Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике конспект урока

Обновлено: 06.07.2024

Автор: Мешкова Светлана Васильевна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МАОУ "Гимназия №93 г.Челябинска"
Населённый пункт: г.Челябинск
Наименование материала: конспект урока по математике
Тема: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Раздел: среднее образование

Цель урока: 1. Ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического)

двух отрезков. Рассмотреть свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной

из вершины прямого угла. Сформировать у учащихся навыки использования изученного

2. развитие речи. Умение логически излагать свои мысли, анализировать и делать выводы;

3. воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения работать в

установить соответствие между сторонами прямоугольного треугольника, высотой, проведенной к гипотенузе и отрезками гипотенузы;
ввести понятие среднего пропорционального;
формировать умения применять полученные знания к решению практических задач;

Ожидаемые результаты:

Умение определять границу знания и незнания.
Умение математически грамотно излагать мысли.
Умение распознавать некорректные высказывания.

Умение планировать свою деятельность по решению учебной задачи.
Умение строить цепочку логических рассуждений.
Умение давать словесную формулировку факту, записанному в виде формулы.

План конспект урока.

1. Организационный момент. Организация внимания; волевая саморегуляция. (Каждому учащемуся раздаются рабочие листы к уроку на два варианта). Приложение 2, Приложение 3.

Дайте определение подобных треугольников
Как читается первый признак подобия треугольников
Как читается второй признак подобия треугольников
Как читается третий признак подобия треугольников
Что такое коэффициент подобия?
Прямоугольный треугольник. Катеты. Гипотенуза.

Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны.
Два равносторонних треугольника всегда подобны.
Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 9, 14, 18 см. Подобны ли эти треугольники?
Периметры подобных треугольников равны.
Если два угла одного треугольника равны 60° и 50°, а два угла другого треугольника равны 50° и 80°, то такие треугольники подобны.
Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.
Два равнобедренных треугольника подобны.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Ключ к тесту: 1. да; 2. да; 3. да; 4. нет; 5. нет; 6. нет; 7. да; 8. нет; 9. да; 10. нет.

Форма проверки теста – взаимопроверка. Ответы и проверка проводятся в рабочих листах к уроку.

3. Теоретическое задание по группам. Класс разбивается на три группы. Каждая группа получает задание. Приложение 4.

На доске по заранее сделанным чертежам и в тетрадях записать доказательство данных утверждений. К доске вызываются по одному человеку из группы.

5. Формулировка доказанных утверждений

Прежде чем работать дальше введем некоторые новые понятия и обозначения.
Что называется средним арифметическим двух чисел?
Ответ: Среднее арифметическое чисел m и n называется число а, равное полусумме чисел m и n
Запишите формулу для среднего арифметического чисел m и n.
Сформулируем определение среднего геометрического двух чисел: число a называется средним геометрическим (или средним пропорциональным) для чисел m и n, если выполняется равенство Слайд 4
Решим несколько упражнений на закрепление данных определений. Слайд 5
1. Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 3 и 12.
2. Найти длину среднего пропорционального (среднего геометрического) отрезков MN и KP, если MN = 9 см, KP = 27 см
Введем понятия проекции катета на гипотенузу. Слайд 6.
Теперь используя новые понятия, попытаемся сформулировать доказанные при работе в группах выводы.
По этому слайду попробуйте сформулировать утверждение, которое доказали вторая и третья группа. Слайд 7
Запишите данное утверждение, используя новые обозначения (проекции катета на гипотенузу) и затем сформулируйте его, применяя определение проекции катета на гипотенузу. Слайд 8
По этому слайду попробуйте сформулировать утверждение, которое доказали учащиеся третьей группы. Слайд 9
Запишите данное утверждение, используя новые обозначения (проекции катета на гипотенузу) и затем сформулируйте его, применяя определение проекции катета на гипотенузу. Слайд 10

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла C проведена высота СD. AD = 16, DB = 9. Найти AC, AB, CB и CD. Слайд 11
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла C проведена высота CD. AD = 18, DB = 2. Найти AC, AB, CB и CD. Слайд 12
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла C проведена высота СН. СА = 6, АН = 2. Найти НВ. Слайд 13

Тест по проверке первичного усвоения материала

В презентации открываем слайд с выведенными формулами (Слайд 14). В рабочих листах напечатан тест: выполните его, записав верные ответы в табличку. Затем взаимопроверка (Слайд 15) по готовым ответам в презентации.

Домашнее задание

Каждому ученику раздается памятка с формулами и текстом задач на дом с подсказками (план поэтапного выполнения каждого задания) Приложение 5.

9. Рефлексия

Подвести итоги урока. Собрать рабочие листы и выставить оценку за урок каждому ученику.

Конспект
Теорема: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямоуго угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Дано: ∆ABC, ∠С=90°, CD⊥AB
Доказать: ∆ACD ~ ∆ABC, ∆BCD ~ ∆BAC, ∆BCD ~ ∆CAD
Доказательство:
∠А − общий угол, ∠АСВ = ∠ADC = 90°, следовательно, ∆ACD ~ ∆ABC
∠B – общий угол, ∠АСВ = ∠BDC = 90°, следовательно, ∆BCD ~ ∆BAC
Заметим, что ∠САВ = ∠BСD
∠BDC = ∠ADC = 90°, ∠А = ∠BСD, следовательно ∆BCD ~ ∆CAD
Отрезок MN называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками АВ и CD, если выполняется равенство для длин отрезков
MN = √(AB ∙ CD)
Пример:
АВ = 5 см, CD = 125 см, MN = 25 см.
Является ли отрезок MN средним пропорциональным между отрезками AB и CD?
Решение:
Воспользуемся равенством MN = √(AB ∙ CD)
25 = √(5 ∙ 125)
25 = √625 – верно, следовательно, отрезок MN является средним пропорциональным между отрезками AB и CD.
Докажем утверждение: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
Дано: ∆ABC, ∠С = 90°, CD⊥AB

Доказать: CD = √(AD ∙ BD)
Доказательство:
∆BCD ~ ∆CAD, поэтому AD/CD = CD/BD, следовательно, CD 2 = AD ∙ BD, откуда CD = √(AD ∙ BD).
Для прямоугольного треугольника верно еще одно утверждение: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы.
Таким образом, в прямоугольном треугольнике выполняются равенства:
CD = √(AD ∙ BD)
AC = √(AB ∙ AD) или BC = √(AB ∙ BD)

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Урок геометрии в 8 классе

Тема урока: " Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике "

Ввести понятие среднего пропорционального (среднего геометрического) двух отрезков;

рассмотреть задачу о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике: свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла;

формировать у учащихся навыки использования изученной темы в процессе решения задач.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Формы работы учащихся: фронтальная, групповая.

Необходимое техническое оборудование:

компьютер, интерактивная доска;

Актуализация знаний учащихся

Изучение нового материала

Закрепление изученного материала

Домашнее задание

Подведение итогов ( рефлексия )

1. Организационный момент . Мотивация к учебной деятельности

(Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока.)

Актуализация знаний учащихся

Проверка домашнего задания ( Опр ос учащихся с целью выяснения затруднений при выполнении домашнего задания ).

Повторение пройденного материала . (слайд 3)

С каким важным математическим понятием вы познакомились на предыдущих уроках?

Давайте вспомним, какие два треугольника называются подобными?

Чем мы пользуемся при доказательстве подобия двух треугольников?

Сформулируйте эти признаки.

Изучение нового материала .

Определение: Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если

Задача 1: В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла опущена высота на гипотенузу. Перечислите пары получившихся подобных треугольников. (слайд 4)

Решить задачи (с последующим обсуждением решения).

(класс делится по группам на группы по 3-4 человека. Первая половина класса решает задачу № 2, вторая - задачу № 3

Задача№2. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой (слайд 5)

Задача №3. Доказать, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла (слайд 6).

Физкультминутка (слайд 7).

Закрепление изученного материала

Найти высоту ТМ

Найти не известные элементы треугольника.

6. Домашнее задание (слайд 11)

Решить задачи № 575, 577, 578 (устно), 579.

7. Подведение итогов ( рефлексия) (слайд 13)

Чему вы научились при изучении данной темы;

Какими навыками, умениями овладели;

Решение каких задач показалось вам сложным?

Какие вопросы требуется вашего особого внимания?

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 933 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Инструменты онлайн-обучения на примере программ Zoom, Skype, Microsoft Teams, Bandicam

Курс добавлен 31.01.2022
Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 609 086 материалов в базе

Материал подходит для УМК

63. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

03.03.2019 2674
DOCX 148.8 кбайт
287 скачиваний
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Гасайниев Рустам Магомедсаидович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Время чтения: 2 минуты

Минтруд предложил упростить направление маткапитала на образование

Время чтения: 1 минута

Время чтения: 2 минуты

Отчисленные за рубежом студенты смогут бесплатно учиться в России

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор предложил дать возможность детям из ДНР и ЛНР поступать в вузы без сдачи ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Читайте также: