графики функций y = 2x 2 + 3x – 3 и y = x 2 + 2x + 3.

25. При каком значении k угол между кривыми y = x 2 + 2x + k и y = x 2 + 4x + 4 будет равен 45°?

26. Найдите все значения x0, при каждом из которых касательные к графикам функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в абсциссой x₀ параллельны.

27. Под каким углом видна окружность x 2 + y 2 = 16 из точки (8; 0)?

28. Найдите геометрическое место точек, из которых парабола y = x 2 видна под прямым углом?

29. Найдите расстояние между касательными к графику функции образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°.

30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x 2 + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке выяснить в чем состоит геометрический смысл производной вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

Дата:__________________

Тема: Уравнение касательной к графику функции.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

Развивать логическое мышление, математическую речь.

Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

“Человек лишь там чего–то добивается, где он верит в свои силы”

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”.

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной, а вторая является.

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования.

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

Сформулировать определение производной.

Заполнить таблицу произвольных элементарных функций.

Вспомнить правила дифференцирования.

Какие из указанных прямых параллельны и почему? (Убедиться наглядно)

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абсциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной.

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x)в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной.

.

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции.

Составим уравнение касательной:

к параболе в точке

к графику функции в точке

Решая эти примеры, мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем:

Обозначим абсциссу точки касания буквой a.

Вычислим .

Найдем и .

Подставим найденные числа , в формулу

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

1)

2)

3) ;

4) Подставим найденные числа ,, в формулу.

, т.е.

Ответ:

№2. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой .

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .

Подставив значения ,, , получим , т.е.

Ответ: , .

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах

VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

Что называется касательной к графику функции в точке?

В чем заключается геометрический смысл производной?

Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

Читайте также:


Конспект урока контрольная работа по теме второстепенные члены предложения 8 кл

Прибываем в дождеград конспект

Наиболее общие представления о жизни конспект

Письменные источники христианской православной культуры церковнославянский язык 8 класс конспект

Из рассказов о сказочниках 5 класс конспект