Средняя линия трапеции конспект
Обновлено: 07.07.2024
Цель урока: научить применять векторы при доказательстве теоремы о средней линии трапеции; научить применять свойства средней линии трапеции при решении простейших задач.
Личностные УУД: уметь проводить самооценку; формировать познавательный интерес, необходимость новых знаний; развивать самостоятельность мышления в учебной деятельности.
Регулятивные УУД: умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение.
Коммуникативные УУД: умение оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им; выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.
Познавательные УУД: умение ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке; преобразовывать информацию из одной формы в другую.
Формы работы: учебный диалог, работа в парах, исследовательская работа, самостоятельная работа.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Урок геометрии.
Цели и задачи:
Образовательные – актуализировать субъективный опыт учащихся (опорные знания и способы действий, комплекс знаний), необходимый для изучения нового материала; организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению знаний и способов действий.
Развивающие – способствовать развитию логического мышления, воли и самостоятельности, умения работать в парах.
Воспитательные – создавать условия для воспитания интереса к изучаемой теме, воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям, воспитания дисциплинированности, обеспечивать условия успешной работы в коллективе.
Тип урока: урок-открытие.
Методы обучения: беседа, фронтальный опрос, самостоятельная работа.
Средства обучения: доска, учебник, карточки, мультимедийный проектор.
Форма обучения: коллективная, индивидуальная.
Форма учебного занятия: классно-урочная.
Структура урока:
Организация класса и рабочий настрой _____ 2 мин
Повторение и актуализация знаний _____ 10 мин
Открытие новых знаний __________ 20 мин
Решение задач __________10 мин
Подведение итогов и домашнее задание ____ 3 мин
Итого ______________ 45 мин
– Что называется многоугольником?
– Что такое параллелограмм?
– Свойства параллелограмма?
– Что такое прямоугольник?
– Свойства прямоугольника?
– Что такое ромб?
– Свойства ромба?
– Что такое квадрат?
– Свойства квадрата?
– Что такое трапеция?
– Какая трапеция называется равнобокой?
– Свойства равнобокой трапеции?
– Чему равен периметр многоугольника?
– Сформулируйте теорему Фалеса.
– Что такое средняя линия треугольника?
– Какие свойства средней линии треугольника вы знаете?
– Решим задачи на готовых чертежах устно: (рис. 1) и (рис. 2)
Дано : EF || AC (рис. 1)
Найти : P BEF и P ABC
Ответ : 14 см и 28 см
Дано : MN || AC (рис. 2)
Найти : P MBN и P ABC
АВ = 2МВ = 8 см
ВС = 2BN= 7 см (теорема Фалеса)
АС = 2MN = 6 см (средняя линия треугольника)
P ABC = 8 + 7 + 6 = 21 (см)
P MBN = 4 + 3 + 3,5 = 10,5 (см)
Ответ : 21 см и 10,5 см
Учитель: Итак, мы с вами сказали, что средней линией треугольника называется отрезок соединяющий середины двух сторон треугольника. Дадим определение средней линии трапеции.
Определение. Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 3).
На рисунке 3 средней линией трапеции является отрезок EF .
Учитель: Решим задачу: найти среднюю линию трапеции, зная ее основания.
Решение : Пусть ABCD – трапеция, M – середина стороны АВ. BC = a , AD = b . Для решения задачи воспользуемся средней линией треугольника. Но у нас фигура трапеция, где же найти треугольник?
Учащиеся: Сделаем рисунок (рис.4) , дополнительное построение – проведем диагональ АС, она разобьет трапецию на два треугольника АВС и ACD. Проведем через точку М параллельно основаниям прямую, она пересечет отрезок АС в точке К, а отрезок CD – в точке N. Учитывая следствие о средней линии треугольника (прямая, проходящая, через середину стороны треугольника параллельно другой ее стороне, делит третью сторону пополам) получим: К – середина АС и N середина CD. Тогда по определению МК – средняя линия треугольника АВС и KN – средняя линия треугольника ACD.
Учитывая теорему о средней линии треугольника получим:
Найдем длину средней линии:
Ответ : .
Решенная задача является теоремой 1: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Задача 1. Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.
Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, LM – указанный отрезок (рис.5). Поскольку AE = EB , то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство: LN = NM , что и требовалось доказать.
Задача 2. Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.
Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, KL – указанный отрезок (рис.6). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка K – середина отрезка AC , а точка L – середина отрезка BD . Поэтому отрезок EK – средняя линия треугольника BAC , а отрезок EL – средняя линия треугольника ABD . Зная, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине, получаем: , следовательно, , что и требовалось доказать.
Учитель: Проведем исследование: постройте произвольный четырехугольник.
Найдите середины сторон этого четырехугольника и соедините их последовательно. Какую фигуру вы получили? (Параллелограмм) . Докажите, что это параллелограмм. Что вы при этом использовали? (признак параллелограмма)
Что вы можете сказать о длине сторон полученного параллелограмма? (Они равны половине соответствующей диагонали четырехугольника)
Теорема 2. Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям четырехугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей.
Доказательство: В самом деле, если К и L – середины сторон АВ и ВС (рис. 7), то KL – средняя линия треугольника ABC, поэтому отрезок KL параллелен диагонали АС и равен ее половине; если М и N – середины сторон CD и AD, то отрезок MN также параллелен АС и равен АС/2. Таким образом, отрезки KL и MN параллельны и равны между собой, значит, четырехугольник KLMN – параллелограмм.
В качестве следствия из теоремы 2 получаем интересный факт (т. 2).
Теорема 3 . В любом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, делятся точкой пересечения пополам.
В этих отрезках можно увидеть диагонали параллелограмма (см. рис. 7 ), а в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам (эта точка – центр симметрии параллелограмма).
Учитель: Решим задачу на готовом чертеже:
Дано : ABCD – трапеция.
Найти : х, у.
Решение : В трапеции PBCK MK – средняя линия трапеции, тогда , и в трапеции AMND PK – средняя линия трапеции, значит
Тогда x = 4
Ответ : 4; 6
Итак, сегодня на уроке мы с вами узнали, что такое, средняя линия трапеции и ее свойства. Домашнее задание: выучить определение и свойства средней линии трапеции. И решить задачи 1 и 2 на готовых чертежах (учащимся раздаются карточки с задачами):
1. Дано : P ABC = 40.
Найти : P A 1 B 1 C 1
2. Дано: ABCD – трапеция
Найти: x, y, z.
Использованная литература:
Геометрия 7-9 Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Е.М. Рабинович Геометрия Задачи и упражнения на готовых чертежах
Геометрия 8. Дополнительные главы к учебнику. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Шестаков С.А., Юдина И.И.
Данный урок познакомит учащихся с определением средней линии трапеции, а так же будут проведены доказательства её свойств. На протяжении урока рассматриваются примеры решения разнообразных задач, что позволит учащимся успешно усвоить новый материал.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Средняя линия трапеции"
Вспомним, какую фигуру называют трапецией.
Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называют её основаниями, а две другие — боковыми сторонами.
Известны два частных случая трапеции. Равнобокая трапеция, у которой боковые стороны равны. И прямоугольная трапеция, у которой один из углов прямой.
К слову, у такой трапеции будет два прямых угла.
Повторив определение трапеции, введём понятие средней линии трапеции.
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
Изобразим средние линии трапеций изображённых на рисунке.
Для этого сначала найдём их боковые стороны. Далее отметим точками их середины. Ну, а потом проведем средние линии.
Выполним задание. Пользуясь данными рисунков, указать пункты, в которых является средней линией трапеции .
На первом рисунке точка М не является серединой боковой стороны AB, поэтому МN не является средней линией трапеции.
На втором рисунке точки М и N — середины сторон BC и AD, но они являются основаниями трапеции. А по определению средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Значит, в данном случае МN не является средней линией.
На третьем рисунке видим, что точки М и N — середины боковых сторон. Причём по рисунку понятно, что эта трапеция — равнобокая.
Так получаем, что МN в данном случае — средняя линия трапеции ABCD.
Посмотрев на следующий рисунок, не трудно заметить, что МN соединяет середину одного из оснований и середину одной из боковых сторон, а не середины боковых сторон. Поэтому МN не является средней линией.
На рисунке под номером 5 точки М и N середины боковых сторон АB и CD трапеции ABCD. Значит, МN — её средняя линия.
В последнем случае точки М и N не поровну делят боковые стороны трапеции, поэтому МN не является её средней линией.
Мы получили, что только на рисунках под номерами 3 и 5 изображены средние линии трапеции.
Как и средняя линия треугольника, средняя линия трапеции обладает определёнными свойствами.
Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство.
1.
2.
Что и требовалось доказать.
Выполним задание, где, пользуясь этой теоремой и данными рисунков, найдём длины средних линий трапеций.
Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований.
На рисунке а известны длины оснований. Поэтому не составит никакого труда найти, что .
Перейдём к рисунку б.
Известен периметр трапеции, тогда можем записать,
.
В последнем случае также дан периметр трапеции и известны боковые стороны.
Записав периметр через стороны, и, подставив известные значения, можем выразить сумму оснований.
Задача. В трапеции найти длины оснований и , если в два раза больше и длина средней линии равна .
Ответ: мм, мм.
Задача. В прямоугольной трапеции . Найти длину средней линии , если , а угол .
1.
2.
3.
4.
5.
Ответ: .
Подведём итоги нашего урока.
Сегодня мы познакомились с понятием средней линии трапеции. Это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
При этом мы выяснили, что средняя линия трапеции обладает следующими свойствами: она параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
1. Изучить понятие средней линии трапеции, доказательство свойства средней линии, учить применять теорему в нестандартных ситуациях при решении задач.
2. Формировать умение учащихся анализировать, обобщать, использовать элементы исследования, сравнения.
3. Развивать логическое мышление, воспитывать культуру математической речи, эстетический вкус.
Оборудование:
Ход урока
1. Для изучения темы урока нам понадобятся следующие теоретические знания.
1) Трапеция – это четырёхугольник…
2) Средняя линия треугольника – это…
3) В любом треугольнике можно построить … средние линии.
4) Средняя линия треугольника обладает свойством …
5) Два треугольника равны, если …
6) При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей …
7) Если две прямые параллельны третьей, то …
2. Введём понятие средней линии трапеции:
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.
(В тетрадях учащиеся выполняют построения)
1) Верно ли определение: отрезок, соединяющий середины двух сторон трапеции, является средней линией? (Нет, отсутствует слово боковых сторон).
2) А сколько средних линий можно построить в трапеции? (Только одну).
3) Каким свойством обладает средняя линия трапеции? Измерьте основания трапеции и длину средней линии. Чему равна средняя линия? (Половине суммы оснований).
Попробуем доказать это свойство.
3. Доказательство теоремы.
(На доске и в тетрадях учеников чертёж и запись условия теоремы).
1) Мы знаем свойство средней линии треугольника. Как можно этим воспользоваться? (Нужен треугольник). Как его получить? (Выполнить дополнительное построение: через С и М проведём прямую до пересечения с прямой AD).
2) Далее: Δ EMA = Δ CMB, т.к.
а) AM=MB (по условию MN-средняя линия)
б) A = B (накрест лежащие при BC||AD и секущей AB)
в) AME = BMC (вертикальные углы)
Следовательно, EM=MC и EA=BC.
3) В Δ ECD: MN- средняя линия по определению, тогда по свойству
a) MN || AD и BC || AD (по условию). Следовательно, MN || BC.
b) MN = ½ ED = ½ (EA+AD) = ½ (BC+AD).
Следует повторить всё доказательство, учащимся сделать записи в тетрадях.
Повторяем план доказательства:
1) Проводим через одну из вершин верхнего основания трапеции и противолежащий конец средней линии прямую до пересечения с продолжением нижнего основания.
2) Доказываем равенство полученных треугольников с общей вершиной.
3) Доказываем, что MN является средней линией Δ ECD и используем свойство средней линии треугольника
1) В формуле Sтр=h*(a+b)/2. Как можно иначе прочитать эту формулу? (Sтр=MN*h, где MN – средняя линия трапеции).
2) В свойстве равнобедренной трапеции: B1D = (a+b)/2.
Высота в равнобедренной трапеции делит большее основание трапеции на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований. Следовательно, в равнобедренной трапеции B1D=MN.
1) Закрепление. (Устно по готовым рисункам)
2) Выполнить письменно на доске
I. Погорелов №69, стр. 101
II. *ЕГЭ-2004, вариант №383, задание B9 , стр. 40
(Условие и решение задач см. в Приложении 2).
6. Самостоятельная работа по карточкам (дифференцированная)
(Решение: Рисунок 14)
(Решение: Рисунок 15)
(Решение: Рисунок 16)
(Самостоятельную работу проверить по презентации по готовым слайдам №№ 18, 19, 20).
7. Задание на дом
Читайте также: