Решение тригонометрических уравнений конспект кратко
Обновлено: 09.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Предмет: Алгебра и начала анализа. Класс 10.
Дата проведения – 20.12.2017 г.
1. Образовательная : познакомить учащихся с типами тригонометрических уравнений и научить решать простейшие виды однородных, приводимых к алгебраическим и решаемых разложением на множители уравнений.
2. Развивающая : развивать у учащихся умение классификации предметов, поисковые навыки, учиться находить пути решения новой учебной задачи.
3. Воспитательная : воспитывать познавательную активность, самостоятельность и активность учащихся, прививать трудолюбие.
Тип урока : изучения нового материала
Вид урока : урок – семинар.
Форма работы : фронтальная.
Оборудование и материалы :
Интерактивная доска. Презентация к уроку.
Карточки-инструкции, раздаточный материал.
Актуализация опорных знаний.
Назвать главные точки на тригонометрической окружности.
Назвать значения тригонометрических функций для точек , находящихся в разных четвертях.
Назвать точки, для которых sin t = , cos t = - , tg t = -1, ctg t = .
Назвать решения частных случаев простейших тригонометрических уравнений: sin t = 0, sin t = 1, sin t = -1, cos t = 0, cos t = 1, cos t = -1.
Объяснение нового материала.
Перед Вами на карточках написаны три группа тригонометрических уравнений. Внимательно рассмотрите уравнения каждой группы и найдите лишние уравнения в каждой группе.
Учитель знакомит учащихся с типами уравнений: 1 группа – уравнения, приводимые к алгебраическим, 2 группа - однородные и 3 группа – уравнения, решаемые разложением на множители.
В задачнике находим уравнения в соответствии с классификацией.
Рассмотрим алгоритмы решения разных групп уравнений. Кто может предложить последовательность решения уравнений 1 группы - уравнения, приводимые к алгебраическим.
а).Решение алгебраических уравнений заключается в том, что все тригонометрические функции, которые входят в уравнение, выражают через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию, зависящую от одного и того же аргумента.
Пример . 2sin 2 x + sin x – 1 = 0, sin x = t,
2t 2 + t – 1 =0,
t 1 = - 1 , t 2 = , sin x = -1 , sin x = ,
x 1 = - +2πk, , x 2 = + 2πn, x 3 = + 2mk, k,n,m ϵZ
Предлагаю самостоятельно решить уравнение 3 из первой группы.
6 cos 2 x + cos x – 1 = 0, cos x = t,
6t 2 +t – 1 = 0, D = 1 + 24 = 25, t 1 = - , t 2 =
x = + 2 πn, x = arccos + 2πk, n,k ϵZ
Формулируем алгоритм решения.
б) Решение однородных уравнений (уравнения, в которых у всех слагаемых сумма показателей одинакова) и приводимых к ним сводится к решению алгебраических путём деления обеих частей уравнения на выражение, стоящее в левой части уравнения справа. Однородные уравнения бывают уравнениями первой степени и второй. Рассмотрим, как их определить.
Пример. 2 cos 2 x – 3 cos x sinx + sin 2 x = 0, разделим строку на sin 2 x . Сделать запись. Получим уравнение 2 с tg 2 x – 3 ctg x + 1 = 0, приводимое к алгебраическому.
Чем отличается уравнение 3 sin 2 x – sin x cos x = 2,
3 sin 2 x – sin x cos x - 2 = 0,
3 sin 2 x – sin x cos x - 2 (sin 2 x + cos 2 x) = 0,
3 sin 2 x – sin x cos x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x) = 0,
sin 2 x – sin x cos x - 2 cos 2 x = 0, разделим на cos 2 x,
получим уравнение tg 2 x – tgx - 2 = 0,
Формулируем алгоритм решения.
в) Решение с помощью разложения на множители сводится к решению двух элементарных уравнений.
Пример . 2cos 2 x – cos x = 0, cos x ( 2 cos x – 1 ) = 0,
Формулируем алгоритм решения.
Подведение итогов урока: Назвать тип уравнения и способ его решения:
cos x sin x + sin x = 0
6 cos 2 x – 5 cos x sin x – sin 2 x = 0
На этом уроке мы рассмотрим основные тригонометрические функции, их свойства и графики, а также перечислим основные типы тригонометрических уравнений и систем. Кроме этого, укажем общие решения простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи.
Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В5 и С1.
Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.
Если уравнение f ( x ) = 0 можно преобразовать к виду f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( x ) = 0 , то или f 1 ( x ) = 0 , или f 2 ( x ) = 0 .
Из них находим соответственно: x = ( − 1 ) k arcsin 1 3 + π k , k ∈ ℤ ; x = ± arccos − 2 5 + 2 π k , k ∈ ℤ .
Учти, что переход от уравнения f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( x ) = 0 к совокупности уравнений f 1 ( x ) = 0 ; f 2 ( x ) = 0 не всегда безопасен.
Но значения x = π 2 + 2 π k , k ∈ ℤ не принадлежат области определения уравнения ( tg x не имеет смысла), значит, x = π 2 + 2 π k , k ∈ ℤ — посторонние корни.
Этот видеоурок будет посвящён тригонометрическим уравнениям. Мы научимся решать тригонометрические уравнения, которые сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям.
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока "Решение тригонометрических уравнений"
Прежде, чем мы приступим к изучению новой темы, давайте вспомним, что тригонометрическим уравнением называется уравнение, которое содержит переменную под знаком тригонометрических функций. Уравнения вида: , , и , где – переменная, а число , называются простейшими тригонометрическими уравнениями. Также мы вспомним, что все корни уравнения , где , можно найти по формуле: . Все корни уравнения , где , можно найти по формуле: . Все корни уравнения , где , можно найти по формуле: . А все корни уравнения , где , можно найти по формуле: .
На этом уроке мы с вами рассмотрим примеры решения тригонометрических уравнений, которые различными способами сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.
Итак, уравнения, сводящиеся к квадратным.
Решим уравнение: . Это уравнение является квадратным относительно . Обозначим . Тогда исходное уравнение примет вид: . Решим это квадратное уравнение: . Его корнями являются и . Теперь вернёмся к замене и получим два простейших уравнения: и . Первое уравнение не имеет решений, так как . По формуле нахождения корней уравнения решением второго уравнения будет . Так как , то . Ответ: .
Рассмотрим уравнение вида .
. Разделим обе части этого уравнения на и получим: , . Перенесём в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на : . Получили простейшее тригонометрическое уравнение. По формуле нахождения корней уравнения его решением будет . Ответ: .
Обратите внимание, что при решении обе части исходного уравнения были поделены на . А при делении уравнения на выражение, которое содержит неизвестное, могут быть потеряны корни. Следовательно, необходимо проверить, не являются ли корни уравнения корнями нашего уравнения. Если , то из нашего уравнения следует, что и . А из основного тригонометрического тождества следует, что и не могут одновременно равняться нулю. Таким образом, при делении уравнения вида: , где , (а значит, и данного уравнения), или на получаем уравнение, которое равносильно данному.
И давайте решим уравнение: . Применим формулы , к левой части уравнения, правую часть уравнения запишем как произведение и , тогда уравнение примет вид: . Затем по основному тригонометрическому тождеству запишем как : . Раскроем скобки, перенесём слагаемые из правой части уравнения в левую, приведём подобные слагаемые: , , . Теперь разделим это уравнение на и получим равносильное уравнение: , . Обозначим . Тогда исходное уравнение примет вид. Решим это квадратное уравнение: . Его корнем будет . Теперь вернёмся к замене и получим простейшее уравнение: . По формуле нахождения корней уравнения можем записать, что . Так как , то . Тогда . Ответ: .
Таким образом, мы с вами решили уравнение вида: , где где , , . Такое уравнение можно решить с помощью введения вспомогательного угла. Давайте выясним, в чём заключается метод введения вспомогательного угла. В первую очередь необходимо проверить, выполняется ли условие . Если условие выполняется, то разделим обе части уравнения на : .
Легко убедиться, что коэффициенты и связаны равенством: . Исходя из основного тригонометрического тождества : обозначим , . Таким образом, уравнение можно записать в виде: . Теперь, применив к левой части уравнения формулу , получим .
Таким образом, уравнение мы свели к простейшему тригонометрическому уравнению.
Итак, решим предыдущее уравнение введением вспомогательного угла. Здесь у нас , , . Проверим, выполняется ли условие . Подставим значения , и : , . Видим, что получили верное неравенство, а значит, условие выполняется. . Разделим обе части нашего уравнения на : . Теперь введём вспомогательный аргумент , такой, что , . , , тогда наше уравнение примет вид: . По формуле запишем: . Мы знаем, что корни уравнения находятся по формуле . Тогда в нашем случае . Перенесём в правую часть: . Вычтем из и получим, что . Ответ: .
Тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, часто решаются разложением левой части на множители. Решим уравнение: . Воспользуемся формулой и запишем . Вынесем : . Произведение обращается в нуль, если один из множителей равен нулю. Следовательно, или . Решим уравнение . Мы знаем, что корни уравнения находятся по формуле . Тогда в нашем случае . Откуда . Решим уравнение . Перенесём в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на : . По формуле нахождения корней уравнения получаем: . Так как , то . Тогда . Ответ: , , .
Есть уравнения, которые можно решить с помощью формул половинного угла. Решим уравнение: . Применим формулу и запишем первое слагаемое в левой части как, второе слагаемое запишем как , третье слагаемое запишем как , в правой части уравнения запишем как : . Умножим обе части уравнения на : . Сложим единицы в левой части: . Перенесём в правую часть: , . Умножим уравнение на : . Поменяем местами первое и второе слагаемые: . Теперь применим ко второму и третьему слагаемым формулу : , , . Вынесем за скобки : . Произведение обращается в нуль, если один из множителей равен нулю. Следовательно, или . Решим уравнение . Корни уравнения находятся по формуле . Тогда для нашего уравнения . Откуда .
Решим уравнение . Перенесём в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на : . По формуле нахождения корней уравнения получаем . . Тогда . Отсюда . Ответ: , .
Читайте также: