Суміжні та вертикальні кути конспект

Обновлено: 05.07.2024

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180 о .

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180 о .

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180 о . Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 90 0 , называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 180 0 и ∠3+ ∠2= 180 0 . Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Ответ: ∠ВОК=____ 0

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 180 0 . По условию задачи ∠АОК= 11 0 , то ∠ВОК+ ∠АОК= 180 0

∠ВОК+ 11 0 = 180 0

∠ВОК= 180 0 – 11 0 = 169 0 .

Ответ: ∠ВОК= 169 0

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 32 0 + 32 0 = 64 0 . ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 180 0 –∠COD= 180 0 – 64 0 =116 0 .

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 125 0 , ∠BMC= 115 0 .

Выделите верный ответ из списка:

60 0 ; 30 0 ; 75 0 ; 90 0

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 180 0 . Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 180 0 –∠AMD= 180 0 -–125 0 = 55 0 . Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

УРОК № 7 (27.09.16)

Предмет : геометрия, 7 кл.

— ввести понятия смежных и вертикальных углов;

— рассмотреть их свойства;

— развивать умение сравнивать, выявлять закономерности, обобщать;

— воспитывать потребность в доказательных рассуждениях;

— воспитывать аккуратность при выполнении рисунков,

— ответственное отношение к учебному труду.

Тип урока: урок изучения нового материала

I. Организационный момент. Приветствие, определение отсутствующих, подготовка к работе.

II . Актуализация знаний. Сегодня мы повторим виды углов, их свойства и добавим к знаниям об углах ещё два вида. Чтобы не забыть старых знакомых, выполним устно задания

Назвать вид каждого угла и указать градусную меру.

2) Дано: АОD = 8 DОВ. Найти: DОВ

3) а) АОЕ=30 0

ЕОС=20°

AOC=?

б) АОС=70°

АОЕ=50°

ЕОС=?

II. Изучение нового материала. Решение задач.

Решая 1 и 2 задачу, мы встретились с углами, которые носят название смежные и вертикальные. Это и есть тема нашего урока. Сегодня мы рассмотрим их определения и свойства.

1. Практическая работа. Построим прямую АD и отметим точку С, лежащую между точками А и D. Проведём луч СВ. Получились два угла: АСВ и ВСD. Такие углы принято называть смежными.

Попробуем сформулировать определение смежных углов, но сначала ответим на вопросы:

а) назовите стороны каждого из углов;

б) как связаны между собой стороны смежных углов?;

в) выделить особенности смежных углов (одна сторона общая, две другие являются продолжениями одна другой).

Далее прочитать определение смежных углов в учебнике, подчеркнув те условия, которые должны удовлетворять смежные углы.

2. Усвоение понятия смежных углов.

Найдите пары смежных углов и объясните, почему они смежные.

3. Сформулировать свойство смежных у глов. (Предложить это сделать самим учащимся, вспомнив 3 задачу).

4. Закрепление понятия и свойства смежных углов.

Решить из учебника задачи № 55 (на доске и в тетрадях), № 59,60 - устно. Разобрать задачу из раздаточного материала.

5. Введение понятия вертикальных углов.

Практическая работа:

1) проведите луч ОС, являющийся продолжением луча ОА и луч ОD, являющийся продолжением луча ОВ;

2) запишите в тетради: углы АОВ и СОD называются вертикальными.

Вопрос: Сколько пар вертикальных углов образуется при пересечении двух прямых?

Попробуем сформулировать определение вертикальных углов, ответив на вопросы:

1) назвать стороны каждого вертикального угла;

2) как связаны стороны вертикальных углов между собой?

3) выделить особенности вертикальных углов (1-я сторона 1-го угла является продолжением стороны второго, 2-я сторона 1-го угла является продолжением стороны второго).

Далее прочитать определение вертикальных углов в учебнике, подчеркнув те условия, которые должны удовлетворять вертикальные углы.

6. Усвоение понятия вертикальных углов.

Указать пары вертикальных углов на рисунке и объяснить, почему они вертикальные.

7. Обоснование того факта, что вертикальные углы равны, вначале можно провести на конкретном примере:

Задача. Прямые АВ и СD пересекаются в точке О так, что угол АОD равен 35 0 .

Найдите углы АОС и ВОС,

Задачу решить по готовому чертежу.

Вопрос: верно ли утверждение, что любые вертикальные углы равны?

Далее учащиеся самостоятельно разбирают доказательство свойства вертикальных углов по рис. 41 в учебнике и записывают в тетрадях.

8. На закрепление свойств вертикальных и смежных углов решить
№65 (а) устно, №66 (б; в) - письменно.

III. Тест. Итог урока.

1. Являются ли смежными углы: а) DОС и DОЕ; б) DОС и СОВ; в) DОЕ и АОВ?

2. Являются ли вертикальными углы: а) DОЕ и СОА; б) DОА и АОВ;

в) АОВ и DОЕ?

IV. Домашнее задание. П. 11 выучить определения, № 55,56,58,61.

Смежные и вертикальные углы.

Правила. Смежными называются углы, у которых одна сторона общая, а две
другие стороны расположены на одной прямой (являются дополняющими
лучами).

Вертикальными называются углы, у которых стороны одного угла
являются продолжением второго угла.

а вертикальные углы равны друг другу.

Пример решения задачи на нахождение смежных углов:

Найдем смежные углы, α и β, если α в два раза больше β .

Р е ш е н и е :

α = 2 • β — по условию задачи ;

α + β = 180 ° — сумма смежных углов ;

2 • β + β = 180 ° — замена α на 2β ;

Общеобразовательный класс. Уровень сформированности общих учебных навыков и умений учащихся :

высокий – 13%, средний – 60%, низкий – 27%.

Тема: Смежные и вертикальные углы

Цель: ознакомить учащихся с понятиями смежных и вертикальных углов, рассмотреть их свойства

Учебные задачи, направленные на достижение личностных результатов обучения:

- поддержание интереса к предмету, воспитание умения контролировать внимание на всех этапах урока.

Учебные задачи, направленные на достижение метапредметных результатов обучения:

- формирование развитие компетенции в области использования ИКТ; содействовать развитию математического кругозора, мышления, речи, памяти, внимания.

Учебные задачи, направленные на достижение предметных результатов:

- развитие у учащихся навыков построения смежных и вертикальных углов, нахождение их на чертеже, умения решать задачи с использованием свойств смежных и вертикальных углов.

Разработка урока содержит разные задания, интересный дидактический и наглядный материал, исторические справки по теме урока.

Описание разработки

Цель: Систематизировать знания учащихся по данной теме, закрепить свойства смежных и вертикальных углов, совершенствовать навыки решения геометрических задач;

Задачи урока:

повторить определения, теоремы, свойства;

способствовать развитию интереса к изучаемому предмету, развитию творческого мышления, инициативы и самостоятельности в деятельности учащихся, развитию навыков работы по готовым чертежам;

воспитывать внимание, ответственность к учебному труду.

Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска, карточки.

Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний

Методы: коллективная работа, индивидуальная работа, интерактивный диалог

Ход урока:

Организационное начало урока. Сообщаю тему урока, формулирование цели урока. (Слайд 1 - 2)

Открываем тетради, записываем число, классная работа.

Актуализация опорных знаний учащихся

А) фронтальная работа класса по вопросам учителя; (Слайд 3)

1) Какая фигура называется углом?

2) Как обозначается угол? (показать на доске)

3) В каких единицах измеряются углы?

4) Какие виды углов вы знаете? Соотнесите вид каждого угла с

градусной мерой, к доске пойдёт…

5) Какие углы называются смежными?

6) Сформулируйте свойство смежных углов.

7) Какие углы называются вертикальными?

8) Сформулируйте свойство вертикальных углов.

9) Сколько пар смежных и вертикальных углов может получиться при

пересечении двух прямых?

10) Какие прямые называются перпендикулярными? (признак)

А) работа по готовым чертежам (устно); (Слайд 10)

А сейчас выполняем работу по готовым чертежам

(чертёж спроектирован на доску)

Найти величины всех

при пересечении прямых.

Б) групповая работа по готовым чертежам (письменно), защита решений;

Каждой группе учащихся предлагается найти градусные меры неизвестных углов: (Слайд 11)

Решение задач оформляется представителем группы на доске. Группа защищает своё решение, отвечая на вопросы участников другой группы.

В) закрепление материала –решение уровневых задач;

А сейчас решаем задачи: (Слайд 12)

1) Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 50 0 . Найдите остальные углы.

2) Найдите смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

3) Один из углов, полученных при пересечении двух прямых в 5 раз больше другого. Найдите эти углы.

Г) графический диктант: (Слайды 13 - 15)

Графический диктант (крыша дома - да, пол дома – нет)

Сумма двух углов равна 200 0 . Смежные ли эти углы?
Угол, смежный с углом в 130 0 является острым.
Могут ли два смежных угла быть тупыми?
Один из углов , образованных при пересечении двух прямых равен 80 0 . Могут ли прямые быть перпендикулярными?
Может ли при пересечении двух прямых образоваться четыре прямых угла?
Если два различных тупых угла имеют общую сторону, то эти углы смежные.
Вертикальные углы имеют одинаковую градусную меру.
Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 180 0 . Эти углы могут быть вертикальными?

Проверяем (на доске ответ) – поставьте себе оценку карандашом

В остальных случаях – 2.

Поднимите руку, кто получил 5, кто получил 4?

Начинаем аукцион, не обычный аукцион, а аукцион одной задачи.

Найдите как можно больше

пар смежных углов.

Начинаем наш аукцион!

Сколько пар смежных углов на чертеже? Поднимите табличку с правильным ответом.

К доске идут…Покажите смежные углы на чертеже… ребята, задайте по одному вопросу.

Читайте также: