Решение комбинаторных задач 7 класс дорофеев конспект урока

Обновлено: 07.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

(Учитель математики Средней школы № 68 города Ярославля, Кондратьева Наталья Александровна)

ТЕМА : Решение комбинаторных задач.

(Урок с одной проблемой и одним решением)

Цель урока : сформулировать правило умножения, как способ решения комбинаторных задач

Планируемые результаты : знать формулировку правила умножения для выбора двух и более элементов; уметь записывать правило умножения в буквенном виде; уметь применять правило умножения при решении комбинаторных задач.

Исходные дидактические единицы : Закономерность: если первый элемент некоторой пары можно выбрать m способами и для каждого из этих способов второй элемент можно выбрать n способами, то эту пару можно выбрать m ∙ n способами.

1. Устные упражнения. (2-3 минуты).

2. Открытие нового знания через решение задач. (20-25 минут)_Приложение 1. Учащиеся по ходу урока заполняют/оформляют решение в раздаточном материале.

4. Домашнее задание. (2 минуты) _приложение 2.

5. Гимнастика для глаз с использованием тренажера. (2-3 минуты)

6. Рефлексия. (2-3 минуты)_приложение 2.

Устные упражнения.

Упростить выражения: а 2 а 5 ; b 12 b 7 ; ( k 3 ) 7 ; х 3 хх 10 ; с 18 /с 10 ;

Даны буквы: а,а,а, b , b ,с. Составить буквенные выражения, содержащие буквы как множители.

Сколько выражений можно составить?

В жизни приходиться делать выбор при решении ситуаций:

- какой дорогой пойти?

- что выбрать в магазине?

- сколько существует способов выбора участников для турнира?

- сколько различных паролей мы можем дать нашему компьютеру?

2. Открытие нового знания.

Перед Вами подсказка.

Попробуйте составить слово.

Открыли тетради и записали:

число и Классная работа.

Решение комбинаторных задач.

Наука – КОМБИНАТОРИКА это область математики, изучающая способы выбора, способы сочетания различных объектов.

Учитель. Давайте повторим решение комбинаторных задач с помощью построения специальной схемы – дерева возможных вариантов и правила умножения.

Задание 1

Антон, Борис и Василий купили три билета на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда на футбольный матч. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места?

Решение (с помощью дерева вариантов). Приложение 1

Решение (с помощью правила умножения). На 1-е место может сесть любой из трёх друзей, на 2-е – любой из двух оставшихся, а на 3-е – последний. По правилу умножения у троих ребят существует 3*2*1 = 6 способов занять имеющиеся места.

Учитель. Перед введением понятия перестановки нам необходимо узнать ещё один новый термин. Название нового термина вы узнаете, если решите примеры.

Задание 2

Ответы замените буквами (смотрите на циферблат часов). Приложение 2

36 : 18 =
72 : 6 =
80 : 10 =
4,6 + 0,4 =
2,7 + 7,3 =
121 : 11 =
56 : 8 =
60 : 5 =
60 : 15 =

2 ф
12 а
8 к
5 т
10 о
11 р
7 и
12 а
4 л

III. Новый материал

Учитель. Итак, новый термин – факториал. Что же это такое?

Определение Для сокращения записи произведения первых n натуральных чисел в математике используется символ n! (читается как “эн факториал”), т.е.

n!=1*2*3*…*(n-1)*n (записать формулу в тетрадь).

(Перед тем, как вводить понятие и формулу перестановок, желательно, чтобы учащиеся освоились с понятием факториала. Для этого выполнить следующее задание 3).

Задание 3

а) 4! = 1*2*3*4 = 24;
б) 5! = 1*2*3*4*5* = 120;
в) 4! + 5! = 1*2*3*4 + 1*2*3*4*5 = 24+120 = 144;
г) 5*4! =5* 1*2*3*4 = 5! = 120;
(письменно): д) 4! * 5! = 1*2*3*4 *1*2*3*4*5 = 24 * 120 = 2880;

Учитель. Принято считать: 1!=1, 0!=1.

Факториалы растут удивительно быстро. Вы можете понаблюдать за их изменением, рассмотрев таблицу в учебнике, в которой приведены факториалы чисел от 1 до 10:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!	1	4	6	24	120	720	5040	40 320	362 880	3 628 800

А значение выражения 15!, которого нет в таблице, превосходит 10 15 , а именно 15!=1 307 674 368 000. Может быть, именно из-за быстрого роста факториалов восхищенный изобретатель этого выражения использовал восклицательный знак.

В задании 1 были подсчитаны всевозможные комбинации из четырех элементов. Чем отличаются полученные комбинации? (Ответ: полученные комбинации отличаются только порядком элементов). Такие комбинации называют перестановками из четырех элементов.

Если элементов будет 5, то, рассуждая аналогично (попросить кого-либо из семиклассников провести эти рассуждения), получаем, что число перестановок из 5 элементов равно 5*4*3*2*1=60, из 10 элементов число перестановок равно 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Определение: Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называют перестановками из n элементов. (иначе: “Каждое расположение элементов множества в определенном порядке называют перестановкой”.)

(Учащимся: определение “перестановок из n элементов” записать в тетрадь, выучить, рассказать соседу по парте/)

Учитель. Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок, которую можно сформулировать так: сколькими способами можно переставить n различных предметов, расположенных на n разных местах?

Решение этой задачи выглядит так.

Возьмем n местных корзинок, в которые будем укладывать n разных предметов. В первую корзину можно положить один из n предметов, во вторую – один из n-1 оставшихся и т.д., вплоть до последней корзинки, в которую можно единственным образом уложить оставшийся предмет. По правилу произведения (умножения) получаем n*(n-1)*…*1= n! способов, т.е. число перестановок из n элементов равно n!

Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают

P_n (P – первая буква французского слова permutation – перестановка). Читается: “Число перестановок из эн элементов” или “Пэ из эн”.

В задании 1 было показано P₄ = 4*3*2*1 = 1*2*3*4 (по переместительному свойству умножения).

т.о., число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

При использовании символа n! формула (1) принимает вид P_n= n!

(Учащимся: правило нахождения перестановок из n элементов записать в тетрадь словами и формулой, выучить, рассказать соседу по парте).

Примеры 1, 2, 3 учащиеся изучают самостоятельно [1]:

Пример 1. В расписании 7 класса на четверг должно быть 6 предметов: русский язык, литература, алгебра, география, физика, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

Решение. Число способов, которыми можно составить расписание, равно числу перестановок из шести элементов: P₆=6!=1*2*3*4*5*6=720.

Пример 2. Сколькими способами можно составить расписание из тех же 6 предметов, если требуется, чтобы урок физкультуры был последним?

Решение. У урока физкультуры фиксированное место, поэтому расписания отличаются порядком остальных 5 предметов. Значит, число таких расписаний равно числу перестановок из 5 элементов: P₅=5!= 120.

Пример 3. Сколькими способами из тех же 6 предметов можно составить такое расписание, в котором русский язык и литература стоят рядом?

Решение. Будем рассматривать русский язык и литературу как один предмет, тогда всего предметов будет пять. Число способов, которыми можно составить расписание из 5 предметов, равно P₅=5!. Но в каждой из этих перестановок русский язык и литература могут меняться местами. Поэтому искомое число расписаний вдвое больше. Оно равно 5!*2=240.

IV. Закрепление

(Задачи на нахождение перестановок решали раньше, но без использования термина и формулы (см. задачу 1/)

При решении следующих заданий не следует сразу требовать от учащихся готовый ответ, полученный по формуле перестановок. Полезнее сначала получить этот ответ с помощью подробных рассуждений.

Обращать внимание учащихся при решении задач на следующие факты:

1) в задачах на перестановки используются все элементы данного набора элементов;

2) две перестановки одного набора элементов отличаются друг от друга только порядком элементов).

Задание 4

Сколькими способами можно выписать в колонку фамилии 30 учеников? Решение. P₃₀ = 30!

Задание 5

Сколько различных 5-значных чисел, все цифры которых различны можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7, 8?

Решение. Задача сводится к подсчету числа перестановок из 5 элементов. P₅ = 1*2*3*4*5 = 120. Ответ: 120 различных чисел.

Задание 6

Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Решение: первоначально будем считать 2 книги одного автора единой книгой. Тогда количество способов расстановки условных семи книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов: P₇ = 1*2*3*4*5*6*7 = 5040. Но в каждой такой перестановке книги одного автора можно менять местами, потому общее число способов расстановки книг на полке будет в 2 раза больше, т.е. 5040 * 2 = 10080. Ответ: 10080 способов.(стр. 47 МШ - 3 - 2003).

Задание 7

У Атоса, Портоса и Арамиса на всех имеется одна шпага, один кинжал и один пистолет. Сколько у них способов распределить оружие так, чтобы все были вооружены?

Решение. Мушкетёров выстроим в шеренгу и отдадим каждому один из видов оружия. Тогда из шпаги, кинжала и пистолета необходимо составить различные перестановки, т. е. P₃ = 3! = 1 = 6.

Задание 8. Четыре лектора должны прочитать по одной лекции. Сколько имеется вариантов составления расписания?

Задание 9. Капитан Жеглов рассматривает фотографии. Всего их у него 25. Сколько существует различных последовательностей их рассматривания?

Задание 10 У мамы есть один апельсин, одна груша, одно яблоко и один банан. Она хочет раздать их четверым детям так, чтобы каждому достался какой-нибудь фрукт. Сколько имеется вариантов это сделать?

Задание 11. Напомним, что анаграмма – это слово, полученное из данного слова перестановкой его букв (но не обязательно имеющее смысл). Сколько существует различных анаграмм слова а) график; б) интеграл; в) факториал; г) перестановка; д) комбинаторика?

Решение. а) 6! = 720; б) 8! = 40 320; в) указание: временно считайте две буквы “а” различными буквами (обозначьте их “а₁” и “а₂”) и сосчитайте все возможные анаграммы; далее учтите, что те анаграммы, которые получаются перестановкой букв “а₁” и “а₂”, на самом деле одинаковы; ;

г) 12!:2:2 (по две “е”, “а”);

д) 13!:2:2:2:2 (по две “к”, “и”, “о”, “а”).

IV. Повторение основных понятий темы “Перестановки”

Что называется перестановкой из n элементов?
Сколько элементов данного набора используются в перестановках?
Чем отличаются друг от друга две перестановки одного набора элементов?
Каким символом обозначаются перестановки из n элементов?
Назовите формулу перестановок из n элементов?

V. Проверочная работа по теме “Перестановки” [2]

50 депутатов парламента рассаживаются в зале заседаний, в котором 50 мест. Сколько у них есть вариантов это сделать? (Решение. 50!)

Упростите выражение (Решение. 14).

3 * . У мамы есть три конфеты: “Грильяж”, “Белочка” и “Мишка на севере”. Сколько у нее способов дать каждому из троих детей по одной конфете так, чтобы конфета “Грильяж” не досталась младшему?

(Решение. Первоначально объединим “Грильяж” и “Белочку” в одну конфету и распределим две конфеты (“Грильяж-Белочка” и “Мишка”) между старшим и средним ребенком. Число способов, которыми можно разделить конфеты между двумя детьми, равно P₂=2!=2. А далее ребенок, которому досталось две конфеты, отдаст одну из двух младшему. Таким образом, получим, что разделить конфеты между детьми можно 2!*2=4 способами.

200 солдат строятся в шеренгу. Сколько имеется вариантов это сделать? (Решение. 200!)

Упростите выражение (Решение. 1).

3 * . У мамы есть три шоколадки: “Марс”, “Баунти” и “Сникерс”. Сколько у нее способов дать каждому из троих детей по шоколадке так, чтобы “Марс” не достался старшему?

(Решение. Первоначально объединим “Сникерс” и “Баунти” в одну шоколадку и распределим две шоколадки (“Марс” и “Сникерс-Баунти”) между средним и младшим ребенком. Число способов, которыми можно разделить шоколадки между двумя детьми, равно P₂=2!=2. А далее ребенок, которому досталось две шоколадки, отдаст одну из двух старшему. Таким образом, получим, что разделить шоколадки между детьми можно 2!*2=4 способами.

* – задание повышенной сложности, можно оценить отдельной отметкой.

VI. Подведение итогов урока

(Повторение основных понятий, см п. V.)

Домашнее задание: п. 6.4 (записи в тетради), № 612 (обратить внимание при решении задачи: все ли элементы набора используются и чем отличаются наборы элементов друг от друга),

а) В конкурсе участвуют 8 школьников. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? (Решение. 8! = 40 320).

б) Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов? (Решение. 7! = 5 040).

в) Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг? (Решение. 10! = 3 628 800).

доп. № 619 ( представить, что всего 4 книги одного автора; подумать,сколькими способами можно их расставить; затем считать эти 4 книги одной книгой и добавить к ним оставшиеся книги; продолжить аналогичные рассуждения).

Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг, из которых 4 книги одного автора, а остальные – разных авторов, так, чобы книги одного автора стояли рядом? (Решение. 7! * 4!).

Алгебра: учеб. для 7 класса общеобразоват. учреждений (Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева) под ред. Г.В. Дорофеева. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2006.
Евстафьева Л.П., Карп А.П. Алгебра: дидактические материалы для 7 класса общеобразовательных учреждений. М. Просвещение, 2006 (стр.65, О - 30, стр.131, П – 49).
Кадилова С.М., Колесникова Т.В., Тернопол А.Н. Математика. 7 кл.: Метод. Пособие к учеб. комплекту под редакцией Г. В. Дорофеева. М., Дрофа, 2000.
Математика в школе № 3, 2003 год. Научно-теоретический и методический журнал (стр. 36, М. В.Ткачёва, Н. Е. Фёдорова “Элементы стохастики в курсе математики VII – IX классов основной школы”).
Математика № 26, 2001 год. Учебно-методическая газета (стр. 9, Ш. Цыганов “Комбинаторика от А до Я”).
Перькова О.И., Сазанова Л.И. Математический паноптикум, Псков, 1993.

Деятельностная цель: формировать способность обучающихся к новому способу действия, связанному с построением структуры изученных понятий и алгоритмов.

Образовательная цель: выявление теоретических основ построения содержательно-методической линии стохастики.

Цель познавательной деятельности обучающихся:

Научиться решать комбинаторные задачи с помощью логических рассуждений (правило умножения), опираясь на уже известные методы решения (простого перебора, построения дерева вариантов, составления таблицы).

Планируемые результаты изучения темы:

Личностные: осознают важность и необходимость стохастических знаний для каждого человека.

Предметные: умеют решать комбинаторные задачи различными методами (простого перебора, построения дерева вариантов, составления таблицы, используя правило умножения).

Метапредметные: ориентируются на разнообразие способов решения комбинаторных задач; умеют планировать свои действия, реализовывать их и осуществлять самоконтроль, умеют участвовать в диалоге, развернуто обосновывать свои суждения.

Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Очень часто в жизни приходится делать выбор, принимать решения. Это сделать очень трудно не потому, что его нет, или оно одно и поэтому его трудно его найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций, и нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальным.

Объяснение и закрепление нового материала.

Задачи, которые мы будем сегодня решать помогут вам творить, думать необычно, оригинально, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая, любить неизвестное, новое, преодолевать трудности и идти через неизвестное вперед.

Комбинаторика – раздел математики, в которой изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям можно составить из заданных объектов.

И еще сегодня в очередной раз убедимся, что наш мир полон математики и продолжим исследование на предмет выявления математики вокруг нас.

Начнем с самой математики.

Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?

Составим дерево возможных вариантов.

Какие из предложенных цифр могут стоять на первом месте?

(Ответ: 1, 2, 4, 5, 9)

Какие на втором месте? Почему?

(Ответ: 2, 0, 4)

Сколькими способами мы выбираем первую цифру?

(Ответ: пятью)

Сколькими способами мы выбираем вторую цифру?

(Ответ: тремя)

5*3=15 четных двухзначных чисел.

Правило умножения

Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А на число всех исходов испытания В.

Откроем учебники на стр.116 № 501 (закрепление)

Ответ: а) 25, б) 20.

Ребята, представьте на миг, чтобы стало в школе, если бы не было расписания. Трудно пришлось бы и детям и учителям. Даже в одном классе трудно решить проблему.

Давайте, в помощь тому, кто составляет школьное расписание, решим задачу.

В 6 А классе в субботу 5 уроков:

История

Математика

Иностранный язык

Физкультура

Сколько можно составить вариантов расписания, зная точно, что изо последний урок.

И – история, М – математика, Я - иностранный язык, Ф – физкультура.

Давайте сосчитаем, сколько вариантов у нас получилось, если первый урок будет история?

(Ответ: 6 вариантов х 4 =24)

4 х 3 х 2 х 1=24

Да, трудно придется тому, кто забудет порядок уроков, и, не посмотрит в расписание, захочет заполнить дневник.

Хорошо. Давайте заглянем на урок истории и попробуем отыскать там что-нибудь для математики. Ребята, где в истории можно использовать комбинаторные навыки?

выбирать наилучшее положение охотника во время охоты.

воинов во время битвы

инструментов во время работы)

Задача №3 (№ 405 из учебника стр. 115)

Прочитать задачу вслух.

Решим задачу, используя правило умножения.

Дерево возможных вариантов

Какие еще государства используют для своего государственного флага такую символику?

(Ответ: Люксембург, Нидерланды, Югославия)

Показать слайд

Настало время заглянуть на следующий урок. Физкультура.

В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты.

Сколько команд участвовали в турнире?

Сколько команд играли в зеленых футболках?

У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?

У скольких команд футболки трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?

Сколько в задаче испытаний?

(Ответ: два - трусы (А) и футболки (Б)

Чему равно число исходов испытаний А? (ответ: 5)

Чему равно число исходов испытаний Б ? (ответ: 5)

Я знаю, вы очень любите ходить в субботу в столовую. Там дают бутерброды с колбасой. А теперь представьте, в школьной столовой …..

В школьной столовой детям приготовили на завтрак кашу (К), блины (Б), творожники (Т), и предложили напитки – чай (Ч), молоко (М), сок (С). Сколько можно составить различных вариантов завтрака из двух блюд, одним из которых будет напиток?

Урок рассматривает способы решения комбинаторных задач, формирует чувство ответственности за сделанный выбор, принятое решение.

Описание разработки

Цели:

·повторить основные методы решения комбинаторных задач, показать практическое применение математики.

·формировать вероятностно - статистическое мышление, формировать навыки самоконтроля.

·формировать чувство ответственности за сделанный выбор, принятое решение.

Оборудование: доска, компьютер, экран.

Ход урока:

I. Актуализация опорных знаний.

Урок самоконтроля. Ребятам раздаются карточки с описанием хода урока и таблицей, куда они будут выставлять себе оценки. (Приложение)

II. Устный счёт.

В это время трое ребят решают задачу у доски. Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5? Решите задачу, используя способ первому – перебора, второму – дерево вариантов, третьему – правило умножения.

2, 7:3 0, 9 « Счастлив

2, 3+1, 12 3, 42 тот,

0, 9+0, 68 1, 58 возможность

0, 9+3, 42+4, 5+0, 5+1, 58+0, 1-3 8 Паскаль

(карточки с ответами, на обратной стороне слова)

В жизни очень важно, порой сделать правильный выбор, выбрать правильное решение. Ребята проверяют решение ребят у доски и разбирают плюсы и минусы представленных способов.

Ребята решают задачи в парах, с последующим обсуждением решения и выставляют оценки в карточки. (Слайд 3-10, )

Полную информацию смотрите в файле.

-75%

Читайте также: