Теорема косинусов 9 класс конспект урока

Проверьте вывод на выполненных задачах.

4. СЛЕДСТВИЕ 3. Формула медианы треугольника. Слайд 10.

– Решение проведите самостоятельно.

Задача. Стороны треугольника 3; 4 и 6. Найти длину медианы, проведенной к большей стороне.

5. СЛЕДСТВИЕ 4. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон: d₁ 2 + d₂ 2 = 2a 2 + 2b 2 Слайд 11.

Доказательство проведите самостоятельно и рассмотрите различные способы.

Задача. В параллелограмме стороны равны 4 см и 6 см. Одна из диагоналей 8 см. Найдите вторую диагональ.

– Дополняем теорию. (Задания на исследование по группам) Какие ранее изученные теорем можно доказать с помощью вывода теоремы косинусов?

1. Теорема о средней линии треугольника. (Помогает Слайд 12.)
2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (Помогает Слайд 13)

Практическое приложение теоремы косинусов

По Слайдам 14, 15 составьте задачи о нахождении расстояния между двумя недоступными предметами и решите их.

Подведение итогов урока. Оцените значимость изученного материала.

Домашенее задание: разобраться в теории, найти другие способы решения задач-следствий и оценить их; № 1025авд, 1030, 1031.

• Для учеников 1-11 классов и дошкольников
• Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Технологическая карта урока

1. Ф.И.О. учителя: Романова Е.М.

2. Класс: 9А.

3. Предмет: геометрия .

4.Дата: 17.04.2018г.

5.Тема урока: Теорема косинусов.

7. Цели урока: Создать условия для доказательства теоремы косинусов; способствовать развитию умения применять теорему косинусов при решении задач.

8. Задачи урока:

Образовательные:

учащиеся должны знать формулировку теоремы косинусов, этапы доказательства теоремы, что можно найти, используя теорему косинусов, уметь записывать теорему в виде равенства;

развивать умение выделять существенные признаки, применять знания на практике, конспектировать, воспитывать положительное отношения к знаниям, дисциплинированность.

Развивающие:

повышать интерес учащихся к изучению геометрии;

активизировать познавательную деятельность учащихся;

формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для продуктивной жизни в обществе.

Воспитательные:

мотивировать интерес учащихся к предмету посредством включения их в решение практических задач.

9. Планируемые результаты:

Предметные умения: умеют доказывать и применять теорему косинусов.

Универсальные учебные действия:

Познавательные УУД : осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Регулятивные УУД : умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации, осуществляют решение учебной задачи, определяют цель учебного задания, контролируют свои действия в процессе его выполнения, обнаруживают и исправляют ошибки, отвечают на итоговые вопросы и оценивают свои достижения.

Коммуникативные УУД : умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем.

Личностные УУД: владеют коммуникативной компетентностью .

10. Методы обучения:

по источникам знаний:

по характеру познавательной деятельности:

по степени самостоятельности обучающихся:

учебная работа под руководством учителя;

самостоятельная работа обучающихся.

11. Формы работы: фронтальная, парная, индивидуальная.

12. Оборудование: проектор, ноутбук, интерактивная доска, презентация, раздаточный материал.

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Слайды на каждом этапе урока

1.Организацинный момент (2 мин.)

Приветствую обучающихся, проверяю готовность рабочего места к уроку. Определяем настроение на начало урока. Создаю настрой на работу.

Выбирают смайлик, соответствующий их настроению на начало урока.

1. 2.

3 . 4.

2.Актуализация опорных знаний

(10 мин).

Начинаю урок с эпиграфа, далее веду диалог.

– О чем это стихотворение? Чем знаменита теорема Пифагора?

Вступают в диалог, вспоминают теорему Пифагора.

На доске эпиграф

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

Сформулировать определения sin , cos , tg угла в прямоугольном треугольнике и записать их на математическом языке.

Формулируют определения sin , cos , tg угла в прямоугольном треугольнике и записывают их на математическом языке.

Вспомнить значения sin 45º, sin 30º, sin 60º, cos 30º, cos 60º, cos 45º, cos 90º, основное тригонометрическое тождество.

Определяют значения sin , cos углов, вспоминают основное тригонометрическое тождество.

Задача №1 (подготовка к ОГЭ).

В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=10, sin ∠ ABC=0,5. Найдите площадь Δ ABC.

Задача №2 (подготовка к ОГЭ).

В треугольнике ABC угол А равен 45°, угол B равен 30°, BC=8 . Найдите AC.

Работают в парах, решают задачи.

3.Изучение нового материала

(15 мин.)

Создание проблемной ситуации.

Задача. Используя данные, указанные в условии задачи, найдите расстояние между недоступными пунктами А и В, расположенными на разных берегах озера.

Задача. Найдите ширину озера АВ, если АС=12 м, ∠ С=60 0 , ВС=15 м.

Даю время на обдумывание, на идеи.

Чтобы решить задачу про озеро нам нужна формула, по которой можно будет найти сторону треугольника, зная две других его стороны и угол между ними.

Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС △ АВС, если А(0;0), В( с;0), С( bcosA ; bsinA ).

Вывод: дадим словесную формулировку, полученного равенства.

Итак, какая же тема урока? Какие цели вы перед собой поставите на уроке?

Вспоминают формулу расстояния между двумя точками и решают задачу, пытаясь вывести новую формулу. Оформляют решение в тетрадях и на доске.

Найдём квадрат стороны BC : BC 2 = a 2 = ( bcosA - c ) 2 + ( bsinA ) 2 = b 2 cos 2 A – 2 bccosA + c 2 + b 2 sin 2 A = b 2 ( cos 2 A + sin 2 A ) + c 2 – 2 bccosA = b 2 + c 2 – 2 bc cosA .

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формулируют тему и цели урока. Записывают тему урока в тетрадях.

4. Физкульт-минутка(2 мин) .

5. Первичное осмысление и при-менение изучен-ного материала

(8 мин).

Откройте учебники на стр.257, п.98 (по Брайлю стр.80, п.98). Еще раз про себя внимательно прочитайте теорему косинусов. Проговорите формулировку теоремы косинусов хором и в парах.

Применим данную теорему к прямоугольному треугольнику. Мы получили и доказали обобщенную теорему Пифагора, так она называлась раньше, современное название – теорема косинусов.

Проговаривают формулировку теоремы косинусов хором и в парах.

Высказывают мысли о похожести теоремы Пифагора и теоремы косинусов.

Запишите теорему косинусов для △ АВС.

Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?

Оформляют решение в тетрадях и на доске.

Находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними.

Вернемся к нашей задаче про озеро.

Оформляют решение в тетрадях и на доске.

Если обучающиеся не согласны с записью на доске, то хлопают в ладоши, согласны – тишина.

5. Подведение итогов. Рефлексия.

Предлагает ученикам ответить на вопросы.

1.Сегодня на уроке я изучил…

3.У меня возникли трудности с…

4.Мне хотелось бы…

Анализирует урок, обосновывает минусы и плюсы работы учащихся. Выставляет отметки в классный журнал.

Определяем настроение в конце урока.

Отвечают на вопросы учителя:

1.Сегодня на уроке я изучил теорему косинусов

2. Я научился применять теорему косинусов при решении задач на решение треугольника

3.У меня возникли трудности при выведении теоремы косинусов.

Ученики осознают свои ошибки, проводят самоанализ своей деятельности.

Выбирают смайлик, соответствующий их настроению в конце урока.

6. Постановка домашнего задания(1 мин).

Откройте, пожалуйста, дневники и запишите домашнее задание:

1. п.98,выучить теорему косинусов, решить№ 1025 (е);

образовательные – доказать теорему косинусов и показать её применение при решении задач; научить применять данную теорему при решении задач; выработать умение правильно выбрать теорему, по которой можно решить задачу.

формировать математическую компетентность, углубляя и систематизируя теоретические знания, отрабатывая умения и навыки при решении упражнений, формировать социальные, поликультурные компетентности;

развивающие – развитие логического мышления, алгоритмичности мышления, закрепление ранее изученного материала на практике решения задач, развитие навыков контроля, самоконтроля, взаимопомощи ; развивать сообразительность, творческое воображение, эстетические чувства, интерес к геометрии;

воспитательные – воспитание умения внимательно слушать и оценивать устную информацию, воспитание умения четко формулировать свои мысли, воспитание коммуникативных способностей, аккуратности.

Тип урока: формирование новых знаний.

Ход урока:

Организационный момент

Проверка домашнего задания.

Актуализация знаний. Фронтальный опрос ранее изученного

Устная работа:

Мотивация урока.

Девиз нашего урока

«Наше оружие не пики,

Наше оружие не шашки,

Множество чёрных линий

Скрестим на белой бумаге.

Но ведь и в битве знаний

Тоже нужна отвага,

Боя не будет слышно,

Создание проблемной ситуации, которая подведет ребят к цели и задачам урока. В ходе беседы дети включаются в коллективную деятельность.

П ри проектировании строительства железной дороги на некотором участке, возникла необходимость сооружения тоннеля, сквозь выступ горы между пунктами А и В. Для определения длины тоннеля выбрали на местности некоторый пункт С, из которого видны и доступны пункты А и В.

Ч ему равна длина тоннеля, если угол С равен 90 0 .

Как найти длину тоннеля, если угол С острый.

Дано:

Р ешение:

Проведем высоту АН.

Из треугольника АНС находим

А Н = АС Sinα

А Н = 4 Sin 60 0 =

СН = АС Cosα.

ВН = 5-2=3.

А В =

Изучение нового материала.

От создания проблемной ситуации учащиеся плавно переходят к основной работе, по достижению поставленных целей.

Из первого признака равенства треугольников следует, что две стороны и угол между ними однозначно определяют треугольник. А значит, по указанным элементам можно. Например. Найти третью сторону треугольника. Как это сделать. Показывает теорема косинусов.

Историческая справка: Впервые теорема косинусов была доказана учёным -математиком Аль-Бируни (973-1048 г.г.). С помощью данной теоремы и теоремы синусов которая будет доказана на последующих уроках, можно будет полностью решить поставленную в теме “Решение треугольников” задачу, т.е. вопрос о том, как зная одни из основных элементов треугольника (их 6: 3 угла и 3 стороны), найти другие.

Т еорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Возможны три случая:

Докажем первое равенство, два других доказываются аналогично.

(Первое равенство проговаривает и записывает учитель, а второе и третье кто-нибудь из учащихся.)

Иногда теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай, теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то соs А = соs 90° = 0 и по формуле получаем , то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Первичное осмысление и применение изученного материала.

На этапе первичного закрепления дети работают коллективно, под руководством учителя. На следующем этапе закрепления ребята работают в группах, что позволяет им чувствовать себя полноценным участником образовательного процесса.

Задачи по готовым чертежам. При решении задач учащиеся каждый раз проговаривают формулировку теоремы.

Задача № 3(работа в группах)

Ещё раз повторить, как звучит теорема косинусов.

Подведение итогов. Заслушиваются оценки учащихся.

Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против:

а) тупого угла
б) прямого угла
в) острого угла

В АВС известны длины сторон АВ и ВС. Чтобы найти сторону АС, необходимо знать величину:

а) угла А
б) угла В
в) угла С

Если в АВС А=48°; В=72°, то наибольшей стороной треугольника является сторона:

а) АВ
б) АС
в) ВС

Высвечиваются правильные ответы на экране, учащиеся сами проверяют свои ответы и оценивают себя.

Конспект
Мы знаем, как определить вид треугольника, если известны его углы. Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше девяноста градусов). Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен девяноста градусам). Тупоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол тупой (то есть больше девяноста градусов).
Сформулируем и докажем теорему косинусов, которая даст нам возможность находить длину стороны треугольника, если известны две другие его стороны и угол между ними и определять вид треугольника, зная длины его сторон.
Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними: а 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A
Введём систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Ах, а точка С имела положительную ординату.

В этой системе координат определим координаты точек А, В и С. Выразим квадрат расстояния между точками В и С через их координаты:
ВС 2 = (x_C - x_B) 2 + (y_C - y_B) 2 , a 2 = (bcos A - c) 2 + (bsin A - 0) 2
Раскроем скобки и преобразуем получившееся выражение:
a 2 = b 2 cos 2 A - 2bc cosA + c 2 + b 2 sin 2 A
a 2 = b 2 cos 2 A + b 2 sin 2 A + c 2 - 2bc cos A
a 2 = b 2 (cos 2 A + sin 2 A) + c 2 - 2bc cosA
a 2 = b 2 ∙ 1 + c 2 - 2bc cosA
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A
Эта теорема справедлива для всех сторон треугольника:
b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cosB
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC.
Теорему косинусов называют обобщённой теоремой Пифагора, так как теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.
Запишем теорему косинусов для гипотенузы прямоугольного треугольника:
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C
cos C = cos⁡90° = 0,
c 2 = a 2 + b 2
То есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Зная три стороны треугольника, можно найти косинусы его углов, а значит, и сами углы.

Читайте также:

  
• Общее понятие о предлоге конспект урока
  
• Цепочки калькулятор конспект урока 2 класс петерсон презентация
  
• Основные формы рельефа крымского полуострова конспект урока
  
• Животный мир крыма конспект занятия
  
• Порядок обращения и защиты персональных данных в вс рф конспект