Существование предела монотонной ограниченной последовательности конспект

Обновлено: 07.07.2024

Не всякая переменная имеет предел. Часто бывает важно знать, существует ли у данной переменной предел. Следующая теорема дает очень простой признак существования предела переменной.

Теорема 1. Пусть переменная не убывает возрастает), т. е. удовлетворяет условию (соответственно для любого Если она ограничена сверху (снизу) числом В (соответственно А), то существует предел равный некоторому числу (соответственно ), удовлетворяющему неравенству (соответственно ). Если же она не ограничена сверху (снизу), то

Доказательство. Пусть переменная ограничена сверху числом В и не убывает.

Если то и для . В этом случае теорема уже была доказана (см. § 2.4, свойство V). Ее утверждение было выбрано в качестве одного из основных свойств действительных чисел. При аксиоматическом подходе это утверждение может быть принято как аксиома V действительного числа наряду с аксиомами I-IV (см. конец § 2.1).

Пусть теперь Переменная очевидно, принимает положительные значения не убывает и ограничена сверху числом Поэтому на основании уже доказанного существует предел

Но тогда существует также предел

Пусть теперь неубывающая переменная не ограничена сверху. Тогда, как бы ни было велико положительное число найдется такое по, что Но в силу того, что не убывает,

Таким образом, каково бы ни было положительное число найдется такое по, что

а это и значит, что

Для невозрастающей переменной теорема доказывается аналогично. Но можно свести вопрос к уже доказанному. Так как не возрастает и ограничена снизу числом А, то не убывает и ограничена сверху числом , поэтому существует ним и предел равный

Пример 1. Переменная где удовлетворяет условию т.е. она монотонно убывает, кроме того, она ограничена снизу, потому что для любого Поэтому согласно теореме 1 существует предел

Очевидно, что должна иметь тот же предел А, но

Так как то это может быть, лишь если Итак,

Отсюда следует, что для

Пример 2. силу равенства достаточно рассмотреть случай Пусть натуральное число такое, что Тогда (см. пример 1)

Пример 3. . Зададим любое число . В силу примера 2 из § 3.3 найдется такое, что для т.е. или для

Монотонная последовательность. Точные грани последовательности.

Последовательность \(\\>\) называют возрастающей (неубывающей), если для любого \(n\in\mathbb\) выполняется неравенство
$$
x_\geq x_.\label
$$
Аналогично последовательность\(\\>\) называют убывающей (невозрастающей), если для любого \(n\in\mathbb\) справедливо неравенство
$$
x_\leq x_.\label
$$
Если неравенство \eqref можно записать в виде \(x_>x_\), а неравенство \eqref — в виде \(x_ 0 \ \exists x_\in X:x_>M-\varepsilon\>.\label
$$
Аналогично определение точной нижней грани \(\displaystyle \inf\) числового множества \(X\) можно записать в виде
$$
\displaystyle \\Leftrightarrow\\wedge\0\ \exists x_\in X:x_ 0\ \exists N_:x_>a-\varepsilon\>,\label
$$
$$
[b=\displaystyle \inf\\>]\Leftrightarrow\<\forall n\in N\rightarrow x_\geq b\>\wedge\$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists N_:x_>a-\varepsilon.\label
$$

Аналогично разъясняется определение \eqref точной нижней грани последовательности.

Признак сходимости монотонной последовательности.

Если последовательность \(\>\>\) является возрастающей и ограниченной сверху, то существует
$$
\lim_x_=\sup\.\nonumber
$$

Если последовательность \(\\>\) является убывающей и ограниченной снизу, то существует
$$
\lim_x_=\inf\\>.\nonumber
$$

\(\circ\) Ограничимся доказательством теоремы для случая ограниченной сверху и возрастающей последовательности.

Если последовательность \(\\>\) ограничена сверху, то есть множество чисел \(x_,x_, \ldots,x_, \ldots\) ограничено сверху, то по теореме о существовании верхней грани существует точная верхняя грань этой последовательности, определяемая условиями \eqref, \eqref. Так как \(\\>\) — возрастающая последовательность, то
$$
\forall n\geq N_\rightarrow x_\leq x_.\label
$$

Из \eqref-\eqref следует, что
$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists N_:\forall n\geq N_\rightarrow a-\varepsilon Замечание 1.

Теорема 1 остается справедливой для последовательности, ограниченной сверху (снизу) и возрастающей (убывающей), начиная с некоторого номера.

  • Для учеников 1-11 классов и дошкольников
  • Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока по математике для учащихся 2 курса

Изучить понятие числовая последовательность, способы ее задания и свойства числовых последовательностей;

изучить понятие предела последовательности, учить вычислять пределы последовательности;

Тип урока : комбинированный

Оборудование урока : учебник по алгебре, раздаточный материал последовательности.

Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности кабинета и учащихся к уроку, проверка отсутствующих.

2. Актуализация знаний

- В школьном курсе алгебры вы изучали последовательности. Какие? (арифметическую и геометрическую прогрессию)

- Что же такое последовательность?

Последовательность- это занумерованный ряд объектов.

II. Изучение нового материала.

Понятие числовой последовательности - Запишем определение числовой последовательности. Опр 1:Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число: числу 1 соответствует число а, числу 2 – а 2 …….числу n – число а n и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут а 1 , а 2 ,…,а n или (а n ), где а 1 , а 2 ,…,а n – члены последовательности.

Опр 1 / :Занумерованный ряд чисел а 1 , а 2 ,…, а n ,…называется числовой последовательность.

Способы задания числовой последовательности

Наиболее простой способ задания последовательности – это ее задание с помощью формулы общего члена , т.е. формулы, явно выражающей зависимость n -го члена последовательности от n .

Например, формула а n =2n задает последовательность четных чисел 2,4,6,8,… .

Другим важным способом задания последовательности является рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-й член последовательности с одним или несколькими предыдущими.

Например, рекуррентное соотношение a n =a n-1 +2 вместе с уравнением a 1 =1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2:1, 3, 5, 7. . Это не что иное, как последовательность нечетных чисел.

Так же последовательность может быть задана словесным описанием , в котором определяется процесс построения членов последовательности.

Свойства числовой последовательности

- Числовые последовательности могут обладать свойствами, которые мы рассматривали при изучении обычных функций.

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого верно неравенство .(аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)

Например 1, 3, 5, 7 2 n -1 . — возрастающая последовательность.

Например — убывающая последовательность.

Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

Последовательность а 1 , а 2 ,…,а n .. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство выполняется для всех номеров n.

Иными словами, последовательность (y n ) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство

у n М . Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность-1, -4, -9, -16. — п 2 , . ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Последовательность (у n ) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство у п . Число m называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, . п 2 , . ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

- Прочитайте и выделите в теоретической карте главный материал.

- А сейчас я хотела бы поговорить с вами о пределе последовательности и функции.

Понятие предела последовательности

- Как вы думаете, что означает слово предел? (учащиеся высказывают свои мнение)

- Хорошо, сформулируем ваши мнения на математическом языке.

1. Определение предела последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности (у п ) и (х п ) .

(у n ): 1,3, 5,7,9, . 2 n-1 . ; (x n ):

hello_html_m3e2fe198.jpg
hello_html_m54571b07.jpg

Опр 1. Пусть а — точка прямой, а r— положительное число. Интервал (а-r, а +r) называют окрестностью точки а (рис. 3), а число r— радиусом окрестности.

Какова окрестность точки 6, если радиус этой окрестности равен 0,02? Ответ: (5,98; 6,02), так как 6-0,02 6 ˂ 6+0,02

a-r a a+r

Опр 2. Число b называется пределом последовательности (y n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут либо так: у п b (читают: у п стремится к b или у п сходится к b), либо так:

Правила вычисления пределов последовательности

- Запишем правила вычисления пределов последовательности :

Пример 1 : Дана последовательность (y n ):

- Как вы считаете, чему равен предел данной последовательности?

Докажем, что

Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен r(Рис.4). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n 0 так, чтобы выполнялось неравенство . Если, напримерr=0.001,то в качестве n 0 можно взять 1001, поскольку ; если r= , то в качестве n 0 можно взять 5774, поскольку , и т.д. Но это значит, что член последовательности y n с номером n 0 , т.е. , попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой окрестности будут находится все последующие члены заданной убывающей последовательности .

Пример 2: Найти предел последовательности

Здесь последовательность сходится к 0: или

Результат, полученный в примере 2, является частным случаем общего утверждения: если

Теоремы об арифметических операциях над пределами: если

- Перенесите данные теоремы в тетради.

- Решим несколько заданий основываясь на правила и теоремы о пределах последовательности.

- Предел последовательности вычисляется путем почленного деления числителя и знаменателя на неизвестную в наибольшей степени.

- Какая наибольшая степень из предложенных нам дана? (2)

- Разделим почленно на п 2 , получим:

- Каким правилом и теоремой воспользуемся?

- мы нашли предел последовательности

Вычисление предела последовательности

- Решим несколько заданий на доске.

hello_html_m79f88800.jpg

- рассмотрим предел последовательности, когда х стремится к предельному значению.

- Простейшим способом вычисления предела является подстановка предельного значения (конкретного числа) в подпредельное выражение, т.е. подставляем число 4 вместо х.

При вычислении пределов используются понятия монотонной и постоянной последовательностей. Последовательность называется постоянной, если для любого , где – некоторое действительное число.

Последовательность называется ограничен­ной, если найдется число такое, что для всех . Последовательность называется возрастающей (убывающей), если ( ). Возрастающие и убывающие последовательности называются монотон­ными последовательностями.

Последовательность называется строго возрастающей (строго убывающей), если ( ). Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называются строго монотон­ными последовательностями.

Последовательности, обладающие как свойством ограниченности, так и свойством монотонности, имеют предел. Для вычисления пределов используются следующие теоремы.

Теорема 1. Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится.

Теорема 2. Пусть дана постоянная числовая последовательность , где для любого . Тогда она сходится и – предел постоянной равен постоянной.

Теорема 3. Последовательность с общим членом сходится и .

Теорема 4. Если , то последовательность сходится и .

Действия над сходящимися последовательностями

1) + – предел суммы равен сумме пределов;

2) – предел произведения равен произведению пределов;

3) = – постоянный множитель можно выносить за знак предела;

4) , если – предел отношения равен отношению пределов.

Глава 4 Предел функции и непрерывность

Определения предела функции

Понятие предела функции лежит в основе математического анализа. Пусть – число. Если значения функции приближаются к некоторому числу b, когда значения аргумента приближаются к числу а, то это число b называют пределом функ­ции в точке а.

Определение 1. Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится и ее предел равен . Принято писать .

Если члены последовательности с ростом номера неограниченно воз­растают, то говорят о бесконечном пределе последовательности.

Определение: предел последовательности x1, х2, . хn…. равен бесконечности, если для любого (сколь угодно большого) числа Е > 0 найдется номер N такой, что при всех п ³ N выполняется неравенство .В этом случае пишут .

Бесконечно большая последовательность – это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Теорема: если , то ; если , то .

Односторонние пределы.В некоторых вопросах важно изучать поведение функции не просто вблизи заданной точки, а с одной стороны от этой точки – слева или справа (односторонние пределы.).

Определение: число b1 называется левым пределом, (или пределом слева) функции f(x) в точке а, если для любого числа > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству a– 0, и что х в не­равенствах (3) и (4) принадлежит этой полуокрестности.

Аналогично определяется правый предел (или предел справа): , или .


В этом случае (3) следует заменить неравенством а

Определение: функция f(x) имеет в точке а бесконечный предел, если для любого (сколь угодно большого) числа Е > 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству 0 Е (или f(x) 0 существует число > 0 такое, что при всех х, удовлетворяющих неравенству

Определение предела функции на минус бесконечности отли­чается от определения тем, что вместо (7) следует написать неравенство х




Тема: Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Понятие о непрерывности функции

Цели: создание благоприятных условий для изучения понятия числовой последовательности; ввести определение предела последовательности и предела функции; познакомить с правилами вычисления пределов функции в точке и на бесконечности.

Определение№1: множество чисел, каждое из которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью.

Элементы этого числового множества называются членами последовательности и обозначают: первый член - а 1 , второй - а 2 , n- й член - а n и т.д. Вся последовательность обозначается : а 1, а 2, а 3 , …, а n или ( а n ).

Числовая последовательность представляет собой не что иное, как множество нумерованных чисел, упорядоченных наподобие натурального ряда, т.е. располагаемое в порядке возрастания номеров. Последовательность может содержать как конечное, так и бесконечное число членов.

Последовательность, состоящая из конечного числа членов, называется конечной, а последовательность, состоящая из бесконечного числа членов, - бесконечной последовательностью.

Иногда бесконечную числовую последовательность вводят, используя понятие функции:

Определение №2: Функцию у = f(x), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у = f(n), или у 1 , у 2 , у 3 . у n или у(n).

Последовательности можно задавать различными способами, например, словесно , когда правило задавания последовательности описано словами, без указания формулы. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически , если указана формула ее n-го члена.

Приведем три примера.

  1. у n = n 2 . Это аналитическое задание последовательности

Указав конкретное значение n, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если. Например, n= 9, то у 9 = 9 2 = 81, если

  1. у n = С. Здесь речь идет о последовательности С, С, С, …., С, …. . Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).
  2. у n = 2 n . Это аналитическое задание последовательности 2, 2 2 , 2 3 , ….,2 n , …

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n - й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность ( а n ), заданная рекуррентно соотношениями:

а 1, = а , а n+1 = а n + d

( а и d – заданные числа, d – разность арифметической прогрессии )

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность ( b n )? Заданная рекуррентно соотношениями:

b 1, = b, b n+1 = b n · q

( b и q – заданные числа, b≠0, q ≠ 0; q знаменатель геометрической прогресси прогрессии ).

Пример: Выписать первые пять членов последовательности, заданной рекуррентно:у 1 =1; у 2 = 1; у n = у n-2 + у n-1

Решение. n –й член последовательности равен сумме двух предшествующих ему членов. Значит, последовательно получаем:

у 1 =1; у 2 = 1; у 3 =1+1 = 2; у 4 = 1+ 2 = 3; у 5 =2+3 =5; и т.д.

  1. Последовательность (х n ) называется ограниченной, если существуют такие два числа m и М, что для всех n N выполняется неравенство m≤ х n ≤М.
  2. Последовательность (х n ) называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех n N выполняется неравенство х n ≤М.
  3. Последовательность (х n ) называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех n N выполняется неравенство m≤ х n

Например: последовательность (х n ), заданная формулой общего члена х n = n, ограничена снизу (например, число 0) и не ограничена сверху.

Последовательность (х n ) называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х n+1 > х n.

Последовательность (х n ) называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х n+1 n.

Последовательность (х n ) называется невозрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, не более предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х n+1 ≤ х n.

Последовательность (х n ) называется неубывающей, если каждый ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т.е. если для любого натурального n выполняется неравенство х n+1 ≥ х n.

Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности образуют класс монотонных последовательностей.

Предел числовой последовательности.

Рассмотрим для числовые последовательности – ( у n ) и ( x n ).

( у n ): 1, 3,5, 7, 9, … 2n – 1, …;

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой.

0 1 3 5 7 9 11 у

Математики не используют термин точка сгущения, а они говорят предел последовательности.

Определение: Число b называется пределом последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержится все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут так: у n →b или читают так: предел последовательности у n при стремлении n к бесконечности равен b.

На практике используется еще одно истолкование равенства , связанное с приближенными вычислениями: если последовательность у n = f( n ) сходится к числу b, то выполняется приближенное равенство f( n )≈b, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.

Необходимое условие сходимости произвольной числовой последовательности:

Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо, чтобы она была ограниченной.

Достаточное условие сходимости последовательности .

Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. (теорема К.Вейерштрасса)

Свойства сходящихся последовательностей

  1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.
  2. Если последовательность сходится, то она ограничена.
  3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Если , то последовательность у n = q n расходится.

Теоремы о пределах последовательностей.

  1. Если
  2. Если , то
  3. Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение:
  4. Предел суммы равен сумме пределов:
  5. Предел произведения равен произведению пределов:
  6. Предел частного равен частному пределов: , где с≠0.
  7. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Нахождение пределов последовательности:

Найти предел последовательности:

а) х n = б) х n = в)

Пределы функций. Нахождение пределов функции в точке и на бесконечности.

Теория пределов позволяет определить характер поведения функции у = f(x) при заданном изменении аргумента.

Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки х =х 0 , за исключением, быть может, самой точки х 0 .

Число А называется пределом функции f(х) в точке х 0 , если для любого числа >0 найдется такое положительное число , что для любого х х 0 , удовлетворяющего неравенству | х - хо |

То, что функция f(x) в точке х 0 имеет предел, равный А, обозначают следующим образом:

Геометрически существование данного предела означает, что каково бы ни было >0, найдется такое число , что для всех х, заключенных между х 0 + , и х 0 - (кроме, быть может, самой точки х с ), график функции у = f(x) лежит в полосе, ограниченной прямыми у = А + и у = А- (рис.1)

Таким образом, понятие предела функции дает возможность ответить на вопрос, к чему стремятся значения функции, когда значения аргумента стремятся к х 0

Число А называют пределом функции f(x) при х, стремящимся к х 0 , если разность f(x) - А по абсолютной величине есть величина бесконечно малая.

2. Вычислите пределы следующих функций:

3. Используя разложение на множители преобразовать дроби и вычислить предел функции в точке:

4. Найти предел функции в точке, используя способ избавления знаменателя(числителя) от иррациональности (помножить на сопряженное выражение):
а) ; б) ; в) .

Вопросы для самоконтроля .

  1. Сформулируйте определение предела функции в точке.
  2. Повторите основные теоремы о пределах.
  3. Повторите способы преобразования дробных выражений, используя материалы практических занятий, справочную литературу.
  4. Вычислите пределы функции в точке:

Дайте определение числовой последовательности.

Перечислите способы задания последовательностей.

Какие последовательности называют ограниченными?

Сформулируйте определение предела числовой последовательности.

Сформулируйте необходимые условия сходимости последовательности.

Сформулируйте достаточные условия сходимости последовательности

Дайте определение предела функции в точке.

Перечислите основные теоремы о пределах функции в точке.

Заполните в рабочей тетради занятие 7.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты


Методическая разработка урока по волейболу в 5 классе на основе инновационной технологии спортивно-ориентированного физического воспитания. Методическая разработка урока по волейболу в 5 классе на основе инновационной технологии спортивно-ориентированн

урок по физической культуре с ипользованием инновационной технологии спортивно-ориентированного физического воспитания.


Методические разработки внеклассных мероприятий по физической культуре и спорту. Методические разработки внеклассных мероприятий по физической культуре и спорту.

Аннотацияк учебно-методическим разработкам внеклассных мероприятий по физической культуре с использованием нестандартного оборудования. 1.

Методическая разработка по физкультуре по теме: Методическая разработка внеклассного мероприятия "Веселые старты" для учащихся начальной школы по предмету: "Физическая культура"

Внеклассное мероприятие "Веселые старты" проводится с целью пропаганды здорового образа жизни, где учащиеся развивают двигательные качества, укрепляют здоровье, дружеские отношения.


Данная работа посвящена 1150- летию образования российской государственности. В работе представлены: история образования российской государственности, история симво.


методическая разработка урока биологии в 6 классе по теме "Движения живых организмов" и презентация к ней. Методическая разработка урока биологии в 6 классе по теме "Дыхание растений, бактерий и грибов" и презентация к ней.

Методическая разработка урока с поэтапным проведением с приложениямиПрезентация к уроку биологии в 6 классе по теме "Почему организмы совершают движения? ".Методическая разработка урока с поэтап.

Данная методическая разработка предназначена для преподавателей СПО работающих на 1 курсе.

Читайте также: