Решение матричных уравнений конспект
Обновлено: 05.07.2024
В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.
Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.
Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Матричный вид записи: А × X = B
где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - матрица системы.
X = x 1 x 2 ⋮ x n - столбец неизвестных,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - столбец свободных коэффициентов.
Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A - 1 :
A - 1 × A × X = A - 1 × B .
Так как А - 1 × А = Е , то Е × X = А - 1 × В или X = А - 1 × В .
Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .
В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.
Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы
Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
- Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где
А = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .
d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × ( - 2 ) × 5 + 3 × ( - 4 ) × 4 + 3 × ( - 1 ) × 1 - 3 × ( - 2 ) × 3 - - 1 × ( - 4 ) × 5 - 2 × 4 - ( - 1 ) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.
- Находим обратную матрицу А - 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :
А 11 = ( - 1 ) ( 1 + 1 ) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6 ,
А 12 = ( - 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = - ( 5 - 12 ) = 7 ,
А 13 = ( - 1 ) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5 ,
А 21 = ( - 1 ) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - ( - 20 + 3 ) = 17 ,
А 22 = ( - 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1 ,
А 23 = ( - 1 ) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - ( - 2 + 12 ) = - 10 ,
А 31 = ( - 1 ) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10 ,
А 32 = ( - 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = - ( 8 - 3 ) = - 5 ,
А 33 = ( - 1 ) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0 .
- Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :
А * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Записываем обратную матрицу согласно формуле:
A - 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,
- Умножаем обратную матрицу А - 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
РЕШЕНИЕ простейших матричных уравнений (Занятие №3) Гр.1542
Выполним проверку, для этого подставим найденное значение в исходное уравнение:
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Про матричные уравнения рассказывать? =) Они устроены практически так же, только вместо чисел… правильно – матрицы (и конечно, числа тоже есть, помним, что матрицу можно умножить на число).
Общие принципы решения матричных уравнений
Типовое матричное уравнение состоит, как правило, из нескольких матриц и неизвестной матрицы , которую предстоит найти. То есть, решением матричного уравнения является матрица.
Решить матричное уравнение, выполнить проверку
Как решить матричное уравнение?
Фактически нужно использовать алгоритм решения детского уравнения с числами.
В правой части умножаем каждый элемент матрицы на три, а матрицу левой части переносим направо со сменой знака:
Причёсываем правую часть:
Выразим , для этого обе части уравнения умножим на :
Как выполнить проверку?
Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:
Получена правая часть исходного уравнения, значит решение найдено правильно.
Кстати, всегда ли матричное уравнение вообще имеет решение? Конечно не всегда. С ходу привожу простейшее доказательство: .
Пример, который мы разобрали, элементарен, и, скажу честно, вероятность столкнуться с чем-то подобным на практике невелика.
Раздать карточки с простейшими уравнениями, в каждой карточке по 2 уравнения
1. Задание на сложение двух матриц (2А+В), или (3А-В), или (2А-С), или (А+3С).
2. -2Х=3* или +2Х=2* или +Х=-2*
Рассказать про матричный метод решения-с применением обратной матрицы. (взять материал лекционный)
Решить матричное уравнение, выполнить проверку
Решение : Уравнение уже имеет вид , поэтому никаких предварительных действий проводить не нужно.
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Из условия известны матрицы , однако, обратной матрицы мы не знаем. Придётся её найти:
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Таким образом, обратная матрица:
На финише проводим матричное умножение и получаем решение:
Ответ :
Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.
Сейчас 00.12, 21 декабря 2012 года и я поздравляю всех посетителей сайта с Концом Света. Он оказался для меня самой настоящей находкой, поскольку каждый раз, начиная новую статью, я мучаюсь с первым абзацем, чтобы грамотно подобрать сухие точные фразы и сориентировать читателя в теме.
Тибетские монахи сказали, что Армагеддон будет продолжаться две недели (видимо, все были студентами и сдавали сессии), поэтому у чайников ещё есть время ознакомиться с уроками Действия с матрицами, Свойства матричных операций и матричные выражения, Как найти обратную матрицу? Это не так сложно и не так много, как кажется! То есть для освоения матричных уравнений необходимо обладать некоторыми навыками, и быть, если не шаманом матриц, то, по меньшей мере, матричным охотником. Не переживайте, Конец Концом, а матричные уравнения сдадутся на милость победителя.
Выполним проверку, для этого подставим найденное значение в исходное уравнение:
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Про матричные уравнения рассказывать? =) Они устроены практически так же, только вместо чисел… правильно – матрицы (и конечно, числа тоже есть, помним, что матрицу можно умножить на число). Плюс особенные фишки, характерные для действий с матрицами. Всё просто, и особых трудностей возникнуть не должно.
Общие принципы решения матричных уравнений
Типовое матричное уравнение состоит, как правило, из нескольких матриц и неизвестной матрицы , которую предстоит найти. То есть, решением матричного уравнения является матрица.
Решить матричное уравнение, выполнить проверку
Как решить матричное уравнение?
Фактически нужно использовать алгоритм решения детского уравнения с числами.
В правой части умножаем каждый элемент матрицы на три, а матрицу левой части переносим направо со сменой знака:
Причёсываем правую часть:
Выразим , для этого обе части уравнения умножим на :
Ответ:
Как выполнить проверку?
Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:
Получена правая часть исходного уравнения, значит решение найдено правильно.
Кстати, всегда ли матричное уравнение вообще имеет решение? Конечно не всегда. С ходу привожу простейшее доказательство: .
Пример, который мы разобрали, элементарен, и, скажу честно, вероятность столкнуться с чем-то подобным на практике невелика. Поэтому перейдём к более содержательным заданиям, которые с вероятностью, стремящейся к 100%, встретятся вам в реальной контрольной работе. Но прежде систематизируем общий ход решения:
Распространённый алгоритм решения матричного уравнения
Итак, на голову упал стандартный персонаж, состоящий из нескольких матриц, некоторых множителей и птицы счастья .
На первом шаге уравнение приводится к одному из двух видов:
либо , где – известные матрицы.
Примечание: существует также третий вид: , но в действительности он встречается крайне редко. Тем не менее, в конце статьи я рассмотрю данный случай.
На втором шаге необходимо выразить или, выражаясь более академично, разрешить уравнение относительно .
1) . Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно , умножим обе его части на слева (здесь и далее предполагаем, что обратная матрица существует):
. Внимание! Произведение матриц не перестановочно, поэтому критически важно, с какой стороны проводить умножение.
Чего и требовалось достичь. Матрица нам не известна.
2) . Умножаем обе части уравнения на справа:
Единичную матрицу убираем:
Готово. Матрица нам опять же не известна.
Таким образом, на втором шаге решение выражается в виде либо в виде . Поскольку обратной матрицы мы не знаем, то третий этап решения будет состоять в её нахождении. Это стандартная задача урока Как найти обратную матрицу?
На заключительном четвёртом шаге выполняем матричное умножение или , и, собственно, получаем ответ.
Рассмотрим примеры решений уравнений обоих видов более подробно:
Решение матричного уравнения вида
…и добавить нечего =)
Решить матричное уравнение, выполнить проверку
Решение: Уравнение уже имеет вид , поэтому никаких предварительных действий проводить не нужно.
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Из условия известны матрицы , однако, обратной матрицы мы не знаем. Придётся её найти:
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Таким образом, обратная матрица:
На финише проводим матричное умножение и получаем решение:
Ответ:
Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.
Следующая задача весьма любопытна, и некоторые из вас сделают для себя неожиданное открытие:
Решить матричное уравнение и сделать проверку:
Решение: Неизвестная распложена справа от матрицы, и уравнение, очевидно, сведётся к виду . Используем уже знакомые из Примера №1 действия:
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Таким образом, решение уравнения:
Ответ:
Дробь красивше оставить перед вектором-столбцом, хотя вполне приемлемо записать и так: .
Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно.
Напоминаю технический приём, который мы рассмотрели на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. После подстановки в левую часть уравнения, константа уютно расположилась между матрицами. В подобных случаях число необходимо вынести вперёд и разобраться с ним в самом конце – после матричного умножения.
А теперь остановимся вот на каком моменте…. Вернёмся к самому началу решения, когда мы получили матричное уравнение в виде . Задача состояла в том, чтобы найти неизвестный вектор-столбец .
Перепишем уравнение в виде и в левой части умножим матрицы по обычному правилу:
До боли знакомая картина =) Две матрицы равны, когда равны их соответствующие элементы. Это система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
И полученный нами ответ представляет собой решение данной системы:
.
