Преобразование выражений содержащих радикалы конспект урока

Обновлено: 08.07.2024

Разработка урока может быть использована на уроке в классе с углублённым изучением предмета, так и на факультативном занятии.

Цель: Через познавательную активность учащихся, желание добиться результатов труда, преодолевая трудности подвести детей к самостоятельному выводу способа преобразования сложных радикалов, тем самым углубить знания учащихся по теме квадратные корни.

Вложение	Размер
urok_po_teme_preobrazovanie_slozhnyh_radikalov.rar	99.63 КБ

Предварительный просмотр:

Урок изучения нового материала.

Преобразование выражений вида .

Через познавательную активность учащихся, желание добиться результатов труда, преодолевая трудности подвести детей к самостоятельному выводу способа преобразования сложных радикалов, тем самым углубить знания учащихся по теме квадратные корни.

( в перемену раздать листы с лестницей, цель-жюри, эпиграф- на экран).

(слайд 1) обратите внимание на эпиграф. …
Как вы думаете, в чём суть этого изречения?(… …)
Скажите мне пожалуйста, что вы изучаете на уроках алгебры? (……………………………)
Сейчас у вас есть возможность это вспомнить.

(переверните листы, которые лежат у вас на столах)

2 Мотивация. Выход на проблему..

Посмотрите внимательно, поднимите руки те, кто понял, как подняться по лестнице?( щелчок. Слайд 2).

(те ,кто справится поднимите руку.) Вызвать к доске.

3.Изучение нового материала.

3.1 Поиск решения.

Вопросы, подготавливающие к решению проблемы:

при выполнении действий с радикалами, на что вы обращаете внимание в первую очередь? (………………………)
Почему? (……………………………….)
В вашем задании какое выражение под корнем?
Почему? Докажите.

Щелчок. • 0 .Запишите в тетрадь.

Но чтобы извлечь корень, что вам необходимо получить под знаком радикала? (………………………..)

Какое свойство вы применяете при извлечении корней ? (…………………………..)
А почему модуль? (……………….)

Щелчок . Запишите в тетрадь.

Какие формулы вам помогают привести выражение к квадрату?(…………………………………….)

Прикрепить на доску формулы.

Щелчок Запишите в тетрадь.

Определите этапы решения проблемы :

Проверить , что под знаком корня неотрицательное число.
Привести выражение под корнем к квадрату.
Извлечь корень по свойству

Посмотрите на разность под корнем, и к какому (показать

) выражению вам необходимо придти. А как? У вас есть подсказки.

Показать решение: (слайд 4,5)

Преобразование подкоренного выражения
Извлечение корня. Поднимите руки , У кого получилось также?
На основании чего вы раскрыли модуль? (…………..)

Молодцы вы нашли выход из проблемы.

Щелчок слайд 6 изречение……..

В чём же заключалось ваше открытие?(…………………….)
Но это не единственный способ, есть ещё интересная формула. Щелчок. Слайд 7
Какую вы видите особенность в формуле? (………………………………………)

Щелчок. Сопоставьте значения с буквами. Подставьте в формулу. А можно ли упростить вычисления? Как?

Слайд 8 . сами продолжают вычислять. Выдать листы с формулой.

У вас на партах справочный материал . Кого заинтересовала формула вы можете поработать над доказательством самостоятельно.

Подведение итогов.

Ребята, а с чего начинался ваш урок?
И что же вы нашли? Какие?

Рефлексия.

Если бы сейчас вам предложили преобразовать сложный радикал, какой способ вы применили?
Почему?
У вас дома будет возможность применить два способа и подумать в каких случаях какой способ эффективнее.

Вывод. Ведь только мыслящему человеку по силам дорога открытий.

Спасибо за урок. Спасибо за то, что вы били вместе со мной….

Формула сложного радикала

Доказательство : так как a ≥ 0, b ≥ 0, a² - b ≥ 0, то возведём обе части в квадрат

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема урока: Преобразование выражений, содержащих радикалы

Цель занятия: Обеспечить овладение всеми обучающимися алгоритмическими приемами преобразований выражений, содержащих радикалы

Обучающая: систематизировать знания свойств корня п-ой степени; отработать практические умения решения заданий ЕГЭ по математике.

Развивающая: развивать логическое мышление учащихся, вырабатывать умение сравнивать, делать выводы, делать самопроверку , развивать интерес к изучению математики; Воспитательная: воспитывать навыки самостоятельной работы при выборе способа решения задач, воспитание настойчивости и целеустремленности, воспитание математическо грамотности

Тип урока: комбинированный

Оборудование: Компьютер, тетради обучающихся, раздаточный материал

1) Организационный момент, вступительная беседа учителя-

2) Актуализация опорных знаний

3) Постановка цели и задач учебного занятия.

4) Первичное усвоение новых знаний

5)Закрепление изученного материала

6)Обобщение и систематизация знаний

7)Подведение итогов работы. Рефлексия

8) Домашнее задание

11.Организационный этап

Командир группы, доложите явку учащихся

2. Актуализация знаний.

Ребята, на прошлом уроке мы изучили свойства корня n-ой степени. Сегодня мы посмотрим, как их применять при решении различных задач которые могут встретиться на практике.

2.1 Устные упражнения

2.2 Математический диктант

3.Постановка цели и задач учебного занятия.

Мотивация учебной деятельности обучающихся через обозначение проблемы:

3.1.Выражения, содержащие операцию извлечения корня, называют иррациональными выражениями.

Что нужно сделать? составить алгоритм преобразования выражений, содержащих радикалы.

Правильно, вы сформулировали цель занятия: составить алгоритм преобразования выражений, содержащих радикалы

Я хочу обратить внимание на то ,что полученные знания и навыки вы в дальнейшем будете применять в профессиональной деятельности: например для написания программы на языке программирования нужно уметь произвести математические алгоритмы действий и только потом приступать к программированию.

4. Первичное усвоение новых знаний

4.1Повторим Алгоритм преобразований выражений, содержащих радикалы:

1.Чтобы внести множитель под знак радикала, нужно его возвести в соответствующую степень;

2Чтобы вынести множитель из под знака радикала, нужно его разложить на множители.

5. Закрепление изученного материала

5.2 Я хочу обратить внимание еще раз на то, что данная тема очень важная , так как из года в год на Е Г Э всегда присутствуют задания с радикалами. Поэтому сегодня хочется показать все многообразие заданий по этой теме ,

задания ЕГЭ по математике.

6. Обобщение и систематизация знаний- с/р и критерии

7. Подведение итогов работы.7.1 Вывод по занятию.

Как вы считаете, цель занятия: составить алгоритм преобразования выражений, содержащих радикалы, достигнута? Повторим его.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Преобразование выражений, содержащих радикалы"

· рассмотреть примеры, в которых выполняются преобразования выражений с радикалами.

На прошлых уроках мы с вами познакомились с корнем n-ой степени из а, рассмотрели основные свойства корня. На сегодняшнем уроке мы будем решать задачи на преобразование выражений с радикалами, используя все, что мы изучали на предыдущих уроках.

Повторим основные понятия.

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число, при возведении которого в степень n получается число а.

Корнем нечётной степени n-ой из отрицательного числа а называют такое отрицательное число, при возведении которого в степень n получается а.

Число а – это подкоренное число, число n – показатель корня.

Перечислим основные свойства

Прежде чем приступить к решению упражнений, давайте отметим некоторые важные моменты.

Нет, так как, например:

В данном случае справедлива формула:

Эта же формула справедлива для любого чётного показателя степени.

Для нечётного показателя степени имеем другую формулу.

Рассмотрим несколько примеров.

Ещё раз хотелось бы обратить ваше внимание, что решая задачи с радикалами, в первую очередь мы должны обратить внимание на то, какой знак может иметь подкоренное выражение. И только после этого приступать к преобразованию выражений.

Урок и презентация на тему: "Преобразование выражений, содержащих радикал"

Используя наши формулы, мы можем преобразовывать выражения содержащие радикалы (операция извлечения корня), такие выражения называются иррациональными.

Давайте рассмотрим пример: $\sqrt[6]$.
О знаке числа х мы ничего не знаем, преобразовав наше выражение получим: $x*\sqrt[6]$.
На самом деле эта запись неверная. Повторимся: о знаке числа х мы ничего не знаем. Как быть в этом случае?
Для того чтобы быть уверенным, что ответ правильный, лучше представить его виде: $|x|*\sqrt[6]$.
Обобщенная формула для корней с четным показателем будет выглядеть так: $\sqrt[2n]>=|a|$.

Ребята, мы рассмотрели операцию вынесение множителя за знак радикала. Существует и обратная операция – внесение множителя под знак радикала.

Пример.
Сравнить числа $4\sqrt[3]$ и $2\sqrt[3]$.
Решение.
Мы знаем: $4=\sqrt[3]$ и $2=\sqrt[3]$.
Преобразуем исходное выражение:
$4\sqrt[3]=\sqrt[3]*\sqrt[3]=\sqrt[3]$.
$2\sqrt[3]=\sqrt[3]*\sqrt[3]=\sqrt[3]$.
Показатели корней обоих выражений одинаковые. Больше то число, у которого больше подкоренное выражение. В нашем случае: $\sqrt[3]>\sqrt[3]$.

Пример.
Упростить выражение: $\sqrt[5]>$.
Решение.
Внесем выражение, содержащее третью степень, под знак корня:
$x^3*\sqrt[4]=\sqrt[4]x^*\sqrt[4]=\sqrt[4]>$.
Воспользуемся формулой 5. Исходное выражение можно представить в виде: $\sqrt[5]<\sqrt[4]>>=\sqrt[20]>$.

б) Давайте внимательно посмотрим на наше выражение. Оно похоже на формулу разности кубов, давайте ее и применим:
$(\sqrt[3]-\sqrt[3])(\sqrt[3]+\sqrt[3]+\sqrt[3])=^3-^3=a-b$.

Пример.
Выполнить действия:
а) $\sqrt[6]*\sqrt[4]$.
б) $\sqrt>*\sqrt[4]>$.
Решение.
Перемножать можно только корни одной и той же степени. Давайте приведем наши выражения к одинаковому показателю корня.
$\sqrt[6]=\sqrt[12]>$ (домножили на 2).
$\sqrt[4]=\sqrt[12]>$ (домножили на 3).
$\sqrt[6]*\sqrt[4]=\sqrt[12]>*\sqrt[12]=\sqrt[12]>$.
Упростим получившиеся выражение:
$\sqrt[12]>=\sqrt[12]*a^7>=|a|*\sqrt[12]$.
Обратим внимание на то, что показатель корня наших выражений – четный. Это значит, что подкоренное выражение содержит только положительные числа, то есть $a≥0$, но тогда $|a|=a$.
Ответ: $\sqrt[6]*\sqrt[4]=a*\sqrt[12]$.

б)Этот пример можно решить двумя способами. Давайте рассмотрим каждый из способов:
1 способ. Приведем первый множитель к 4-ой степени:
$\sqrt>=\sqrt[4]<<(3-\sqrt)>^2>=\sqrt[4]+3>=\sqrt[4]>$.
Перемножим радикалы:
$\sqrt[4]>*\sqrt[4]>=\sqrt[4]<<(12-6\sqrt)>*(12+6\sqrt)>=\sqrt[4]=\sqrt[4]=\sqrt[4]=\sqrt[4]=\sqrt$.

2 способ. Посмотрим на подкоренное выражение во втором множителе:
$12+6\sqrt=9+6\sqrt+3=3^2+2*3*\sqrt+<(\sqrt)>^2=<(3+\sqrt)>^2$.
Мы можем преобразовать множитель в целом:
$\sqrt[4]<12+6\sqrt>=\sqrt[4]^2>=\sqrt<3+\sqrt>$ (разделили на 2 показатели степеней).
Преобразуем всё выражение:
$\sqrt<3-\sqrt>*\sqrt[4]<12+\sqrt[6]>=\sqrt<3-\sqrt>*\sqrt<3+\sqrt>=\sqrt<(3-\sqrt)*(3+\sqrt)>=\sqrt=\sqrt$.

2 способ.
Введем замену переменных.
Пусть $a=\sqrt[6]$, $b=\sqrt[6]$. Тогда $\sqrt[3]=a^2$ и $\sqrt[3]=b^2$.
$\frac<\sqrt[3]-\sqrt[3]><\sqrt[3]-2\sqrt[6]+\sqrt[3]>=\frac^2>=\frac>=\frac=\frac<\sqrt[6]+\sqrt[6]><\sqrt[6]-\sqrt[6]>$.
Замена переменных часто упрощает ход решения. Работать с рациональными выражениями гораздо проще и привычней, чем с иррациональными.

Внимание Скидка 50% на курсы! Спешите подать
заявку

Профессиональной переподготовки 30 курсов от 6900 руб.

Курсы для всех от 3000 руб. от 1500 руб.

Повышение квалификации 36 курсов от 1500 руб.

Лицензия №037267 от 17.03.2016 г.
выдана департаментом образования г. Москвы

Формирование умение решать задания на преобразование выражений, содержащих радикалы;

закрепить понятия свойства корня n -ой;

способствовать совершенствованию умений и навыков по работы в Microsoft Office Excel при обработки информации на производстве.

развитие мыслительных умения: структурировать объекты (выделять составные части объекта и располагать их в иерархическом виде).

развивать творческое (продуктивное) мышление (в процессе составления ребуса),

воспитание общей и информационной культуры, трудолюбия, усидчивости, терпения, бережного отношения к компьютерной технике, привитие учащимся навыков самостоятельности в работе.

Тип урока : систематизация знаний

Вид урока: проблемный

Методические приемы: наглядно – иллюстративный: ребус, компьютерное тестирование , практический: выборочное решение примеров, задачи производственной направленности

Оборудование и наглядные средства обучения : компьютерный класс с ОС Windows XP и пакетом программ Microsoft Office 2003,мультимедийный проектор, презентация, компьютерный тест, раздаточный материал (ребус).

Межпредметные связи: математика- информатика- производственное обучение.

I .Организационный момент : Подготовка учащихся к уроку

В связи с большим скоплением на производстве цифровых данных обработка информации не возможна без применения вычислительной техники. Операторы ЭВМ обрабатывают информацию с помощью информационных технологий. Сегодня на уроке мы применим ваши математические и профессиональные знания при решении задачи производственной направленности.

Вычислите среднее значение коэффициента мощности по цеху, если показания счетчика активной энергии в начале и конце месяца были соответственно 2326 и 2476 Квтч, показания реактивной энергии в начале и конце месяца соответственно 1673 и 1773 КвАрч. Вычисления производить в программе Microsoft Office Excel 2003.

Но к решению задачи мы приступим немного позже.

Инструктаж по технике безопасности. Слайд 6.

II .Актуализация опорных знаний :

2.1 Компьютерное тестирование ( 6 человек, 10 минут)

2.2 Фронтальный опрос (с оставшейся группой):

2.2.1 Что такое радикал? Слайд 8.

а)свойства корня n -ой степени. Слайд 9.

б) корень из дроби. Слайд10.

в)Извлечение корня из корня. Слайд 11.

г)основное свойство корня. Слайд 12.

Проверка теста.(При необходимости разбор теста через мультимедиа проектор).

III . Практическая работа.

IV .Закрепление пройденного материала.

Преподаватель разбирает решение задачи на доске.

Для того , чтобы вычислить среднее значение коэффициента мощности по цеху, которое не должно превышать 0,99-0,75 ( только в этом случае нет простоя оборудования), нужно найти косинус угла. Вычисления производятся по Теореме Пифагора( так как треугольник прямоугольный).Первый катет – реактивная энергия , второй катет – активная энергия , гипотенуза – полная энергия. Косинус угла – это отношение активной энергии к полной . А полная энергия – это радикал второго порядка

Учащиеся используя инструкционную карту выполняют работу на компьютере, используя Microsoft Office Excel 2003.

V .Подведение итогов урока:

Сегодня на уроке мы с вами подтвердили слова русского ученого М.В. Ломоносова

Читайте также: