Производная сложной функции конспект

Обновлено: 07.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тип урока: урок изучения нового материала

Вид урока: урок-экскурсия

Методы и приёмы: информационный, частично-поисковый, взаимообучения, метод ошибок, словесный, наглядный.

Формы работы: индивидуальная, групповая, коллективная, устная, письменная.

Цели урока:

Образовательные:

Сформировать у учащихся понятие сложной функции.

Изучить алгоритм вычисления производной сложной функции;

Показать его применение при вычислении производных.

Научить выполнять простейшие задания на применение правила дифференцирования сложной функции.

Продолжить развитие умений логически и аргументировано рассуждать, используя обобщения, анализ, сравнение при изучении производной сложной функции.

Способствовать развитию умений осуществлять самоконтроль, самооценку и самокоррекцию.

Воспитательные:

Воспитывать наблюдательность в ходе отыскания математических зависимостей, продолжить формирование самооценки при осуществлении дифференцированного обучения, повышать интерес к математике.

Воспитание познавательной активности, воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Воспитание любви к Родине.

Ожидаемые результаты: учащиеся должны иметь представление о сложной функции и правилах ее дифференцирования, уметь выполнять простейшие задания на применение правила дифференцирования сложной функции.

Используемые учебники и учебные пособия:

Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений под ред. А.Е. Абылкасымовой;

Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений под ред. А.Н.Колмогорова.

Используемое оборудование: компьютер, мультимедийная установка.

Используемые ЦОР:

Мультимедийная презентация учителя "Производная сложной функции", тесты, подготовленные средствами MS PowerPoint , карточки для индивидуальной работы.

Организация начала урока.

Проверка выполнения домашнего задания.

Актуализация опорных знаний и умений.

Усвоение новых знаний.

Первичная проверка понимания учащимися учебного нового материала.

Контроль и самоконтроль знаний.

Подведение итогов урока.

Организация начала урока. Формулировка темы урока и постановка целей. (2 мин)

Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодня у нас с вами необычный урок. Тема урока "Производная сложной функции". Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Мне бы хотелось взять эпиграфом к нашему уроку высказывание

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Значит, на уроке нам необходимы знания прошлых уроков.

У вас на столе лежат различные задания и лист оценивания. Внесите туда свою фамилию. Все достигнутые результаты вы будете заносить в таблицу, после чего подсчитаете баллы и оцените себя.

Сегодня на уроке мы повторим понятие производной, правила вычисления производных, научимся находить производную сложной функции.

Открываем тетради, записываем число и тему урока. Урок у нас с вами будет необычный потому, что отправимся мы сегодня в путешествие. А куда? Узнаем, если проверим ваше домашнее задание.

II . Проверка домашнего задания. (Слайд 4)

Вы дома вычисляли производные функции.

Теперь сопоставьте свой ответ с буквой на листке тестов и составьте предложение.

def: Функция вида называется сложной функцией, составленной из функций f и g.

th: Если функция дифференцируема в некоторой точке x, а функция определена на множестве значений функции и дифференцируема в точке , то сложная функция в данной точке имеет производную, которая находится по формуле:

или

Таблица производных некоторых сложных функций

(число)

формирование умения находить производную сложной функции.

развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;

развивать познавательный интерес.

- развивать познавательный интерес, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения.

Оборудование: таблица производных; таблица правил дифференцирования; карточки – задания для проверочной работы; учебник Башмаков М.И. «Математика: учебник для учреждений нач. и сред.проф.образования, задачник Башмаков М.И. «Математика. Задачник: учебное пособие для образовательных учреждений нач. и сред.проф.образования.

Применяемая педагогическая технология: технология проблемного обучения, групповая.

1 Организационный момент

2 Повторение пройденного материала

3 Изучение нового материала

4 Закрепление полученных знаний 5 Самостоятельная работа

Проверка готовности группы к работе.

Постановка цели занятия

II Повторение пройденного материала

1. Вопросы для фронтального опроса:

Что называется производной функции в точке?

Какая функция называется дифференцируемой в точке?

Какие правила дифференцирования вы знаете?

Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

2. Устная работа Пример 1 Найти производную функции . Пример 2 Найти производную функции .

Пример 3 Постановка проблемной ситуации: найти производную функции

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция cos x этого переменного.

Как называются такого рода функции? (Функции называются сложными или функциями от функций)

Мы умеем находить производные сложных функций? (Нет)

Тогда чему мы должны сейчас научиться? ( Нахождению производной сложных функций)

Давайте сформулируем тему нашего сегодняшнего занятия. (Производная сложной функции)

Студенты сами формулируют тему и цели урока, преподаватель записывает тему на доске, а студенты – в тетради.

III Изучение нового материала

Цель нашего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида y = f ( g (x) )называется сложной функцией, составленной из функций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Пример: Функция у =ln(cos x) есть сложная функция, составленная из функций

у = ln u и u = cos x .

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u), где u = g(x).

Внешняя функция Промежуточная функция

При этом аргумент х называют независимой переменной, а u - промежуточным аргументом.

Производную каждой из этих функций мы можем вычислить, используя таблицу производных.

Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференцируема в некоторой точке х₀, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u₀ = g(x₀), то функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x₀.

При этом или ,

т.е. производная от у по переменной х равна производной от у по переменной и, умноженной на производную о т и по переменной х.

Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;

Функцию читаем в обратном порядку действий направлении;

Производную находим по ходу чтения функции.

А теперь разберем это на примере:

Пример 1: Функция у =ln( cos x) получается последовательным выполнением двух операций: взятия косинуса угла х и нахождения от этого числа натурального логарифма:

Функция читается так: логарифмическая функция от тригонометрической функции.

Продифференцируем функцию: у = ln( cos x)=ln u, u=cos x.

На практике такое дифференцирование производится гораздо короче и проще, во всяком случае, без введения записи и.

Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

Будем использовать при дифференцировании дополненную таблицу производных.

Пример 2: Найти производную функции у = (x 3 - 5х + 7) 9 .

По формуле имеем

IV. Закрепление полученных знаний/

Решите примеры самостоятельно.

1) ;

2) ;

3) ;

V. Самостоятельная работа

1 Выполнение работы в форме теста

Студенты выполняют тест и проверяют ответы с помощью ключа, представленного на доске. Ставят оценку .

Выберите правильный вариант ответа

Производная функции равна:

а) ; б) ; в) .

Производная функции равна:

Друг, не переживай! На самом деле все просто до безобразия. Ты обязательно все поймешь. Только одна просьба – прочитай статью не торопясь, старайся понять каждый шаг. Я писал максимально просто и наглядно, но вникнуть в идею всё равно надо. И обязательно реши задания из статьи.

Что такое сложная функция?

Представь, что ты переезжаешь в другую квартиру и поэтому собираешь вещи в большие коробки. Пусть надо собрать какие-нибудь мелкие предметы, например, школьные письменные принадлежности. Если просто скидать их в огромную коробку, то они затеряются среди других вещей. Чтобы этого избежать, ты сначала кладешь их, например, в пакет, который затем укладываешь в большую коробку, после чего ее запечатываешь. Этот "сложнейший" процесс представлен на схеме ниже:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x )\)

Ответы на это задание посмотри в конце статьи.

Но такие формулы в школьной практике не встретятся (студентам повезло больше - у них может быть и посложнее☺).

То есть разматывать последовательность надо В ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ. И тут подсказка как это делать проще: сразу смотри на икс – от него и надо плясать. Давай разберем несколько примеров.

Например, вот такая функция: \(y=tg⁡(\log_2⁡x )\). Смотрим на икс – что с ним происходит сначала? Берется логарифм от него. А потом? Берется тангенс от результата. Вот и последовательность будет такая же:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x )\)

\(x^7+ ctg x\) - простая,
\(x^7· ctg x\) – простая,
\(\frac\) – простая и т.д.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

Вот в этом примере: \(y=tg⁡(log_2⁡x )\), функция \(\log_2⁡x\) – внутренняя, а - внешняя.

А в этом: \(y=\cos⁡\), \(x^3+2x+1\) - внутренняя, а - внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось - будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Производная сложной функции

Формула эта читается так:

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по неизменной внутренней на производную внутренней функции.

И сразу смотри схему разбора "по словам" чтобы понимать, что к чему относится:

Ответ: это обычная производная внешней функции, при которой изменяется только внешняя функция, а внутренняя остается такой же. Все равно непонятно? Хорошо, давай на примере.

Пусть у нас есть функция \(y=\sin⁡(x^3 )\). Понятно, что внутренняя функция здесь \(x^3\), а внешняя . Найдем теперь производную внешней по неизменной внутренней.

Из таблицы производных мы знаем, что производная синуса икс есть косинус икс (табличные значения надо знать наизусть!): \((>)'=\cos⁡\).

Тогда производная внешней функции по неизменной внутренней для нашего случая будет \(\cos⁡(x^3)\). То есть, мы взяли ее как обычную производную синуса, а содержимое синуса (внутреннюю функцию) просто скопировали в полученную производную (косинус), ничего в ней не меняя.

Таким образом, на данный момент имеем:

Все, теперь можем писать ответ:

Вот так. Давай еще один пример разберем.

Пусть надо найти производную функции \(y=(\sin⁡x )^3\).

Ну, а производная внутренней – это просто производная синуса икс, то есть косинус икс.

Понятно?
Ладно, ладно, вот еще один пример с разбором. ☺

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln(x^2-x)\).

Разбираем вложенность функций: \(x → x^2-x → \ln⁡(x^2-x)\).
Внутренняя: \(x^2-x\). Внешняя: .
Из таблицы производных знаем: .
То есть производная внешней по внутренней будет: \(\ln⁡(x^2-x)'=\) \(\frac\) .
Производная внутренней: \((x^2-x)'= (x^2)'-(x)'=2x-1\).
В итоге, согласно большой и страшной формуле имеем:

Что, еще примеров желаешь? Легко.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sin⁡\).
Вложенность функций: \(x → \cos⁡x → \sin⁡\)
Внутренняя: \(\cos⁡x\) Внешняя:
Производная внешней по внутренней: \(\sin<⁡(\cos⁡x )>'=\cos⁡\)
Производная внутренней: \((\cos⁡x )'= -\sin⁡x\)
Имеем: \(y'=(\sin⁡)'=\cos⁡·(-\sin⁡x )=-\cos⁡ ·\sin⁡x\)

Замечание: Обрати внимание, что заменить запись \(\cos⁡\) на \(\cos^2⁡x\) НЕЛЬЗЯ, так как \(\cos^2⁡x\) - это комбинация простых функций \(\cos^ 2⁡x=\cos⁡x·\cos⁡x\), а \(\cos⁡\) – сложная функция: косинус от косинуса икс. Это абсолютно разные функции.

Еще пример с важным замечанием в нем.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\sqrt \)
Вложенность функций: \(x → x^6 → \sqrt\)
Внутренняя: \(x^6\) Внешняя:
Производная внешней по внутренней: \(\sqrt'=\) \(\frac<2\sqrt>\)
Производная внутренней: \((x^6)'= 6x^5\)
Имеем: \((\sqrt)'=\) \(\frac<2\sqrt>\) \(·6x^5\)
И теперь упростим ответ. Вспомним свойство корня: \(\sqrt[b] =x^>\). Тогда \(\sqrt=x^>=x^3\). С учетом этого получаем:

Всё. А теперь, собственно, важное замечание:

Давай рассмотрим пример, где эта идея нам сильно поможет.

Пример. Найти производную сложной функции \(y=\ln⁡(x^3)\).
Можно, конечно, рассмотреть вложенность функций: \(x → x^3 → \ln⁡(x^3 )\), разобрать на внутреннюю и внешнюю и так далее. Но можно вспомнить свойство логарифма: \(\log_a⁡=c·\log_a\). И тогда функция получается \(y=\ln⁡(x^3 )=3\ln⁡x\). Отлично! Берем производную:

Теперь задачка посложнее, для продвинутых. Решим пример с тройной вложенностью!

Пример. Найти производную сложной функции \(y=3^\).
Вложенность функций: \(x → x^4+1 → \sin⁡(x^4+1) → 3^\)
Внутренняя: \(x^4+1\) Средняя: Внешняя:
Сначала производная внешней по средней. Вспоминаем таблицу производных: . Значит, в нашем случае будет \(3^·\ln⁡3\).
Хорошо, теперь производная средней по внутренней. По таблице: . Значит, мы получим, \(\sin⁡(x^4+1)'=\cos⁡(x^4+1)\).
И наконец, производная внутренней: \((x^4+1)'=(x^4 )'+(1)'=4x^3\).
Отлично. Теперь собираем все вместе, перемножая отдельные производные:

Готово. Да, это ответ. ☺

Ну, а что ты хотел, я сразу сказал – пример для продвинутых! А представь, что будет с четырехкратной или пятикратной вложенностью? ☺

Пример: Найти производную сложной функции \(y=tg⁡(7^x)\).

Разбираем вложенность функций: \(x \: → \:7^x \: → \:tg⁡(7^x)\).
Внутренняя: \(7^x\) Внешняя: \(tg⁡(7^x)\).
Ищем производную самой внешней функции, внутреннюю при этом не трогаем.
Из таблицы производных знаем: .
То есть, в нашем случае производная внешней по внутренней будет: \(\frac\) .
Теперь ищем производную внутренней. Этой формулой мы уже пользовались, так что сразу пишем ответ: \((7^x)'=7^x·\ln⁡7\).
И перемножаем результаты:

Последний пример. Такие задания в разных вариациях весьма часто дают на контрольных и тестах. Он вроде как считается сложным. ☺ Хех, наивные учителя. ☺

Пример: Найти производную сложной функции \(y=\sqrt[3]\).

Казалось бы, опять у нас тройная вложенность функций:

Но давай снова воспользуемся свойством корня \(\sqrt[b] =x^>\) и преобразуем нашу функцию к виду:

Вот так. И теперь у нас вложенность двойная: \(x → x^5+2x-5 → (x^5+2x-5)^>\)
При этом функция осталась той же! Удобное свойство, однако. Стоит его запомнить, да? ☺ Ладно, поехали дальше.
Внутренняя функция: \(x^5+2x-5\). Внешняя: .
Производная внешней по внутренней. По таблице производных общая формула производной степенной функции: . Получаем: . Тогда в нашем случае будет: \(\frac(x^5+2x-5)^>\).
Производная внутренней: \((x^5+2x-5)'=5x^4+2\).
Общий результат: \(y '=(\sqrt[3])'=((x^5+2x-5)^> )'=\frac(x^5+2x-5)^>·(5x^4+2)\).

Ну, и перемножаем дроби.

ВСЁ. А теперь сам.

Найти производные функций:

Ответы ко всем заданиям (вперемежку).

\(x → 1+x → \log_2⁡ \)
\(x → 11^x → arctg⁡(11^x) \)
\(x → x^7 → 5^\)
\(x → \sin⁡x → \cos⁡(\sin⁡x)\)

Читайте также: