Понятие переменной и постоянной величины конспект
Обновлено: 05.07.2024
Объектом исследования в курсе математического анализа являются различные величины, исследуются возможности описания с помощью этих величин реально происходящих явлений или процессов.
Величины могут быть переменными и постоянными, то есть меняющимися, или не меняющимися в процессе исследования. Эти заключения являются условными, покажем это на примере. Координаты нашего города, конечно, являются постоянными величинами, по их значениям легко находится местоположение города на карте. Однако, это утверждение является истинным только для находящихся на Земле. Если наблюдать за местоположением нашего города с космической станции, его координаты будут меняться с вращением Земли. Изучая земные дела, мы уверенно можем считать эти величины постоянными.
Переменные величины могут быть независимыми и зависимыми, меняющимися в зависимости от каких-то других величин. Эти понятия также условны. К примеру, время меняется независимо от чего либо, и его следует считать переменной величиной. Однако, с позиций общей теории относительности Эйнштейна это совсем не так.
Если рассмотреть уравнение окружности , в нем участвует две переменные величины и . Одной из них можно придавать в некоторой области любые значения, другая находится из приведенного уравнения. Следовательно, одну из них можно считать независимой, другую - зависимой переменной. При этом независимой переменной может считаться любая из них, тогда вторая будет зависимой.
Для работы с величинами необходимо задать множество, то есть совокупность значений, которые могут принимать эти величины в процессе их использования. В школе вас знакомили с несколькими множествами. Рассмотрим только некоторые из них.
Пусть множество является множеством натуральных чисел, это множество содержит бесконечное количество элементов, обозначение показывает, что элемент принадлежит множеству натуральных чисел.
Обозначим - множество действительных (вещественных) чисел, тогда множество является подмножеством множества , то есть полностью расположено на множестве и является его частью. Обозначение .
Множество всех действительных чисел обычно располагается на некоторой оси, называемой вещественной (числовой) осью. Каждому числу множества соответствует точка на оси.
Для краткой записи используются следующие обозначения:
Функция. Способы ее задания
Вернемся к независимым и зависимым переменным. Независимую переменную часто называют аргументом, зависимую – функцией.
Определение 1. Если каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие один и только один элемент множества , говорят, что на множестве задана функция , здесь определяет закон, с помощью которого осуществляется это соответствие.
Примеры , .
Функция может быть задана в виде
В качестве примера приведена функция, аналитическое задание которой , табличное и графическое ее задание приведено ниже.
| x | 1.5 | 2.5 |
| y | 2.25 | 6.25 |
Аналитически функцию можно задать
· в явном виде (явное задание функции), когда из формулы следует, что переменная зависит , то есть является функцией аргумента ;
· неявно , когда любая из переменных может считаться независимой, тогда другая переменная является функцией. Пример неявного задания функции . Нетрудно заметить, что эта формула задает фактически две непрерывные функции и . Первая функция представляет верхнюю полуокружность, вторая – нижнюю ее часть.
· параметрически (параметрическое задание функции) , когда вводится дополнительный параметр . Исторически параметр t был связан со временем. Тогда параметрическое задание функции дает возможность не только установить, на какой линии находится точка, но и в каком месте этой линии она находится в заданный момент времени.
Пример. . Нетрудно установить, что это параметрическое уравнение эллипса . При имеем правую крайнюю точку эллипса A , при находимся в точке B, то есть в верхней точке эллипса и т.д. Таким образом, параметрическое задание дает большую информацию о функции, чем другие аналитические ее представления.
Определение 2. Множество называется областью существования функции, или областью ее задания. Область существования функции может быть шире, чем область ее задания. То есть функция может существовать на всей числовой оси, а используется она при .
Определение 3. Множество называется областью значений функции.
Определение 4. Любое подмножество числовой оси называется промежутком. Открытый промежуток, не включающий граничных точек, называется интервалом и обозначается или . Замкнутый промежуток, содержащий все внутренние и граничные точки, называется отрезком и обозначается или . Имеют место также полуинтервалы и . В первом случае в полуинтервал входит только левая граничная точка, во втором – только правая.
У функции область существования вся числовая ось то есть , область значений . У функции область существования или , область значений также . У функции область существования , область значений .
Объектом исследования в курсе математического анализа являются различные величины, исследуются возможности описания с помощью этих величин реально происходящих явлений или процессов.
Величины могут быть переменными и постоянными, то есть меняющимися, или не меняющимися в процессе исследования. Эти заключения являются условными, покажем это на примере. Координаты нашего города, конечно, являются постоянными величинами, по их значениям легко находится местоположение города на карте. Однако, это утверждение является истинным только для находящихся на Земле. Если наблюдать за местоположением нашего города с космической станции, его координаты будут меняться с вращением Земли. Изучая земные дела, мы уверенно можем считать эти величины постоянными.
Переменные величины могут быть независимыми и зависимыми, меняющимися в зависимости от каких-то других величин. Эти понятия также условны. К примеру, время меняется независимо от чего либо, и его следует считать переменной величиной. Однако, с позиций общей теории относительности Эйнштейна это совсем не так.
Если рассмотреть уравнение окружности , в нем участвует две переменные величины и . Одной из них можно придавать в некоторой области любые значения, другая находится из приведенного уравнения. Следовательно, одну из них можно считать независимой, другую - зависимой переменной. При этом независимой переменной может считаться любая из них, тогда вторая будет зависимой.
Для работы с величинами необходимо задать множество, то есть совокупность значений, которые могут принимать эти величины в процессе их использования. В школе вас знакомили с несколькими множествами. Рассмотрим только некоторые из них.
Пусть множество является множеством натуральных чисел, это множество содержит бесконечное количество элементов, обозначение показывает, что элемент принадлежит множеству натуральных чисел.
Обозначим - множество действительных (вещественных) чисел, тогда множество является подмножеством множества , то есть полностью расположено на множестве и является его частью. Обозначение .
Множество всех действительных чисел обычно располагается на некоторой оси, называемой вещественной (числовой) осью. Каждому числу множества соответствует точка на оси.
Для краткой записи используются следующие обозначения:
Функция. Способы ее задания
Вернемся к независимым и зависимым переменным. Независимую переменную часто называют аргументом, зависимую – функцией.
Определение 1. Если каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие один и только один элемент множества , говорят, что на множестве задана функция , здесь определяет закон, с помощью которого осуществляется это соответствие.
Примеры , .
Функция может быть задана в виде
В качестве примера приведена функция, аналитическое задание которой , табличное и графическое ее задание приведено ниже.
| x | 1.5 | 2.5 |
| y | 2.25 | 6.25 |
Аналитически функцию можно задать
· в явном виде (явное задание функции), когда из формулы следует, что переменная зависит , то есть является функцией аргумента ;
· неявно , когда любая из переменных может считаться независимой, тогда другая переменная является функцией. Пример неявного задания функции . Нетрудно заметить, что эта формула задает фактически две непрерывные функции и . Первая функция представляет верхнюю полуокружность, вторая – нижнюю ее часть.
· параметрически (параметрическое задание функции) , когда вводится дополнительный параметр . Исторически параметр t был связан со временем. Тогда параметрическое задание функции дает возможность не только установить, на какой линии находится точка, но и в каком месте этой линии она находится в заданный момент времени.
Пример. . Нетрудно установить, что это параметрическое уравнение эллипса . При имеем правую крайнюю точку эллипса A , при находимся в точке B, то есть в верхней точке эллипса и т.д. Таким образом, параметрическое задание дает большую информацию о функции, чем другие аналитические ее представления.
Определение 2. Множество называется областью существования функции, или областью ее задания. Область существования функции может быть шире, чем область ее задания. То есть функция может существовать на всей числовой оси, а используется она при .
Определение 3. Множество называется областью значений функции.
Определение 4. Любое подмножество числовой оси называется промежутком. Открытый промежуток, не включающий граничных точек, называется интервалом и обозначается или . Замкнутый промежуток, содержащий все внутренние и граничные точки, называется отрезком и обозначается или . Имеют место также полуинтервалы и . В первом случае в полуинтервал входит только левая граничная точка, во втором – только правая.
У функции область существования вся числовая ось то есть , область значений . У функции область существования или , область значений также . У функции область существования , область значений .
С другой стороны, математика начинает рассматривать как переменные не только величины, но и всё более разнообразные и широкие классы других своих объектов. На этой почве во 2-й половине 19 в. и в 20 в. развиваются теория множеств, топология и математическая логика. О том, насколько расширилось в 20 в. понятие переменной величины, свидетельствует тот факт, что в математической логике рассматриваются не только переменные, пробегающие произвольные множества предметов, но и переменные, значениями которых служат высказывания, предикаты (отношения между предметами) и т.д. (см. Переменная).
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .
Полезное
Смотреть что такое "Переменные и постоянные величины" в других словарях:
ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ — в математике величины, которые в изучаемом вопросе принимают различные значения или сохраняют одно и то же значение. Различие между переменной и постоянной величинами относительно: величина, постоянная в некотором вопросе, может быть переменной в … Большой Энциклопедический словарь
переменные и постоянные величины — (матем.), величины, которые в изучаемом вопросе принимают различные значения или сохраняют одно и то же значение. Различие между переменной и постоянной величинами относительно: величина, постоянная в некотором вопросе, может быть переменной в… … Энциклопедический словарь
ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ — см. Константа, Переменная. Философская Энциклопедия. В 5 х т. М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960 1970 … Философская энциклопедия
ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ — (матем.), величины, к рые в изучаемом нопросс принимают разл. значения или сохраняют одно и то же значение. Различие между переменной и постоянной величинами относительно: величина, постоянная в нек ром вопросе, может быть переменной в другом … Естествознание. Энциклопедический словарь
Переменные звёзды — I Переменные звёзды П. з. звезды, видимый блеск которых подвержен колебаниям. Многие П. з. являются нестационарными звездами; переменность блеска таких звезд связана с изменением их температуры и радиуса, истечением вещества,… … Большая советская энциклопедия
Переменные звёзды — I Переменные звёзды П. з. звезды, видимый блеск которых подвержен колебаниям. Многие П. з. являются нестационарными звездами; переменность блеска таких звезд связана с изменением их температуры и радиуса, истечением вещества,… … Большая советская энциклопедия
постоянная величина — см. Переменные и постоянные величины, Константа. * * * ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ ВЕЛИЧИНА, см. Переменные и постоянные величины (см. ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ), Константа (см. КОНСТАНТА) … Энциклопедический словарь
Математика — I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия
Постоянная величина — константа, величина, которая в изучаемом вопросе сохраняет одно и то же значение (см. Переменные и постоянные величины). Постоянство величины х символически записывают х = const. П. в. часто обозначают буквами С и К … Большая советская энциклопедия
Существуют постоянные и переменные величины. Постоянные – это те величины, которые при заданном условии не меняют своего значения. Переменными величинами называются тогда, когда приобретаются разные значения.
Постоянная величина
Постоянная величина – это величина, которая при заданных условиях не меняет своего значения.
Чтобы убедиться, что постоянная величина существует, вспомним несколько известных примеров: отношение длины круга к диаметру, как известно, равняется ; сумма внутренних углов треугольника равна ; черырехугольника – ; скорость света в вакууме км/с, постоянным есть ускорение земного притяжения в данной точке Земли и т. п.
Постоянная величина обозначается начальными буквами латинского алфавита – .
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Переменная величина
Рассмотрим переменную величину на примере: в процессе движения точки переменными есть пройденный точкой путь, её координаты, относительно заданной системы координат и т. п.
Переменная величина записывается последними буквами латинского алфавита – . Среди переменных величин удобно выделить такие, что приобретают отдельные изолированные значения, например, значение натуральных чисел , или значения некоторой последовательности, например, арифметической или геометрической прогрессий. Такие переменные принято обозначать и называть дискретными переменными.
Если переменная величина приобретает все значения с некоторого промежутка, тогда считают, что она меняется непрерывно. Например, длина столбика термометра при перемене температуры принимает все значения с некоторого отрезка. Посмотрите ниже, как это выглядит на примере.
Пусть и – действительные числа, , им отвечают точки на числовой оси.
Отрезком называется множество чисел (точек) что удовлетворяют условия , при этом пишут ещё .
Интервалом называется множества чисел , что удовлетворяют условия . Множество всех действительных чисел (точек числовой прямой) будем обозначать интервалом , это означает, что для переменной выполняется неравность . Интервал – это множество чисел, которые больше , или множество чисел, что удовлетворяют неравности Аналогично интервал означает множеству точек таких, что .
Полуинтервалами или называется множество точек, для которых соответственно или .
Отрезок, интервал или полуинтервал мы будем называть ещё промежутком. Промежутки перемены переменной могут появляться, например, при решении неравенств, которые в свою очередь появляются при исследовании функции.
Примеры решений по теме : “Постоянные и переменные величины”
Задача
Определить промежутки перемены переменной , которые заданы неравенством: ;
Решение
Ответ
Область решений – промежуток: .
Задача
Определить промежутки перемены переменной , которые заданы неравенством:
Решение
Неравенство решается методом интервалов, определяя знак выражения в “пробных” точках каждого из интервалов.
Ответ
Область решений – отрезок или .
Задача
Определить промежутки перемены переменной , которые заданы неравностью:
Решение
Для решения двойного неравенства отнимем из всех её частей по 5 и разделим на (-2) (при делении знаки неравенств меняются с отрицательного числа на противоположное).
Алгоритм – это описание последовательности действий, приводящих к решению задачи.
Величина – это отдельный информационный объект (символ, число, таблица и др.)
Величины могут быть постоянными (константы) или переменными.
Константа — это величина, которая задаётся в начале алгоритма, и не изменяется в процессе его выполнения.
Переменная — это величина, которая меняет своё значение в процессе выполнения алгоритма.
Операции, которые можно выполнять с величинами:
операции отношения (больше, меньше, равно и др.);
арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление);
логические операции (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция).
Операнды – это объекты, с которыми производятся операции.
Каждая величина имеет своё имя , оно может состоять из латинских букв, цифр, других знаков.
Читайте также: