Показательные уравнения 10 класс конспект урока

Обновлено: 06.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Конспект урока по алгебре и началам анализа для учащихся 10 класса

Цель урока: Образовательная: показать виды и способы решения показательных уравнений.

Развивающая: развитие познавательных процессов учащихся; зрительной и слуховой памяти, логического и математического мышления, воображения, устойчивости, гибкости и способности к распределению внимания.

Воспитательная: воспитание у учащихся аккуратности и точности при выполнении заданий у доски и ведения тетрадей, умения работать в коллективе, коммуникабельности, дисциплинированности на уроке, ответственности за свои действия, самостоятельности, воспитание интереса к предмету.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: Репродуктивный, объяснительно-иллюстративный.

Оборудование: Компьютер, мультимедиа проектор, презентация.

1. Организационный момент (1 мин)

2. Актуализация знаний (5 мин)

3. Изучение и закрепление нового материала (35 мин)

4. Подведение итогов урока (3 мин)

5. Домашнее задание (1 мин)

Организационный момент : Приветствие учеников, проверка посещаемости, проверка готовности классной комнаты и учащихся к уроку.

Учитель: Сегодня на уроке мы изучим новую тему: Показательные уравнения. Но сначала ответьте на вопросы. Функция какого вида называется показательной?

Ученик : Функция вида у = а х , где а > 0, a ≠ 1 – основание, конкретное заданное число, а х – переменная, называется показательной функцией.

Учитель: От чего зависят свойства показательной функции?

Ученик : От основания показательной функции.

Учитель: Перечислите основные свойства показательной функции.

Ученик : Показательная функция обладает следующими свойствами:

1 0 . Область определения показательной функции у = а х – множество действительных чисел.

2 0 . Множество значений показательной функции у = а х – множество положительных чисел.

3 0 . Показательная функция у = а х возрастает при а > 1 и убывает при 0

4 0 . Функция общего вида.

5 0 . Не ограничена.

Учитель: Вспомните свойства степеней с действительным показателем.

(Запись на доске)

3. Изучение и закрепление нового материал

Учитель: Запишите число, классная работа, тема урока: Показательные уравнения

Учитель: Посмотрите на уравнение . Уравнения такого вида называются показательными уравнениями Уравнение - простейшее показательное уравнение. Т.к. в левой части уравнения находится степень, то какое условие необходимо поставить?

Ученики: а>0, a≠1.

Учитель: А учитывая, что область значений показательной функции множество положительных действительных чисел, то какое условие надо поставить для b?

Ученики: b>0.

Учитель : Запишите определение, представленное на слайде.

(Запись в тетрадях)

Показательным уравнением называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени.

Учитель: Рассмотрим пример . Представим 25 в виде 25=5², получим .

По свойству: Степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели, получаем .

(Запись на доске и в тетрадях)

Учитель: Рассмотрим пример . Будет ли данное уравнение иметь решение?

Ученики: Т.к. b

(Запись на доске и в тетрадях)

Ответ: корней нет.

Учитель: Рассмотрим пример . Данное уравнение решается методом приведения к одному основанию обеих частей уравнения, т.е. к виду . Что необходимо для этого сделать?

Ученики: Корень третьей степени из 49 можно представить в виде степени с основанием 7:

. Тогда , по свойству равенства степеней с одним основанием , .

(Запись на доске и в тетрадях)

Учитель: . Данное уравнение решается методом приведения к одному основанию обеих частей уравнения, т.е. к виду . Как это можно сделать?

Ученики : Заметим, что дробь можно представить в виде степени с основанием пять:

. Тогда , используя свойство первое, получим , отсюда , .

(Запись на доске и в тетрадях) ; ; ;

Учитель: Рассмотрим следующий пример . Данное уравнение решается тем же методом можно представить как по пятому свойству, записанному на доске. 576=24², тогда . Что нам это дает?

Ученики : Используя свойство третье, получим , отсюда x=2.

(Запись на доске и в тетрадях)

Учитель: Рассмотрим пример .

(Один из учеников у доски)

Ученик : Данное уравнение решается тем же методом можно представить как по пятому свойству, записанному на доске. 784=28², тогда . Используя свойство третье, получим , отсюда x=2.

(Запись на доске и в тетрадях)

Учитель: Рассмотрим пример . Данное уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки. Чаще всего выносят за скобки степень с наименьшим показателем. Вынесем за скобки . Что получим?

Ученики : , , , , x-1=0, x=1.

(Запись на доске и в тетрадях)

Учитель: Рассмотрим пример .

(Один из учеников у доски)

Ученик : Данное уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки. Чаще всего выносят за скобки степень с наименьшим показателем. Вынесем за скобки и получим

(Запись на доске и в тетрадях)

Учитель: Рассмотрим пример . Данное уравнение имеет вид . Решается делением обеих частей уравнения на степень стоящую в левой или в правой части уравнения. Поделим обе части уравнения на , получим . Воспользуемся свойством четвертым и представим 1 в виде , , x=0.

(Запись на доске и в тетрадях)

Учитель: Рассмотрим пример . Заметим, что . Исходное уравнение примет вид . Уравнение какого вида мы получили?

(Один из учеников у доски)

Ученик : Данное уравнение имеет вид . Решается делением обеих частей уравнения на степень стоящую в левой или в правой части уравнения. Поделим обе части уравнения на , получим ,x-3=0, x=3.

(Запись на доске и в тетрадях)

4. Подведение итогов.

Учитель : Давайте вспомним, что называется показательным уравнением?

Ученик : Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Учитель : К какому виду приводятся все показательные уравнения?

Ученик : Часто показательные уравнения сводятся к а х = а с , где b = а с , т.е. к простейшим показательным уравнениям.

5. Домашнее задание.

Учитель : Домашнее задание: знать определение, что называют показательным уравнением и методы их решения. Примеры для решения будут размещены в электронном журнале. Спасибо за урок.

Тип урока: урок комплексного применения знаний.

Оборудование: компьютеры, проектор,

Образовательные: актуализация опорных знаний при решении показательных уравнений, обобщение знаний и способов решения; контроль и самоконтроль знаний и способов действий.

Развивающие: развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации;

развитие навыков реализации теоретических навыков в практической деятельности;

развитие умения сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли;

развитие интереса к предмету через содержание учебного материала

Воспитательные:

Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля;

Воспитание культуры общения, умения работать в коллективе, взаимопомощи;

Воспитание качеств характера таких как, настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

- научиться решать простейшие показательные уравнения по заданному алгоритму;

- решать показательные уравнения, самостоятельно выбирая нужный метод решения;

- применять полученные знания в нестандартных ситуациях.

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения.

показательно - иллюстративные с применением мультимедийных технологий: словесный, практический, контролирующий.

Формы: фронтальная, индивидуальная, групповая, самостоятельная работа, работа с банком заданий ЕГЭ, работа в парах, работа над проектом.

I.Актуализация опорных знаний.

Найти значение выражений

1. (3 0 - ) - 1 ( ответ: 1,25)

2. ( 7 + 2 -3 ) 0 (ответ: 8)

3. (ответ: 1/3)

4. (ответ: 9)

5. (ответ: 1)

II.Устный фронтальный опрос

Дайте определение показательной функции

2.Какие из перечисленных ниже функций являются показательными?

1) у = 2 х 2) y = x 2 3) у = ( ) x

4) у = x 5) у = (x - 2) 3 6) у = 7) у = 3 -x

3.Назовите основные свойства показательной функции?

4.Выберите возрастающие функции:

2)у=( ) Х 7)у=( Х

4)у=(0,1) Х 9) у=( Х

5)у=( ) - Х 10) у=( ) Х

5 . Из предложенных функций выберите ту, график которой изображён на рисунке.

6. Какая из функций будет ближе располагаться к оси ОУ?

1) у=3 х 2) у=4 х 3) у=5 х 4) у=10 х

III.Формирование новых знаний.

“Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”. С.Коваль.

Уравнения для меня важнее, потому что политика - для настоящего, а уравнения - для вечности. А.Эйнштейн.

1) Что называется уравнением?

Равенство, содержащее неизвестную переменную, называют уравнением.

2) Что значит решить уравнение?

Решить уравнение - означает найти все его корни или установить, что их нет.

3) Какие из данных уравнений вы знаете? Назовите виды данных уравнений.

5) 3 х +1 - 2 3 х = 9

6) 2х 4 + х 2 – 1 = 0

7) 9 х - 4 3 х – 45 = 0

VI.Откройте тетради. Запишите число и тему урока.

Мотивация изучаемой темы.

Способы решения показательных уравнений:

1.Приведение обеих частей уравнений к одному и тому же основанию.

3 х = 27

каждую часть уравнения представим в виде степени с основанием 3

3 х =3 3 3 1/2

Т.к. основания равны, то приравниваем и показатели

х=

2. Замена переменной.

9 х - 4

3.Вынесение общего множителя за скобки.

3 х+1 - 2

V.Первичное закрепление изученного материала.

2.3 х-1 -3 х + 3 х+1 = 63

3.7 2х – 6 7 х –7 = 0

Методическая цель открытого урока: показать методику проведения урока математики с помощью мультимедийных технологий.

ноутбук, мультимедийный проектор, экран, планшеты, электронная версия сборника задач по математике Н.В. Богомолова, презентации к уроку

Организационный момент (2 мин.)
Актуализация знаний (20 мин.)
Формирование новых знаний ( 30 мин.)
Первичное закрепление (35 мин.)
Итог урока, выставление оценок ( 2 мин.)
Домашнее задание ( 1 мин.)

Ход урока

1.Организационный момент.

Приветствие. Проверка присутствующих и готовности группы к занятию. Информация об особенностях урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Уравнения вида , называются простейшими показательными уравнениями.

Теорема - основа метода замены переменной

Однородным показательным уравнением называется уравнение вида:

Здесь f и g функции вида: , коэффициенты.

Основная и дополнительная:

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 288 с.: ил. - ISBN 5-09-0066565-9, сс. 70-74.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Рассмотрим показательные уравнения.

Показательным называется уравнение, в котором переменная входит только в показатели степеней, при заданном основании.

Уравнения вида , называются простейшими показательными уравнениями.

В самом простом случае уравнение принимает вид: .

Так как множество значений показательной функции - множество положительных чисел, то при уравнение решений не имеет.

Теперь рассмотрим случай b>0.

Вспомним, что показательная функция при a>1 монотонно возрастает и принимает все положительные значения, каждое ровно один раз. В случае 0

Рисунок 2 – иллюстрация решения простейшего показательного уравнения , 0.

Для того чтобы решить простейшее показательное уравнение , нужно число b представить в виде степени числа a.

Представим в виде степени числа 13: .

2. Теперь перейдем к решению более сложных показательных уравнений.

2.1. Рассмотрим уравнение вида:

То есть мы видим, что левая часть этого уравнения представляет собой сумму, слагаемые которого отличаются коэффициентами и показатели степеней с одинаковыми основаниям отличаются слагаемыми .

Мы видим, что выражение в скобках представляет собой число.