Таким образом, матричный метод решения системы – это, по сути, частный случай матричного уравнения.
Найти из матричного уравнения:
Проверить полученный результат.
Заметьте, что справа находится нулевая матрица а не ноль. Нулевая матрица для матриц – это аналог нуля для чисел. И её можно не записывать, после того, как вы что-нибудь перенесёте в правую часть.
Полное решение и примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.
В процессе решения матричных уравнений у начинающих могут появиться трудности с умножением матриц. В этом случае, пожалуйста, вернитесь к матричным выражениям и отработайте данное действие.
Решение матричного уравнения вида
Алгоритм решения точно такой же с некоторыми содержательными и техническими отличиями:
Решить матричное уравнение, выполнить проверку найденного решения.
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Таким образом, обратная матрица:
Находим решение, при этом не забываем про порядок умножения матриц, обратная матрица едет во втором вагоне:
Ответ:
Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.
Решить матричное уравнение, сделать проверку:
Решение: Незнакомец расположился слева от матрицы, поэтому уравнение сводится к виду . Упаковываем множители, переносим свободную матрицу в правую часть и выполняем вычитание матриц:
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа:
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Ответ:
Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно.
Решить матричное уравнение и сделать проверку:
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
В заключение коротко рассмотрим ещё один тип матричного уравнения, который практически не встречается: , где – известные матрицы. То есть, наш партизан залёг между двумя матрицами.
Разрешим данное уравнение относительно . Сначала умножим обе части на слева:
Теперь умножим обе части на справа:
Готового примера у себя в коллекции я не нашёл, но сейчас всё равно что-нибудь подберу из этой оперы…. Вот:
Да, работёнки здесь побольше. Раза в два. Как решить данное уравнение?
– для матрицы находим обратную матрицу ;
– для матрицы находим обратную матрицу ;
– перемножаем три матрицы (см. статью про свойства матричных операций).
Желающие могут прорешать данный пример, верный ответ: .
Поздравляю ещё раз! Если вы читаете эти строки, то Конец Света так и не наступил! Конец Света как деньги – любит тишину =) На самом деле всё было так: летописцы майя составили свой календарь до дня зимнего солнцестояния 2012 года. А потом устали.
Но на всякий случай передаю привет следующей цивилизации. Когда-нибудь они откопают хорошо сохранившийся в вечной мерзлоте сервер и расшифруют нашу клинопись =)
Удачной сдачи зачётов и экзаменов!
Решения и ответы:
Пример 4: Решение: Приведем уравнение к виду :
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Обратная матрица:
Решение системы:
Ответ:
Проверка: подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, значение найдено верно.
Пример 7: Решение: Приведем уравнение к виду :
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа:
Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.
Обратная матрица:
Таким образом:
Ответ:
Проверка: Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
где — матрицы.
Алгоритм решения матричных уравнений
1. Матричное уравнение приводится к одному из простейших уравнений:
или
где — известные матрицы, — искомая (неизвестная) матрица.
Существует также уравнение вида , но оно является комбинацией методов решения двух первых указанных простейших уравнений.
Чтобы привести произвольное матричное уравнение к одному из видов (1), надо все известные матрицы по свойствам уравнений перенести вправо, а неизвестную матрицу в левой части и свести подобные.
2. Разрешаем полученное простейшее уравнение относительно неизвестной матрицы .
к матрице :
Поскольку умножение матриц некоммутативно, то нужно строго соблюдать умножение слева или справа, иначе это влияет на результат.
получаем:
находится либо методом союзной матрицы, либо методом присоединенной матрицы.
3. Далее вычисляется одно из произведений B" width="49" height="16" />
или " width="47" height="16" />
, что и определяет искомую матрицу.
4. Делаем проверку, для этого подставляем найденную матрицу в исходное уравнение.
Примеры решения задач
В правой части полученного уравнения выполняем вычитание матриц (от элементов первой матрицы отнимаем соответствующие элементы второй):
Для нахождения искомой матрицы делим левую и правую части последнего уравнения на (— 2):
На данном этапе задача сводится к нахождению обратной матрицы. Ее найдем методом союзной матрицы:
— транспонирование матрицы, то есть операция, состоящая в том, что строки матрицы становятся ее столбцами с теми же номерами.
имеем:
а обратная матрица
Таким образом, искомая матрица
Читайте также: